專題4-2 一次函數(shù)（考題猜想二元一次方程（組）與一次函數(shù)的四種常見應(yīng)用）解析版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點大串講（人教版）

專題4-2一次函數(shù)（考題猜想，二元一次方程（組）與一次函數(shù)的四種常見應(yīng)用）應(yīng)用1：利用兩直線的交點坐標(biāo)確定方程的解【例題1】（22-23八年級下·云南昆明·期末）如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于，的二元一次方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，先利用確定點坐標(biāo)，然后根據(jù)方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)進行判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．【詳解】解：把代入得，解得，所以點坐標(biāo)為，所以關(guān)于，的二元一次方程組的解是，故選：【變式1】（22-23八年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知整數(shù)x滿足，，，對于任意一個x，m都取、中的最大值，則m的最大值是．【答案】14【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的最值．熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，確定兩個函數(shù)圖象的交點，函數(shù)的增減性，是解決問題的關(guān)鍵．聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式，得出兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，接下來將自變量分成兩段討論m的值，最后比較得出結(jié)論即可．【詳解】聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，得，，解得，，∴兩函數(shù)圖象交點為，∵當(dāng)時，，且的值隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，；∵當(dāng)時，，且的值隨x的增大而增大，∴當(dāng)時，；∴在的范圍內(nèi)，m的最大值為14．故答案為：14．【變式2】（22-23八年級下·四川廣安·期末）已知直線經(jīng)過點，．(1)求直線的解析式；(2)若直線與直線相交于點C，求點C的坐標(biāo)；(3)根據(jù)圖象，寫出關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)【分析】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及一次函數(shù)的交點，一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，關(guān)鍵是正確從函數(shù)圖象中獲得正確信息．（1）利用待定系數(shù)法把點A，點B代入可得關(guān)于k、b得方程組，再解方程組即可；（2）聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，再解方程組即可；（3）根據(jù)C點坐標(biāo)可直接得到答案．【詳解】（1）直線經(jīng)過點，，，解得，直線的解析式為：；（2）若直線與直線相交于點C，．解得，點；（3）由（2）得，根據(jù)圖象可得不等式的解集為：【變式3】（22-23八年級下·福建泉州·期中）已知一次函數(shù)．(1)無論k為何值，函數(shù)圖象必過定點，求該定點的坐標(biāo)；(2)如圖1，當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象交x軸，y軸于A、B兩點，點Q是直線：上一點，若，求Q點的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，直線：交AB于點P，C點在x軸負半軸上，且，動點M的坐標(biāo)為，求的最小值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）整理得，根據(jù)題意，得當(dāng)，求解得函數(shù)圖象必過定點；（2）確定解析式為，點A坐標(biāo)為，點B坐標(biāo)為；設(shè)點Q坐標(biāo)為，分情況討論：①當(dāng)點Q位于AB右側(cè)時，根據(jù)題意得，列方程解得，點Q坐標(biāo)為；②當(dāng)點Q位于AB左側(cè)時，過點Q作軸，交于點Ｎ，點Ｎ的縱坐標(biāo)為，，于是，解得，Q坐標(biāo)為；（3）聯(lián)立得，得，設(shè)，由，求得C的坐標(biāo)為，點M在直線上，點C關(guān)于直線對稱的點F的坐標(biāo)為，連接，，則，，作軸，垂足為G，在中，，所以的最小值為．【詳解】（1）解：整理得∵不論k取何值時，上式都成立∴當(dāng)，即時，∴無論k為何值，函數(shù)圖象必過定點；（2）當(dāng)時，一次函數(shù)為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，；∴點A坐標(biāo)為；點B坐標(biāo)為；∵點Q在直線：上，∴設(shè)點Q坐標(biāo)為；①如圖，當(dāng)點Q位于AB右側(cè)時，根據(jù)題意得．∴．解得．點Q坐標(biāo)為；②如圖，當(dāng)點Q位于AB左側(cè)時，此時，過點Q作軸，交于點Ｎ，則點Ｎ的縱坐標(biāo)為，由，得，，∴．∴，解得，∴Q恰好位于x軸上，此時Q坐標(biāo)為；綜上所述：若，Q點的坐標(biāo)為或；（3）由（2）可得直線AB：，聯(lián)立得，解得．∴∵點C在x軸的負半軸，設(shè)則，∵，∴解得∴點C的坐標(biāo)為∵動點M的坐標(biāo)為．∴點M在直線上．∴點C關(guān)于直線對稱的點F的坐標(biāo)為，連接，，則，則為的最小值；作軸，垂足為G，在中，∴的最小值為．【點睛】本題考查一次函數(shù)，圖象交點求解，軸對稱；結(jié)合題設(shè)條件，作線段的等量轉(zhuǎn)移，構(gòu)造直角三角形求解線段是解題的關(guān)鍵應(yīng)用2：利用方程組的解求兩直線的交點坐標(biāo)【例題2】（21-22八年級上·陜西漢中·期末）已知二元一次方程組的解為，則在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線：與直線：的交點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象交點坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解解答即可．【詳解】解：∵二元一次方程組的解為，∴直線l1：y=x+5與直線l2：y=?x-1的交點坐標(biāo)為（-4，1）．故選：D．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)【變式1】（22-23八年級下·河南商丘·期末）已知方程組的解為，則函數(shù)與函數(shù)的圖象交點坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系進行解答即可．【詳解】解：方程組的解為，函數(shù)與函數(shù)的圖象交點坐標(biāo)相當(dāng)于函數(shù)與函數(shù)的圖象交點向下平移2個單位長度，函數(shù)與函數(shù)的圖象交點坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)【變式2】（22-23八年級下·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，點A、B的坐標(biāo)分別為，直線與坐標(biāo)軸交于C、D兩點．

