專題3-4 平行四邊形（考題猜想特殊四邊形的性質(zhì)在折疊問(wèn)題中的巧用）解析版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專題3-4平行四邊形（考題猜想，特殊四邊形的性質(zhì)在折疊問(wèn)題中的巧用）技巧1：巧用平行四邊形的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題【例題1】（22-23八年級(jí)下·河南信陽(yáng)·期中）如圖，在中，，現(xiàn)將沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)與點(diǎn)落在點(diǎn)處，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)折疊找到對(duì)應(yīng)相等的角然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可算出，進(jìn)而得出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得：∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及折疊變換，關(guān)鍵是找準(zhǔn)折疊后些角是對(duì)應(yīng)相等的【變式1】（22-23八年級(jí)下·福建泉州·期中）如圖，將平行四邊形紙片折疊，使頂點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，下列結(jié)論不一定正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由四邊形是平行四邊形以及折疊的性質(zhì)可得，四邊形是菱形，從而得到選項(xiàng)正確，選項(xiàng)不一定正確．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，由折疊的性質(zhì)得，，，，故A正確；，，，∴四邊形是平行四邊形，，，故C正確；由折疊的性質(zhì)得，，∴四邊形是菱形，，故B正確；由題意無(wú)法得出，故D錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】（22-23八年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖，將平行四邊形紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)落到處，交于點(diǎn)，折痕為，若，，則的度數(shù)為．

【答案】40°/40度【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：將平行四邊形紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)落到處，

，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換折疊問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（22-23八年級(jí)下·重慶大渡口·期末）如圖，在四邊形紙片中，，將紙片沿折疊，點(diǎn)A、D分別落在，處，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，交BC于點(diǎn)G，連接，若平分，，，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】設(shè)，由折疊的性質(zhì)得，①，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到②，，通過(guò)計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵平分，∴，設(shè)，

∵，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，∵，∴①，∵，∴②，得，即，由平角的性質(zhì)得，∴，即，解得，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題【變式4】．（22-23八年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，將平行四邊形折疊，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求平行四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，即可證明結(jié)論；（2）利用含角的直角三角形的性質(zhì)得，，再利用勾股定理列方程求出的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，將平行四邊形折疊，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：作于，

，，，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解得，，平行四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，翻折變換，勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．【變式5】．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，把平行四邊形紙片沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，連接.求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】6.證明：（1）由折疊可知，.四邊形是平行四邊形，，，，.（2），，，即，.，，，.【變式6】．（23-24九年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】人教八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第59頁(yè)的部分內(nèi)容．如圖1，把一張矩形紙片按如圖那樣折一下，就可以裁出正方形紙片，為什么？(1)【問(wèn)題解決】如圖1，已知矩形紙片，將矩形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕為，點(diǎn)在上．求證：四邊形是正方形．（請(qǐng)完成以下填空）證明：四邊形是矩形，，折疊，，四邊形是矩形（）．折疊，，四邊形是正方形（）(2)【問(wèn)題拓展】如圖2，已知平行四邊形紙片，將平行四邊形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕為，點(diǎn)在邊上．①求證：四邊形是菱形．②連結(jié)，若，，求菱形的面積．【答案】(1)有三個(gè)角是直角的四邊形為矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形(2)①見(jiàn)詳解；②25【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，再由折疊的性質(zhì)得：，則四邊形是矩形，然后由，即可得出結(jié)論；（2）①由平行四邊形的性質(zhì)得，則，再證，則，得四邊形是平行四邊形，然后由即可得出結(jié)論；②由菱形面積公式得，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，由折疊的性質(zhì)得：，∴四邊形是矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形為矩形），由折疊的性質(zhì)得：，∴四邊形是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形），故答案為：有三個(gè)角是直角的四邊形為矩形，有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）①證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形；②解：如圖2，∵四邊形是菱形，，∴，故答案為：25．

