北京市順義區(qū)2022-2023學年高二下學期期末質量監(jiān)測數(shù)學試卷（解析）VIP

高中數(shù)學精編資源順義區(qū)2022-2023學年度第二學期期末質量監(jiān)測高二數(shù)學試卷考生須知1．本試卷總分150分，考試用時120分鐘．2．本試卷共5頁，分為選擇題（40分）和非選擇題（110分）兩個部分．3．試卷所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．第一部分必須用2B鉛筆作答：第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答．4．考試結束后，請將答題卡交回，試卷自己保留．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據集合交集運算可得.【詳解】因為，所以.故選：C2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據含有一個量詞的命題的否定，即可得到答案.【詳解】命題“”為全稱命題，則其否定為特稱命題，即，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】直接利用充分條件和必要條件的判斷方法，判斷即可得出答案.【詳解】解：因為“”能推出“”，而“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）A. B.5 C.9 D.15【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質結合已知條件求解【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，所以，因為，所以，所以，所以，故選：B5.某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課．現(xiàn)要安排該班一天中語文、數(shù)學、政治、英語、體育、藝術6堂課的課程表，要求數(shù)學課排在上午，體育課排在下午，不同排法種數(shù)有（）A.48種 B.96種 C.144種 D.192種【答案】D【解析】【分析】先排數(shù)學、體育，再排其余4節(jié)，利用乘法原理，即可得到結論．【詳解】由題意，要求數(shù)學課排在上午，體育課排在下午，有種，再排其余4節(jié)，有種，根據乘法原理，共有種方法，故選：D．6.下列給出四個求導的運算：①；②；③；④．其中運算結果正確的個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據題意，由導數(shù)的運算法則以及復合函數(shù)的求導運算，即可得到結果.詳解】①，故正確；②，故正確；③，故錯誤；④，故正確；故選：C7.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回．在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，由條件概率的計算公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】設事件“第1次抽到代數(shù)題”，事件“第2次抽到幾何題”，所以，則.故選：A8.已知為等比數(shù)列，下面結論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C D.【答案】D【解析】【分析】對于AB，利用等比數(shù)列的通項公式分析判斷，對于CD，利用等比數(shù)列的通項公式結合基本不等式分析判斷即可.【詳解】設等比數(shù)列的公式為，對于A，若，則，得，所以或，所以或，所以A錯誤，對于B，若，則，即，所以，則其正負由的正負確定，所以B錯誤，對于C，，當同正時，，當且僅當時取等號，當時，所以C錯誤，對于D，因為，當且僅當時取等號，所以D正確，故選：D9.設函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）A.當時，函數(shù)取得極大值 B.當時，函數(shù)取得極小值C當時，函數(shù)取得極大值 D.當時，函數(shù)取得極小值【答案】D【解析】【分析】由圖分段討論可得的正負，從而得到的單調性,進而找到極值點.【詳解】由圖可得，時，，單調遞減，時，，單調遞減，時，，單調遞增，故當時，函數(shù)取得極小值，故選：D.10.某銀行在1998年給出的大額存款的年利率為，某人存入元（大額存款），按照復利，10年后得到的本利和為，下列各數(shù)中與最接近的是（）A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式、二項展開式計算可得答案.【詳解】存入元（大額存款），按照復利，可得每年末本利和是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，可得.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.計算：________．（用數(shù)字作答）【答案】2【解析】【分析】根據題意，由對數(shù)的運算，即可得到結果.【詳解】原式.故答案為：12.函數(shù)的定義域為__________.【答案】【解析】【分析】根據分式及對數(shù)式有意義即可求解.【詳解】要使有意義，只需，解得，或，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.13.在的展開式中，常數(shù)項為________.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】【分析】的展開式的通項為，取計算得到答案.【詳解】的展開式的通項為：，取得到常數(shù)項.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.14.若冪函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，則使是奇函數(shù)的一組整數(shù)的值依次是________．【答案】、3（答案不唯一）【解析】【分析】根據題意，由冪函數(shù)的性質即可得到結果.【詳解】因為冪函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又因為是奇函數(shù)，所以需要滿足為小于的奇數(shù)，為大于的奇數(shù).故答案為：、3（答案不唯一）.15.已知，函數(shù)．給出下列四個結論：①當，函數(shù)無零點；②當時，函數(shù)恰有一個零點；③存在實數(shù)，使得函數(shù)有兩個零點；④存在實數(shù)，使得函數(shù)有三個零點．其中所有正確結論的序號是________．【答案】①②③【解析】【分析】利用導數(shù)即可研究函數(shù)單調性、極值與圖像，分類討論結合依次判斷即可.