七年級數學下冊專題08 期中-幾何綜合大題必刷（壓軸題）（解析版）

專題08期中-幾何綜合大題必刷（壓軸題）1．如圖，直線CD與EF相交于點O，∠COE＝60°，將一直角三角尺AOB的直角頂點與O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度數；（2）將三角尺AOB以每秒3°的速度繞點O順時針旋轉，同時直線EF也以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉，設運動時間為t秒（0≤t≤40）．①當t為何值時，直線EF平分∠AOB；②若直線EF平分∠BOD，直接寫出t的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，∴∠AOC＝30°，又∵∠AOB＝90°，∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；（2）①分兩種情況：①當OE平分∠AOB時，∠AOE＝45°，即9°t+30°﹣3°t＝45°，解得t＝2.5；②當OF平分∠AOB時，∠AOF＝45°，即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，解得t＝32.5；綜上所述，當t＝2.5s或32.5s時，直線EF平分∠AOB；②t的值為12s或36s．分兩種情況：①當OE平分∠BOD時，∠BOE＝∠BOD，即9°t﹣60°﹣3°t＝（60°﹣3°t），解得t＝12；②當OF平分∠BOD時，∠DOF＝∠BOD，即9°t﹣300°＝（3°t﹣60°），解得t＝36；綜上所述，若直線EF平分∠BOD，t的值為12s或36s．2．如圖，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點C落在∠MON的內部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點D和點B．（1）填空：∠OBC+∠ODC＝180°；（2）如圖1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求證：DE⊥BF：（3）如圖2：若BF、DG分別平分∠CBM、∠NDC，判斷BF與DG的位置關系，并說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】（1）解：∵OM⊥ON，∴∠MON＝90°，在四邊形OBCD中，∠C＝∠BOD＝90°，∴∠OBC+∠ODC＝360°﹣90°﹣90°＝180°；故答案為180°；（2）證明：延長DE交BF于H，如圖1，∵∠OBC+∠ODC＝180°，而∠OBC+∠CBM＝180°，∴∠ODC＝∠CBM，∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，∴∠CDE＝∠FBE，而∠DEC＝∠BEH，∴∠BHE＝∠C＝90°，∴DE⊥BF；（3）解：DG∥BF．理由如下：作CQ∥BF，如圖2，∵∠OBC+∠ODC＝180°，∴∠CBM+∠NDC＝180°，∵BF、DG分別平分∠CBM、∠NDC，∴∠GDC+∠FBC＝90°，∵CQ∥BF，∴∠FBC＝∠BCQ，而∠BCQ+∠DCQ＝90°，∴∠DCQ＝∠GDC，∴CQ∥GD，∴BF∥DG．3．如圖①，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．（1）將圖①中的三角板OMN沿BA的方向平移至圖②的位置，MN與CD相交于點E，求∠CEN的度數；（2）將圖①中的三角板OMN繞點O按逆時針方向旋轉至如圖③，當∠CON＝5∠DOM時，MN與CD相交于點E，請你判斷MN與BC的位置關系，并求∠CEN的度數（3）將圖①中的三角板OMN繞點O按每秒5°的速度按逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，三角板MON運動幾秒后直線MN恰好與直線CD平行．（4）將如圖①位置的兩塊三角板同時繞點O逆時針旋轉，速度分別每秒20°和每秒10°，當其中一個三角板回到初始位置時，兩塊三角板同時停止轉動．經過9秒后邊OC與邊ON互相垂直．（直接寫出答案）【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）在△CEN中，∠CEN＝180°﹣30°﹣45°＝105°；（2）如圖②，∵∠CON＝5∠DOM∴180°﹣∠DOM＝5∠DOM，∴∠DOM＝30°∵∠OMN＝60°，∴MN⊥OD，∴MN∥BC，∴∠CEN＝180°﹣∠DCO＝180°﹣45°＝135°；（3）如圖③，MN∥CD時，旋轉角為90°﹣（60°﹣45°）＝75°，或270°﹣（60°﹣45°）＝255°，所以，t＝75°÷5°＝15秒，或t＝255°÷5°＝51秒；所以，在旋轉的過程中，三角板MON運動15秒或51秒后直線MN恰好與直線CD平行．（4）MN⊥CD時，旋轉角的角度差為90°，所以90°÷（20°﹣10°）＝9秒，故答案為：9．4．【學科融合】物理學中把經過入射點O并垂直于反射面的直線ON叫做法線，入射光線與法線的夾角i叫做入射角，反射光線與法線的夾角r叫做反射角（如圖①）．由此可以歸納出如下的規(guī)律：在反射現象中，反射光線、入射光線和法線都在同一平面內；反射光線、入射光線分別位于法線兩側；反射角等于入射角．這就是光的反射定律（reflectionlaw）．【數學推理】如圖1，有兩塊平面鏡OM，ON，且OM⊥ON，入射光線AB經過兩次反射，得到反射光線CD．由以上光的反射定律，可知入射角與反射角相等，進而可以推得他們的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在這樣的條件下，求證：AB∥CD．【嘗試探究】兩塊平面鏡OM，ON，且∠MON＝α，入射光線AB經過兩次反射，得到反射光線CD．（1）如圖2，光線AB與CD相交于點E，則∠BEC＝180°﹣2α；（2）如圖3，光線AB與CD所在的直線相交于點E，∠BED＝β，則α與β之間滿足的等量關系是β＝2a．【答案】數學問題：見解析；（1）180°﹣2α；（2）β＝2a．【解答】解：如圖1，∵OM⊥ON，∴∠CON＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∠DCB+∠ABC＝180°，AB∥CD；【嘗試探究】（1）如圖2，在△OBC中，∵∠MON＝α，∴∠2+∠3＝180°﹣α，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠2+∠3）﹣180°＝2（180°﹣a）﹣180°＝180°﹣2α，故答案為：180°﹣2α；（2）如圖4，B＝2a，理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3，∴∠D＝∠MBC﹣∠BCD＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠3﹣∠2）＝∠β，∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a，∴β＝2a．故答案為：β＝2a．5．已知AB∥CD，點M、N分別是AB、CD上兩點，點G在AB、CD之間，連接MG、NG．（1）如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數；（2）如圖2，若點P是CD下方一點，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度數；（3）如圖3，若點E是AB上方一點，連接EM、EN，且GM的延長線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度數．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖1，過G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵MG⊥NG，∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；（2）如圖2，過G作GK∥AB，過點P作PQ∥AB，設∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝30°，∴∠MGK＝∠BMG＝30°，∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP＝∠BMG＝30°，∴∠BMP＝60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；（3）如圖3，過G作GK∥AB，過E作ET∥AB，設∠AMF＝x，∠GND＝y(tǒng)，∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，∴∠AME＝2x，∵GK∥AB，∴∠MGK＝∠BMG＝x，∵ET∥AB，∴∠TEM＝∠EMA＝2x，∵CD∥AB∥KG，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝y(tǒng)，∴∠MGN＝x+y，∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，∵ET∥AB∥CD，∴ET∥CD，∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，∵2∠MEN+∠G＝105°，∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，∴x＝25°，∴∠AME＝2x＝50°．