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7】．（23-24八年級(jí)下·重慶銅梁·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以“平行四邊形紙片的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在平行四邊形紙片中，E為邊上任意一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．分析探究：（1）如圖1，當(dāng)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，三角形的形狀為．問(wèn)題解決：（2）如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)為邊的三等分點(diǎn)時(shí)，連接并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)G．試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，連接并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)H．若的面積為24，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．【答案】（1）等邊三角形；（2）；（3）【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得，，可得四邊形是菱形，可知，根據(jù)即可得是等邊三角形；（2）利用折疊的性質(zhì)可得，，結(jié)合三等分點(diǎn)可知，進(jìn)而可得，利用三角形外角性質(zhì)可得，進(jìn)而可知，可得四邊形是平行四邊形，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得與的數(shù)量關(guān)系；（3）由折疊可知：，，易知為等腰直角三角形，延長(zhǎng)交于，可知，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而可知由的面積為24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，，則由折疊可知：，，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形，∴，∴是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；（2），理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵E，F(xiàn)為邊的三等分點(diǎn)，∴，由折疊可知：，，則，∴，由三角形外角可知：，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，則，∴；（3）由折疊可知：，，∴，則為等腰直角三角形，∴，延長(zhǎng)交于，則

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，即，∴∵的面積為24，，即：，∴，則，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式8】．（21-22八年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）【理解概念】定義：有三個(gè)角相等的四邊形叫做三等角四邊形．（1）下列四邊形是三等角四邊形的是_________．（填序號(hào)）①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形．【鞏固新知】（2）如圖，折疊平行四邊形DEBF，使得頂點(diǎn)E、F分別落在邊BE、BF上的點(diǎn)A、C處，折痕為DG、DH．求證：四邊形ABCD為三等角四邊形．【拓展提高】（3）如圖，在三等角四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，若AB＝5，，DC＝7，則BC的長(zhǎng)度為_(kāi)________．【答案】（1）③④；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）利用平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)判斷即可求解；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠E=∠DAE，∠F=∠DCF，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可得結(jié)論；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE//BC，交BA延長(zhǎng)線于E，作DF//AB，交BC延長(zhǎng)線于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，可得四邊形DEBF是平行四邊形，根據(jù)及平行四邊形的性質(zhì)可得AD=DE=BF=，CD=DF=7，可求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，利用勾股定理可得DG的長(zhǎng)，利用平行四邊形的面積可求出DH的長(zhǎng)，利用勾股定理可求出CH的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CF的長(zhǎng)，即可求出BC的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）①根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等可得平行四邊形不是三等角四邊形；②根據(jù)菱形四邊相等、對(duì)角相等可知菱形不是三等角四邊形；③根據(jù)矩形四個(gè)角都相等可知矩形是三等角四邊形；④根據(jù)正方形四個(gè)角都相等可知正方形是三等角四邊形．故答案為：③④；（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵折疊平行四邊形，使得頂點(diǎn)分別落在邊上的點(diǎn)處，∴DE=DA，DF=DC，∴，∵，，，∴，∴四邊形是三等角四邊形（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE//BC，交BA延長(zhǎng)線于E，作DF//AB，交BC延長(zhǎng)線于F，作DG⊥BE于G，DH⊥BF于H，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，∴AD=DE=BF=，CD=DF=7，∴AE=BE-AB=CD-AB=2，∵DG⊥BE，DH⊥BF，∴AG=EG=AE=1，CH=HF=CF，∴DG=，∴S平行四邊形DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5=DH，解得：DH=，∴CH==，∴CF=2CH=，∴BC=BF-CF=．故答案為：【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了三等角四邊形的判定與性質(zhì)，翻折變換-折疊問(wèn)題，四邊形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；證明三角形全等和運(yùn)用勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．技巧2：巧用菱形的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題【例題2】（22-23八年級(jí)下·山東臨沂·期中）如圖，菱形紙片中，，折疊菱形紙片，使點(diǎn)落在（為中點(diǎn)）所在的直線上，得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)的折痕．則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由菱形的性質(zhì)及，得到三角形為等邊三角形，為的中點(diǎn)，利用三線合一得到為角平分線，得到，，，進(jìn)而求出，由折疊的性質(zhì)得到，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，

