九年級(jí)數(shù)學(xué)圓教學(xué)案

圓

第一課時(shí)

教學(xué)容

1.圓的有關(guān)概念.

2.垂徑定理：平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其它們

的應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)

了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決一些實(shí)際問(wèn)題.

從感受圓在生活量存在到圓形及圓的形成過(guò)程，講授圓的有關(guān)概念.利用操作幾何的方法，

理解圓是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的直線都是它的對(duì)稱軸.通過(guò)復(fù)合圖形的折疊方法得出猜測(cè)垂徑

定理，并輔以邏輯證明加予理解.

重難點(diǎn)、關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：垂徑定理及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

〔學(xué)生活動(dòng)〕請(qǐng)同學(xué)口答下面兩個(gè)問(wèn)題〔提問(wèn)一、兩個(gè)同學(xué)〕

1.舉出生活中的圓三、四個(gè).

2.你能講出形成圓的方法有多少種？

教師點(diǎn)評(píng)〔口答〕：〔1〕如車輪、杯口、時(shí)針等.〔2〕圓規(guī)：固定一個(gè)定點(diǎn)，固定一個(gè)長(zhǎng)度，

繞定點(diǎn)拉緊運(yùn)動(dòng)就形成一個(gè)圓.

二、探索新知

從以上圓的形成過(guò)程，我們可以得出：

在一個(gè)平面，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做

圓.固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段OA叫做半徑.

以點(diǎn)O為圓心的圓，記作"OO",讀作"圓O".

學(xué)生四人一組討論下面的兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1:圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)〔圓心O〕的距離有什么規(guī)律？

問(wèn)題2:到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？

教師提問(wèn)幾名學(xué)生并點(diǎn)評(píng)總結(jié).

[1]圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)〔圓心。〕的距離都等于定長(zhǎng)〔半徑r〕；

〔2〕到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.

因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為O,半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)。的距

離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)組成的圖形.

同時(shí)，我們又把

①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖線段AC,AB;

②經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段AB;

③圓上任意兩點(diǎn)間的局部叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，"以A、C為端點(diǎn)的弧記作AC”,讀作"圓弧AC"

或“弧AC”.大于半圓的弧〔如下圖ABC叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧〔如下圖〕AC或BC叫

做劣弧.

B

Q

___/C

④圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

〔學(xué)生活動(dòng)〕請(qǐng)同學(xué)們答復(fù)下面兩個(gè)問(wèn)題.

1.圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？你能找到多少條對(duì)稱軸？

2.你是用什么方法解決上述問(wèn)題的？與同伴進(jìn)展交流.

〔教師點(diǎn)評(píng)〕1.圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是直徑，我能找到無(wú)數(shù)多條直徑.

3.我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對(duì)稱軸問(wèn)題的.

因此，我們可以得到：

圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線.

〔學(xué)生活動(dòng)〕請(qǐng)同學(xué)按下面要求完成下題：

如圖，AB是OO的一條弦，作直徑CD,使CDLAB,垂足為M.

〔1〕如圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？

〔2〕你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你理由.

〔教師點(diǎn)評(píng)〕〔1〕是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是CD.

[2]AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直徑CD平分弦AB,并且平分AB及ADB.

這樣，我們就得到下面的定理：

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

下面我們用邏斡思維給它證明一下：

:直徑CD、弦AB且CDJ_AB垂足為M

求證：AM=BM,AC=BC,AD=BD.

分析：要證AM=BM,只要證AM、BM構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等.因此，只要連結(jié)。A、OB

或AC、BC即可.

證明：如圖，連結(jié)OA、OB,那么OA=OB

在RtAOAM和RtAOBM中

OA=OB

OM=OM

：.RtAOAM^RtAOBM

/.AM=BM

二點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱

■,,?O關(guān)于直徑CD對(duì)稱

，當(dāng)圓沿著直線CD對(duì)折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AC與BC重合，AO與8。重合.