(1)求交點E的坐標(biāo)；(2)直接寫出不等式的解集；(3)求四邊形的面積．【答案】(1)點的坐標(biāo)是(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，利用二元一次方程組求出點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)圖象寫出不等式的解集；（3）根據(jù)坐標(biāo)軸上點的特征求出兩點的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】（1）解：由題意得，解得，故直線的解析式是,則解得，故點的坐標(biāo)是；（2）解：由圖象可知，時，y=kx+b故不等式的解集是；（3）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，,則點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，∴．【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、利用二元一次方程組求兩條直線的交點、利用函數(shù)圖象解不等式，掌握待定系數(shù)法的一般步驟、靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵【變式3】（22-23八年級下·吉林長春·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：經(jīng)過，動點在直線：上，直線和交于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．

(1)求直線的解析式；(2)交點的坐標(biāo)為______；(3)過點作軸的平行線交直線于點，當(dāng)以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形時，求的值；(4)過點作軸的垂線交軸于點，以為邊向右作正方形，當(dāng)正方形的頂點或落在直線上時，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)的值為或(4)的值為或0或【分析】（1）運用待定系數(shù)法將代入，解出即可解決；（2）根據(jù)表達式聯(lián)立組成方程組，解出即可得到點的坐標(biāo)；（3）設(shè)，可得，，解方程即可解決；（4）由題意得：，，根據(jù)正方形性質(zhì)可得，，分兩種情況：當(dāng)時，，則，，當(dāng)時，則，，分別將點、點坐標(biāo)代入，即可求得答案．【詳解】（1）解：將代入中，，解得，∴：；（2）解：由題意得：，解得：，點，故答案為：；（3）在：上，，，軸，在：上，，，以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，，即，解得：，，的值為或；（4）解：的值為或0或．理由如下：當(dāng)時，，，，，當(dāng)在上時，，解得：，當(dāng)在上時，，解得：；

當(dāng)時，，，，，當(dāng)在上時，，此方程無解，當(dāng)在上時，，解得：；

綜上：的值為或0或．【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、平行四邊形性質(zhì)、正方形性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是分類畫出圖形，數(shù)形結(jié)合解決問題應(yīng)用3：方程組的解與兩個一次函數(shù)的關(guān)系【例題3】直線與的圖象沒有交點，則方程組的解的情況是（