四邊形為菱形，，為等邊三角形，，，為的中點(diǎn)，為的平分線，即，，由折疊的性質(zhì)得到，在中，．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等【變式1】．（23-24八年級(jí)下·廣東江門(mén)·期中）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為6，且，點(diǎn)分別在邊上，將菱形沿折疊，使點(diǎn)B正好落在邊上的點(diǎn)G處．若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】由菱形的性質(zhì)可知是等邊三角形，再通過(guò)折疊的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出，即是菱形的高，最后用勾股定理求高即可，本題主要考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)并能將FG轉(zhuǎn)化成菱形的高是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．∵四邊形是菱形，，∴，∴是等邊三角形．∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴是菱形的高，即為等邊三角形的高，∴．【變式2】．（23-24八年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，菱形紙片，將該菱形紙片折疊，使點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，折痕與邊、分別交于點(diǎn)．則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出和，設(shè)，則，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程進(jìn)行解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，

∵四邊形是菱形，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)知：，在中，，∴，解得：，，即的長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．【變式3】．（23-24八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在菱形紙片中，，是邊的中點(diǎn)，將菱形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，折痕為，與交于點(diǎn)．有如下結(jié)論：①；②；③；④．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②③④【分析】由菱形的性質(zhì)，，可得，是等邊三角形，結(jié)合是邊的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一可得，根據(jù)含角直角三角形的性質(zhì)，可證③正確，由，結(jié)合折疊的性質(zhì)，可證①正確，由折疊的性質(zhì)得到的度數(shù)，結(jié)合，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和，可證②正確，連接，與交于點(diǎn)，由，，得，結(jié)合，由，可證④正確，本題考查了，菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：連接輔助線，構(gòu)造全等三角形．【詳解】解：∵菱形，∴，∵，∴，是等邊三角形，，∵是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，故③正確，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，，∴，故①正確，∴，∵，∴，故②正確，連接，與交于點(diǎn)，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故④正確，故答案為：①②③④．【變式4】．（23-24八年級(jí)下·河北邢臺(tái)·期中）如圖，在菱形紙片中，．（1）．（2）點(diǎn)E在邊上，將菱形紙片沿折疊，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，且是的垂直平分線，則的大小為．【答案】6075【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，垂直平分線的定義．（1）直接根據(jù)菱形的對(duì)角相等即可求解；（2）如圖，由垂直平分線的定義得到，從而，由菱形的性質(zhì)得到，從而由折疊有，因此，再根據(jù)菱形的對(duì)邊平行即可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形是菱形，∴．故答案為：60（2）如圖，∵是的垂直平分線，∴，∴，∵在菱形中，，∴，由折疊可得，∴，∵在菱形中，，∴．故答案為：75【變式5】．（23-24八年級(jí)下·河北保定·期中）菱形是矩形紙片按如圖所示的方式折疊而成，若菱形的面積為，則長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊以及菱形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)特殊角，根據(jù)的直角三角形中各邊之間的關(guān)系求得的長(zhǎng)．根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理與菱形的面積即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，，由折疊的性質(zhì)可知，，又，∴，∵矩形，∴，，∴，，∵菱形的面積為，∴；∴，∴，∴，∴；故答案為：【變式6】（22-23八年級(jí)下·云南昆明·期末）如圖，將菱形紙片折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形對(duì)角線的交點(diǎn)O處，折痕為，則點(diǎn)E、F分別為邊、的中點(diǎn)．若，，則．

【答案】【分析】連接、，根據(jù)為的中點(diǎn)，由三角形的中位線得出，證明為等邊三角形，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，得出，根據(jù)中位線性質(zhì)得出．【詳解】解：連接、，如圖所示：

∵點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，∴、交于點(diǎn)O，∵四邊形為菱形，∴，，，，，∵為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E、F分別為邊、的中點(diǎn)，∴．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出【變式7】．（22-23八年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期末）如圖，在菱形中，，折疊該菱形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕分別與邊、交于點(diǎn)、當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的長(zhǎng)為；當(dāng)點(diǎn)的位置變化時(shí)，長(zhǎng)的最大值為．

