總體取值規(guī)律的估計(jì)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

第九章

統(tǒng)計(jì)9.2用樣本估計(jì)總體

9.2.1

總體取值規(guī)律的估計(jì)

（第一課時(shí)）一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)了解頻率分布直方圖及相關(guān)概念會(huì)畫頻率分布直方圖。會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入

“二戰(zhàn)”期間，為了加強(qiáng)對戰(zhàn)機(jī)的防護(hù)，英美軍方調(diào)查了作戰(zhàn)后幸存飛機(jī)上彈痕的分布，決定哪里彈痕多就加強(qiáng)哪里．然而統(tǒng)計(jì)學(xué)家沃德力排眾議，指出更應(yīng)該注意彈痕少的部位，因?yàn)檫@些部位受到重創(chuàng)的戰(zhàn)機(jī)很難有機(jī)會(huì)返航，而這部分?jǐn)?shù)據(jù)被忽略了．事實(shí)證明，沃德是正確的．

沃德在分析問題的時(shí)候，能夠做到不被表面現(xiàn)象所迷惑，在獲取數(shù)據(jù)之后，通過數(shù)據(jù)分析，找出數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，進(jìn)而得到正確的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果．復(fù)習(xí)引入隨機(jī)抽樣的基本抽樣方法簡單隨機(jī)抽樣分層隨機(jī)抽樣

前面研究了兩種抽樣方法來收集數(shù)據(jù)，還知道了一些常見的獲取數(shù)據(jù)的途徑。數(shù)據(jù)收集后，我們需要從中尋找數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，以使我們能通過樣本的規(guī)律估計(jì)總體的規(guī)律，進(jìn)而解決相應(yīng)的實(shí)際問題。

但由于實(shí)際問題中數(shù)據(jù)多而雜亂，往往無法從原始數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，所以要根據(jù)問題的背景特點(diǎn)，選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和直觀描述。在此基礎(chǔ)上，通過數(shù)據(jù)分析找到數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，就可以利用這些信息來解決實(shí)際問題了。下面我們討論的是對隨機(jī)抽樣獲取的數(shù)據(jù)的處理方法。新知探究問題1

我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出。某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃對居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價(jià)制度，即確定一戶居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).

如果希望確定一個(gè)比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，以使大部分居民用水的水費(fèi)支出不受影響，你認(rèn)為需要做哪些工作？確定一個(gè)較為合理的用水標(biāo)準(zhǔn)a確定調(diào)查方式：普查還是抽查？①全面調(diào)查（普查）：時(shí)間，經(jīng)費(fèi)允許②抽樣調(diào)查：總體：個(gè)體：變量：該市的全體居民用戶每戶居民用戶居民用戶的均用水量標(biāo)準(zhǔn)定太低——不利于節(jié)水，標(biāo)準(zhǔn)定太高——不利于民生新知探究假設(shè)通過簡單隨機(jī)抽樣，獲得了100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)(單位：t)：9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6追問1

從這組數(shù)據(jù)我們能發(fā)現(xiàn)什么信息呢？

如果將這組數(shù)據(jù)按從小到大排序,發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最小值是1.3t,最大值是28.0t,其他在1.3t和28.0t之間.為了更深入地挖掘數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息，需要對數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的整理與分析.新知探究為了探索一組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，一般先要用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來.在初中，我們曾用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù).

在這個(gè)實(shí)際問題中，因?yàn)槲覀兏P(guān)心月均用水量在不同范圍內(nèi)的居民占全市居民用戶的比例，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖在整理和表示數(shù)據(jù).追問2

什么是頻數(shù)？什么是頻率？如何畫頻率分布表和頻率分布直方圖？

頻數(shù)：在總體(或樣本)中，某個(gè)個(gè)體出現(xiàn)的次數(shù)叫做這個(gè)個(gè)體的頻數(shù).

頻率：某個(gè)個(gè)體的頻數(shù)與總體(或樣本)中所含個(gè)體的數(shù)量的比叫做這個(gè)個(gè)體的頻率.

與畫頻數(shù)分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.

①求極差；

②決定組距與組數(shù)；

③將數(shù)據(jù)分組；

④列頻率分布表；

⑤畫頻率分布直方圖.

