專題03 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)（考題猜想易錯必刷30題9種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（北師大版）

專題03圖形的平移與旋轉(zhuǎn)（易錯必刷30題9種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）生活中的平移現(xiàn)象坐標(biāo)與圖形變化-平移中心對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案平移的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)中心對稱圖形作圖-旋轉(zhuǎn)變換

一．生活中的平移現(xiàn)象（共4小題）1．右圖要被移動到其它位置，下面哪個(gè)圖形是移動后的該圖（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根據(jù)移動的特點(diǎn)，B、C、D中圖形的形狀發(fā)生了改變，不是平移；A、是圖形旋轉(zhuǎn)180°得到的，是移動．故選：A．2．如圖是某公園里一處矩形風(fēng)景欣賞區(qū)ABCD，長AB＝50米，寬BC＝25米，為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路（圖中非陰影部分），小路的寬均為1米，那小明沿著小路的中間，從出口A到出口B所走的路線（圖中虛線）長為（）A．74米 B．98米 C．99米 D．100米【答案】B【解答】解：由題意得：50+（25﹣2×0.5）×2＝50+24×2＝50+48＝98（米），∴從出口A到出口B所走的路線圖中虛線長為98米，故選：B．3．如圖是一個(gè)會場臺階的截面圖，要在上面鋪上地毯，則所需地毯的長度是3.2m．【答案】3.2．【解答】解：樓梯的長為2m，高為1.2m，則所需地毯的長度是2+1.2＝3.2（m）．故答案為：3.2．4．夏季荷花盛開，為了便于游客領(lǐng)略“人從橋上過，如在河中行”的美好意境，某景點(diǎn)擬在如圖所示的長方形荷塘上架設(shè)小橋（圖中虛線），若荷塘周長為900m，且橋?qū)捄雎圆挥?jì)，則小橋的總長為450m．【答案】450．【解答】解：∵荷塘周長為900m，∴小橋總長為：900÷2＝450（m）．故答案為：450．二．平移的性質(zhì)（共2小題）5．如圖：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，則內(nèi)部五個(gè)小直角三角形的周長為30．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由圖形可以看出：內(nèi)部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，故內(nèi)部五個(gè)小直角三角形的周長為AC+BC+AB＝30．故答案為：30．6．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，將△ABC沿著BC的方向平移至△DEF，若四邊形ADFC的面積為24，則平移的距離為4．【答案】4．【解答】解：由平移得：AD∥CF，AD＝CF，∴四邊形ADFC是平行四邊形，∵四邊形ADFC的面積為24，∠B＝90°，∴CF?AB＝24，∵AB＝6，∴CF＝4，∴平移的距離為4，故答案為：4．三．坐標(biāo)與圖形變化-平移（共1小題）7．如圖，長方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著O﹣A﹣B﹣C﹣O的路線移動（即：沿著長方形移動一周）．（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)（4，6）．（2）當(dāng)點(diǎn)P移動了4秒時(shí)，描出此時(shí)P點(diǎn)的位置，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）在移動過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸距離為5個(gè)單位長度時(shí)，求點(diǎn)P移動的時(shí)間．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）根據(jù)長方形的性質(zhì)，可得AB與y軸平行，BC與x軸平行；故B的坐標(biāo)為（4，6）；故答案為：（4，6）；（2）根據(jù)題意，P的運(yùn)動速度為每秒2個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)P移動了4秒時(shí)，則其運(yùn)動了8個(gè)長度單位，此時(shí)P的坐標(biāo)為（4，4），位于AB上；（3）根據(jù)題意，點(diǎn)P到x軸距離為5個(gè)單位長度時(shí)，有兩種情況：P在AB上時(shí)，P運(yùn)動了4+5＝9個(gè)長度單位，此時(shí)P運(yùn)動了4.5秒；P在OC上時(shí)，P運(yùn)動了4+6+4+1＝15個(gè)長度單位，此時(shí)P運(yùn)動了＝7.5秒．四．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共16小題）8．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，連接BC1，則BC1的長為（）A． B． C．4 D．6【答案】B【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°，∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝90°，∴在Rt△BAC1中，BC1＝＝．故選：B．9．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°得到△AB′C′（點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B'，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C'），連接BB′，若AC′∥BB′，則∠C'AB′的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，∴∠AB′B＝（180°﹣120°）＝30°，∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，故選：B．10．如圖，直線c與直線a相交于點(diǎn)A，與直線b相交于點(diǎn)B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直線a∥b，則將直線a繞點(diǎn)A按如圖所示的方向至少旋轉(zhuǎn)（）A．10° B．20° C．60° D．130°【答案】A【解答】解：∵∠2＝60°，∴若要使直線a∥b，則∠3應(yīng)該為60°，又∵∠1＝130°，∴∠3＝50°，∴直線a繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向至少旋轉(zhuǎn)：60°﹣50°＝10°，故選：A．11．