【答案】【分析】如圖中，求出等邊的高即可．如圖中，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接證明，求出的最小值，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖中，

四邊形是菱形，，，，都是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，是等邊的高，∴∴．如圖中，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接．

，，，，四邊形是矩形，∵∴∴，，，，，，，，，，，的最小值為，的最大值為．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．【變式8】．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，菱形中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，將菱形沿著折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用翻折的性質(zhì)和勾股定理求出，然后證明，得，證明，再利用勾股定理求出，進(jìn)而即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)，由翻折可知：，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，為菱形，∴，設(shè)，在中，，由勾股定理得：，整理得，解得(舍去負(fù)值)，由翻折可知：，設(shè)在中，由勾股定理得：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，難度大，考查了翻折變換，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．技巧3：巧用矩形的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題【例題3】（22-23八年級(jí)下·四川南充·期末）如圖，將矩形沿對(duì)角線所在直線折疊，點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)，落點(diǎn)記為，與交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（）

A．6.25 B．6.35 C．6.45 D．6.55【答案】A【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理，由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程，解方程即可．【詳解】解：由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，解得，故選：A【變式1】（22-23八年級(jí)下·湖北黃岡·期末）如圖，矩形紙片中，E為的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】連接BF，交交于點(diǎn)O，由折疊可知：，，可得，，再證，得到，在中，利用等面積法求出的長(zhǎng)，最后在中，利用勾股定理即可求出答案．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)O，如下圖：由折疊可知：，，∴，，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握翻折變換和勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵【變式2】（22-23八年級(jí)下·山東德州·期中）如圖1，將一張矩形紙片沿著對(duì)角線向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處(1)求證：是等腰三角形；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)G，①判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；②若，求的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析②【分析】（1）證明是等腰三角形，可證明，可通過(guò)證明實(shí)現(xiàn)，利用折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解決．（2）①先判斷四邊形是平行四邊形，再由（1）得到結(jié)論；②要求的長(zhǎng)，可先求出的長(zhǎng)，在中，可由的長(zhǎng)及菱形的性質(zhì)求得，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)．在中，知，可求出的長(zhǎng)，問(wèn)題得以解決．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可知：，∴，∴∴是等腰三角形；（2）①四邊形是菱形．理由如下：∵，∴四邊形是平行四邊形又∵，∴四邊形是菱形②設(shè)，則，∴在中，，解得：，∴，在中，∵，，∴，∵四邊形是菱形，∴，在中，∵，即，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及判定、勾股定理等知識(shí)，學(xué)會(huì)分析、把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)的聯(lián)系在一起是解決本題的關(guān)鍵【變式3】（22-23八年級(jí)下·河南商丘·期中）如圖所示，折疊長(zhǎng)方形的一邊，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)F處，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理，得到，，繼而得到，設(shè)，則，利用勾股定理解答即可．本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理，三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】矩形中，，∴,∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，∴，設(shè)，則，∴解得．．【變式4】（23-24八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是上一點(diǎn).將沿折疊后，得到.點(diǎn)F在矩形內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E是中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)矩形變化為平行四邊形時(shí)，求證：；(3)如圖③，在矩形中，當(dāng)點(diǎn)F落在矩形對(duì)角線上時(shí)，的長(zhǎng)是【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查矩形與折疊，平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)：（1）連接，由折疊得，證明，得，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理列方程求出x的值即可；（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明得，由折疊得，得，即，從而可得結(jié)論；（3）由勾股定理得，由折疊得,，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程求出x的值即可．【詳解】（1）連接，如圖①，∵是的中點(diǎn)，∴，∵沿折疊后，得到，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴；設(shè)，則，在中，，∴，解得，，即；（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖②，∵四邊形是平行四邊形，∴,∴，∵是的中點(diǎn)，∴，又，∴，∴，由折疊得，∴，，∴∴，即；（3）如圖③，在中，，即，由折疊得,，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，，即．故答案為：【變式5】（22-23八年級(jí)下·海南海口·期末）【證明推斷】（1）如圖1，在矩形中，，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，將沿直線折疊得到，點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接．求證：①；②；③若，求的長(zhǎng)；

