新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第12章復(fù)數(shù) 課時(shí)練習(xí)題及章末綜合測(cè)驗(yàn)含答案解析

第12章復(fù)數(shù)

12.1復(fù)數(shù)的概念........................................................-1-

12.2第1課時(shí)復(fù)數(shù)的加減與乘法運(yùn)算...................................-5-

12.2第2課時(shí)復(fù)數(shù)的乘方與除法.......................................-9-

12.3復(fù)數(shù)的幾何意義...................................................-13-

12.4復(fù)數(shù)的三角形式*..................................................-18-

章末綜合測(cè)驗(yàn)...........................................................-23-

12.1復(fù)數(shù)的概念

[4組基礎(chǔ)合格練]

一'選擇題

1.已知復(fù)數(shù)Z=〃—（2一加i的實(shí)部和虛部分別是2和3,則實(shí)數(shù)a,b的值分

別是（）

A.卷1B.隹5

C.±\f2,5D.±\]2,1

〃2=2,

c[令J'得a=±\[i,b=5.]

1-2+8=3,

2.如果C,R,I分別表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集和純虛數(shù)集，其中C為全集，則（）

A.C=RUIB.RUI={0}

c.R=cniD.Rni=0

D[復(fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)與虛數(shù)，所以實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集無(wú)交集..?.Rni=0,故選

D.]

3.以3i一啦的虛部為實(shí)部，以3i2+/i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是（）

A.3—3iB.3+i

C.一地+的D.V2+V2i

A[3i一啦的虛部為3,3i2+啦i=-3+6i的實(shí)部為一3,故選A.]

4.若xi—i2=y+2i,x,yWR,則復(fù)數(shù)x+yi=（）

A.—2+iB.2+i

C.l-2iD.l+2i

B[由i2=-l,得xi-i2=l+xi,則由題意得l+xi=)，+2i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的

充要條件得x=2,y=l,故x+yi=2+i.]

5.設(shè)“，匕GR,“a=0"是''復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

B[因?yàn)閍,OCR,“a=0”時(shí)“復(fù)數(shù)a+Oi不一定是純虛數(shù)”.“復(fù)數(shù)a+

歷是純虛數(shù)”則“a=0”一定成立.所以a,b^R,“a=0”是“復(fù)數(shù)a+萬(wàn)是純

虛教”的必要不充分條件.]

二'填空題

6.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的實(shí)部等于.

3+i3+i,.

-3[―=-=-3-i,其實(shí)部為一3?]

7.若log2。2—3元-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,則實(shí)數(shù)x的值為.

Iog2(x2+2x+1)=0,

-2[]：.x=-2.]

Uog2(f9—3x—2)>1,

8.設(shè)fnUR,m2+m—2+(/?z2—l)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m=

[m2+m-2=0,

—2[復(fù)數(shù)//z2+m—2+(/n2—l)i是純虛數(shù)的充要條件是彳解

91W0,

加=1或〃2=—2,

得彳,即m=-2.

加#±1,

故"7=-2時(shí)，+—2+("/2—l)i是純虛數(shù).]

三、解答題

9.已知R,復(fù)數(shù)2=(2+i)機(jī)2■—3(1+i)m—2(1—i).

(1)寫(xiě)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式；

(2)當(dāng)相為何值時(shí)，z=0?當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，z是純虛數(shù)？

「解1(1)復(fù)數(shù)z=(2+i)加2—3(1+i)m-2(l-i)

=(2m2—3m—2)+(nr—3m+2)i,

即復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式為z=(2〃p—3/w—2)+。?？—3加+2)i.

加2—37"+2=0,

(2)若z=0,

2m2—3m~2=0,

解得777=2.

m2—3〃z+2W0,

若z為純虛數(shù)，則彳，，八

[2m2-3m-2=0,

mW2且"zWl,

解得/1

"?=2或加=~2,

即m=-y

10.已知關(guān)于”的方程f+（A+2i）x+2+K=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)%的值.

[解]設(shè)項(xiàng)是方程的實(shí)數(shù)根，代入方程并整理得（高+區(qū)。+2）+（2頒+須=0.

高+依()+2=0,

由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件得<

,2xo4-^=0.

xo,xo=-,

解得v廠或J

[k=-2\j2,[k=2\[2.

實(shí)數(shù)左的值為±2也.

[S組能力過(guò)關(guān)練]

11.（多選題）已知i為虛數(shù)單位，下列命題中正確的是（）

A.若x,y^C,則x+yi=l+i的充要條件是尤=y=l

B.（/+i）imeR）是純虛數(shù)

C.若Z++z3=0,則Zl=Z2=0

D.當(dāng)機(jī)=4時(shí)，復(fù)數(shù)1g（加2—2加—7）+（加2+5機(jī)+6）i是純虛數(shù)

BD[取x=i,y=—i,則x+yi=l+i,但不滿足尤=>=1,故A錯(cuò)誤；V?eR,

。2+1>0恒成立，所以（4+l）i是純虛數(shù)，故B正確；取Zl=i,Z2=1,則z++z3=

0,但zi=Z2=0不成立，故C錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)館（"戶一2/%一7）+（機(jī)?+5加+6）i是純虛數(shù)

lg（7n2—2w-7）=0,

等價(jià)于J9,,解得加=4,故D正確.故選BD.]

m+5m+6^:0,

12.已知關(guān)于x的方程幺+(m+2。工+2+21=00%￡2有實(shí)根〃，且z=j%+〃i,

則復(fù)數(shù)z=()

A.3+iB.3-i

C.-3—iD.-3+i

B[由題意，知層+(m+2i)〃+2+2i=0,

即/+〃〃z+2+(2〃+2)i=0.

n2+mn+2=0,

所以,

2〃+2=0,

n=-l.

所以z=3—i.]

13.復(fù)數(shù)zi,Z2滿足zi=〃z+(4—機(jī)2)1Z2—2cos^+(A+3sin九8￡R),

并且Z]=Z2,則％的取值范圍為.

r9i

一I?7J[由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得

777=2COS9,

<

,4—m2=A+3sin0,

2

化簡(jiǎn)得4—4cos2e=2+3sin09由此可得2=—4cos?。-3sin0+4=—4(1—sin^)

—3sin9+4=4sin2。一3sin9=4(sin。一目一看因?yàn)?s^n。引一1,1],

-9-

所以丸￡—記，7.]

14.若復(fù)數(shù)z=(sin夕一|)+(cos。一,｝是純虛數(shù)，則cos9=,tan]。一點(diǎn))

4

-7「?,復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),

4

5-

4

..COS0=-7.

?fqsin8_3

,足魂一cos?！?-

-j

1

?，?tan］。-；tan夕一14

1+tan0―T=—7?］

1-4

［C組拓廣探索練］

15.設(shè)zi=m2+1+(7?z2+777—2)i,Z2=4m+2+(m2—5m+4)i,若z\<zi,求實(shí)

數(shù)機(jī)的取值范圍.

［解］由于zi〈Z2,〃z￡R,

???zi￡R且Z2￡R,

當(dāng)ZI￡R時(shí)，〃a+加一2=0,m=l或m=-2.

當(dāng)Z2^R時(shí)，m2—5m+4=0,帆=1或機(jī)=4,

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，zi=2,Z2=6,滿足Z1<Z2.

.*.ZI<Z2時(shí)，實(shí)數(shù)機(jī)的取值為m=l.

12.2第1課時(shí)復(fù)數(shù)的加減與乘法運(yùn)算

［4組基礎(chǔ)合格練］

一、選擇題

1.若(一3〃+歷)一(2力+〃i)=3—5i,a,則〃+〃=()

A.jB.-yC.-yD.5

B［(—3〃+歷)一(2b+ai)=(-3a—2Z?)+(b—a)i=3—5i,

一3。-20=3,

所以彳

b—a=—5,

71Q

解得a=5，b=一-^,

故有?+/?=—y.]

2.若復(fù)數(shù)z滿足z+(3-4i)=l,則z的虛部是()

A.-2B.4C.3D.-4

B[z=l-(3-4i)=-2+4i,故選B.]

3.已知a,OdR,i是虛數(shù)單位.若a-i與2+bi互為共軌復(fù)數(shù)，則(a+砥2

=()

A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i

D[由題意知a—i=2一",：,a=2,b=\,：,(a+Z?i)2=(2+i)2=3+4i.]

