專題3-4 平行四邊形（考題猜想特殊四邊形的性質(zhì)在折疊問題中的巧用）解析版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點大串講（人教版）

專題3-4平行四邊形（考題猜想，特殊四邊形的性質(zhì)在折疊問題中的巧用）技巧1：巧用平行四邊形的性質(zhì)解決折疊問題【例題1】（22-23八年級下·河南信陽·期中）如圖，在中，，現(xiàn)將沿折疊，使點與點A重合，點與點落在點處，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)折疊找到對應(yīng)相等的角然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可算出，進而得出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得：∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及折疊變換，關(guān)鍵是找準(zhǔn)折疊后些角是對應(yīng)相等的【變式1】（22-23八年級下·福建泉州·期中）如圖，將平行四邊形紙片折疊，使頂點恰好落在邊上的點處，折痕為，下列結(jié)論不一定正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由四邊形是平行四邊形以及折疊的性質(zhì)可得，四邊形是菱形，從而得到選項正確，選項不一定正確．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，由折疊的性質(zhì)得，，，，故A正確；，，，∴四邊形是平行四邊形，，，故C正確；由折疊的性質(zhì)得，，∴四邊形是菱形，，故B正確；由題意無法得出，故D錯誤；故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】（22-23八年級下·浙江杭州·期中）如圖，將平行四邊形紙片按如圖方式折疊，使點落到處，交于點，折痕為，若，，則的度數(shù)為．

【答案】40°/40度【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：將平行四邊形紙片按如圖方式折疊，使點落到處，

，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換折疊問題，平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（22-23八年級下·重慶大渡口·期末）如圖，在四邊形紙片中，，將紙片沿折疊，點A、D分別落在，處，且經(jīng)過點B，交BC于點G，連接，若平分，，，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】設(shè)，由折疊的性質(zhì)得，①，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到②，，通過計算即可求解．【詳解】解：∵平分，∴，設(shè)，

∵，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，∵，∴①，∵，∴②，得，即，由平角的性質(zhì)得，∴，即，解得，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題【變式4】．（22-23八年級下·四川成都·期中）如圖，將平行四邊形折疊，使得點落在點處，點落在點處，折痕為，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求平行四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，即可證明結(jié)論；（2）利用含角的直角三角形的性質(zhì)得，，再利用勾股定理列方程求出的長，即可得出答案．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，將平行四邊形折疊，使得點落在點處，點落在點處，折痕為，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：作于，

，，，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解得，，平行四邊形的面積為．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，翻折變換，勾股定理等知識，利用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．【變式5】．（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，把平行四邊形紙片沿折疊，點落在點處，與相交于點，連接.求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】6.證明：（1）由折疊可知，.四邊形是平行四邊形，，，，.（2），，，即，.，，，.【變式6】．（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】人教八年級下冊數(shù)學(xué)教材第59頁的部分內(nèi)容．如圖1，把一張矩形紙片按如圖那樣折一下，就可以裁出正方形紙片，為什么？(1)【問題解決】如圖1，已知矩形紙片，將矩形紙片沿過點的直線折疊，使點落在邊上，點的對應(yīng)點為，折痕為，點在上．求證：四邊形是正方形．（請完成以下填空）證明：四邊形是矩形，，折疊，，四邊形是矩形（）．折疊，，四邊形是正方形（）(2)【問題拓展】如圖2，已知平行四邊形紙片，將平行四邊形紙片沿過點的直線折疊，使點落在邊上，點的對應(yīng)點為，折痕為，點在邊上．①求證：四邊形是菱形．②連結(jié)，若，，求菱形的面積．【答案】(1)有三個角是直角的四邊形為矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形(2)①見詳解；②25【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，再由折疊的性質(zhì)得：，則四邊形是矩形，然后由，即可得出結(jié)論；（2）①由平行四邊形的性質(zhì)得，則，再證，則，得四邊形是平行四邊形，然后由即可得出結(jié)論；②由菱形面積公式得，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，由折疊的性質(zhì)得：，∴四邊形是矩形（有三個角是直角的四邊形為矩形），由折疊的性質(zhì)得：，∴四邊形是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形），故答案為：有三個角是直角的四邊形為矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）①證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形；②解：如圖2，∵四邊形是菱形，，∴，故答案為：25．

【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握折疊的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7】．（23-24八年級下·重慶銅梁·階段練習(xí)）綜合與實踐問題情境：在綜合實踐活動課上，同學(xué)們以“平行四邊形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．在平行四邊形紙片中，E為邊上任意一點，將沿折疊，點D的對應(yīng)點為．分析探究：（1）如圖1，當(dāng)，當(dāng)點恰好落在邊上時，三角形的形狀為．問題解決：（2）如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)為邊的三等分點時，連接并延長，交邊于點G．試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，當(dāng)，時，連接并延長，交邊于點H．若的面積為24，，請直接寫出線段的長．【答案】（1）等邊三角形；（2）；（3）【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得，，可得四邊形是菱形，可知，根據(jù)即可得是等邊三角形；（2）利用折疊的性質(zhì)可得，，結(jié)合三等分點可知，進而可得，利用三角形外角性質(zhì)可得，進而可知，可得四邊形是平行四邊形，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得與的數(shù)量關(guān)系；（3）由折疊可知：，，易知為等腰直角三角形，延長交于，可知，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，進而可知由的面積為24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，，則由折疊可知：，，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形，∴，∴是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；（2），理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵E，F(xiàn)為邊的三等分點，∴，由折疊可知：，，則，∴，由三角形外角可知：，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，則，∴；（3）由折疊可知：，，∴，則為等腰直角三角形，∴，延長交于，則

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，即，∴∵的面積為24，，即：，∴，則，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．【變式8】．（21-22八年級下·江蘇蘇州·期中）【理解概念】定義：有三個角相等的四邊形叫做三等角四邊形．（1）下列四邊形是三等角四邊形的是_________．（填序號）①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形．【鞏固新知】（2）如圖，折疊平行四邊形DEBF，使得頂點E、F分別落在邊BE、BF上的點A、C處，折痕為DG、DH．求證：四邊形ABCD為三等角四邊形．【拓展提高】（3）如圖，在三等角四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，若AB＝5，，DC＝7，則BC的長度為_________．【答案】（1）③④；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）利用平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)判斷即可求解；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠E=∠DAE，∠F=∠DCF，再根據(jù)等角的補角相等，判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可得結(jié)論；（3）如圖，過點D作DE//BC，交BA延長線于E，作DF//AB，交BC延長線于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，可得四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)及平行四邊形的性質(zhì)可得AD=DE=BF=，CD=DF=7，可求出AE的長，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，利用勾股定理可得DG的長，利用平行四邊形的面積可求出DH的長，利用勾股定理可求出CH的長，進而求出CF的長，即可求出BC的長．【詳解】解：（1）①根據(jù)平行四邊形的對角相等可得平行四邊形不是三等角四邊形；②根據(jù)菱形四邊相等、對角相等可知菱形不是三等角四邊形；③根據(jù)矩形四個角都相等可知矩形是三等角四邊形；④根據(jù)正方形四個角都相等可知正方形是三等角四邊形．故答案為：③④；（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵折疊平行四邊形，使得頂點分別落在邊上的點處，∴DE=DA，DF=DC，∴，∵，，，∴，∴四邊形是三等角四邊形（3）如圖，過點D作DE//BC，交BA延長線于E，作DF//AB，交BC延長線于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，∴AD=DE=BF=，CD=DF=7，∴AE=BE-AB=CD-AB=2，∵DG⊥BE，DH⊥BF，∴AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，∴DG=，∴S平行四邊形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5=DH，解得：DH=，∴CH==，∴CF=2CH=，∴BC=BF-CF=．故答案為：【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了三等角四邊形的判定與性質(zhì)，翻折變換-折疊問題，四邊形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識；證明三角形全等和運用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．技巧2：巧用菱形的性質(zhì)解決折疊問題【例題2】（22-23八年級下·山東臨沂·期中）如圖，菱形紙片中，，折疊菱形紙片，使點落在（為中點）所在的直線上，得到經(jīng)過點的折痕．則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由菱形的性質(zhì)及，得到三角形為等邊三角形，為的中點，利用三線合一得到為角平分線，得到，，，進而求出，由折疊的性質(zhì)得到，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，