【類比探究】（2）如圖2，將（1）中“矩形”改為“平行四邊形”，其他條件不變，（1）中的①②結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，在平行四邊形中，，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，將沿直線折疊得到，點(diǎn)落在的內(nèi)部，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接．連接與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N．求證：四邊形是矩形．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；③；（2）結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）①②根據(jù)矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及全等三角形的判定證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平角定義可證明結(jié)論正確；③根據(jù)矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)得到，在圖2中，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定可證明；再證明得到，利用平角定義證明，即可證得；（3）根據(jù)垂直平分線的判定與性質(zhì)證明垂直平分，垂直平分，得到，利用矩形的判定可證的結(jié)論．【詳解】解：如圖1，∵四邊形是矩形，∴，，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∵沿直線折疊得到，∴，，,，則,，在和中，，∴，∴，，故①正確；∴，∴；故②正確；③∵，∴，

，則，在中，，∴；（2）結(jié)論仍然成立．理由為：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∵沿直線折疊得到，∴，，,，則,∵，∴，在圖2中，連接，

∵，∴，∴，即，∴，故①成立；在和中，，∴，∴，∴，∴，故②成立；（3）由（2）證明過(guò)程知：，，，，∴垂直平分，垂直平分，∴，又，∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，利用數(shù)形結(jié)合思想尋找知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，進(jìn)而推理論證【變式6】（22-23八年級(jí)下·江蘇連云港·階段練習(xí)）將一個(gè)矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，，分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為．

(Ⅰ)如圖①，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B落在y軸上的點(diǎn)D處，折痕為線段，求點(diǎn)D坐標(biāo)；(Ⅱ)如圖②，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，邊上．將矩形紙片沿線段折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)重合，若反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G，求k的值；(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，若點(diǎn)P是坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在y軸上，使以點(diǎn)D，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(Ⅰ)點(diǎn)D的坐標(biāo)為；(Ⅱ)；(Ⅲ)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或【分析】(Ⅰ)由矩形和折疊的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可求出．(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H．由折疊可知，．設(shè)，則．在中，利用勾股定理即可求出x的值．即得出．再利用三角形面積公式即可求出．最后利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，即得出的長(zhǎng)，即求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而得出k的值．(Ⅲ)由題意可求出的長(zhǎng)，再分類討論①當(dāng)線段為邊，且點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)；②當(dāng)線段為邊，且點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)；③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，結(jié)合菱形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求出．【詳解】(Ⅰ)∵四邊形是矩形，∴，，．∵點(diǎn)B坐標(biāo)為，∴．由折疊可知，．∴在，．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．(Ⅱ)如圖，過(guò)點(diǎn)G作軸于點(diǎn)H．∵點(diǎn)，∴．∵四邊形是矩形，∴．由折疊知，四邊形與四邊形全等，∴，．設(shè)，則．

在中，，即．解得：．∴．∵，∴．∴．在中，．∴．∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為．又∵反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G，∴將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得：，解得：，即k的值為；(Ⅲ)如圖，作于點(diǎn)M，設(shè)，則，在中，，即，解得：．∴．

①如圖，當(dāng)線段為邊，且點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)．由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)可知，且軸，∵，∴此時(shí)P點(diǎn)與A點(diǎn)或B點(diǎn)重合．即P點(diǎn)坐標(biāo)為或，如圖和點(diǎn)．

②如圖，當(dāng)線段為邊，且點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)．∵，∴P點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為．

③如圖，當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，可知此時(shí)線段與線段互相垂直平分．∵，，∴．根據(jù)題意可設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線解析式為，將代入得：，解得：．即經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線解析式為．當(dāng)時(shí)，．故P點(diǎn)坐標(biāo)為．

綜上，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題為四邊形綜合題．考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、求反比例函數(shù)解析式等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，為困難題．作出輔助線，并學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想解題是關(guān)鍵【變式7】（22-23八年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，將沿直線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，交邊于點(diǎn)E．