4.已知復(fù)數(shù)z=2—i,則z?三的值為()

A.5B4C.3D.小

A[z-~z=(2-i)(2+i)=22-i2=4+l=5,故選A.]

5.復(fù)數(shù)z=^—ai,aGR,且z2=；—乎i,則。的值為()

A.1B.2C.gD."

C[由z=^—ai,得z2=[坐)一2X坐Xai+(qi)2=(一/一仍勿，因

解得a=1.]

2，

二'填空題

6.設(shè)復(fù)數(shù)zi=x+2i,Z2=3—yi(x,yWR),若ZI+Z2=5—6i,則z\~Z2=.

-l+10i[Vzl+z2=x+2i+(3-yi)=(x+3)+(2-y)i,.?.(x+3)+(2—y)i=5

—6i(x,yGR),由復(fù)數(shù)相等定義，得x=2且y=8,

.,.zi-Z2=24-2i-(3-8i)=-l+10i.]

7.設(shè)復(fù)數(shù)zi=l+i,Z2=x+2i(*eR),若Z1Z2GR,則x等于.

-2[Vz^l+i,Z2=x+2i(xGR),

；.ziZ2=(l+i)(x+2i)=(x—2)+(x+2)i.

VZIZ2GR,，X+2=0,即X=-2.]

8.復(fù)數(shù)z=l+i,，為z的共舸復(fù)數(shù)，則z-3-z—l=,

—i[Vz=1+i,z=1—i,

Az-z=(l+i)(l-i)=2,

z-z—z-1=2-(1+i)-1=-i.]

三'解答題

9.計(jì)算：(l)(l+i)(l—i)+(—l+i);

⑵(V+割惇+"+。

[解]⑴原式=l—i2+(—l)+i=l+i.

(2)原式=[(一乎+$2)+e一孫1+i)

=(-坐+珈+i)

_1/3亞.JJ.

-221+32

1+^3i1一木.

=-2+2】?

10.已知復(fù)數(shù)z=(l—i>+l+3i,若z2+az+b=l—i(a,bWR),求b+ai的

共挽復(fù)數(shù).

[解]z=(l-i)2+l+3i=-2i4-l+3i=l+i,

由z2+az+b=1—i,得

(l+i)2+a(l+i)+/j=l-i,

.,.a+0+i(a+2)=1—i(a,OeR),

a+b=1,a=-3,

解得＜

?+2=—1,0=4,

則b+ai=4~3i,

則b+ai的共軻復(fù)數(shù)是4+3i.

[B組能力過(guò)關(guān)練]

11.復(fù)數(shù)(1—i)—(2+i)+3i等于()

A.—1+iB.1—iC.iD.—i

A[(l-i)—(2+i)+3i=(l—2)+(—i—i+3i)=—l+i.故選A.]

12.(多選題)若復(fù)數(shù)z=(3—2i)i,則下列說(shuō)法正確的有()

A.z的實(shí)部是2

B.z的共粗復(fù)數(shù)T=2—3i

C.z+z=6i

D.z,z=13

ABD[Vz=(3-2i)i=3i+2,

.*.7=2-3i,

：.z+~z=4,z-~=13,故ABD均正確.]

13.已知一1+i是關(guān)于x的方程/+2%+4=0的一個(gè)根，則復(fù)數(shù)z=p+qi(p,

qGR)等于,z-z=.

2+2i8[(—l+i)2+p(—l+i)+q=0,整理得(g—p)+(/?-2)i=0,

q—p=O,

???..p=q=2.

故z=p+qi=2+2i.

/.7=2-2i,

AZ-7=(2+2i)(2-2i)=8.]

512

14.已知zi=cosa+isina,Z2=cos￡—isin夕且zi-Z2=百十百i,貝！Jcos(a+Q)

的值為.

J['/zi=cosa+isina,Z2=cos4一isin夕，

512

Azi—Z2=(cosa-cos?)+i(sina+sin

5門

cosa—cos①

12

{sina+sin②

①?+②2得2—2cos(a+夕)=1,

即cos(a+^)=2.1

［C組拓廣探索練］

15.，是z的共粗復(fù)數(shù).若z+》=2,(z—5)i=2(i為虛數(shù)單位)，求z.

［解］設(shè)2=。+例(。，OGR),則z=a-b\,

'."z+z=2a=2,.,.a—I.