接下來我們具體分析如何制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.新知探究：頻率分布表和頻率分布直方圖1.求極差：極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.28.0-1.3=26.7這說明樣本觀測的數(shù)據(jù)變化范圍是26.7t.2.決定組距與組數(shù)：組距：每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離。①數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)越多，所分的組數(shù)也越多.當(dāng)樣本量不超過100時(shí)，常分成5—12組.②一般取等長組距，且組距應(yīng)力求“取整”.（也可以不等距）③分組時(shí)可以先確定組距，也可以先確定組數(shù).即可以將數(shù)據(jù)分成9組，這也說明這個(gè)組距是比較合適的.如果取組距為3，則新知探究3.將數(shù)據(jù)分組：

由于組距為3，9個(gè)組距的長度超過極差，我們可以使第一組的左端點(diǎn)略小于數(shù)據(jù)中的最小值，最后一組的右端點(diǎn)略大于數(shù)據(jù)中的最大值.

例如，可以取區(qū)間為[1.2,28.2]，按如下方式把樣本觀測數(shù)據(jù)以組距為3分為9組：[1.2，4.2)，[4.2，7.2)，···，[25.2，28.2].通常區(qū)間取左閉右開，最后一組取閉區(qū)間計(jì)算各小組的頻率,分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率[1.2,4.2)[4.2,7.2)[7.2,10.2)[10.2,13.2)[13.2,16.2)[16.2,19.2)[19.2,22.2)[22.2,25.2)[25.2,28.2]合計(jì)正2332139953421000.230.320.130.090.090.050.030.040.021正正正正正正正正正正正正正正新知探究4.列頻率分布表例如第一小組的頻率是由此方法作出頻率分布表追問：從表中你能找到恒定不變的數(shù)據(jù)嗎？頻率之和為1新知探究5.畫頻率分布直方圖根據(jù)頻率分布表可以得到如右的頻率分布直方圖.頻率/組距實(shí)際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，它反映了各組樣本觀測數(shù)據(jù)的疏密程度。小長方形的面積=組距×=頻率各小長方形的面積和為1新知探究追問4

頻率分布直方圖與頻數(shù)分布直方圖有什么區(qū)別？頻率分布直方圖的縱軸是頻率/組距，而頻數(shù)分布直方圖的縱軸是頻數(shù).

頻率分布直方圖把樣本數(shù)據(jù)落在各小組的比例大小直觀，更有利于我們從整體上把握數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn)。歸納小結(jié)畫頻率分布直方圖的步驟：（1）求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)（2）決定組距與組數(shù)（將數(shù)據(jù)分組）（3）將數(shù)據(jù)分組（4）列出頻率分布表.(填寫頻率/組距一欄)（5）畫出頻率分布直方圖.組距：指每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)的距離，組數(shù)：將數(shù)據(jù)分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在100個(gè)以內(nèi)時(shí)，按數(shù)據(jù)多少常分5-12組.新知探究問題2

觀察頻率分布表和頻率分布直方圖，你覺得這組數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含了哪些有用的信息？你能從圖表中發(fā)現(xiàn)居民用戶月均用水量的哪些分布規(guī)律？你能給出適當(dāng)?shù)恼Z言描述嗎？（2）從頻率分布直方圖能直觀地表明數(shù)據(jù)分布的形狀和總體趨勢.可以看出，數(shù)據(jù)的分布不對稱，圖形左邊高、右邊低，右邊有一個(gè)較長的“尾巴”。這表明大部分居民用戶的月均用水量集中在一個(gè)較低值區(qū)域，尤其在[1.2，7.2)最為集中，少數(shù)用戶居民的月均用水量偏多，而且隨著月均用水量的增加，居民用戶數(shù)呈現(xiàn)降低趨勢.（1）從頻率分布表中可以看出，樣本觀測數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的比例大小.例如，月均用水量在區(qū)間[4.2，7.2)內(nèi)的居民用戶最多，在區(qū)間[1.2，4.2)內(nèi)的次之，而月均用水量超過16.2的各區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)所占比例較小，等等.需要注意的是，由于樣本的隨機(jī)性，這種估計(jì)可能會(huì)存在一定誤差，但這一誤差一般不會(huì)影響我們對總體分布情況的大致了解.新知探究

有了樣本觀測數(shù)據(jù)的頻率分布，我們可以用它估計(jì)總體的取值規(guī)律.