如圖，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°，在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且點(diǎn)C在邊OA上，連接CB，將線段OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段OE，使得DE＝CB，則∠BOE的度數(shù)為（）A．15° B．15°或45° C．45° D．45°或60°【答案】B【解答】解：如圖，當(dāng)OE在∠BOD內(nèi)部時(shí)，若∠DOE＝∠COB＝15°，則由OD＝OC，∠DOE＝∠COB，OB＝OE可得，△ODE≌△OCB，故DE＝CB，此時(shí)∠BOE＝45°﹣15°﹣15°＝15°；當(dāng)OE'在∠BOD外部時(shí)，則由OD＝OC，∠DOE'＝∠COB，OB＝OE可得，△ODE'≌△OCB，故DE'＝CB，此時(shí)∠BOE'＝45°﹣15°+15°＝45°；故選：B．12．如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，將△ABC沿射線BC的方向平移，得到△A′B′C′，再將△A′B′C′繞A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，點(diǎn)B′恰好與點(diǎn)C重合，則平移的距離和旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)分別為（）A．4，30° B．2，60° C．1，60° D．3，30°【答案】B【解答】解：由平移得：AB＝A′B′＝4，∠B＝∠A′B′C′＝60°，由旋轉(zhuǎn)得：A′B′＝A′C，∴△A′B′C是等邊三角形，∴∠B′A′C＝60°，B′C＝A′B′＝4，∵BC＝6，∴BB′＝BC﹣B′C＝6﹣4＝2，∴平移的距離為2，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°，故選：B．13．已知等邊△ABC的邊長為4，點(diǎn)P是邊BC上的動點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACQ，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，連接DQ，則DQ的最小值是（）A． B． C．2 D．不能確定【答案】B【解答】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得∠ACQ＝∠B＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，∴CD＝2，當(dāng)DQ⊥CQ時(shí)，DQ的長最小，此時(shí)，∠CDQ＝30°，∴CQ＝CD＝1，∴DQ＝＝，∴DQ的最小值是，故選：B．14．如圖，在△ABC中，AB＝6，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，則陰影部分的面積為9．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝6，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，如圖，過A1作A1D⊥AB于D，則A1D＝A1B＝3，∴S△A1BA＝×6×3＝9，又∵S陰影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，S△A1BC1＝S△ABC，∴S陰影＝S△A1BA＝9．故答案為：9．15．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝3，E在AC上且AE＝AC，D是直線BC上一動點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動時(shí)，則線段AF的最小值是1+．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示，過E作EG⊥BC于G，過A作AP⊥EG于P，過F作FH⊥EG于H，則∠DGE＝∠EHF＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠EDG+∠DEG＝90°＝∠HEF+∠DEG，∴∠EDG＝∠FEH，又∵EF＝DE，∴△DEG≌△EFH（AAS），∴HF＝EG，∵△ABC是等邊三角形，AB＝3，AE＝AC，∴AE＝2，CE＝1，∠AEH＝∠CEG＝30°，∴CG＝CE＝，AP＝AE＝1，∴EG＝CG＝，∴HF＝，∴當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)F與直線GH的距離始終為個(gè)單位，∴當(dāng)AF⊥EG時(shí)，AF的最小值為AP+HF＝1+，故答案為：1+．16．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結(jié)論中正確有①②③（填序號）①△BPQ是等邊三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150°④∠APC＝135°【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴PQ＝BP＝4，∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，∵△BPQ是等邊三角形，∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，∵∠QPC＞30°，即∠APC＜135°，故答案為：①②③．17．如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA＝6，OB＝8，OC＝10，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO'，下列結(jié)論：①△BO'A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O'的距離為8；③四邊形AOBO'的面積為24+15；④∠AOB＝150°；⑤S△AOC+S△AOB＝9+24，其中正確的結(jié)論是①②④⑤．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：在△BO′A和△BOC中，∴△BO′A≌△BOC（SAS）．∴O′A＝OC．∴△BO'A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，①正確；如圖1，連接OO′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△BOO′是等邊三角形，∴點(diǎn)O與O'的距離為8，②正確；在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．∴Rt△AOO′面積為×6×8＝24，又等邊△BOO′面積為×8×4＝16，∴四邊形AOBO'的面積為24+16，③錯誤；∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，④正確；如圖2，將線段，AO以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AO'，連接OO′，則△AO′B≌△AOC（SAS），△BOO′是直角三角形，∠BOO′＝90°，△AOO′是等邊三角形，所以△AOC面積+△AOB面積＝四邊形AO′BO面積＝△AOO′面積+△BOO′＝9+24，⑤正確．故答案為①②④⑤．18．