四邊形為菱形，，為等邊三角形，，，為的中點，為的平分線，即，，由折疊的性質(zhì)得到，在中，．故選：B．【點睛】此題考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及內(nèi)角和定理的綜合運用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等【變式1】．（23-24八年級下·廣東江門·期中）如圖，已知菱形的邊長為6，且，點分別在邊上，將菱形沿折疊，使點B正好落在邊上的點G處．若，則的長為．【答案】【分析】由菱形的性質(zhì)可知是等邊三角形，再通過折疊的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出，即是菱形的高，最后用勾股定理求高即可，本題主要考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)并能將FG轉(zhuǎn)化成菱形的高是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點，交于點．∵四邊形是菱形，，∴，∴是等邊三角形．∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴是菱形的高，即為等邊三角形的高，∴．【變式2】．（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，菱形紙片，將該菱形紙片折疊，使點恰好落在邊的中點處，折痕與邊、分別交于點．則的長為．【答案】【分析】過點作與的延長線交于點E，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出和，設(shè)，則，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程進行解答．【詳解】解：過點作與的延長線交于點E，

∵四邊形是菱形，∴，，∵是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)知：，在中，，∴，解得：，，即的長為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．【變式3】．（23-24八年級下·江蘇揚州·階段練習(xí)）如圖，在菱形紙片中，，是邊的中點，將菱形紙片沿過點的直線折疊，使點落在直線上的點處，折痕為，與交于點．有如下結(jié)論：①；②；③；④．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②③④【分析】由菱形的性質(zhì)，，可得，是等邊三角形，結(jié)合是邊的中點，根據(jù)三線合一可得，根據(jù)含角直角三角形的性質(zhì)，可證③正確，由，結(jié)合折疊的性質(zhì)，可證①正確，由折疊的性質(zhì)得到的度數(shù)，結(jié)合，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和，可證②正確，連接，與交于點，由，，得，結(jié)合，由，可證④正確，本題考查了，菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：連接輔助線，構(gòu)造全等三角形．【詳解】解：∵菱形，∴，∵，∴，是等邊三角形，，∵是邊的中點，∴，∴，∴，故③正確，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，，∴，故①正確，∴，∵，∴，故②正確，連接，與交于點，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故④正確，故答案為：①②③④．【變式4】．（23-24八年級下·河北邢臺·期中）如圖，在菱形紙片中，．（1）．（2）點E在邊上，將菱形紙片沿折疊，點C對應(yīng)點為點，且是的垂直平分線，則的大小為．【答案】6075【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，垂直平分線的定義．（1）直接根據(jù)菱形的對角相等即可求解；（2）如圖，由垂直平分線的定義得到，從而，由菱形的性質(zhì)得到，從而由折疊有，因此，再根據(jù)菱形的對邊平行即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形是菱形，∴．故答案為：60（2）如圖，∵是的垂直平分線，∴，∴，∵在菱形中，，∴，由折疊可得，∴，∵在菱形中，，∴．故答案為：75【變式5】．（23-24八年級下·河北保定·期中）菱形是矩形紙片按如圖所示的方式折疊而成，若菱形的面積為，則長為．【答案】【分析】本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊以及菱形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)特殊角，根據(jù)的直角三角形中各邊之間的關(guān)系求得的長．根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理與菱形的面積即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，，由折疊的性質(zhì)可知，，又，∴，∵矩形，∴，，∴，，∵菱形的面積為，∴；∴，∴，∴，∴；故答案為：【變式6】（22-23八年級下·云南昆明·期末）如圖，將菱形紙片折疊，使點A恰好落在菱形對角線的交點O處，折痕為，則點E、F分別為邊、的中點．若，，則．

【答案】【分析】連接、，根據(jù)為的中點，由三角形的中位線得出，證明為等邊三角形，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，得出，根據(jù)中位線性質(zhì)得出．【詳解】解：連接、，如圖所示：

∵點O為對角線的交點，∴、交于點O，∵四邊形為菱形，∴，，，，，∵為的中點，∴，∵，，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∵點E、F分別為邊、的中點，∴．故答案為：.【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出【變式7】．（22-23八年級下·江蘇無錫·期末）如圖，在菱形中，，折疊該菱形，使點落在邊上的點處，折痕分別與邊、交于點、當(dāng)點與點重合時，的長為；當(dāng)點的位置變化時，長的最大值為．

【答案】【分析】如圖中，求出等邊的高即可．如圖中，連接交于點，過點作于點，交于點，過點作交的延長線于點，取的中點，連接證明，求出的最小值，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖中，

四邊形是菱形，，，，都是等邊三角形，當(dāng)點與重合時，是等邊的高，∴∴．如圖中，連接交于點，過點作于點，交于點，過點作交的延長線于點，取的中點，連接．

，，，，四邊形是矩形，∵∴∴，，，，，，，，，，，的最小值為，的最大值為．故答案為：，．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．【變式8】．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）如圖，菱形中，，，點是上一點，將菱形沿著折疊，使點落在點處，與交于點，點是的中點，，則的長為．【答案】【分析】連接，過點作的平行線交于點，過點作交延長線于點，延長交于點，過點作于點，利用翻折的性質(zhì)和勾股定理求出，然后證明，得，證明，再利用勾股定理求出，進而即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，過點作的平行線交于點，過點作交延長線于點，延長交于點，過點C作于點，由翻折可知：，∵點是的中點，，為菱形，∴，設(shè)，在中，，由勾股定理得：，整理得，解得(舍去負(fù)值)，由翻折可知：，設(shè)在中，由勾股定理得：故答案為：．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，難度大，考查了翻折變換，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．技巧3：巧用矩形的性質(zhì)解決折疊問題【例題3】（22-23八年級下·四川南充·期末）如圖，將矩形沿對角線所在直線折疊，點C落在同一平面內(nèi)，落點記為，與交于點E，若，則的長為（）

A．6.25 B．6.35 C．6.45 D．6.55【答案】A【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理，由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程，解方程即可．【詳解】解：由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，解得，故選：A【變式1】（22-23八年級下·湖北黃岡·期末）如圖，矩形紙片中，E為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長為．【答案】【分析】連接BF，交交于點O，由折疊可知：，，可得，，再證，得到，在中，利用等面積法求出的長，最后在中，利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：連接，交于點O，如下圖：由折疊可知：，，∴，，∵點E為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握翻折變換和勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵【變式2】（22-23八年級下·山東德州·期中）如圖1，將一張矩形紙片沿著對角線向上折疊，頂點C落到點E處(1)求證：是等腰三角形；(2)如圖2，過點D作，交于點G，①判斷四邊形的形狀，并說明理由；②若，求的長為_________．【答案】(1)見解析(2)①四邊形是菱形，理由見解析②【分析】（1）證明是等腰三角形，可證明，可通過證明實現(xiàn)，利用折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解決．（2）①先判斷四邊形是平行四邊形，再由（1）得到結(jié)論；②要求的長，可先求出的長，在中，可由的長及菱形的性質(zhì)求得，解決問題的關(guān)鍵是求出的長．在中，知，可求出的長，問題得以解決．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可知：，∴，∴∴是等腰三角形；（2）①四邊形是菱形．理由如下：∵，∴四邊形是平行四邊形又∵，∴四邊形是菱形②設(shè)，則，∴在中，，解得：，∴，在中，∵，，∴，∵四邊形是菱形，∴，在中，∵，即，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及判定、勾股定理等知識，學(xué)會分析、把各個知識點有機的聯(lián)系在一起是解決本題的關(guān)鍵【變式3】（22-23八年級下·河南商丘·期中）如圖所示，折疊長方形的一邊，使點D落在邊的點F處，，求的長．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理，得到，，繼而得到，設(shè)，則，利用勾股定理解答即可．本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理，三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】矩形中，，∴,∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，∴，設(shè)，則，∴解得．．【變式4】（23-24八年級上·吉林長春·期末）如圖，在矩形中，，，點E是上一點.將沿折疊后，得到.點F在矩形內(nèi)部，延長交于點G.

(1)如圖①，當(dāng)點E是中點時，求的長；(2)如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)矩形變化為平行四邊形時，求證：；(3)如圖③，在矩形中，當(dāng)點F落在矩形對角線上時，的長是【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】本題主要考查矩形與折疊，平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識：（1）連接，由折疊得，證明，得，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理列方程求出x的值即可；（2）延長交的延長線于點，證明得，由折疊得，得，即，從而可得結(jié)論；（3）由勾股定理得，由折疊得,，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程求出x的值即可．【詳解】（1）連接，如圖①，∵是的中點，∴，∵沿折疊后，得到，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴；設(shè)，則，在中，，∴，解得，，即；（2）延長交的延長線于點，如圖②，∵四邊形是平行四邊形，∴,∴，∵是的中點，∴，又，∴，∴，由折疊得，∴，，∴∴，即；（3）如圖③，在中，，即，由折疊得,，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，，即．故答案為：【變式5】（22-23八年級下·海南?？凇て谀咀C明推斷】（1）如圖1，在矩形中，，點P是的中點，將沿直線折疊得到，點落在矩形的內(nèi)部，延長交于點E，連接．求證：①；②；③若，求的長；

【類比探究】（2）如圖2，將（1）中“矩形”改為“平行四邊形”，其他條件不變，（1）中的①②結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；【拓展運用】（3）如圖3，在平行四邊形中，，點P是的中點，將沿直線折疊得到，點落在的內(nèi)部，延長交于點E，連接．連接與交于點M，與交于點N．求證：四邊形是矩形．【答案】（1）①見解析；②見解析；③；（2）結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）見解析【分析】（1）①②根據(jù)矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及全等三角形的判定證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平角定義可證明結(jié)論正確；③根據(jù)矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)求得，進而求得，利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)得到，在圖2中，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定可證明；再證明得到，利用平角定義證明，即可證得；（3）根據(jù)垂直平分線的判定與性質(zhì)證明垂直平分，垂直平分，得到，利用矩形的判定可證的結(jié)論．【詳解】解：如圖1，∵四邊形是矩形，∴，，∵點P是的中點，∴，∵沿直線折疊得到，∴，，,，則,，在和中，，∴，∴，，故①正確；∴，∴；故②正確；③∵，∴，

，則，在中，，∴；（2）結(jié)論仍然成立．理由為：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點P是的中點，∴，∵沿直線折疊得到，∴，，,，則,∵，∴，在圖2中，連接，

∵，∴，∴，即，∴，故①成立；在和中，，∴，∴，∴，∴，故②成立；（3）由（2）證明過程知：，，，，∴垂直平分，垂直平分，∴，又，∴四邊形是矩形．【點睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，知識點較多，綜合性強，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，利用數(shù)形結(jié)合思想尋找知識點之間的聯(lián)系，進而推理論證【變式6】（22-23八年級下·江蘇連云港·階段練習(xí)）將一個矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，，分別在x軸，y軸的正半軸上，點B坐標(biāo)為．

(Ⅰ)如圖①，將矩形紙片折疊，使點B落在y軸上的點D處，折痕為線段，求點D坐標(biāo)；(Ⅱ)如圖②，點E，F(xiàn)分別在，邊上．將矩形紙片沿線段折疊，使得點B與點重合，若反比例函數(shù)經(jīng)過點C的對應(yīng)點G，求k的值；(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，若點P是坐標(biāo)系內(nèi)任意一點，點Q在y軸上，使以點D，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出滿足條件的點P的坐標(biāo)．【答案】(Ⅰ)點D的坐標(biāo)為；(Ⅱ)；(Ⅲ)點P的坐標(biāo)為或或或【分析】(Ⅰ)由矩形和折疊的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可求出．(Ⅱ)過點G作軸于點H．由折疊可知，．設(shè)，則．在中，利用勾股定理即可求出x的值．即得出．再利用三角形面積公式即可求出．最后利用勾股定理可求出的長，即得出的長，即求出點G的坐標(biāo)，從而得出k的值．(Ⅲ)由題意可求出的長，再分類討論①當(dāng)線段為邊，且點P在y軸右側(cè)時；②當(dāng)線段為邊，且點P在y軸左側(cè)時；③當(dāng)為對角線時，結(jié)合菱形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求出．【詳解】(Ⅰ)∵四邊形是矩形，∴，，．∵點B坐標(biāo)為，∴．由折疊可知，．∴在，．∴點D的坐標(biāo)為．(Ⅱ)如圖，過點G作軸于點H．∵點，∴．∵四邊形是矩形，∴．由折疊知，四邊形與四邊形全等，∴，．設(shè)，則．

在中，，即．解得：．∴．∵，∴．∴．在中，．∴．∴點G的坐標(biāo)為．又∵反比例函數(shù)經(jīng)過點C的對應(yīng)點G，∴將點G的坐標(biāo)代入得：，解得：，即k的值為；(Ⅲ)如圖，作于點M，設(shè)，則，在中，，即，解得：．∴．

①如圖，當(dāng)線段為邊，且點P在y軸右側(cè)時．由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)可知，且軸，∵，∴此時P點與A點或B點重合．即P點坐標(biāo)為或，如圖和點．

②如圖，當(dāng)線段為邊，且點P在y軸左側(cè)時．∵，∴P點與B點關(guān)于y軸對稱，∴P點坐標(biāo)為．

③如圖，當(dāng)為對角線時，可知此時線段與線段互相垂直平分．∵，，∴．根據(jù)題意可設(shè)經(jīng)過點的直線解析式為，將代入得：，解得：．即經(jīng)過點的直線解析式為．當(dāng)時，．故P點坐標(biāo)為．