又(z—z)i=2Z?i2=—2/>=2.

：.b=~\.

故z=l-i.

12.2第2課時(shí)復(fù)數(shù)的乘方與除法

[4組基礎(chǔ)合格練]

443

--+-

A.-5-B.55

34.

c.-5-?D.

l+2i(l+2i)(l+2i)34

［l-2i=(l-2i)(l+2i)《十衛(wèi)，故選D.]

3.i為虛數(shù)單位，押7的共輒復(fù)數(shù)為（）

A.iB.-iC.1D.-1

A[因?yàn)閕6°7=(i2嚴(yán)-i的共輛復(fù)數(shù)為i,所以應(yīng)選A.]

4.(l+i)2°—(1—i)2°的值是()

A.-1024B.1024C.0D.512

C[(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]io-[(i-i)2]io=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10

=0.]

5.已知復(fù)數(shù)焉，]是z的共也復(fù)數(shù)，則等于()

11

--C2

A.4B.2D.

.._小+i小i2+i_i(l-\/5i)

,2(1—小i>(1一小爐(1—小ip

i_i(l+V3i)__^3i

一1一小「4一_4+不

—1

2-Z=4.]

二、填空題

6.復(fù)數(shù)占的共趣復(fù)數(shù)是________

21—1

—….55⑵+1）

...7J的共機(jī)復(fù)數(shù)是一l+2i.]

21—1

7.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是—

\+ai(l+ai)(2+i)(2—。)+(1+2a)i,

2，2-i—(2-i)(2+i)—5'由純虛數(shù)定義，則2—。=0,..a

=21

8.設(shè)i是虛數(shù)單位,則坐￥等于——

—1廠」+1_一(l+i)2_2i_.

1,i-1(l-i)(l+i)--21，

3

i(i+lJ)*34、

1=i-(~i)=-i=~l.]

三、解答題

9.計(jì)算：⑴胃葉［一尊一；）；

―2小+i//L（4_8i）2_（_4+8i）2

⑵1+2機(jī)+〔1+"+4+3i

［解］（1）原式=當(dāng)分+i6（—；+割

=i+i2=i—1.

C、屆*、i(2/i+l)」2,(4—8i)2—[—(4—8i)]2

⑵原式=]+25i+三+市

(4-8i)2~(4-8i)2

4+3i

=i+(—i)+0=0.

10.(1)若]^翁=一讓i，求實(shí)數(shù)。的值；

2i—

(2)若復(fù)數(shù)z=1j,求z+3i.

[解]⑴依題意，得2+ai=-^i(l+6i)=2—6i,

⑵.?_2i_2i(l+i)

-)'z1-i(l-i)(l+i)

=i(l+i)=-1+i,

：.z=-1i,

/.z+3i=-l+2i.

［6組能力過(guò)關(guān)練］

ii.若一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則稱此復(fù)數(shù)為理想復(fù)數(shù)”.已

知2=港?+砥小匕《R）為”理想復(fù)數(shù)”，則（）

A.a—5b=QB.3a—5b=Q

C.a+5b=0D.3a+5b=Q

nra」_，-a(l+2i)a停十〃).由題意,

D[z~1-2i+/?1-(l-2i)(l+2i)+/71-5+=普3

即3a+56=0.]

12.(多選題)已知復(fù)數(shù)z=：—坐i,則下列結(jié)論正確的有()

A.z-z=1B.z2=z

C.z3=-lD.z2°2°=一

ACD8,

.".z-z=|z|2==1,故A正確;

3一；一坐i,故B錯(cuò)誤;

z~4~2l4

故C正確;

,故D正確.故選ACD.]

1-i

(X)50的值等于

13.當(dāng)zzl+z+1

...z10O+z50+!=(_i)50+(-i)25+1

=(-i)2+(-i)+l=-i.]

14.若方程x2—(2i—l)x+3m-i=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)，”的值為,方

程的實(shí)根為x=.

親一；[化簡(jiǎn)x2—(2i-?l)x+3，”-i=0得(*+x+3加)+(-2x—l)i=O,所以

^+x+3m=0,—2x—1=0,解得x=—3，m=^.]

［C組拓廣探索練］

15.已知復(fù)數(shù)z=l+2i(i為虛數(shù)單位).