）A．有無數(shù)組解 B．有一組解 C．有兩組解 D．沒有解【答案】D【分析】根據(jù)二元一次方程組的解與一次函數(shù)交點的關(guān)系解答即可．【詳解】直線與的圖象沒有交點，則方程組沒有解．故選D．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解與一次函數(shù)交點的關(guān)系．熟練掌握兩者的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵【變式1】方程組沒有解，因此直線y=﹣x+2和直線y=﹣x+在同一平面直角坐標(biāo)系中的位置關(guān)系是（）A．重合 B．平行 C．相交 D．以上三種情況都有可能【答案】B【分析】方程組可化為,若方程組沒有解，說明直線y=﹣x+2和直線y=﹣x+在同一平面直角坐標(biāo)系中沒有交點，可得兩直線關(guān)系.【詳解】方程組可化為,若方程組沒有解，說明直線y=﹣x+2和直線y=﹣x+在同一平面直角坐標(biāo)系中沒有交點，所以，兩條直線平行.故選B【點睛】本題考核知識點：一次函數(shù)與方程組.解題關(guān)鍵點：理解一次函數(shù)與方程組的關(guān)系【變式2】（23-24八年級上·廣西梧州·期中）直線與平行,則方程組的解的情況是．【答案】無解【分析】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程組解的關(guān)系．熟知兩個一次函數(shù)平行無交點即可得到本題答案．【詳解】解:∵直線與平行,∴兩直線無交點,∴方程組無解．故答案為:無解．【變式3】（2022八年級下·上?！ｎ}練習(xí)）已知兩個一次函數(shù)和；(1)、為何值時，兩函數(shù)的圖像重合?(2)、滿足什么關(guān)系時，兩函數(shù)的圖像相互平行?(3)、取何值時，兩函數(shù)圖像交于軸上同一點，并求這一點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)且(3)，，坐標(biāo)為（2，0）【分析】（1）因為兩函數(shù)的圖象重合，也就是兩個函數(shù)的比例系數(shù)與常數(shù)項相等，由此建立關(guān)于a、b的方程組，求得a、b的數(shù)值；（2）根據(jù)“兩個一次函數(shù)的圖像平行，則比例系數(shù)相等，常數(shù)不相等”列式求解即可；（3）分別根據(jù)兩函數(shù)與x軸相交于同一點，求出交點坐標(biāo)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵兩函數(shù)的圖像重合∴兩個一次函數(shù)的比例系數(shù)和常數(shù)項都相等，∴解得：；（2）∵兩個一次函數(shù)的圖像平行，∴比例系數(shù)相等，常數(shù)不相等，∴，且，即，且；（3）∵兩個一次函數(shù)的圖像交于軸上一點，即兩個一次函數(shù)與軸的交點重合，∴兩個一次函數(shù)與軸的交點重合；對于，令，得，對于，令，得，∴，即，∴當(dāng)，時，兩函數(shù)圖像交于軸上同一點，交點坐標(biāo)為（-2，0）．【點睛】本題考查了兩條直線相交和平行問題，利用兩個一次函數(shù)的交點坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式所組成的方程組的解解決問題應(yīng)用4：利用二元一次方程組求一次函數(shù)的解析式【例題4】（22-23八年級下·廣東江門·期末）直線與軸、軸交于A、兩點，的平分線所在的直線的解析式是（

）（提示：在軸上取一點，使，連接）A． B． C． D．【答案】B【分析】對于已知直線，分別令與為0求出對應(yīng)與的值，確定出A與的坐標(biāo)，在軸上取一點，使，連接，由為的平分線，得到，利用得出兩三角形全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到，設(shè)，可得出，在中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值，確定出坐標(biāo)，設(shè)直線解析式為，將A與坐標(biāo)代入求出與的值，即可確定出直線解析式．【詳解】解：對于直線，令，求出；令求出，，，即，，根據(jù)勾股定理得：，在軸上取一點，使，連接，如圖所示：

為的平分線，，在和中，，，設(shè)，則，在中，，根據(jù)勾股定理得：，解得：，，即，設(shè)直線解析式為，將A與坐標(biāo)代入得：，解得：，則直線解析式為．故選：B．【點睛】此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵【變式1】（23-24八年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知一次函數(shù)過點，且它的圖象與軸的交點和直線與軸的交點關(guān)于軸對稱，那么這個一次函數(shù)的解析式為．【答案】【分析】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．首先求出直線與軸的交點，再根據(jù)軸對稱的特點進一步求出所求的一次函數(shù)圖象與軸的交點，然后設(shè)所求的一次函數(shù)解析式為，再利用待定系數(shù)法將點和代入可得出方程組，解出即可得出和的值，即得出了函數(shù)解析式．【詳解】解：直線與軸的交點為，所求直線與軸的交點為，設(shè)所求直線的解析式為，所求直線經(jīng)過點和，，解得：，所求的一次函數(shù)解析式為：．故答案為：【變式2】（23-24八年級下·重慶九龍坡·期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與軸交于點，與軸交于點．直線與軸交于點，與軸交于點，兩直線交于點，若點為的中點，．(1)求直線的解析式；(2)如圖2，連接，點為直線上一動點且位于直線下方，若有，請求出點坐標(biāo)；(3)如圖3，將直線平移得到直線，使得直線經(jīng)過點，并交軸于點，點為直線上一動點，是否存在以點、、為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)，并寫出求解點坐標(biāo)其中一種情況的過程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）分別令求得點，，根據(jù)題意得出，，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得，進而根據(jù)三角形的面積公式求得，根據(jù)建立方程，即可求解；（3）根據(jù)平移可得的解析式為，得出，設(shè)，又，根據(jù)勾股定理表示出，進而分三種情況討論，建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：對于直線：，當(dāng)，則，當(dāng)，則，∴，∴∵，點在軸負半軸，則，∵是的中點，∴設(shè)直線的解析式為，代入，，解得：∴直線的解析式為；（2）∵，∴聯(lián)立，解得：∴∵在直線上，設(shè)，∴∵∴解得：∴坐標(biāo)為（3）解：將直線平移得到直線，使得