微專(zhuān)題09 巧妙借助復(fù)數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍與最值問(wèn)題 （三大題型）（原卷版）

微專(zhuān)題09巧妙借助復(fù)數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍與最值問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：?jiǎn)文ｉL(zhǎng)最值問(wèn)題題型二：多模長(zhǎng)之和差最值問(wèn)題題型三：模長(zhǎng)的范圍問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】求復(fù)數(shù)模的范圍與最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，其解題策略是：（1）把復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)處理，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，求模的范圍與最值問(wèn)題來(lái)解決；（2）發(fā)掘問(wèn)題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來(lái)解答，把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)解答；（3）利用三角函數(shù)解決.【典型例題】題型一：?jiǎn)文ｉL(zhǎng)最值問(wèn)題【典例1-1】（2024·高一·江蘇蘇州·期末）設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．9【典例1-2】（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，i為虛數(shù)單位，則的最小值為．【變式1-1】（2024·高一·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是.【變式1-2】（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，求的最大值和最小值分別為.【變式1-3】（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）若|，則的最小值為.題型二：多模長(zhǎng)之和差最值問(wèn)題【典例2-1】（2024·上海浦東新·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，其中.則的最小值為.【典例2-2】（2024·浙江·高一嘉興一中校聯(lián)考）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，求的最小值______．【變式2-1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)________.【變式2-2】著名的費(fèi)馬問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德費(fèi)馬（1601-1665）于1643年提出的平面幾何極值問(wèn)題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”費(fèi)馬問(wèn)題中的所求點(diǎn)稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，則使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．根據(jù)以上材料，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型三：模長(zhǎng)的范圍問(wèn)題【典例3-1】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若，則取值范圍是___．【典例3-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍是______.【變式3-1】（2024·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)校考）已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位.(1)當(dāng)，且是純虛數(shù)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【變式3-2】（2024·山西晉中·高二榆次一中校考開(kāi)學(xué)考試）已知z為復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2024·高一·廣東廣州·期末）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的公式：，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位，該公式被稱(chēng)為歐拉公式．根據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．的最大值為2C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn)．若，在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，則面積的最大值為2．（多選題）（2024·高一·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．（為的共軛復(fù)數(shù)）C．的最大值為D．的最小值為3．（多選題）（2024·高一·河北石家莊·期末）下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則C．若，則復(fù)數(shù)一定為實(shí)數(shù)D．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則最大值為4．（多選題）（2024·高一·廣東東莞·階段練習(xí)）設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A． B．C．若，則的最大值為2 D．若復(fù)數(shù)，則5．（多選題）（2024·高一·江蘇無(wú)錫·期末）（多選）在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則 B．若復(fù)數(shù)、滿(mǎn)足，則C．若，且，則 D．若，則的最大值為6．（多選題）（2024·高一·重慶江津·期末）已知復(fù)數(shù)，，則（

）A． B．若，則的最大值為2.C． D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限7．（2024·高一·江蘇鹽城·階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），記對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值8．（2024·高一·遼寧·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為．9．（2024·高一·遼寧·期末）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的最大值為．10．（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期末）若，且滿(mǎn)足，則的最大值為.11．（2024·高一·遼寧遼陽(yáng)·期末）設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則的最大值為．12．（2024·高一·上海寶山·期末）已知，則的最大值是.13．（2024·高一·上海浦東新·期末）如果復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，那么的最大值是.14．（2024·福建福州·