6．“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照燈．如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線從BP開始順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉動的速度是每秒2度，燈B轉動的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝60°；（2）若燈B射線先轉動30秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前．若射出的光束交于點C，過C作∠ACD交PQ于點D，且∠ACD＝120°，則在轉動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數量關系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數量關系；若改變，請說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案為：60；（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，①當0＜t＜90時，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1?（30+t），解得t＝30；②當90＜t＜150時，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，綜上所述，當t＝30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD關系不會變化．理由：設燈A射線轉動時間為t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD關系不會變化．7．如圖，直線CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且滿足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF（1）求∠EOB的度數；（2）若平行移動AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律或求出變化范圍；若不變，求出這個比值．（3）在平行移動AB的過程中，是否存在某種情況，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度數；若不存在，說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE＝∠EOF，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×80°＝40°；（2）∵CB∥OA，∴∠AOB＝∠OBC，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠FOB＝∠OBC，∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分線，∴∠COE＝∠AOC＝×80°＝20°，∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，故存在某種情況，使∠OEC＝∠OBA，此時∠OEC＝∠OBA＝60°．8．如圖1，MN∥EF，C為兩直線之間一點．（1）如圖1，若∠MAC與∠EBC的平分線相交于點D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度數．（2）如圖2，若∠CAM與∠CBE的平分線相交于點D，∠ACB與∠ADB有何數量關系？并證明你的結論．（3）如圖3，若∠CAM的平分線與∠CBF的平分線所在的直線相交于點D，請直接寫出∠ACB與∠ADB之間的數量關系：∠ADB＝90°﹣ACB．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖1，過C作CG∥MN，DH∥MN，∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠MAC＝∠ACG，∠EBC＝∠BCG，∵∠MAC與∠EBC的平分線相交于點D，∴∠1＝ACG，∠2＝，∴∠ADB＝（∠ACG+∠BCG）＝∠ACB；∵∠ACB＝100°，∴∠ADB＝50°；（2）如圖2，過C作CG∥MN，DH∥MN，∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，∵∠MAC與∠EBC的平分線相交于點D，∴∠1＝MAC，∠2＝EBC，∴∠ADB＝∠1+∠2＝（∠MAC+∠EBC）＝（180°﹣∠NAC+180°﹣∠FBC）＝（360°﹣∠ACB），∴∠ADB＝180°﹣∠ACB；（3）如圖3，過C作CG∥MN，DH∥MN，∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠ADH，∠2＝∠BDH，∠NAC＝∠ACG，∠FBC＝∠BCG，∵∠MAC與∠FBC的平分線相交于點D，∴∠1＝MAC，∠2＝∠CBF，∵∠ADB＝360°﹣∠1﹣（180°﹣∠2）﹣∠ACB＝360°﹣∠MAC﹣（180°﹣∠CBF）﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣∠ACG）﹣（180°﹣∠BCG）＝90°﹣∠ACB．∴∠ADB＝90°﹣ACB．故答案為：∠ADB＝90°﹣ACB．9．（1）【問題】如圖1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度數；（2）【問題遷移】如圖2，AB∥CD，點P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數量關系？請說明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，用含有α的式子表示∠G的度數．【答案】（1）55°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）∠EGF＝α．【解答】解：（1）如圖1，過點P作PQ∥AB，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴CD∥PQ．∴∠CFP+∠FPQ＝180°∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°，又∵PQ∥AB，∴∠BEP＝∠EPQ＝25°，∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠P，理由：如圖2，過P點作PN∥AB，則PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如圖3，過點G作AB的平行線GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點G，∴∠HGE＝∠AEG＝∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝∠CFP，同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP，∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）﹣∠HGE＝α+∠AEP﹣∠HGE＝α．10．如圖，已知直線AB∥射線CD，∠CEB＝100°．P是射線EB上一動點，過點P作PQ∥EC交射線CD于點Q，連接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直線AB于點F，CG平分∠ECF．（1）若點P，F，G都在點E的右側．①求∠PCG的度數；②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度數．（2）在點P的運動過程中，是否存在這樣的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度數；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）①∵∠CEB＝100°，AB∥CD，∴∠ECQ＝80°，∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF，∴＝∠ECQ＝40°；②∵AB∥CD∴∠QCG＝∠EGC，∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°，∴∠EGC+∠ECG＝80°又∵∠EGC﹣∠ECG＝40°，∴∠EGC＝60°，∠ECG＝20°∴∠ECG＝∠GCF＝20°，∠PCF＝∠PCQ＝（80°﹣40°）＝20°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ＝∠ECP＝60°；（2）設∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，則∠GCF＝3x﹣2x＝x，①當點G、F在點E的右側時，則∠ECG＝∠PCF＝∠PCD＝x，∵∠ECD＝80°，∴4x＝80°，解得x＝20°，∴∠CPQ＝3x＝60°；②當點G、F在點E的左側時，則∠ECG＝∠GCF＝x，∵∠CGF＝180°﹣3x，∠GCQ＝80°+x，∴180°﹣3x＝80°+x，解得x＝25°，∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝50°+80°＝130°，∴，∴∠CPQ＝∠ECP＝65°﹣50°＝15°．