(1)若z?zo=2z+zo，求復(fù)數(shù)zo的共輾復(fù)數(shù)；

(2)若z是關(guān)于x的方程X2—+5=0的一個(gè)虛根，求實(shí)數(shù)m的值.

［解］(1)設(shè)zo=a+bi(a9b^R),代入z?zo=2z+zo得(l+2i)-(a+歷)=2(1+2i)

+(。+歷)，

即(a—2b)+(2a+b)i=(2+a)+(4+b)i,

Q—2/?=2+。，

?<

'［2a+b=4+b,

ci=2,

解得,,

s=-l,

.".zo=2—i,

復(fù)數(shù)zo的共機(jī)復(fù)數(shù)，o=2+i.

(2)'.?復(fù)數(shù)z=l+2i是關(guān)于x的方程f-〃吠+5=0的一個(gè)虛根，

.,.(14-2i)2-(l+2i)/?z+5=0,整理得2—根+(4—2m)i=0,

/.2—m=0,且4—2/w=0,

解得777=2.

12.3復(fù)數(shù)的幾何意義

[4組基礎(chǔ)合格練]

一、選擇題

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=sin2+icos2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

D[".'sin2>0,cos2<0,

；.復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（5也2,cos2）在第四象限.故選D.]

2.已知復(fù)數(shù)z=(/—2a)+(4—q—2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則()

A.aW2或aWlB.a#2,且aWl

C.a=0D.a=2或a=0

D[由題意，得層一2°=0,得a=0或a=2.故選D.]

3.在復(fù)平面內(nèi)，。為原點(diǎn)，向量。了對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+2「若點(diǎn)A關(guān)于直線

y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)8,則向量。下對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()

A.-2-iB.-2+i

C.l+2iD.-l+2i

B[因?yàn)閺?fù)數(shù)一l+2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A(—l,2),點(diǎn)A關(guān)于直線曠=一尤的對(duì)稱點(diǎn)

為8(—2,1),所以。方對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i.]

4.在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)0,若向量力，五對(duì)

應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+i,-l+3i,則詼對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.2+4iB.-2+4i

C.-4+2iD.4-2i

D[依題意有而=就=后一加，而(3+。一(-l+3i)=4-2i,即①對(duì)應(yīng)的

復(fù)數(shù)為4—2i.故選D.]

5.若zWC,且|z+2—2i|=l,則|z—2—2i|的最小值是()

A.2B.3C.4D.5

B[設(shè)z=x+yi,則由|z+2-2i|=l得(x+2)2+(y-2)2，

=1,表示以(一2,2)為圓心，以1為半徑的圓，如圖所示，G)2,(：,2)

1-

則|2—2—20=、。-2)2+0—2)2表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)(2,2)-2-1012X

的距離,數(shù)形結(jié)合得|z—2—2”的最小值為3.]

二'填空題

6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+5i,—2+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,氏若C為線段AB

的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.

2+4i「.?復(fù)數(shù)6+5i,—2+3i對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,

.?.點(diǎn)4(6,5),5(-2,3).

中點(diǎn)。(2,4),其對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)2+4i.]

7.設(shè)復(fù)數(shù)z=-1—i(i是虛數(shù)單位)，z的共輒復(fù)數(shù)為z,則|(1-z>z|=

Vw[7=-l+i,則|(1-z>—|=|(2+i)?(—l+i)|=|-3+i|=①.]

8.復(fù)數(shù)z=x+l+(y—2)i(x,yCR),且|z|=3,則點(diǎn)Z(x,y)的軌跡是.

以(T,2)為圓心，以3為半徑的圓['：\z\=3,

:.y/(x+1>+(j-2)2=3,即(*+1)2+0—2)2=32.故點(diǎn)2(》，y)的軌跡是以(一1,

2)為圓心，以3為半徑的圓.]

三、解答題

9.已知復(fù)數(shù)z=1+〃i(a￡R),w=cosa+isina,aG(0,2兀)，若z=z+2i,

且|z一刑=小，求角a的值.

［解］由題意知1+ai=1+(2—a)i,

則。=2—Q,即a=1,Az=1+i.