【詳解】∵，∴，∴當時，；當時，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴函數(shù)有極小值點是1，無極大值點，又當時，且極小值為，∴結合的圖像得：當時，直線與的圖像有兩個不同交點，當時，直線與的圖像有一個交點，當時，直線與的圖像沒有交點，當若則（舍），無零點；當若，無零點；若（舍）無零點；若則（舍），無零點；若則不妨設，有一個零點；對于①當時，函數(shù)在無零點，函數(shù)在無零點；∴①正確；對于②當時，函數(shù)在無零點，函數(shù)在恰有一個零點；∴②正確，對于③當時，函數(shù)在有兩個零點，函數(shù)在無零點；∴③正確，對于④當時，函數(shù)在有兩個零點，函數(shù)在無零點；∴函數(shù)有兩個零點；當時，函數(shù)在有一個零點，函數(shù)在無零點；∴函數(shù)有一個零點；當或時，函數(shù)在無零點，函數(shù)在無零點；∴函數(shù)無零點；當時，函數(shù)在無零點，函數(shù)在無零點；∴函數(shù)無零點；當時，函數(shù)在無零點，函數(shù)在有一個零點；∴函數(shù)有一個零點；∴④錯誤，故答案為：①②③.【點睛】關鍵點點睛：解決根及零點關鍵點是數(shù)形結合及分類討論，分類討論不重不漏.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程．16.已知．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）122【解析】【分析】（1）利用賦值法令求解即可；（2）利用賦值法分別令和即可求解.【小問1詳解】令，可得【小問2詳解】令，可得①令，可得②①式減②式可得，17.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1）（2）最大值為4，最小值為．【解析】【分析】（1）根據導函數(shù)在的值，可求出切線斜率，根據點斜式寫出切線方程；（2）根據導函數(shù)，確定單調區(qū)間，進而可得最值.【小問1詳解】函數(shù)，，又，，曲線在點處的切線方程為即；【小問2詳解】，令，解得或，當變化時，的變化情況如表所示：2+0-0+單調遞增單調遞減單調遞增又時，時，，當時，在上的最大值為，當時，在上的最小值為．18.兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：組：10，11，12，13，14，15，16組：12，13，14，15，16，17，20假設所有病人的康復時間互相獨立，從兩組隨機各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙．（1）求甲的康復時間不多于14天的概率；（2）若康復時間大于14天，則認為康復效果不佳．設表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；（3）組病人康復時間的方差為組病人康復時間的方差為，試判斷與的大小．（結論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）根據古典概型公式計算即可；（2）根據步驟求出離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望；（3）結合數(shù)據應用波動情況判斷方差的大小.【小問1詳解】設甲的康復時間不多于14天為事件C，組中的數(shù)據共有7個，基本事件共有7種，且相互獨立又組中的數(shù)據不多于14天的有5個，即事件C中包含的基本事件有5個甲的康復時間不多于14天的概率【小問2詳解】甲康復效果不佳的概率，乙康復效果不佳的概率表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數(shù)的可能取值是0，1，2表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數(shù)為0表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數(shù)為1表示甲、乙2人中的康復效果不佳的人數(shù)為2的分布列為012的數(shù)學期望為.【小問3詳解】.根據組：10，11，12，13，14，15，16，組：12，13，14，15，16，17，20組數(shù)據波動性較大，所以.19.已知為等差數(shù)列，為其前項和．若，設．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，則由可求出公差，從而可求得，則可得，然后計算即可得結論；（2）由（1）可得，然后利用分組求和法可求得.【小問1詳解】證明：設等差數(shù)列的公差為，則通項公式為，又，則即數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，首項．【小問2詳解】由（1）知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，首項數(shù)列的前項和20.已知函數(shù)．（1）若對任意時，成立，求實數(shù)的最大值；（2）若，求證：；（3）若存在，使得成立，求證：．【答案】（1）1（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據題意，求導得到極值，即可得到結果；（2）根據題意，構造，然后求導得到，即可證明；（3）方法一：由條件可得，令，然后結合（2）中的結論即可證明；方法二：結合條件可得，然后令，然后由函數(shù)的單調性即可證明.【小問1詳解】，，令解得，在單減，在上單增，在取得極小值，也是最小值，時，成立．只需即可，實數(shù)的最大值為1．【小問2詳解】證明：設，，在上單調遞減，，，即．【小問3詳解】法一：證明：存在時，便得成立，，，令，由可知，由（2）知在上單調遞減，即，，即，，由知，即，.法二：，，在上單調遞減，在上單調遞增．存在時，使得成立，，且，，令，，在上單調遞增，又，，即即，在上單調遞增，即.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，以及利用導數(shù)證明不等式問題，難度較難，解答本題的關鍵在于構造出合適的函數(shù)，然后利用導數(shù)去研究.21已知整數(shù)數(shù)列滿足：①；②．（1）若，求；（2）求證：數(shù)列中總包含無窮多等于1的項；（3）若為中第一個等于1的項，求證：．【答案】（1）或（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據題意，逐項計算，即可求解；（2）記為中第一個小于等于0的項，則或，得出矛盾，記為的最小值，則為奇數(shù)并且，根據的最小性，得到可知，即可得證；（3）由，可得，得到，求得，再找出和的關系，結合和為偶數(shù)和奇數(shù)，分類討論，求得，即可得證.【小問1詳解】解：因為整數(shù)數(shù)列滿足，若，可得或；若，可得，此時不滿足，，此時，當時，不滿足，所以，故或.【小問2詳解】證明：首先．否則，記為中第一個小于等于0的項，則或，從而，與的最小性矛盾，記為的最小值，則為奇數(shù)并且，根據的最小性，可知，根據可知，注意到第一個1后面的項為2，1，2，1，2…周期性出現(xiàn)，從而數(shù)列中總包含無窮多等于1的項.【小問3詳解】此小問解析征解【點睛】與數(shù)列的新定義有