11．如圖，AB∥CD，∠ABE＝120°．（1）如圖①，寫出∠BED與∠D的數量關系，并證明你的結論；（2）如圖②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF與DF交于點F，求∠EFD的度數；（3）如圖③，過B作BG⊥AB于G點，∠CDE＝4∠GDE，求的值．【答案】（1）∠BED+∠D＝120°；（2）100°；（3）＝．【解答】解：（1）結論：∠BED+∠D＝120°，證明：如圖①，延長AB交DE于點F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠D，∵∠ABE＝120°，∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°，∴∠D+∠BED＝120°；（2）如圖②，∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，即∠CDE＝3∠CDF，設∠BEF＝α，∠CDF＝β，∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，∴3α+3β＝120°，∴α+β＝40°，∴2α+2β＝80°，∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°，答：∠EFD的度數為100°；（3）如圖③，∵BG⊥AB，∴∠ABG＝90°，∵∠ABE＝120°．∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°，∵∠CDE＝4∠GDE，∴∠GDE＝∠CDE，∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE，∴∠G+30°＝∠E+∠CDE，由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，∴∠CDE＝120°﹣∠E，∴∠G+30°＝∠E+（120°﹣∠E），∴∠G＝∠E，∴＝．12．已知：AB∥CD，點E在直線AB上，點F在直線CD上．（1）如圖（1），∠1＝∠2，∠3＝∠4．①若∠4＝36°，求∠2的度數；②試判斷EM與FN的位置關系，并說明理由；（2）如圖（2），EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，試探究∠GEH與∠EFD的數量關系，并說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）①∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＝∠4＝36°；②位置關系是：EM∥FN．理由：由①知，∠1＝∠3＝∠2＝∠4，∴∠MEF＝∠EFN＝180°﹣2∠1，∴∠MEF＝∠EFN∴EM∥FN（內錯角相等，兩直線平行）（2）關系是：∠EFD＝2∠GEH．理由：∵EG平分∠MEF，∴∠MEG＝∠GEH+∠HEF①∵EH平分∠AEM，∴∠MEG+∠GEH＝∠AEF+∠HEF②由①②可得：∴∠AEF＝2∠GEH，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD，∴∠EFD＝2∠GEH．13．已知M、N分別為直線AB，直線CD上的點，且AB∥CD，E在AB，CD之間．（1）如圖1，求證：∠BME+∠DNE＝∠MEN；（2）如圖2，P是CD上一點，連PM，作MQ∥EN，若∠QMP＝∠BME．試探究∠E與∠AMP的數量關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，作NG⊥CD交PM于G，若MP平分∠QME，NF平分∠ENG，若∠MGN＝m°，∠MFN＝n°，直接寫出m與n的數量關系4n﹣m＝270°．【答案】4n﹣m＝270°．【解答】解：（1）過E作EG∥AB，如圖1，∵AB∥CD，∴EG∥CD，∴∠BME＝∠MEG，∠DNE＝∠GEN，∵∠MEN＝∠MEG+∠GEN，∴∠BME+∠DNE＝∠MEN；（2）∠E＝∠AMP．理由：∵AB∥CD，∴∠BMP+∠MPD＝180°，∠MPD＝∠AMP，∵MQ∥EN，∴∠QME+∠E＝180°，∵∠QMP＝∠BME．∴∠QME＝∠BMP，∴∠E＝∠MPD，∴∠E＝∠AMP；（3）如圖3，在（2）的條件下，∠AMP＝∠E，∵∠QMP＝∠BME，∴∠AMQ＝∠DNE，∵MP平分∠QME，∴∠PMQ＝∠PME＝∠BME，∵NG⊥CD，NF平分∠ENG，∴∠FNG＝∠ENF，若∠MGN＝m°，∠MFN＝n°，∠PMQ＝∠PME＝∠BME＝y(tǒng)°，∠AMQ＝∠DNE＝x°，∠FNG＝∠ENF＝z，則m＝x+y+90°，n＝x+y+z，x+2z＝90°，x+3y＝180°，解得4n﹣m＝270°．故答案為4n﹣m＝270°．14．如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交BC于點G，∠BCD＝90°．（1）試說明：∠BAG＝∠BGA；（2）如圖1，點F在AG的反向延長線上，連接CF交AD于點E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求證：CF平分∠BCD．（3）如圖2，線段AG上有點P，滿足∠ABP＝3∠PBG，過點C作CH∥AG．若在直線AG上取一點M，使∠PBM＝∠DCH，求的值．【答案】見試題解答內容【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠GAD＝∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG＝∠GAD∴∠BAG＝∠BGA；（2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF，∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG＝∠BGA，∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF，∵∠BAG﹣∠F＝45°，∴∠BCF＝45°，∵∠BCD＝90°，∴CF平分∠BCD；（3）解：有兩種情況：①當M在BP的下方時，如圖5，設∠ABC＝4x，∵∠ABP＝3∠PBG，∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，∵AG∥CH，∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，∵∠BCD＝90°，∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，∠GBM＝2x﹣x＝x，∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5；②當M在BP的上方時，如圖6，同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，∠GBM＝2x+x＝3x，∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝．綜上，的值是5或．15．已知：如圖，直線PQ∥MN，點C是PQ，MN之間（不在直線PQ，MN上）的一個動點．（1）若∠1與∠2都是銳角，如圖1，請直接寫出∠C與∠1，∠2之間的數量關系．（2）若小明把一塊三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如圖2放置，點D，E，F是三角板的邊與平行線的交點，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度數．（3）將圖2中的三角板進行適當轉動，如圖3，直角頂點C始終在兩條平行線之間，點G在線段CD上，連接EG，且有∠CEG＝∠CEM，給出下列兩個結論：①的值不變；②∠GEN﹣∠BDF的值不變．其中只有一個是正確的，你認為哪個是正確的？并求出不變的值是多少．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2．理由：如圖1，過C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，∴CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；（3）結論①的值不變是正確的，設∠CEG＝∠CEM＝x，則∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2（定值），即的值不變，值為2．16．已知AB∥CD，解決下列問題：（1）如圖①，BP、DP分別平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度數．（2）如圖②，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，試寫出∠P與∠E的數量關系并說明理由．（3）如圖③，若∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，設∠E＝m°，求∠P的度數（直接用含n、m的代數式表示，不需說明理由）．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖①，過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，又∵∠BED＝100°，∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣100°＝260°，又∵BP、DP分別平分∠ABE、∠CDE，∴∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝×260°＝130°，∴∠P＝360°﹣130°﹣100°＝130°；（2）3∠P+∠BED＝360°；如圖②，過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED，又∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，∴∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝×（360°﹣∠BED）＝240°﹣∠BED，∴∠P＝360°﹣∠BED﹣（240°﹣∠BED）＝120°﹣∠BED，即3∠P+∠BED＝360°；（3）∠P＝．如圖③，過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，同理可得，∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠BED＝360°﹣m°，又∵∠ABP＝∠ABE，∠CDP＝∠CDE，∴∠PBE+∠PDE＝（∠ABE+∠CDE）＝（360°﹣m°），∴四邊形PDEB中，∠P＝360°﹣（360°﹣m°）﹣m°＝．17．如圖1，AM∥CN，點B為平面內一點，AB⊥BC于B，過B作BD⊥AM．（1）求證：∠ABD＝∠C；（2）如圖2，在（1）問的條件下，分別作∠ABD、∠DBC的平分線交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，①求證：∠ABF＝∠AFB；②求∠CBE的度數．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖1，過B作BG∥CN，∴∠C＝∠CBG∵AB⊥BC，∴∠CBG＝90°﹣∠ABG，∴∠C＝90°﹣∠ABG，∵BG∥CN，AM∥CN，∴AM∥BG，∴∠DBG＝90°＝∠D，∴∠ABD＝90°﹣∠ABG，∴∠ABD＝∠C；（2）①如圖2，設∠DBE＝∠EBA＝x，則∠BCN＝2x，∠FCB＝5x，設∠ABF＝y(tǒng)，則∠BFC＝1.5y，∵BF平分∠DBC，∴∠FBC＝∠DBF＝2x+y，∵∠AFB+∠BCN＝∠FBC，∴∠AFB+2x＝2x+y，∴∠AFB＝y(tǒng)＝∠ABF；②∵∠CBA＝90°，AF∥CN，∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF＝180°，∴，∴，∴∠CBE＝3x+2y＝3×15°+2×30°＝105°．18．已知AB∥CD，點M在直線AB上，點N、Q在直線CD上，點P在直線AB、CD之間，連接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如圖①．（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度數（用含α，β的式子表示）；（2）過點Q作QE∥PN交PM的延長線于點E，過E作EF平分∠PEQ交PQ于點F，如圖②，請你判斷EF與PQ的位置關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連接EN，如圖③，若∠NEF＝∠PMA，求證：NE平分∠PNQ．【答案】（1）α+β；（2）EF⊥PQ；（3）證明過程見解答．【解答】解：（1）過點P作PR∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PR，∴∠MPR＝∠PMA＝α，∠RPQ＝∠PQC＝β，∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝α+β，∵PQ平分∠MPN，∴∠NPQ＝∠MPQ＝α+β；（2）如圖②，EF⊥PQ，理由如下：∵PQ平分∠MPN．∴∠MPQ＝∠NPQ＝α+β，∵QE∥PN，∴∠EQP＝∠NPQ＝α+β，∴∠EPQ＝∠EQP＝α+β，∵EF平分∠PEQ，∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，∴∠EPQ+∠PEF＝90°，∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，∴EF⊥PQ；（3）由（2）可知：∠EQP＝∠AMP+∠PQC，∠EFQ＝90°，∴∠QEF＝90°﹣（∠AMP+∠PQC），∴∠NQE＝∠PQC+∠EQP＝∠AMP+2∠PQC，∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE＝180°﹣[90°﹣（∠AMP+∠PQC）]﹣（∠AMP+2∠PQC）﹣∠QNE＝180°﹣90°+∠AMP+∠PQC﹣∠AMP﹣2∠PQC﹣∠QNE＝90°﹣∠PQC﹣∠QNE，∵∠NEF＝∠AMP，∴90°﹣∠PQC﹣∠QNE＝∠AMP，即∠APM+2∠PQC+2∠QNE＝180°，∴∠NQE+2∠QNE＝180°，∵∠NQE+∠QNE+∠NEQ＝180°，∴∠QNE＝∠NEQ，∵QE∥PN，∴∠PNE＝∠QEN，∴∠PNE＝∠QNE，∴NE平分∠PNQ．19．如圖1，AB∥CD，G為AB、CD之間一點．（1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求證：EG⊥FG；（2）如圖2，若∠AEP＝∠AEF，∠CFP＝∠EFC，且FP的延長線交∠AEP的角平分線于點M，EP的延長線交∠CFP的角平分線于點N，猜想∠M+∠N的結果并且證明你的結論；（3）如圖3，若點H是射線EB之間一動點，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，過點G作GQ⊥FM于點Q，請猜想∠EHF與∠FGQ的關系，并證明你的結論．【答案】（1）證明過程見解答；（2）108°；（3）∠FGQ＝∠EHF．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∵GE平分∠AEF，GF平分∠EFC，∴∠AEG＝∠FEG＝∠AEF，∠CFG＝∠GFE＝∠CFE，∴∠FEG+∠GFE＝90°，即EG⊥FG；（2）∵分別過M，N作MG∥AB，NH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MG∥NH∥CD，∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠MFC，∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠NFC，∴∠EMF＝∠AEM+∠MFC，∠ENF＝∠AEN+∠NFC，同理：∠EPF＝∠AEP+∠PFC，∴∠EMF+∠ENF＝∠AEM+∠MFC+∠AEN+∠NFC，∵EM平分∠AEN，FN平分∠MFC，∴∠AEM＝∠AEN，∠NFC＝∠MFC，∴∠EMF+∠ENF＝∠AEN+∠MFC+∠MFC+∠AEN＝（∠MFC+∠AEN），∵∠AEP＝∠AEF，∠CFP＝∠EFC，∴∠MFC+∠AEN＝（∠AEF+∠EFC）＝×180°＝72°，∴∠EMF+∠ENF＝（∠MFC+∠AEN）＝×72°＝108°；（3）∠FGQ＝∠EHF．證明：∵AB∥CD，∴∠EHF+∠CFH＝180°，∵GQ⊥MF，∴∠FGQ＝90°﹣∠GFQ，∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，∴∠GFE＝∠EFH，∠QFE＝∠CFE，∴∠GFQ＝∠CFH＝（180°﹣∠EHF）＝90°﹣∠EHF，∴∠FGQ＝90°﹣（90°﹣∠EHF）＝∠EHF．20．如圖1，直線AB∥CD，直線EF交AB于點E，交CD于點F，點G和點H分別是直線AB和CD上的動點，作直線GH，EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，EI與HI交于點I．（1）如圖1，點G在點E的左側，點H在點F的右側，若∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，求∠EIH的度數．（2）如圖2，點G在點E的右側，點H也在點F的右側，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，其他條件不變，求∠EIH的度數．（3）如圖3，點G在點E的右側，點H也在點F的右側，∠GHC的平分線HJ交∠KEG的平分線EJ于點J．