由|z一刑=小得(1—cosa)2+(l—sina)2=5,

整理得sina+cosa=-1,/.sin(a+￡

2，

?:0<a<2兀,

71.719K

?qva+wq，

.?兀5兀??兀7兀.二、3兀

?或。+］=4~，??1=?；騛=~2'

10.已知復(fù)數(shù)z滿足(z—2)i=a+i(aGR).

⑴求復(fù)數(shù)z；

(2)a為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.

［解］(1)由(z—2)i=a+i,

ea+i

傳2—2=-：-=1-ai,?\z=3-ai

(2)由⑴得z2=9-4-6ai,

???復(fù)數(shù)Z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,

9-?2>0,

解得一3<a<0.

-6Q>0,

故當(dāng)。6（—3,0）時(shí)，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.

[B組能力過(guò)關(guān)練]

11.復(fù)平面上三點(diǎn)A,B,C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1,2i,5+2i,則由A,B,C所構(gòu)

成的三角形是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

A[|AB|=|2i-l|=V5,|AC|=|4+2i|=V20,|BC|=5,.，.|BC|2=|W+|AC|2.

故選A.]

12.（多選題）已知復(fù)數(shù)zo=l+2i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Po,復(fù)

數(shù)z滿足|z—l|=|z—i|,下列結(jié)論正確的是（）

A.Po點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）

B.復(fù)數(shù)zo的共掘復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)H）關(guān)于虛軸對(duì)稱

C.復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在一條直線上

D.R）與z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z間的距離的最小值為當(dāng)

ACD[復(fù)數(shù)zo=l+2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Po（l,2）,A正確；復(fù)數(shù)zo的

共機(jī)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)Po關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，B錯(cuò)誤：設(shè)2=工+河（尤，yGR）,代入

|z-l|=|z-i|,得|(x—l)+yi|=|x+(y—l)i|,即

l）2+）2=、f+（y—1）2,整理得，y=X,即Z點(diǎn)在直線）=%上，C正確;

易知點(diǎn)Po到直線），=x的垂線段的長(zhǎng)度即為Po,Z之間距離的最小值，結(jié)合點(diǎn)

11—21啦

到直線的距離公式可知，最小值為而二2,故D正確.故選ACD.]

13.已知復(fù)數(shù)z滿足（z—2）i=7—i,其中i為虛數(shù)單位，則|z尸,復(fù)

數(shù)Z的共加復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.

5啦一［設(shè)z=a+歷(a,Z?GR),則

(z—2)i=(a—2+0i)i=(a—2)i—/?=7—i,

。-2=-1[a=\

因此L=7，解得真-7所以z=l—7i,故團(tuán)=5啦,

z=l+7i,其在復(fù)數(shù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限.]

14.已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，021對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+4i,。^2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2a

+i(aGR).若。聲與022共線，則。的值為.

-j［因?yàn)閷?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+4i,。了2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2a+i,所以。②

O

=(-3,4),O^2=(2a,1).因?yàn)榕c。區(qū)共線，所以存在實(shí)數(shù)%使OZ=

kOZi,即(2a,1)=嵐一3,4)=(-3攵，4k),

2a=-3k,

所以《

1=4k,

3

即a的值為一［.］

o

［C組拓廣探索練］

15.已知復(fù)數(shù)21=小+「Z2=-1+2

(1)求|zi|,01的值；

(2)設(shè)ZGC,滿足條件|Z2|W|Z|W|Z||的點(diǎn)Z的軌跡是什么圖形？

［解］(1)|ZI|=^/(V3)2+12=2,

㈤7HI，惇『=L

(2)由|z2|W|z|W|zi|及⑴知lW|z|W2.

|z|21表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的外部所有點(diǎn)組成的集合(包含圓周),

|z|W2表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合(包含圓周)，故

滿足條件的點(diǎn)Z的集合是以。為圓心，以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán)(包含邊界),

如圖所示.

12.4復(fù)數(shù)的三角形式*

[4組基礎(chǔ)合格練]

一'選擇題

1.下列表示復(fù)數(shù)l+i的三角形式中

S/^(cos%isin：)；②J^cos[-；)+isin：；

③V^(cos空+isin爭(zhēng)｝④呵coq+isin^),正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

B「；r=y/F+12=娘,cos<9=乎，sin(9=￥，，輻角主值為

二1+i=近b05彳+isinT=6(cos華+isin柴，

故①③的表示是正確的，②④的表示不正確，故選B.]