綜上，滿足條件的點P的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題為四邊形綜合題．考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、求反比例函數(shù)解析式等知識，綜合性強，為困難題．作出輔助線，并學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想解題是關(guān)鍵【變式7】（22-23八年級下·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，將沿直線折疊，點A落在點D處，交邊于點E．

(1)求證：四邊形為矩形；(2)求的長．(3)點F在y軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點G，使得以O(shè)、E、F、G為頂點的四邊形是以O(shè)E為邊的菱形?請直接寫出點G的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)3(3)或【分析】（1）根據(jù)可得四邊形對邊相等，可證四邊形是平行四邊形，再根據(jù)可證四邊形為矩形；（2）設(shè)，則，由勾股定理可得，再根據(jù)證明，推出，由此列方程求出x的值即可；（3）分“點F在y軸的正半軸上”和“點F在y軸的負(fù)半軸上”兩種情況，利用菱形的性質(zhì)分別求解即可．【詳解】（1）證明：，，，四邊形是平行四邊形，又平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，四邊形為矩形；（2）解：由（1）知四邊形為矩形，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，由折疊的性質(zhì)可知，，在和中，，，，，解得，即；（3）解：，，．以O(shè)、E、F、G為頂點的四邊形是以O(shè)E為邊的菱形時，有兩種情況：當(dāng)點F在y軸的正半軸上時，如下圖所示：

由菱形的性質(zhì)可得，，點E與點G關(guān)于y軸對稱，，；當(dāng)點F在y軸的負(fù)半軸上時，如下圖所示：

，，，四邊形是菱形，，點G的坐標(biāo)為，即，綜上可知，點G的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)，牢記折疊前后對應(yīng)邊相等，第3問注意分情況討論技巧4：巧用正方形的性質(zhì)解決折疊問題【例題4】（22-23八年級下·湖北武漢·期中）如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片，將正方形紙片折疊，使得B點落在邊上點P處（P不與A，D重合）折痕為，C點落在G點處，交于H，連接．下列結(jié)論：①；②；③的周長為8；④若，則．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①根據(jù)得出，再根據(jù)，得出；②首先證明，進而得出，即可得出答案；③根據(jù)和，即可得出；④設(shè)，在中，求得長；設(shè)，在中，求得長；設(shè)，在中求得長，進而求出比值作出判斷即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，即，故①正確；又∵，∴，∴，如圖2，過B作，垂足為Q，

∵，，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，又，，在和中，，∴，，∴，故③正確；∵，，∴，∴的周長為：，故③正確；，，，設(shè)，則，，，在中，，解得：，，，，，設(shè)，則，，在中，，解得：，，設(shè)，則，，在中，，解得：，，，故④錯誤；其中正確的有①②③，共3個，故選：C．【點睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理應(yīng)用及平行線的性質(zhì)，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用【變式1】（22-23八年級下·河南南陽·期末）如圖，四邊形是邊長為4的正方形，F(xiàn)為邊上一點且，E為邊上一點，把沿著折疊，得到，若為直角三角形，則的長為．

【答案】3或【分析】分，，三種情況討論解答即可，【詳解】解：當(dāng)時，如圖，

則，∵是折疊得到的，∴，∵，∴，∴，∴；（2）當(dāng)時，如圖，

∵是折疊得到的，∴，，，∴，∴點在上，在中，由勾股定理，得，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，即，解得，∴；（3）當(dāng)時，∵E為邊上一點，∴此時點應(yīng)在上，∴，這與折疊時矛盾，∴此種情況不存在，綜上所述，或．故答案為：3或．【點睛】本題考查了翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理．分情況討論是解題的關(guān)鍵【變式2】（22-23八年級下·河北保定·期中）如圖，在正方形中，E是邊上一點（不與B、C重合），將正方形沿折疊，使點B落在點F處，延長交于點G，連接．

(1)求證：；(2)若．①求的周長：②若點E是的中點，是的平分線，求的長【答案】(1)見解析(2)①4；②【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得，，根據(jù)即可得證；（2）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)的周長為求解即可；②先證明，可得，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程，求出的長，再設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程，即可求出的長．【詳解】（1）證明：在正方形中，，，根據(jù)折疊，，，，，在和中，，；（2）解：①，，，，的周長為；②過點作于點，如圖所示：