(1)求證：四邊形為矩形；(2)求的長(zhǎng)．(3)點(diǎn)F在y軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)G，使得以O(shè)、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是以O(shè)E為邊的菱形?請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3(3)或【分析】（1）根據(jù)可得四邊形對(duì)邊相等，可證四邊形是平行四邊形，再根據(jù)可證四邊形為矩形；（2）設(shè)，則，由勾股定理可得，再根據(jù)證明，推出，由此列方程求出x的值即可；（3）分“點(diǎn)F在y軸的正半軸上”和“點(diǎn)F在y軸的負(fù)半軸上”兩種情況，利用菱形的性質(zhì)分別求解即可．【詳解】（1）證明：，，，四邊形是平行四邊形，又平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，四邊形為矩形；（2）解：由（1）知四邊形為矩形，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，由折疊的性質(zhì)可知，，在和中，，，，，解得，即；（3）解：，，．以O(shè)、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是以O(shè)E為邊的菱形時(shí)，有兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F在y軸的正半軸上時(shí)，如下圖所示：

由菱形的性質(zhì)可得，，點(diǎn)E與點(diǎn)G關(guān)于y軸對(duì)稱，，；當(dāng)點(diǎn)F在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，如下圖所示：

，，，四邊形是菱形，，點(diǎn)G的坐標(biāo)為，即，綜上可知，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)，牢記折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等，第3問(wèn)注意分情況討論技巧4：巧用正方形的性質(zhì)解決折疊問(wèn)題【例題4】（22-23八年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片，將正方形紙片折疊，使得B點(diǎn)落在邊上點(diǎn)P處（P不與A，D重合）折痕為，C點(diǎn)落在G點(diǎn)處，交于H，連接．下列結(jié)論：①；②；③的周長(zhǎng)為8；④若，則．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)得出，再根據(jù)，得出；②首先證明，進(jìn)而得出，即可得出答案；③根據(jù)和，即可得出；④設(shè)，在中，求得長(zhǎng)；設(shè)，在中，求得長(zhǎng)；設(shè)，在中求得長(zhǎng)，進(jìn)而求出比值作出判斷即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，即，故①正確；又∵，∴，∴，如圖2，過(guò)B作，垂足為Q，

∵，，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，又，，在和中，，∴，，∴，故③正確；∵，，∴，∴的周長(zhǎng)為：，故③正確；，，，設(shè)，則，，，在中，，解得：，，，，，設(shè)，則，，在中，，解得：，，設(shè)，則，，在中，，解得：，，，故④錯(cuò)誤；其中正確的有①②③，共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理應(yīng)用及平行線的性質(zhì)，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用【變式1】（22-23八年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)且，E為邊上一點(diǎn)，把沿著折疊，得到，若為直角三角形，則的長(zhǎng)為．

【答案】3或【分析】分，，三種情況討論解答即可，【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖，

則，∵是折疊得到的，∴，∵，∴，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，如圖，

∵是折疊得到的，∴，，，∴，∴點(diǎn)在上，在中，由勾股定理，得，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，即，解得，∴；（3）當(dāng)時(shí)，∵E為邊上一點(diǎn)，∴此時(shí)點(diǎn)應(yīng)在上，∴，這與折疊時(shí)矛盾，∴此種情況不存在，綜上所述，或．故答案為：3或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理．分情況討論是解題的關(guān)鍵【變式2】（22-23八年級(jí)下·河北保定·期中）如圖，在正方形中，E是邊上一點(diǎn)（不與B、C重合），將正方形沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接．

(1)求證：；(2)若．①求的周長(zhǎng)：②若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，是的平分線，求的長(zhǎng)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①4；②【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得，，根據(jù)即可得證；（2）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)的周長(zhǎng)為求解即可；②先證明，可得，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程，求出的長(zhǎng)，再設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：在正方形中，，，根據(jù)折疊，，，，，在和中，，；（2）解：①，，，，的周長(zhǎng)為；②過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：

是的平分線，，，在和中，，，，是的中點(diǎn)，，，，即點(diǎn)和點(diǎn)重合，設(shè)，則，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【變式3】（22-23八年級(jí)下·山東菏澤·期末）如圖，正方形中，是邊的中點(diǎn)，將沿折疊，得到，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，由正方形的性質(zhì)得，，由折疊得，，則，，可證明，得；（2）由，是邊的中點(diǎn)，得，，由勾股定理得，求得．【詳解】（1）證明：連接，四邊形是正方形，，，將沿折疊，得到，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，，，，，在和中，，，；（2）解：，是邊的中點(diǎn)，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵【變式4】．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【模型建立】如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE⊥BF，AE與BF相交于點(diǎn)P．AE，BF有什么數(shù)量關(guān)系

【遷移應(yīng)用】如圖2，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺畫(huà)圖（保留作圖痕跡，不用證明）（1）以AB為邊畫(huà)正方形ABCD；（2）取CD中點(diǎn)E，連接AE：（3）在AD上找點(diǎn)G，連接BG，使BG=

【拓展提升】如圖3，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，將正方形沿EF折疊，點(diǎn)A，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，D'，使得點(diǎn)A'始終落在邊BC上，A'D（1）若AB=5，BA'（2）點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB，CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接AG，則∠A

【答案】模型建立：AE=【分析】模型建立：根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明△ABE≌△BCF遷移應(yīng)用：（1）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)畫(huà)正方形ABCD即可；（2）連接MN交CD于點(diǎn)E，連接AE即可；（3）取AD的中點(diǎn)G，連接BG即可；拓展提升：（1）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，證明Rt△ABA'≌Rt△FHEHL，得出BA'=EH（2）證明△ABA'≌△AMA'，得出AM=AB，BA'=MA'證明∠BAA'【詳解】解：模型建立：AE=∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∵AE⊥∴∠APB∴∠BAP∴∠BAP∴△ABE∴AE=

遷移應(yīng)用：（1）如圖：四邊形ABCD即為所求作的正方形；（2）如圖：AE即為所求；（3）如圖：BG即為所求；

∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=CD=∵點(diǎn)E、G分別為CD，AD的中點(diǎn)，∴AG=12∴AG=∴△ABG∴AE=拓展提升：（1）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)

根據(jù)折疊可知，A'與A關(guān)于EF∴AA'⊥根據(jù)“模型建立”可知，AA∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∵∠AHF∴四邊形ADFH為矩形，∴HF=AD，∴AB=∴Rt△∴BA設(shè)AE=A'根據(jù)勾股定理得：x2解得：x=2.9∴AE=2.9∴AH=∴DF=（2）∠A'AG延長(zhǎng)CD，并截取DN=BA'，過(guò)點(diǎn)A作

∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥∴∠DA根據(jù)折疊可知，∠A∴∠A∵∠ABA'∴△AB∴AM=AB，∵AB=∴AM=∵AG=∴Rt△∴MG=∴A'即A'∵∠ADN∴∠ADN∵AB=AD，∴△AB∴AA'=∵AG=AG，∴△AG∴∠A∵∠BA∴∠BA∴∠BA∵∠BA∴∠A【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．【變式5】．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考期中）點(diǎn)E．F分別為正方形ABCD邊AD．AB上的點(diǎn)，連接CE，DF交于點(diǎn)P．(1)如圖1，若DE=AF，則線段DF與CE具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？說(shuō)明理由．(2)如圖2，若E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，求證BP=BC．(3)若將正方形ABCD折疊，使得A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'落在BC邊上，折痕MN分別交AB，CD于M，N．若正方形的的邊長(zhǎng)為6，線段A'B=2，則DN的長(zhǎng)為．【答案】(1)相等；垂直；理由見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)4【分析】（1）由四邊形ABCD為正方形，AF=DE，易證得△ADF≌△DCE（SAS），即可證得DF=CE，∠ADF=∠DCE，即可證得DF⊥CE；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，先根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行證明四邊形BFDG是平行四邊形，由三角形中位線定理的推論可得PH=CH，得BH是PC的垂直平分