如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，點(diǎn)D是直線AB上一動點(diǎn)，線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，則線段BE長度的最小值為．【答案】．【解答】解：如圖1，過點(diǎn)C作CT⊥CB于C，取CT＝CB，連接BT，DT，過點(diǎn)T作TH⊥AB于H，過點(diǎn)C作CK⊥AB于K，CT與直線AB交于O，∵∠ECD＝∠BCT＝90°，∴∠ECB＝∠DCT，∵CE＝CD，CB＝CT，∴△ECB≌△DCT（SAS），∴BE＝DT，∴當(dāng)點(diǎn)D與H重合時(shí)，DT的值最小，此時(shí)BE的值最小，最小值＝TH的長，∵CK⊥AB，∴CK2＝AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，∴52﹣AK2＝72﹣（8﹣AK）2，∴AK＝，∴AC＝2AK，∴∠ACK＝30°，CK＝，設(shè)AO＝x，則OK＝+x，則OC2＝CK2+OK2＝BO2﹣BC2，∴（+x）2+（）2＝（8+x）2﹣72，∴x＝，∵S△BOT＝S△BCT﹣S△BCO，∴?TH?（8+）＝×7×7﹣××（8+），∴TH＝，∴BE的最小值為．解法二：如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，過C作CG⊥CH于C，取CG＝CH，連接EG，延長EG交AB于F．∵∠ECD＝∠HCG＝90°，∴∠ECG＝∠DCH，∵CE＝CD，CG＝CH，∴△CGE≌△CHD（SAS），∴∠CGE＝∠CHD＝∠HCG＝90°，∵CH＝CG，∴四邊形CHFG是正方形，∴點(diǎn)E在直線EF上運(yùn)動，當(dāng)BE⊥EF時(shí)，BE的值最小，最小值是BF，設(shè)AH＝x，則有52﹣x2＝72﹣（8﹣x）2，∴x＝，∴AH＝，CH＝HF＝，∴BF＝AB﹣AH﹣HF＝8﹣﹣＝﹣，∴BE的最小值為．故答案為：．19．如圖，已知∠AOB＝90°，點(diǎn)A繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)A1落在射線OB上，點(diǎn)A繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)A2落在射線OB上，點(diǎn)A繞點(diǎn)A2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)A3落在射線OB上，…，連接AA1，AA2，AA3…，依此作法，則∠AA2A3＝157.5°，∠AAnAn+1等于（180﹣）度．（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵點(diǎn)A繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)A1落在射線OB上，∴OA＝OA1，∴∠AA1O＝∠AOB＝，∵點(diǎn)A繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)A2落在射線OB上，∴A1A＝A1A2，∴∠AA2A1＝∠AA1O＝，∠AA2A3＝180°﹣＝157.5°，∵點(diǎn)A繞點(diǎn)A2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)A3落在射線OB上，∴A2A＝A2A3，∴∠AA3A2＝∠AA2A1＝，以此類推，∠AAnAn﹣1＝，∴∠AAnAn+1＝180°﹣．故答案為：157.5°，180﹣．20．閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB＝150°；（2）基本運(yùn)用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題已知如圖②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點(diǎn)且∠EAF＝45°，求證：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如圖③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，易證△PP′C為直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；故答案為：150°；（2）如圖2，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴△A′O′B如圖所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．21．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，將△APB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△CQB．（1）旋轉(zhuǎn)角為60度；（2）求點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離；（3）求∠BPC的度數(shù)．【答案】（1）60；（2）4；（3）150°．【解答】解：（1）∵將△APB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴∠PBQ＝∠ABC，∵△ABC為等邊三角形，∴∠PBQ＝∠ABC＝60°，∴旋轉(zhuǎn)角度為60°，故答案為：60；（2）連接PQ，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∵△QCB是△PAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴△QCB≌△PAB，∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等邊三角形，∴PQ＝PB＝4；即點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離是4；（3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，而32+42＝52，∴PC2+PQ2＝CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，∵△PBQ是等邊三角形，∴∠BPQ＝60°，∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°．22．如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，OM，ON，ON始終在OM的右側(cè)，∠BOC＝112°，∠MON＝α．（1）如圖1，當(dāng)α＝70°，OM平分∠BOC時(shí)，求∠NOB的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)OM與OB邊重合，ON在OB的下方時(shí)，α＝80°，將∠MON繞O點(diǎn)按每秒4°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n（0°＜n＜180°），使射線ON與∠BOC的角平分線形成夾角為30°，求此時(shí)旋轉(zhuǎn)一共用了多少秒；（3）當(dāng)∠MON在直線AB上方時(shí)，若α＝90°，點(diǎn)F在射線OB上，射線OF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA＝2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH＝124°，請直接寫出此時(shí)n的值．