其他條件不變，若∠AEF＝α，∠CHG＝β，求∠EJH的度數．【答案】見試題解答內容【解答】（1）解：如圖1，過點I作IM∥AB，∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF＝70°，∠CHG＝60°，∴∠AEI＝35°，∠CHI＝30°，∵IM∥AB，∴∠MIE＝∠AEI＝35°，∵AB∥CD，IM∥AB，∴IM∥CD，∴∠MIH＝∠CHI＝30°，∴∠EIH＝∠MIE+∠MIH＝35°+30°＝65°；（2）解：如圖2，過點I作IM∥AB，∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF＝α，∠CHG＝β，∴∠AEI＝，∠CHI＝，∵IM∥AB，∴∠MIE＝∠AEI＝，∵AB∥CD，IM∥AB，∴IM∥CD，∴∠MIH＝∠CHI＝，∴∠EIH＝∠MIE+∠MIH＝+；（3）解：如圖3，過點J作MN∥AB，∵∠AEF＝α，∴∠KEB＝α，∵EJ平分∠KEB，HJ平分∠CHG，∠KEB＝α，∠CHG＝β，∴∠JEG＝，∠JHF＝，∵MN∥AB，∴∠MJE＝∠JEG＝，∵AB∥CD，MN∥AB，∴MN∥CD，∴∠NJH＝∠CHJ＝，∴∠EJH＝180°﹣∠MJE﹣∠NJH＝180°﹣﹣．21．如圖1，已知直線EF分別與直線AB，CD相交于點E，F，AB∥CD，EM平分∠BEF，FM平分∠EFD（1）求證：∠EMF＝90°．（2）如圖2，若FN平分∠MFD交EM的延長線于點N，且∠BEN與∠EFN的比為4：3，求∠N的度數．（3）如圖3，若點H是射線EA之間一動點，FG平分∠HFE，過點G作GQ⊥FM于點Q，請猜想∠EHF與∠FGQ的關系，并證明你的結論．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，∴∠FEM＝∠BEF，∠EFM＝∠DFE，∴∠FEM+∠EFM＝×180°＝90°，∴∠EMF＝90°．（2）如圖2中，由題意可以假設：∠BEN＝4x，∠EFN＝3x，∵∠EMF＝90°，∠FEM＝∠MEB＝4x，∴∠EFM＝90°﹣4x，∴NFM＝∠NFD＝3x﹣（90°﹣4x）＝7x﹣90°，∵∠MFE＝∠MFD，∴90°﹣4x＝2（7x﹣90°），∴x＝15°，∴∠MFN＝15°，∴∠N＝90°﹣15°＝75°（3）如圖3，∵GQ⊥FM，∴∠GFQ+∠FGQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的內角和等于180°）．∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ．∵FG平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFD）＝∠HFD，∴∠HFD＝2∠GFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD＝180°，∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠GFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FGQ）＝2∠FGQ，即無論點H在何處都有∠EHF＝2∠FGQ．22．已知直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于A、C，CM是∠ACD的平分線，CM交AB于H，過A作AG⊥AC交CM于G．（1）如圖1，點G在CH的延長線上時，①若∠GAB＝36°，則∠MCD＝63°．②猜想：∠GAB與∠MCD之間的數量關系是2∠MCD﹣∠GAB＝90°．（2）如圖2，點G在CH上時，（1）②猜想的∠GAB與∠MCD之間的數量關系還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請寫出∠GAB與∠MCD之間的數量關系，并說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）①∵AG⊥AC，∠GAB＝36°，∴∠CAH＝90°﹣36°＝54°，∵CM是∠ACD的平分線，∴∠ACH＝∠DCH，∵AB∥CD，∴∠AHC＝∠DCH，∴∠ACH＝∠AHC＝（180°﹣∠CAH）＝×126°＝63°，故答案為：63°；②∠GAB與∠MCD之間的數量關系是2∠MCD﹣∠GAB＝90°；理由：∵CM是∠ACD的平分線，∴∠ACH＝∠DCH，∵AB∥CD，∴∠AHC＝∠DCH，∴∠ACH＝∠AHC，設∠ACH＝∠AHC＝∠MCD＝α，∠GAB＝β，則∠AGC＝∠AHC﹣∠GAB＝α﹣β，∵GA⊥AC，∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC＝90°，即α+α﹣β＝90°，∴2α﹣β＝90°，即2∠MCD﹣∠GAB＝90°；故答案為：2∠MCD﹣∠GAB＝90°；（2）上述∠GAB與∠MCD之間的數量關系不成立，應該為2∠MCD+∠GAB＝90°，理由：∵CM是∠ACD的平分線，∴∠ACH＝∠DCH，∵AB∥CD，∴∠AHC＝∠DCH，∴∠ACH＝∠AHC，設∠ACH＝∠AHC＝∠MCD＝α，∠GAB＝β，則∠AGC＝∠AHC+∠GAB＝α+β，∵GA⊥AC，∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC＝90°，即α+α+β＝90°，∴2α+β＝90°，即2∠MCD+∠GAB＝90°．23．已知：直線AB∥CD，點M，N分別在直線AB，CD上，點E為平面內一點．（1）如圖1，∠BME，∠E，∠END的數量關系為∠E＝∠BME+∠END；（直接寫出答案）（2）如圖2，∠BME＝m°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，求∠FEQ的度數．（用含m的式子表示）（3）如圖3點G為CD上一點，∠BMN＝n?∠EMN，∠GEK＝n?∠GEM，EH∥MN交AB于點H，探究∠GEK，∠BMN，∠GEH之間的數量關系（用含n的式子表示）【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖1，過點E作l∥AB，∵AB∥CD，∴l(xiāng)∥AB∥CD，∴∠1＝∠BME，∠2＝∠DNE，∵∠MEN＝∠1+∠2，∴∠E＝∠BME+∠END，故答案為：∠E＝∠BME+∠END；（2）如圖2，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴，∵EQ∥NP，∴，∵∠MEN＝∠BME+∠END，∴∠MEN﹣∠END＝∠BME＝m°，∴∠FEQ＝∠NEF﹣∠NEQ＝，＝＝m°；（3）n∠GEH＝∠GEK﹣∠BMN．如圖3，∵∠BMN＝n?∠EMN，∠GEK＝n?∠GEM，∴，，∵EH∥MN，∴，∵∠GEH＝∠GEM﹣∠HEM，＝，∴n∠GEH＝∠GEK﹣∠BMN．24．如圖1，AB∥CD，P為AB、CD之間一點（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求證：AP⊥CP；（2）如圖（2），若∠BAP＝∠BAC，∠DCP＝∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的結果并且證明你的結論；（3）在（1）的條件下，當∠BAQ＝∠BAP，∠DCQ＝∠DCP，H為AB上一動點，連HQ并延長至K，使∠QKA＝∠QAK，再過點Q作∠CQH的平分線交直線AK于M，問當點H在射線AB上移動時，∠QMK的大小是否變化？若不變，求其值；若變化，求其取值范圍．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，∴∠CAP＝∠CAB，∠ACP＝∠ACD，∴∠CAP+∠ACP＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；（2）∠E+∠F＝108°．證明：如圖2，過E作EG∥AB，過F作FH∥CD，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC+∠DCA＝180°，∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵∠BAP＝∠BAC，∠DCP＝∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，∴∠BAE＝∠BAC，∠DCF＝∠DCA，∴∠AEC＝∠BAC+∠ACD，∠AFC＝∠BAC+∠DCA，∴∠AEC+∠AFC＝∠BAC+∠ACD+∠BAC+∠DCA＝∠ACD+∠BAC＝（∠BAC+∠DCA）＝×180°＝108°；（3）如圖，過Q作QE∥AB，∵AB∥CD，QE∥CD，∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，∴∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝∠BAQ+∠DCQ，由（1）可得∠BAP+∠DCP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠BAQ＝∠BAP，∠DCQ＝∠DCP，∴∠AQC＝∠BAQ+∠DCQ＝∠BAP+∠DCP＝（∠BAP+∠DCP）＝30°，∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，∴∠K＝∠AQH，∵QM是∠CQH的平分線，∴∠MQH＝∠CQH，∵∠MQH是△MQK的外角，∴∠M＝∠MQH﹣∠K＝∠CQH﹣∠AQH＝（∠CQH﹣∠AQH）＝∠AQC＝30°＝15°，即∠QMK的大小不變，是定值15°．