2.如果。eg,兀)，那么復(fù)數(shù)(l+i)(cos。-isin。)的三角形式是()

A.acos僵—@+isin伶—

B.也[cos(2兀-6)+isin(2兀一。)]

C.巾cos仔+6)+isin仔+磯

D.啦cos傳+61)+isin傳+4]

A[因?yàn)閘+i=^(cos:+isin司,

cos。一isinQ=COS(2K-0+isin(27i-&),

所以(1+i)(cos8—isin&)

=\[2cos仔+2兀一，)+isin(：+2無(wú)一。)]

cos置_q+isin號(hào)—磯.]

、，％(

3.計(jì)算“了一31-c-o-s-2-7--0-°-+-i-s-in--2-7-0-°2)—的結(jié)果是()

g[cos(—90°)+isin(—90°)]

A.-9B.9C.-1D.1

B3(cos270°+isin270°)

g[cos(—90°)+isin(—90°)]

=9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)]

=9(cos360°+isin360°)=9,故選B.]

4.若復(fù)數(shù)z=?cos9+isin9)(r>0,9VR),則把這種形式叫作復(fù)數(shù)z的三角

2兀

形式，其中r為復(fù)數(shù)z的模，。為復(fù)數(shù)z的輻角.若一個(gè)復(fù)數(shù)z的模為2,輻角為年,

則：=()

A.1+V3iB.1一小iC.小—iD.小+i

D［由復(fù)數(shù)z的模為2,輻角為會(huì)，可得2=2卜0$,+isin,)=-1+小i.

所以：=葉區(qū)=仁空丹=小+「故選D.］

5.適合|z+l|=l且岬2=焉兀的復(fù)數(shù)Z的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.無(wú)窮多

［答案］C

二、填空題

6.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是

cos2+isin2

「1cosf-isinf=>來(lái)]

2211兀兀

cosg+isi町

7.設(shè)z=l-2i對(duì)應(yīng)的向量為5k將改繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30。所得向量

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的虛部為.

_1+彳*［所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(1—2i>［cos(—30°)+isin(—30°)］=(l—

1+2^3

2」

8.復(fù)數(shù)1+i的輻角主值是三角形式是

彳&(co寸+isin：)［復(fù)數(shù)1+i的模是

Jr

因?yàn)?+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限且輻角的正切tan。=1,它的輻角主值為加

三'解答題

9.已知z=-2i,zi—z-Z2=0,argZ2=1，若z”Z2在復(fù)平面上分別

對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,B,且依8|=/，求zi的立方根.

［解］由題設(shè)知z=l—i,因?yàn)橐狸?6，即|ZI—Z2|=6，

所以|ZI—Z2|=|zZ2—Z2|=|(l+i)Z2—Z2|=|iz2|=|z2|="V^,又argZ2=居，所以Z2

cos^+isin^,

=蛆

i=zZ2=(1+i)Z2=啦卜05/+isin：

5兀+isi用,

cos不

所以Z1的立方根為短不+2而不+2Ek=0,1,2,即版

Ycos---o---+isin---o---

cosg+isinf17兀,17無(wú)、婀cos鬻+isin皙.

cosji+isirrji

10.已知復(fù)數(shù)z滿足Z2+2Z+4=0,且argZ￡仔，兀).

(1)求z的三角形式;

(2)記A、B、C分別表示復(fù)數(shù)z、①、一2口在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn).已知A、B、

。三點(diǎn)成逆時(shí)針順序，且△ABC為等邊三角形，求tan(argco).

［解］⑴由/+22+4=0,得z=T(一2±2小i)=-l±V5i.：argze住，兀),

.,.z=—l—y/3i應(yīng)舍去，

/2兀2ii

?，?z=-1+*\/3i=2lcos-y+isin-y

(2)由題意，CA:z—(—2co)=z+2①，CB:a)—(—2co)=3co9

TT

V|C/1|=|CB|,A、B、。三點(diǎn)位置成逆時(shí)針順序，又NACB=1,

...把CA按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。即得CB,：.3co=(z+2CO)|^COS2+isin^J,

將z=2(cos亨+isin用代入上式，解得co=—,(2+/i),由點(diǎn)8在第三象限

知tan(argco)=坐.