根據(jù)100戶居民用戶的月均用水量的頻率分布，可以推測該市全體居民用戶月均用水量也會(huì)有類似的分布，即大部分居民用戶月均用水量集中在較低值區(qū)域.這使我們確定用水量標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，可以定一個(gè)合適的值，以達(dá)到既不影響大多數(shù)居民用戶的水費(fèi)支出，又能節(jié)水的目的.新知探究：不同的分組情況對直方圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分布規(guī)律的影響問題3

分別以3和27為組數(shù),對數(shù)據(jù)進(jìn)行等距分組,畫出100戶居民用戶月均用水量的頻率分布直方圖.觀察圖形，你發(fā)現(xiàn)不同的組數(shù)對于直方圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分布規(guī)律有什么影響？從上圖可以看出，同一組數(shù)據(jù)，組數(shù)不同，得到的直方圖形狀也不盡相同.組數(shù)少、組距大：易看出數(shù)據(jù)整體的分布特點(diǎn)，無法看出每組內(nèi)的數(shù)據(jù)分布情況，損失了較多的原始數(shù)據(jù)信息；組數(shù)多、組距?。罕Ａ糨^多原始數(shù)據(jù)信息；但小長方形較多，有時(shí)圖形會(huì)變得不規(guī)則，不容易從中看出總體分布特點(diǎn)；直方圖會(huì)依賴樣本數(shù)據(jù)，穩(wěn)定性差.新知探究

從上述分析可見，當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)少、組距大時(shí)，容易從中看出數(shù)據(jù)整體的分布特點(diǎn)，但由于無法看出每組內(nèi)的數(shù)據(jù)分布情況，損失了較多的原始數(shù)據(jù)信息；當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)多、組距小時(shí)，保留了較多的原始數(shù)據(jù)信息，但由于小長方形較多，有時(shí)圖形會(huì)變得非常不規(guī)則，不容易從中看出總體數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)。同時(shí)，對于同一組數(shù)據(jù)，因?yàn)榻M距、組數(shù)不同而得到不同形狀的直方圖，會(huì)給人以不同的頻率分布印象，這種印象有時(shí)會(huì)影響人們對總體的判斷.因此，我們要注意積累數(shù)據(jù)分組、合理使用圖表的經(jīng)驗(yàn).問題4

根據(jù)上圖你能發(fā)現(xiàn)組數(shù)少與組數(shù)大各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？

典例解析例

為加強(qiáng)對中學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)，促進(jìn)教育教學(xué)改革，某市教育局將舉辦全市中學(xué)生創(chuàng)新知識(shí)競賽.某校舉行選拔賽，共有200名學(xué)生參加，為了解學(xué)生的成績情況，從中抽取了50名學(xué)生的成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率0.2615180.36合計(jì)50（1）求a,b,c,d,e的值；

典例解析例

為加強(qiáng)對中學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)，促進(jìn)教育教學(xué)改革，某市教育局將舉辦全市中學(xué)生創(chuàng)新知識(shí)競賽.某校舉行選拔賽，共有200名學(xué)生參加，為了解學(xué)生的成績情況，從中抽取了50名學(xué)生的成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率0.2615180.36合計(jì)50（2）畫出頻率分布直方圖.[解析]

作出頻率分布直方圖，如圖所示.鞏固練習(xí)課本P1981.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~350kW?h之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示.(1)直方圖中x的值為________；(2)在被調(diào)查的用戶中，用電量落在區(qū)間[100，250)內(nèi)的戶數(shù)為_____.700.0044鞏固練習(xí)課本P1982.如圖，胡曉統(tǒng)計(jì)了他爸爸9月的手機(jī)通話明細(xì)清單，發(fā)現(xiàn)他爸爸該月共通話60次.胡曉按每次通話時(shí)間長短進(jìn)行分組(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出了頻率分布直方圖.(1)通話時(shí)長在區(qū)間[15，20)，[20，30)內(nèi)的次數(shù)分別為多少?(2)區(qū)間[20，30)上的小長方形高度低于[15，20)上的小長方形的高度，說明什么?解：(1)通話時(shí)長在區(qū)間[15,20),[20,30)內(nèi)的次數(shù)分別為9次和12次.(2)區(qū)間[20,30)內(nèi)的通話次數(shù)少于區(qū)間[15,20內(nèi)的通話次數(shù).課