【答案】（1）14°；（2）旋轉(zhuǎn)一共用了26.5s或41.5s；（3）54.4°或144°．【解答】解：（1）∵∠BOC＝112°，OM平分∠BOC，∴∠MOB＝∠BOC＝56°，∵∠MON＝70°，∴∠NOB＝∠MON﹣∠MOB＝14°；（2）由（1）知∠HOB＝∠COB＝56°，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為ts，①當(dāng)點(diǎn)N′在OH的右側(cè)時(shí)，∠HON′＝30°，∴∠N′OB＝56°﹣30°＝26°，∴∠NON′＝∠N′OB+∠BON＝26°+80°＝106°；∴t＝106°÷4°＝26.5；②當(dāng)點(diǎn)N′在OH的左側(cè)時(shí)，∠HON′′＝30°，∴∠N′OB＝56°﹣30°＝26°，∴∠NON′′＝∠N′′OH+∠HOB+∠BON＝30°+56°+80°＝166°；∴t＝166°÷4°＝41.5；綜上，旋轉(zhuǎn)一共用了26.5s或41.5s；（3）當(dāng)0°＜n＜90°時(shí)，如圖，∵∠BOF＝n，∴∠AOF＝180°﹣n，∵∠FOA＝2∠AOM，∴∠AOM＝∠AOF＝90°﹣n，∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠BON＝n，∴∠HON＝∠HOF﹣∠BON﹣∠BOF＝124°﹣n，∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝112°﹣n，∵OH平分∠CON，∴∠CON＝2∠HON，∴112°﹣n＝2（124°﹣n），解得n＝54.4°；當(dāng)90°＜n＜180°時(shí)，如圖，∵∠BOF＝n，∴∠AOF＝180°﹣n，∵∠FOA＝2∠AOM，∴∠AOM＝∠AOF＝90°﹣n，∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠BON＝n，∴∠HON＝360°﹣∠HOF﹣∠BON﹣∠BOF＝360°﹣124°﹣n﹣n＝236°﹣n，∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝112°﹣n，∵OH平分∠CON，∴∠CON＝2∠HON，∴112°﹣n＝2（236°﹣n），解得n＝144°；綜上，n為54.4°或144°．23．把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，以D為頂點(diǎn)作∠MDN，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N．（1）如圖1，若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM，MN，BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．（2）如圖2，當(dāng)∠ACD+∠MDN＝90°時(shí)，AM，MN，BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．【答案】（1）AM+BN＝MN．證明見解答；（2）AM+BN＝MN．證明見解答．【解答】解：（1）AM+BN＝MN．證明如下：如圖1，延長CB到E，使BE＝AM，連接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵△ADC≌△BDC，∴AD＝BD，在△DAM和△DBE中，，∴△DAM≌△DBE（SAS），∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠A＝90°，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝∠BDC＝60°，∵∠MDN＝60°，∴∠MDN＝∠ADC＝∠BDC，∴∠ADM+∠BDN＝∠BDE+∠BDN＝∠EDN＝60°＝∠MDN，在△MDN和△EDN中，，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN；（2）AM+BN＝MN．證明如下：如圖2，延長CB到E，使BE＝AM，連接DE．由（1）同理得△DAM≌△DBE（SAS），∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠CDB，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∠CDM＝∠NDB，∴∠MDN＝∠NDE．在△MDN和△EDN中，，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．五．中心對稱（共1小題）24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直線AB交y軸于點(diǎn)P，若△ABC與△A′B′C′關(guān)于點(diǎn)P成中心對稱，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A．（﹣4，﹣5） B．（﹣5，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）【答案】A【解答】解：∵點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴A（4，3），設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線AB解析式為y＝x﹣1，令x＝0，則y＝﹣1，∴P（0，﹣1），又∵點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于點(diǎn)P成中心對稱，∴點(diǎn)P為AA'的中點(diǎn)，設(shè)A'（m，n），則＝0，＝﹣1，∴m＝﹣4，n＝﹣5，∴A'（﹣4，﹣5），故選：A．六．中心對稱圖形（共2小題）25．如所示圖形中，既是軸對稱圖形但又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．該圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．該圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．26．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組活動時(shí)，提出了如下問題：如圖1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決方法：延長AD到E．使得DE＝AD．再連接BE（或?qū)CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．遷移應(yīng)用：請參考上述解題方法，證明下列命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．（1）求證：BE+CF＞EF；（2）若∠A＝90°，探索線段BE，CF，EF之間的等量關(guān)系，并加以證明．【答案】見試題解答內(nèi)容．【解答】（1）證明：如圖，延長FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD），∴CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（2）解：BE2+CF2＝EF2．證明如下：∵∠A