[6組能力過(guò)關(guān)練]

11.復(fù)數(shù)z=tan，+i停？＜兀)的三角形式是()

A.COg^(sin^+icosff)

B.馬力cos9+isin0)

c_消小傅_0+1陪_磯

D--熹[。喏+*皿仔+。)_

兀

D[因?yàn)閉＜。＜兀，

所以cos。＜0,

所以z=tan0+i=~[-sin8+i(—cos。)]=-

cos(]+e)+isin4+0,故選D.]

12.(多選題)任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+陽(yáng)其中a、bGR,i為虛數(shù)單位渚B可以表示

成：z=4cose+isin。)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗

發(fā)現(xiàn)：

/=[r(cos8+isin0)]"=/(cos“6+isin"8)(〃GN+),我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗

定理.根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法正確的是()

A.西=團(tuán)2

JT

B.當(dāng)r=l,時(shí)，z3=1

C.當(dāng)r=l,e昔時(shí)，z=3一坐i

TT

D.當(dāng)〃=1,e=a時(shí)，若幾為偶數(shù),則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)

AC［對(duì)于A選項(xiàng)，z=r(cos8+isin9),則

z2=/2(cos28+isin2。)，

可得團(tuán)=Reos20+isin2。)|=戶,

兀

|zF=|r(cos8+isin。)|2=匕A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)一=1,時(shí),

z3=(cos8+isinO)3=cos38+isin30=cos兀+isin兀=-1,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C

選項(xiàng)，當(dāng)r=l,8=4時(shí)，z=cos?+isin?=1+^i,則z=寺一喙i,C選項(xiàng)正確；

,2717271

對(duì)于D選項(xiàng)，zM=(cos6+isin0)n=cos〃夕+isinn0=cos彳+isin丁，

取〃=4,則〃為偶數(shù)，則z4=cos兀+isin兀=-1不是純虛數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故

選AC.］

13.歐拉公式eh=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，

它將函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函

數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，對(duì)表

示的復(fù)數(shù)z,則|z|等于.等于

［由歐拉公式ei'=cosx+isinx,可得

2019.

啦工地.

2十2"

jrTT

14.復(fù)數(shù)z=cos正+isir>w是方程x5—a=0的一個(gè)根,那么a的值等于.

1’71-71Y111--711,V3.

［由題意得，cos記十isiny^J=88^+F1丐=]十丁1]

2a=

[C組拓廣探索練]

15.設(shè)。為復(fù)平面的原點(diǎn)，A、8為單位圓上兩點(diǎn)，A、B所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別

為Z1、Z2,ZI、Z2的輻角主值分別為a、△若aAOB的重心G對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為g+^i,

求tan(a+H).

[解]由題意可設(shè)zi=cosa+isina,Z2=cos4+isin[].

,：/\AOB的重心G對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為g+5,

COS?+COS^=1,

.Z1+Z21.1.即《1

sina+sin4=§

'a+6a-[i

2cos2cos?—1,

a+/ia~B1

2sin2cos"2=5,

a+P1,.2tan^-

_5_

=

/.tan25,故tan(a+/?)=------.+7=12,

1-tan2~~

章末綜合測(cè)驗(yàn)

（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知a,"C,下列命題正確的是（）

A.3i<5iB.?=0<4|?|=0

C.若同=|卅則a=±/?D./eo

B[A選項(xiàng)中，虛數(shù)不能比較大??；B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)中，當(dāng)a,8GR時(shí),

結(jié)論成立，但在復(fù)數(shù)集中不一定成立，如|“=3+當(dāng),但田一打坐留一坐

i;D選項(xiàng)中，當(dāng)aWR時(shí)結(jié)論成立，但在復(fù)數(shù)集中不一定成立，如i2=-l<0.]

2.若復(fù)數(shù)z滿足(3—4i)z=|4+3i|,則z的虛部為()

44

A.—4B.一§C.4D.§

D[因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足(3—4i)z=|4+3i|,所以z=?甘=/不=吟抖=]+

3—413—41255

44

p,故z的虛部等于亍]

3.zi=(m2-t-m-hl)+(m2+m—4)i,mER,Z2=3—2i,則"加=1"是''zi=Z2”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件