..AC=BC,AD=BD

進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論：

平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

〔此題的證明作為課后練習(xí)〕

例1.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦〔即圖中C。，點(diǎn)O是C。的圓心，其中

CD=600m,E為CO上一點(diǎn)，且OE_LCD,垂足為F,EF=90m,求這段彎路的半徑.

分析：例1是垂徑定理的應(yīng)用，解題過(guò)程中使用了列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾

何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握.

解：如圖，連接OC

設(shè)彎路的半徑為R,那么OF=[R-90]m_

?,OE1CD''''、

11\,E

.-.CF=-CD=-X600=300[mJ\

22F\

根據(jù)勾股定理，得：OC2=CF2+OF2ID

即R2=3O()2+(R-90]2解得R=545°,

,這段彎路的半徑為545m.

三、穩(wěn)固練習(xí)

教材P86練習(xí)P88練習(xí).

四、應(yīng)用拓展

例2.有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬AB=60m,水面到

拱頂距離CD=18m,當(dāng)洪水泛濫時(shí)，水面寬MN=32m時(shí)是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：要求當(dāng)洪水到來(lái)時(shí)，水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的長(zhǎng)，

因此只要求半徑R,然后運(yùn)用幾何代數(shù)解求R.

解：不需要采取緊急措施

設(shè)OA=R,在RtZ\AOC中，AC=30,CD=18D

R2=302+[R-18]2R2=900+R2-36R+324MIEN

解得R=34〔m〕

C

連接OM,設(shè)DE=x,在Rt^MOE中，ME=16A----------------------------B

342=16?+[34-x]26

162+342-68X+X2=342X2-68X+256=0

解得X|=4,X2=64〔不合設(shè)〕

.1.DE=4

二不需采取緊急措施.

五、歸納小結(jié)〔學(xué)生歸納，教師點(diǎn)評(píng)〕

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.圓的有關(guān)概念；

2.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸.

3.垂徑定理及其推論以及它們的應(yīng)用.

六、布置作業(yè)

1.教材P94復(fù)習(xí)穩(wěn)固1,2、3.

2.車輪為什么是圓的呢？

3.垂徑定理推論的證明.

4.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

圓（第2課時(shí)）

教學(xué)容

1.圓心角的概念.

2.有關(guān)弧、弦、圓心角關(guān)系的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所

對(duì)的弦也相等.

3.定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)

的弦相等.

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等.

教學(xué)目標(biāo)

了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個(gè)量的兩個(gè)相等就可以

推出其它兩個(gè)量的相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)值就相等，及其它們?cè)诮忸}中的應(yīng)用.

通過(guò)復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉(zhuǎn)的知識(shí)探索在同圓或等圓

中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別

相等，最后應(yīng)用它解決一些具體問(wèn)題.

重難點(diǎn)、關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)弦也相等及其兩個(gè)

推論和它們的應(yīng)用.

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索定理和推導(dǎo)及其應(yīng)用.

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

〔學(xué)生活動(dòng)〕請(qǐng)同學(xué)們完成下題.

△OAB,如下圖，作出繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30°、45°、60°的圖形.

教師點(diǎn)評(píng)：繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，。點(diǎn)就是固定點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)30°,就是旋轉(zhuǎn)角/BOB'=30°

二、探索新知

如下圖，NAOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

〔學(xué)生活動(dòng)〕請(qǐng)同學(xué)們按以下要求作圖并答復(fù)以下問(wèn)題：

如下圖的。。中，分別作相等的圓心角NAOB和/A'OB'將圓心角NAOB繞圓心。

旋轉(zhuǎn)到NA'OB'的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？

AB=A'B',AB=A'B'

理由：?.?半徑OA與O'A'重合，JLZAOB=ZA，OB'

二半徑OB與OB'重合

:點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合，點(diǎn)B與點(diǎn)B'重合

與A'8'重合，弦AB與弦A'B'重合

AB=A'B',AB=A'B'

因此，在同一個(gè)圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等.

在等圓中，相等的圓心角是否也有所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等呢？請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在動(dòng)手作

一作.

〔學(xué)生活動(dòng)〕教師點(diǎn)評(píng)：如圖1,在。。和O。’中，分別作相等的圓心角NAQB和/A'

O'B'得到如圖2,滾動(dòng)一個(gè)圓，使。與O'重合，固定圓心，將其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,

使得OA與O'A'重合.

你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由？

我能發(fā)現(xiàn)：AB=A'B',AB=A/B/.

現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說(shuō)明了，這就是又回到了我們的數(shù)學(xué)思想上去呢——化

歸思想，化未知為，因此，我們可以得到下面的定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.

同樣，還可以得到：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等.

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等.

〔學(xué)生活動(dòng)〕請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在給予說(shuō)明一下.

請(qǐng)三位同學(xué)到黑板板書，教師點(diǎn)評(píng).

例1.如圖，在OO中，AB、CD是兩條弦，OE_LAB,OF1CD,垂足分別為EF.

〔1〕如果NAQB=/COD,那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？

〔2〕如果OE=OF,那么AB與CO的大小有什么關(guān)系？AB與CD的大小有什么關(guān)系？

為什么？ZAOB與ZCOD呢？

分析：〔1〕要說(shuō)明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中說(shuō)明AE=CF,

即說(shuō)明AB=CD,因此，只要運(yùn)用前面所講的定理即可.

⑵-.OE=OF,.,.在RtZiAOE和RtZ\COF中,

又有AQ=C。是半徑，.,.RtAAOE^RtACOF,

.,.AE=CF,/.AB=CD,又可運(yùn)用上面的定理得到AB=CO

解：〔1〕如果NAOB=/COD,那么OE=OF

理由是：ZAOB=ZCOD

.-.AB=CD

-.OE1AB,OF1CD

11

.".AE=-AB,CF=-CD

22

.-.AE=CF

又...OA=OC

.,.RtAOAE^RtAOCF

.-.OE=OF

〔2〕也□果OE=OF,月口么AB=CD,AB=CD,ZAOB=ZCOD

理由是：

?.OA=OC,OE=OF

.,.RtAOAE^RtAOCF

.-.AE=Cr

又「OEIAB,OF1CD

11

.".AE=-AB,CF=-CD

22

.1.AB=2AE,CD=2CF

.-.AB=CD

..AB=CD,ZAOB=ZCOD

三、穩(wěn)固練習(xí)

教材P89練習(xí)1教材P90練習(xí)2.

四、應(yīng)用拓展

例2.如圖3和圖4,MN是。。的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點(diǎn)P,NAPM=N

CPM.

〔1〕由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說(shuō)明理由.

〔2〕假設(shè)交點(diǎn)P在。。的外部，上述結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，加以證明；假設(shè)不成立,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)

分析：〔1〕要說(shuō)明AB=CD,只要證明AB、CD所對(duì)的圓心角相等，只要說(shuō)明它們的一半

相等.

上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的.

解：〔1〕AB=CD

理由：過(guò)。作OE、OF分別垂直于AB、CD,垂足分別為E、F

ZAPM=ZCPM

.1.Z1=Z2

OE=OF

連結(jié)OD、OB且OB=OD

.,.RtAOFD^RtAOEB

.,.DF=BE

根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD

〔2〕作OE_LAB,OF1CD,垂足為E、F

ZAPM=ZCPN且OP=OP,ZPEO=ZPFO=90°

.'.RtAOPE^RtAOPF

.".OE=OF

連接OA、OB,OC、OD

易證RtaOBE9RtZ\ODF,RtAOAE^RtAOCF

Z1+Z2=Z3+Z4

.'.AB=CD

五、歸納總結(jié)〔學(xué)生歸納，教師點(diǎn)評(píng)〕

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.圓心角概念.

2.在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)

應(yīng)的其余各組量都局部相等，及其它們的應(yīng)用.

六、布置作業(yè)

1.教材P94-95復(fù)習(xí)穩(wěn)固4、5、6、7,8.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

圓（第3課時(shí)）

教學(xué)容

1.圓周角的概念.

2.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弦所對(duì)的

圓心角的一半.

推論：半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其它們的應(yīng)

用.

教學(xué)目標(biāo)

1.了解圓周角的概念.

2.理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧

所對(duì)的圓心角的一半.

3.理解圓周角定理的推論：半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的

弦是直徑.

4.熟練掌握?qǐng)A周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用.

設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予邏

輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動(dòng)證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決一些

實(shí)際問(wèn)題.

重難點(diǎn)、關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題.

2.難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理.

3.關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在.

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入

〔學(xué)生活動(dòng)〕請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問(wèn)題.

1.什么叫圓心角？

2.圓心角、弦、弧之間有什么在聯(lián)系呢？

教師點(diǎn)評(píng)：〔1〕我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

〔2〕在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所

對(duì)的其余各組量都分別相等.

剛剛講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，它在其它的位

置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的

問(wèn)題.

二、探索新知

問(wèn)題：如下圖的QO,我們?cè)谏溟T游戲中，設(shè)E、F是球門，設(shè)球員

們只能在E/7所在的。。其它位置射門，如下圖的A、B、C點(diǎn).通過(guò)觀

察，我們可以發(fā)現(xiàn)像NEAF、ZEBF,NECF這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓

上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

現(xiàn)在通過(guò)圓周角的概念和度量的方法答復(fù)下面的問(wèn)題.

1.一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？

2.同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？

3.同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？

〔學(xué)生分組討論〕提問(wèn)二、三位同學(xué)代表發(fā)言.

教師點(diǎn)評(píng)：

1.一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè).

2.通過(guò)度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對(duì)的圓周角是沒(méi)有變化的.

3.通過(guò)度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半.

下面，我們通過(guò)邏輯證明來(lái)說(shuō)明“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒(méi)有變化,并且它的度數(shù)恰好

等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半.”

〔1〕設(shè)圓周角NABC的一邊BC是。。的直徑，如下圖

■/ZAOC是AAB。的外角

ZAOC=ZABO+ZBAO

?.OA=OB

ZABO=ZBAO

ZAOC=ZABO

ZABC=-ZAOC

2

〔2〕如圖，圓周角/ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側(cè)，

那么NABC=LNAOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說(shuō)明過(guò)程.

2

教師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)BO交。。于D同理/AOD是AAB。的外角，Z

COD是△BOC的外角，那么就有NAOD=2/ABO,NDOC=2/CB。,

因此NAOC=2/ABC.

〔3〕如圖，圓周角/ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側(cè)，

那么/ABC=-ZAOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明.

2

教師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)OA、OC,連結(jié)BO并延長(zhǎng)交。。于D,那么/AOD=2

11

ZABD,zCOD=2zCBO,而ZABC=ZABD-ZCBO=-ZAOD--Z

22

I

COD=-ZAOC

2

現(xiàn)在，我如果在畫一個(gè)任意的圓周角NAB'C,同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因

此，同弧上的圓周角是相等的.

從⑴、〔2〕、⑶,我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)：

半圓〔或直徑〕所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

下面，我們通過(guò)這個(gè)定理和推論來(lái)解一些題目.

例1.如圖，AB是。。的直徑，BD是。O的弦，延長(zhǎng)BD到C,使AC=AB,BD與CD的

大小有什么關(guān)系？為什么？

分析：BD=CD,因?yàn)锳B=AC,所以這個(gè)AABC是等腰，要證明D是BC的中點(diǎn)，只要

連結(jié)AD證明AD是高或是/BAC的平分線即可.

解：BD=CD

理由是：如圖24-30,連接AD

/AB是OO的直徑

NADB=90"即ADJ_BC

5C--AC=AB

.".BD=CD

三、穩(wěn)固練習(xí)