25．如圖1，AB∥CD．G為AB、CD之間一點．（1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求證：EG⊥FG；（2）如圖2．若∠AEP＝∠AEF，∠CFP＝∠EFC，且FP的延長線交∠AEP的角平分線于點M，EP的延長線交∠CFP的角平分線于點N，猜想∠M+∠N的結果并且證明你的結論；（3）如圖3，若點H是射線EB之間一動點，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，過點G作GQ⊥FM于點Q，請猜想∠EHF與∠FGQ的關系；并證明你的結論．【答案】（1）見解答過程；（2）120°，見解答過程；（3）∠EHF＝2∠FGQ，見解答過程．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠EFC＝180°，∵GE平分∠AEF，GF平分∠EFC，∴∠GEF＝∠AEF，∠EFG＝∠EFC，∴∠GEF+∠GFE＝（∠AEF+∠EFC）＝90°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝90°，∴EG⊥FG；（2）解：∠M+∠N＝120°，證明：過點M作MH∥AB，過點N作NK∥CD，如圖2所示：∵AB∥CD，∴AB∥MH∥NK∥CD，∠AEF+∠EFC＝180°，∴∠AEM＝∠EMH，∠HMF＝∠MFC，∠AEN＝∠ENK，∠KNF＝∠NFC，∴∠EMF＝∠EMH+∠HMF＝∠AEM+∠MFC，∠ENF＝∠ENK+∠KNF＝∠AEN+∠NFC，∵∠AEP＝∠AEF，∠CFP＝∠EFC，EM平分∠AEP，FN平分∠MFC，∴∠AEM＝∠AEF，∠NFC＝∠EFC，∴∠EMF＝∠AEF+∠EFC，∠ENF＝∠AEF+∠EFC，∴∠EMF+∠ENF＝∠AEF+∠EFC+∠AEF+∠EFC＝∠AEF+∠EFC＝（∠AEF+∠EFC）＝120°；（3）解：∠EHF＝2∠FGQ，證明：∵GQ⊥FM，∴∠GFQ＝90°﹣∠FGQ，∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，∴∠GFQ＝∠GFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFC）＝∠HFC，∴∠HFC＝2∠GFQ，∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFC＝180°，∴∠EHF＝180°﹣∠HFC＝180°﹣2∠GFQ＝2∠FGQ．26．已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，試回答下列問題：（1）如圖1所示，求證：OB∥AC；（2）如圖2，若點E、F在BC上，且滿足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，此時∠EOC的度數等于40°（直接寫出答案即可）；（3）在（2）的條件下，若平行移動AC，如圖3，那么∠OCB：∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個比值；（4）在（3）的條件下，如果平行移動AC的過程中，若使∠OEB＝∠OCA，求此時∠OCA度數．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵BC∥OA，∴∠B+∠O＝180°，又∵∠B＝∠A，∴∠A+∠O＝180°，∴OB∥AC；（2）∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝100°，∴∠BOA＝80°，∵OE平分∠BOF，∴∠BOE＝∠EOF＝∠BOF，∵∠FOC＝∠AOC＝FOA，∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝∠BOF+∠FOA＝∠BOA＝40°；故答案為：40°；（3）結論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化．理由為：∵BC∥OA，∴∠FCO＝∠COA，∵∠FOC＝∠AOC，∴∠FOC＝∠FCO，∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，∴∠OCB：∠OFB＝1：2；（4）由（1）知：OB∥AC，∴∠OCA＝∠BOC，由（2）知設：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β，∴∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，∵∠OEB＝∠OCA，∴2α+β＝α+2β，∴α＝β，∵∠AOB＝80°，∴α＝β＝20°，∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．27．如圖1，AB∥CD，點E、F分別在AB、CD上，點O在直線AB、CD之間，且∠EOF＝80°．（1）求∠BEO+∠OFD的值；（2）如圖2，直線MN分別交∠BEO、∠OFC的角平分線于點M、N，直接寫出∠EMN﹣∠FNM的值（3）如圖3，EG在∠AEO內，∠AEG＝m∠OEG；FH在∠DFO內，∠DFH＝m∠OFH，直線MN分別交EG、FH分別于點M、N，且∠FMN﹣∠ENM＝80°，直接寫出m的值．【答案】（1）280°；（2）50°；（3）m＝4．【解答】（1）證明：過點O作OG∥AB，如圖所示：∵AB∥CD，∴AB∥OG∥CD，∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，∵∠EOF＝80°，∴∠BEO+∠DFO＝280°；（2）解：過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，如圖所示：∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，設∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y(tǒng)，∵∠BEO+∠DFO＝280°∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝280°，∴x﹣y＝50°，∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y(tǒng)，∠KMN＝∠HNM，∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y＝x﹣y＝50°，故∠EMN﹣∠FNM的值為50°；（3）如圖，設直線FH與EG交于點K，FH與AB交于點H，∵AB∥CD，∴∠AHF＝∠HFD，∵∠AHF＝∠EKH+∠HEK＝∠EKH+∠AEG，∴∠HFD＝∠EKH+∠AEG，∵∠EKH＝∠NMF﹣∠ENM＝80°，∴∠KFD＝80°+∠AEG，即∠KFD﹣∠AEG＝80°，∵∠AEG＝m∠OEG，FH在∠DFO內，∠DFH＝m∠OFH．∴∠CFO＝180°﹣∠DFH﹣∠OFH＝180°﹣∠HFD﹣∠HFD，∠AEO＝∠AEG+∠OEG＝∠AEG+∠AEG，∵∠BEO+∠DFO＝280°，∴∠AEO+∠CFO＝80°，∴∠AEG+∠AEG+180°﹣∠HFD﹣∠KFD＝80°，即（）（∠KFD﹣∠AEG）＝100°∴，解得m＝4．28．已知，兩直線AB，CD，且AB∥CD，點M，N分別在直線AB，CD上，放置一個足夠大的直角三角尺，使得三角尺的兩邊EP，EQ分別經過點M，N，過點N作射線NF，使得∠ENF＝∠ENC．（1）轉動三角尺，如圖①所示，當射線NF與NM重合，∠FND＝45°時，求∠AME的度數；（2）轉動三角尺，如圖②所示，當射線NF與NM不重合，∠FND＝60°時，求∠AME的度數．（3）轉動直角三角尺的過程中，請直接寫出∠FND與∠AME之間的數量關系．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖1所示，∵AB∥CD，∴∠AMN＝∠MND＝45°，∵∠ENF＝∠ENC，∴∠ENM＝（180°﹣45°）＝67.5°，又∵∠E＝90°，∴∠EMN＝22.5°，∴∠AME＝45°﹣22.5°＝22.5°；（2）如圖2所示，設ME與FN交于點H，AB與FN交于點G，∵AB∥CD，∴∠AGN＝∠FND＝60°，∵∠ENF＝∠ENC，∴∠ENF＝（180°﹣60°）＝60°，又∵∠E＝90°，∴∠EHN＝30°＝∠GHM，∴∠AME＝∠AGN﹣∠GHM＝60°﹣30°＝30°；（3）由AB∥CD，∠E＝90°，可得∠CNE＝90°﹣∠AME，由∠ENF＝∠ENC，可得∠FND＝180°﹣2∠CNE＝180°﹣2（90°﹣∠AME）＝2∠AME，故∠FND與∠AME之間的數量關系為：∠FND＝2∠AME．29．已知：直線EF分別與直線AB，CD相交于點G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如圖3，在（2）的條件下，射線GH是∠BGM的平分線，在MH的延長線上取點N，連接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度數．【答案】見試題解答內容【解答】（1）證明：如圖1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）證明：如圖2，過點M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射線GH是∠BGM的平分線，∴，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵，∴，∴∠FGN＝2β，過點H作HT∥GN，則∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．30．如圖1，BC⊥AF于點C，∠A+∠1＝90°．（1）求證：AB∥DE；（2）如圖2，點P從點A出發(fā)，沿線段AF運動到點F停止，連接PB，PE．則∠ABP，∠DEP，∠BPE三個角之間具有怎樣的數量關系（不考慮點P與點A，D，C重合的情況）？并說明理由．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖1，∵BC⊥AF于點C，∴∠A+∠B＝90°，又∵∠A+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴AB∥DE．（2）如圖2，當點P在A，D之間時，過P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；如圖所示，當點P在C，D之間時，過P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；如圖所示，當點P在C，F之間時，過P作PG∥AB，∵AB∥DE，∴PG∥DE，∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．31．已知：AB∥CD，E、G是AB上的點，F、H是CD上的點，∠1＝∠2．（1）如圖1，求證：EF∥GH；（2）如圖2，過F點作FM⊥GH交GH延長線于點M，作∠BEF、∠DFM的角平分線交于點N，EN交GH于點P，求證：∠N＝45°；（3）如圖3，在（2）的條件下，作∠AGH的角平分線交CD于點Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接寫出的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）證明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EF∥GH；（2）如圖2，過點N作NK∥CD，∴KN∥CD∥AB，∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，設∠4＝x，∠7＝y(tǒng)，∵EN、FN分別平分∠BEF、∠DFM，∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y(tǒng)，又∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x，又∵FM⊥GH，∴∠EFM＝90°，∴180°﹣2x+2y＝90°，∴x﹣y＝45°，∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，（3）∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，∴x＝，∴x﹣y＝﹣y＝45°∴y＝27°，x＝72°，又∵EN和GQ是角平分線，∴GQ⊥EN，∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，∴，故答案為．32．如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點E，點F，EM平分∠AEF交CD于點M，且∠FEM＝∠FME．（1）判斷直線AB與直線CD是否平行，并說明理由；（2）如圖2，點G是射線MD上一動點（不與點M，F重合），EH平分∠FEG交CD于點H，過點H作HN⊥EM于點N，設∠EHN＝α，∠EGF＝β．①當點G在點F的右側時，若β＝56°，求α的度數；②當點G在運動過程中，α和β之間有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵EM平分∠AEF，∴∠AEM＝∠MEF，又∵∠FEM＝∠FME，∴∠AEM＝∠EMF，∴AB∥CD；（2）①如圖2，∵AB∥CD，β＝56°，∴∠AEG＝124°，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝62°，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣62°＝28°，即α＝28°；②分兩種情況討論：如圖2，當點G在點F的右側時，α＝β．證明：∵AB∥CD，∴∠AEG＝180°﹣β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝β，即α＝；如圖3，當點G在點F的左側時，α＝90°﹣．證明：∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGF＝β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF＝（∠AEF﹣∠FEG）＝∠AEG＝β，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，即α＝90°﹣．33．如圖1，G，E是直線AB上兩點，點G在點E左側，過點G的直線GP與過點E的直線EP交于點P．直線PE交直線CD于點H，滿足點E在線段PH上，∠PGB+∠P＝∠PHD．（1）求證：AB∥CD；（2）如圖2，點Q在直線AB，CD之間，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，點F，G，Q在同一直線上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠QHD的度數；（3）在（2）的條件下，若點M是直線PG上一點，直線MH交直線AB于點N，點N在點B左側，請直接寫出∠MNB和∠PHM的數量關系．（題中所有角都是大于0°且小于180°的角）【答案】（1）證明過程詳見解答部分；（2）160°；（3）點N在點B左側，∠MNB和∠PHM的數量關系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB+∠PHM＝280°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．【解答】（1）證明：∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∠PGB+∠P＝∠PEB，∴∠PEB＝∠PHD，∴AB∥CD；（2）解：過點Q作QK∥AB，如圖，則∠GQK＝∠EGF，由（1）知：AB∥CD，∴QK∥CD，∴∠HQK＝∠CHQ，∴∠GQH＝∠GQK+∠HQK＝∠EGF+∠CHQ，∵GF平分∠PGB，∴∠PGB＝2∠EGF＝2∠GQK，∵PH平分∠QHD，∴∠QHD＝2∠PHD，∵∠PGB+∠P＝∠PHD，∴∠QHD＝2∠PHD＝2∠PGB+2∠P＝4∠GQK+2∠P，∵2∠GQH+∠P＝120°，∴2∠GQK+2∠HQK+∠P＝120°，∴2∠GQK+∠P＝120°﹣2∠HQK＝120°﹣2∠QHC，∴∠QHD＝4∠GQK+2∠P＝2（120°﹣2∠QHC）＝240°﹣4∠QHC，∵∠QHC＝180°﹣∠QHD，∴∠QHD＝240°﹣4（180°﹣∠QHD），解得∠QHD＝160°；即∠QHD的度數為160°；（3）在（2）的條件下，若點M是直線PG上一點，直線MH交直線AB于點N，點N在點B左側，∠MNB和∠PHM的數量關系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°，理由如下：在（2）的條件下，∠PHD＝∠QHD＝80°，若點M在PG的延長線上，或∵AB∥CD，∴∠HEN＝∠PHD＝80°，∠HEN＝∠CHP＝100°，∵∠MNB+∠PHM+∠HEN＝180°，∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝100°或∠MNB+∠PHM＝∠CHN+∠PHM＝180°+∠CHP＝280°．若點M在PG上，∵AB∥CD，∴∠HEN＝∠PHD＝80°，∵∠MNB＝∠PHM+∠HEN，∴∠MNB﹣∠PHM＝∠HEN＝80°；若點M在GP的延長線上，∵AB∥CD，∴∠HEN+∠PHD＝180°，∴∠HEN＝180°﹣∠PHD＝100°，∵∠HME+∠PHM+∠HEN＝180°，∠MNB＝∠HNE，∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝80°．綜上所述，點N在點B左側，∠MNB和∠PHM的數量關系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB+∠PHM＝280°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°．34．已知，DE平分∠ADB交射線BC于點E，∠BDE＝∠BED．