是的平分線，，，在和中，，，，是的中點，，，，即點和點重合，設(shè)，則，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得，．【點睛】本題考查了折疊問題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式3】（22-23八年級下·山東菏澤·期末）如圖，正方形中，是邊的中點，將沿折疊，得到，延長交邊于點．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由正方形的性質(zhì)得，，由折疊得，，則，，可證明，得；（2）由，是邊的中點，得，，由勾股定理得，求得．【詳解】（1）證明：連接，四邊形是正方形，，，將沿折疊，得到，延長交邊于點，，，，，在和中，，，；（2）解：，是邊的中點，，，，，，，．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，靈活運用這些知識是解題的關(guān)鍵【變式4】．（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）【模型建立】如圖1，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE⊥BF，AE與BF相交于點P．AE，BF有什么數(shù)量關(guān)系

【遷移應(yīng)用】如圖2，請僅用無刻度的直尺畫圖（保留作圖痕跡，不用證明）（1）以AB為邊畫正方形ABCD；（2）取CD中點E，連接AE：（3）在AD上找點G，連接BG，使BG=

【拓展提升】如圖3，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，將正方形沿EF折疊，點A，D的對應(yīng)點分別為A'，D'，使得點A'始終落在邊BC上，A'D（1）若AB=5，BA'（2）點E，F(xiàn)在邊AB，CD上運動時，連接AG，則∠A

【答案】模型建立：AE=【分析】模型建立：根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明△ABE≌△BCF遷移應(yīng)用：（1）根據(jù)網(wǎng)格特點畫正方形ABCD即可；（2）連接MN交CD于點E，連接AE即可；（3）取AD的中點G，連接BG即可；拓展提升：（1）過點F作FH⊥AB于點H，證明Rt△ABA'≌Rt△FHEHL，得出BA'=EH（2）證明△ABA'≌△AMA'，得出AM=AB，BA'=MA'證明∠BAA'【詳解】解：模型建立：AE=∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∵AE⊥∴∠APB∴∠BAP∴∠BAP∴△ABE∴AE=

遷移應(yīng)用：（1）如圖：四邊形ABCD即為所求作的正方形；（2）如圖：AE即為所求；（3）如圖：BG即為所求；

∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=CD=∵點E、G分別為CD，AD的中點，∴AG=12∴AG=∴△ABG∴AE=拓展提升：（1）過點F作FH⊥AB于點

根據(jù)折疊可知，A'與A關(guān)于EF∴AA'⊥根據(jù)“模型建立”可知，AA∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∵∠AHF∴四邊形ADFH為矩形，∴HF=AD，∴AB=∴Rt△∴BA設(shè)AE=A'根據(jù)勾股定理得：x2解得：x=2.9∴AE=2.9∴AH=∴DF=（2）∠A'AG延長CD，并截取DN=BA'，過點A作

∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥∴∠DA根據(jù)折疊可知，∠A∴∠A∵∠ABA'∴△AB∴AM=AB，∵AB=∴AM=∵AG=∴Rt△∴MG=∴A'即A'∵∠ADN∴∠ADN∵AB=AD，∴△AB∴AA'=∵AG=AG，∴△AG∴∠A∵∠BA∴∠BA∴∠BA∵∠BA∴∠A【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．【變式5】．（2023春·江蘇南京·九年級校聯(lián)考期中）點E．F分別為正方形ABCD邊AD．AB上的點，連接CE，DF交于點P．(1)如圖1，若DE=AF，則線段DF與CE具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？說明理由．(2)如圖2，若E為AD中點，F(xiàn)為AB中點，求證BP=BC．(3)若將正方形ABCD折疊，使得A點的對應(yīng)點A'落在BC邊上，折痕MN分別交AB，CD于M，N．若正方形的的邊長為6，線段A'B=2，則DN的長為．【答案】(1)相等；垂直；理由見解析；(2)見解析；(3)4【分析】（1）由四邊形ABCD為正方形，AF=DE，易證得△ADF≌△DCE（SAS），即可證得DF=CE，∠ADF=∠DCE，即可證得DF⊥CE；（2）如圖2，過點B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，先根據(jù)兩組對邊分別平行證明四邊形BFDG是平行四邊形，由三角形中位線定理的推論可得PH=CH，得BH是PC的垂直平分