新八年級數(shù)學(xué)講義第4講軸對稱圖形-提高班(學(xué)生版+解析)

第4講軸對稱圖形1軸對稱圖形一、軸對稱圖形

軸對稱圖形的定義一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它的對稱軸.要點詮釋：

軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.二、軸對稱

1.軸對稱定義把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱（或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸．折疊后重合的點是對應(yīng)點，也叫做對稱點

要點詮釋：

軸對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合．成軸對稱的兩個圖形一定全等.2.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形和軸對稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關(guān)于這條直線（原對稱軸）對稱.【例題精選】例1(2023秋?南通期中）下列幾何圖形不一定是軸對稱圖形的是（）A．三角形 B．長方形 C．正五邊形 D．圓例2(2023秋?甘井子區(qū)期末）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?德州期末）下面的圖形中對稱軸最多的是（）A． B． C． D．2．(2023?恩施市模擬）下面漢字的書寫中，可以看做軸對稱圖形的是（）A．鵬 B．程 C．萬 D．里2.軸對稱圖形的性質(zhì)軸對稱、軸對稱圖形的性質(zhì)

軸對稱的性質(zhì)：若兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．【例題精選】例1(2023秋?路北區(qū)期末）已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB內(nèi)部，點P1與點P關(guān)于OA對稱，點P2與點P關(guān)于OB對稱，則△P1OP2是（）A．含30°角的直角三角形 B．頂角是30°的等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形例2(2023秋?柳州期中）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線DE對稱，且∠C＝78°，∠B'＝48°，則∠A的度數(shù)為（）A．48° B．54° C．74° D．78°【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?西陵區(qū)期末）如圖，直線MN是四邊形MANB的對稱軸，點P在MN上．則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠ANM＝∠BNM B．∠MAP＝∠MBP C．AM＝BM D．AP＝BN2．(2023秋?南京期中）如圖，△ABC與△DEF關(guān)于直線l對稱，若∠A＝65°，∠B＝80°，則∠F＝（）A．80° B．65° C．45° D．35°3鏡面對稱【例題精選】例1(2023秋?樂亭縣期末）小剛從鏡子中看到的電子表的讀數(shù)是[15：01]，則電子表的實際度數(shù)是________．例2(2023秋?儀征市期中）如圖，是平面鏡里看到背向墻壁的電子鐘示數(shù)，這時的實際時間應(yīng)該是_________．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?江都區(qū)期中）某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面大鏡子，從鏡子中看到汽車的車輛的號碼如圖所示，則該汽車的號碼是_________．2．(2023秋?溫嶺市期中）小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示，則實際時間是________．4畫軸對稱圖形對稱軸的作法

若兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．因此只要找到一對對應(yīng)點，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個圖形的對稱軸．軸對稱圖形的對稱軸作法相同．要點詮釋：在軸對稱圖形和成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等.成軸對稱的兩個圖形，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點一定在對稱軸上.如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.【例題精選】例1(2023秋?金壇區(qū)期中）利用6×8正方形網(wǎng)格畫圖（不寫畫法，保留畫圖痕跡）：（1）畫出△ABD的對稱軸直線l；（2）畫△ADE，使得△ADE與△BDC關(guān)于直線l對稱；（3）畫格點F，使得△ABF是以AB為斜邊的直角三角形．例2(2023秋?牡丹江期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A'B'C'．（2）寫出點A'、B'、C'的坐標(biāo)：A'____________，B'____________，C'____________．（3）求出△ACB'面積．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，網(wǎng)格中的小正方形的邊長為1．（1）作出平面直角坐標(biāo)系中△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）直接寫出△A1B1C1各頂點坐標(biāo)：A1____________B1____________C1____________．2．(2023秋?越秀區(qū)校級期中）如圖，A（0，﹣2），B（2，﹣3），C（4，﹣1）；（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1（2）寫出點A1，B1，C1的坐標(biāo)：A1（____，____），B1（____，____），C1（____，____）．綜合練習(xí)一．選擇題（共3小題）1．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，分別交BC，AC于點D，E，連接AD，若△ABD的周長C△ABD＝16cm，AB＝5cm，則線段BC的長度等于（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm2．下列圖形中，只有一條對稱軸的軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC、AC于D、E兩點，∠B＝60°，∠BAD＝70°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．130° B．95° C．90° D．85°二．解答題（共4小題）4．在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于點D、E，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于點M、N，連接AE，AN．（1）如圖1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度數(shù)；（2）如圖2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度數(shù)；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），請直接寫出∠EAN的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）5．如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足為點E，交AC于點D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的長度．6．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂線交BC于E，連接AE，若AE＝4，求BC的長．7．如圖，C，D是AB的垂直平分線上兩點，延長AC，DB交于點E，AF∥BC交DE于點F．求證：（1）AB是∠CAF的角平分線；（2）∠FAD＝∠E．第4講軸對稱圖形1軸對稱圖形一、軸對稱圖形