（1）如圖1，求證：AD∥BC；（2）如圖2，點F是射線DA上一點，過點F作FG∥BD交射線BC于點G，點N是FG上一點，連接NE，求證：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DN，點P為BD延長線上一點，DM平分∠BDE交BE于點M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度數．【答案】（1）證明過程見解答；（2）證明過程見解答；（3）∠EDN的度數為45°．【解答】（1）證明：∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE，∵∠BDE＝∠BED，∴∠ADE＝∠BED，∴AD∥BE；（2）證明：過點E作EH∥BD，∴∠DEH＝∠BDE，∵∠BDE＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DEH，∵BD∥FG，∴EH∥FG，∴∠HEN＝∠ENG，∵∠DEN＝∠DEH+∠HEN，∴∠DEN＝∠ADE+∠ENG；（3）解：設∠BDM＝2x，∵DM平分∠BDE，∴∠BDM＝∠MDE＝2x，∴∠ADE＝∠BDE＝2∠BDM＝4x，∴∠ADB＝2∠BDE＝8x，∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠ADB＝180°﹣8x，∵DE⊥EN，∴∠DEN＝90°，由（2）得：∠DEN＝∠ADE+∠ENG，∴∠ENG＝∠DEN﹣∠ADE＝90°﹣4x，∵DN平分∠PDM，∴∠MDN＝∠PDM＝（180°﹣∠BDM）＝（180°﹣2x）＝90°﹣x，∴∠EDN＝∠MDN﹣∠MDE＝90°﹣x﹣2x＝90°﹣3x，∴∠DNE＝90°﹣∠EDN＝3x，∠FDN＝∠ADE﹣∠EDN＝4x﹣（90°﹣3x）＝7x﹣90°，∵∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，∴180°﹣8x﹣3x＝7x﹣90°，解得：x＝15°，∴∠EDN＝90°﹣3x＝45°，∴∠EDN的度數為45°．35．綜合應用題：如圖，有一副直角三角板如圖①放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉．（1）∠DPC＝75°；（2）如圖②，若三角板PBD保持不動，三角板∠PAC繞點P逆時針旋轉，轉速為10°/秒，轉動一周三角板PAC就停止轉動，在旋轉的過程中，當旋轉時間為多少時，有PC∥DB成立；（3）如圖③，在圖①基礎上，若三角板PAC的邊PA從PN．處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為3°/秒，同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為2°/秒，（當PC轉到與PM重合時，兩三角板都停止轉動），在旋轉過程中，當∠CPD＝∠BPM，求旋轉的時間是多少？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°，∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故答案為：75°；（2）如圖1，此時，BD∥PC成立，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵轉速為10°/秒，∴旋轉時間為3秒；如圖2，PC∥BD，∵PC∥BD，∠PBD＝90°，∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC繞點P逆時針旋轉D的角度為180°+30°＝210°，∵轉速為10°/秒，∴旋轉時間為21秒，綜上所述，當旋轉時間為3或21秒時，PC∥DB成立；（3）設旋轉的時間為t秒，由題知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°，∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，當∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°，解得：t＝25，∴當∠CPD＝∠BPM，求旋轉的時間是25秒．36．已知E，F分別是AB、CD上的動點，P也為一動點．（1）如圖1，若AB∥CD，求證：∠P＝∠BEP+∠PFD；（2）如圖2，若∠P＝∠PFD﹣∠BEP，求證：AB∥CD；（3）如圖3，AB∥CD，移動E，F使得∠EPF＝90°，作∠PEG＝∠BEP，求的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）過P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠BEP＝∠1，∠2＝∠PFD，∵∠EPF＝∠1+∠2，∴∠EPF＝∠BEP+∠PFD；（2）∵∠BGP是△PEG的外角，∴∠P＝∠BGP﹣∠BEP．∵∠P＝∠PGB﹣∠BEP，∴∠PFD＝∠PGB，∴AB∥CD；（3）由（1）的結論∠EPF＝∠BEP+∠PFD＝90°，設∠PFD＝x，則∠BEP＝90°﹣x，∵∠PEG＝∠BEP＝90°﹣x，∴∠AEG＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，則＝＝2．37．“一帶一路”讓中國和世界聯(lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照燈．如圖所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線從BP開始順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉動的速度是每秒2°，燈B轉動的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝60°；（2）若燈B射線先轉動30秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）若兩燈同時開始轉動，兩燈射出的光束交于點C，且∠ACB＝120°，則在燈B射線到達BQ之前，轉動的時間為60或140或100秒．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案為：60；（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，①當0＜t＜90時，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1?（30+t），解得t＝30；②當90＜t＜150時，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，綜上所述，A燈旋轉30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；（3）設燈A射線轉動時間為t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠CBP＝t，又∵∠ACB＝120°∴∠ACB＝∠CAN+∠CBP＝120°＝180°﹣2t+t，解得：t＝60（舍去），或120＝2t﹣180+t，解得t＝100，如圖4中，當∠ACB＝120°時，∵∠ACB＝∠MAC+∠QBC，∴120°＝360°﹣2t+180°﹣t，∴t＝140，綜上所述，滿足條件的值為60或140或100秒．故答案為：140或100．38．已知AB∥CD，點E在AB上，點F在DC上，點G為射線EF上一點．（1）【基礎問題】如圖1，試說明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成圖中的填空部分）證明：過點G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD∵MN∥AB，∴∠A＝∠MGA．∵MN∥CD，∴∠D＝DGM（兩直線平行，內錯角相等）∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．（2）【類比探究】如圖2，當點G在線段EF延長線上時，請寫出∠AGD、∠A、∠D三者之間的數量關系，并說明理由．（3）【應用拓展】如圖3，AH平分∠GAE，DH交AH于點H，且∠GDH＝2∠HDF，∠HDF＝22°，∠H＝32°，直接寫出∠DGA的度數為°．【答案】（1）MN；∠A；∠DGM；兩直線平行，內錯角相等；（2）∠AGD＝∠A﹣∠D．理由見解析；（3）42°．【解答】解：（1）過點G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD（平行于同一條直線的兩條直線平行），∵MN∥AB，∴∠A＝∠AGM（兩直線平行，內錯角相等），∵MN∥CD，∴∠D＝∠DGM（兩直線平行，內錯角相等），∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D．故答案為：MN；∠A；∠DGM；兩直線平行，內錯角相等．（2）如圖所示，過點G作直線MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，∵MN∥AB，∴∠A＝∠AGM，∵MN∥CD，∴∠D＝∠DGM，∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DG