軸對稱圖形的定義一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它的對稱軸.要點詮釋：

軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.二、軸對稱

1.軸對稱定義把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱（或說這兩個圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸．折疊后重合的點是對應(yīng)點，也叫做對稱點

要點詮釋：

軸對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合．成軸對稱的兩個圖形一定全等.2.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形和軸對稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關(guān)于這條直線（原對稱軸）對稱.【例題精選】例1(2023秋?南通期中）下列幾何圖形不一定是軸對稱圖形的是（）A．三角形 B．長方形 C．正五邊形 D．圓分析：根據(jù)軸對稱圖形的定義即可判斷．【解答】解：A、三角形，不是軸對稱圖形，符合題意；B、長方形，是軸對稱圖形，不合題意；C、正五邊形，是軸對稱圖形，不合題意；D、圓是軸對稱圖形，不合題意；故選：A．【點評】本題考查軸對稱圖形，解題的關(guān)鍵是理解軸對稱圖形的定義，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．例2(2023秋?甘井子區(qū)期末）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B、是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：A．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的概念．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?德州期末）下面的圖形中對稱軸最多的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、有一條對稱軸；B、有4條對稱軸；C、有一條對稱軸；D、有2條對稱軸；綜上可得：對稱軸最多的是選項B．故選：B．2．(2023?恩施市模擬）下面漢字的書寫中，可以看做軸對稱圖形的是（）A．鵬 B．程 C．萬 D．里【解答】解：鵬、程、萬都不是軸對稱圖形，里是軸對稱圖形，故選：D．2.軸對稱圖形的性質(zhì)軸對稱、軸對稱圖形的性質(zhì)

軸對稱的性質(zhì)：若兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．【例題精選】例1(2023秋?路北區(qū)期末）已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB內(nèi)部，點P1與點P關(guān)于OA對稱，點P2與點P關(guān)于OB對稱，則△P1OP2是（）A．含30°角的直角三角形 B．頂角是30°的等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的判定求解．【解答】解：∵P為∠AOB內(nèi)部一點，點P關(guān)于OA、OB的對稱點分別為P1、P2，∴OP＝OP1＝OP2且∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴故△P1OP2是等邊三角形．故選：C．【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等．例2(2023秋?柳州期中）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線DE對稱，且∠C＝78°，∠B'＝48°，則∠A的度數(shù)為（）A．48° B．54° C．74° D．78°分析：依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠A的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線DE對稱，∠B'＝48°，∴∠B＝48°，∵三角形內(nèi)角和為180°，∴∠A＝180°﹣48°﹣78°＝54°故選：B．【點評】本題考查了圖形的軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱的三角形全等，對應(yīng)角相等．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?西陵區(qū)期末）如圖，直線MN是四邊形MANB的對稱軸，點P在MN上．則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠ANM＝∠BNM B．∠MAP＝∠MBP C．AM＝BM D．AP＝BN【解答】解：∵直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，∴點A與點B對應(yīng)，∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，∵點P是直線MN上的點，∴∠MAP＝∠MBP，∴A，B，C正確，而D錯誤，故選：D．2．(2023秋?南京期中）如圖，△ABC與△DEF關(guān)于直線l對稱，若∠A＝65°，∠B＝80°，則∠F＝（）A．80° B．65° C．45° D．35°【解答】解：∵△ABC與△DEF關(guān)于直線l對稱∴∠A＝∠D＝65°，∠B＝∠E＝80°∴∠F＝180°﹣80°﹣65°＝35°．故選：D．3鏡面對稱【例題精選】例1(2023秋?樂亭縣期末）小剛從鏡子中看到的電子表的讀數(shù)是[15：01]，則電子表的實際度數(shù)是________．分析：鏡子中看到的數(shù)字與實際數(shù)字是關(guān)于鏡面成垂直的線對稱．注意鏡子的5實際應(yīng)為2．【解答】解：如圖：電子表的實際時刻是10：21．故答案為10：21．【點評】此題主要考查了鏡面對稱，可以把數(shù)據(jù)抄下來，反過來看看，這樣最直觀．例2(2023秋?儀征市期中）如圖，是平面鏡里看到背向墻壁的電子鐘示數(shù)，這時的實際時間應(yīng)該是_________．分析：注意鏡面對稱的特點，并結(jié)合實際求解．【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，如圖所示的真實圖象應(yīng)該是12：05．故答案為12：05．【點評】考查了鏡面對稱的知識，解決此類問題要注意所學(xué)知識與實際情況的結(jié)合．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?江都區(qū)期中）某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面大鏡子，從鏡子中看到汽車的車輛的號碼如圖所示，則該汽車的號碼是_________．【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的圖片中的數(shù)字與“B46E58”成軸對稱，則該汽車的號碼是B46E58．故答案為：B46E58．2．(2023秋?溫嶺市期中）小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示，則實際時間是________．【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時刻與12：01成軸對稱，所以此時實際時刻為10：51，故答案為：10：51．4畫軸對稱圖形對稱軸的作法

若兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．因此只要找到一對對應(yīng)點，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個圖形的對稱軸．軸對稱圖形的對稱軸作法相同．要點詮釋：在軸對稱圖形和成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等.成軸對稱的兩個圖形，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點一定在對稱軸上.如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.【例題精選】例1(2023秋?金壇區(qū)期中）利用6×8正方形網(wǎng)格畫圖（不寫畫法，保留畫圖痕跡）：（1）畫出△ABD的對稱軸直線l；（2）畫△ADE，使得△ADE與△BDC關(guān)于直線l對稱；（3）畫格點F，使得△ABF是以AB為斜邊的直角三角形．分析：（1）根據(jù)軸對稱圖形的概念求解可得；（2）作出點C關(guān)于直線l的對稱點，再順次連接即可得；（3）根據(jù)直角三角形的概念求解可得．【解答】解：（1）如圖所示，直線l即為所求．（2）如圖所示，△ADE即為所求；（3）如圖所示，點F即為所求．【點評】本題主要考查作圖﹣軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形與軸對稱變換的定義和性質(zhì)．例2(2023秋?牡丹江期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A'B'C'．（2）寫出點A'、B'、C'的坐標(biāo)：A'____________，B'____________，C'____________．（3）求出△ACB'面積．分析：（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A'B'C'；（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，可得點A'、B'、C'的坐標(biāo)；（3）根據(jù)割補法進行計算，即可得到△ACB'面積．【解答】解：（1）如圖所示，△A'B'C'即為所求．（2）由圖可得，A'（1，5）、B'（1，0）、C'（4，3）；（3）△ACB'面積為：5×5﹣×2×3﹣×3×5﹣×2×5＝25﹣3﹣7.5﹣5＝9.5．【點評】本題主要考查了利用軸對稱變換作圖以及三角形面積的計算，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，網(wǎng)格中的小正方形的邊長為1．（1）作出平面直角坐標(biāo)系中△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）直接寫出△A1B1C1各頂點坐標(biāo)：A1____________B1____________C1____________．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示，A1（﹣3，2），B1（﹣1，﹣2），C1（1，﹣1）．故答案為：（﹣3，2），（﹣1，﹣2），（1，﹣1）．2．(2023秋?越秀區(qū)校級期中）如圖，A（0，﹣2），B（2，﹣3），C（4，﹣1）；（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1（2）寫出點A1，B1，C1的坐標(biāo)：A1（____，____），B1（____，____），C1（____，____）．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（2）由圖知，A1（0，﹣2）、B1（﹣2，﹣3）、C1（﹣4，﹣1），故答案為：0、﹣2、﹣2、﹣3、﹣4、﹣1．綜合練習(xí)一．選擇題（共3小題）1．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，分別交BC，AC于點D，E，連接AD，若△ABD的周長C△ABD＝16cm，AB＝5cm，則線段BC的長度等于（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【解答】解：∵AC的垂直平分線分別交BC、AC于點D、E，∴AD＝DC，∴△ABD的周長為AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+B，∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，∴BC＝11cm，故選：D．2．下列圖形中，只有一條對稱軸的軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、沒有對稱軸，故此選項錯誤；B、有4條對稱軸，故此選項錯誤；C、有4條對稱軸，故此選項錯誤；D、只有一條對稱軸，正確．故選：D．3．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC、AC于D、E兩點，∠B＝60°，∠BAD＝70°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．130° B．95° C．90° D．85°【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，∴∠BDA＝50°，∴∠DAC＝∠BDA＝25°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°故選：B．二．解答題（共4小題）4．在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于點D、E，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于點M、N，連接AE，AN．（1）如圖1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度數(shù)；（2）如圖2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度數(shù)；（3）若∠BAC＝α（α≠90°），請直接寫出∠EAN的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN