專(zhuān)題4-2 一次函數(shù)（考題猜想二元一次方程（組）與一次函數(shù)的四種常見(jiàn)應(yīng)用）解析版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專(zhuān)題4-2一次函數(shù)（考題猜想，二元一次方程（組）與一次函數(shù)的四種常見(jiàn)應(yīng)用）應(yīng)用1：利用兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)確定方程的解【例題1】（22-23八年級(jí)下·云南昆明·期末）如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)，則關(guān)于，的二元一次方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，先利用確定點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：把代入得，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，所以關(guān)于，的二元一次方程組的解是，故選：【變式1】（22-23八年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知整數(shù)x滿(mǎn)足，，，對(duì)于任意一個(gè)x，m都取、中的最大值，則m的最大值是．【答案】14【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的最值．熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，確定兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，函數(shù)的增減性，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，得出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，接下來(lái)將自變量分成兩段討論m的值，最后比較得出結(jié)論即可．【詳解】聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，得，，解得，，∴兩函數(shù)圖象交點(diǎn)為，∵當(dāng)時(shí)，，且的值隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，；∵當(dāng)時(shí)，，且的值隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，；∴在的范圍內(nèi)，m的最大值為14．故答案為：14．【變式2】（22-23八年級(jí)下·四川廣安·期末）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)求直線(xiàn)的解析式；(2)若直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)根據(jù)圖象，寫(xiě)出關(guān)于x的不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)【分析】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及一次函數(shù)的交點(diǎn)，一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，關(guān)鍵是正確從函數(shù)圖象中獲得正確信息．（1）利用待定系數(shù)法把點(diǎn)A，點(diǎn)B代入可得關(guān)于k、b得方程組，再解方程組即可；（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，再解方程組即可；（3）根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)可直接得到答案．【詳解】（1）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，解得，直線(xiàn)的解析式為：；（2）若直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)C，．解得，點(diǎn)；（3）由（2）得，根據(jù)圖象可得不等式的解集為：【變式3】（22-23八年級(jí)下·福建泉州·期中）已知一次函數(shù)．(1)無(wú)論k為何值，函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線(xiàn)：上一點(diǎn)，若，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，直線(xiàn)：交AB于點(diǎn)P，C點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，且，動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的最小值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）整理得，根據(jù)題意，得當(dāng)，求解得函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)；（2）確定解析式為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為；設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為，分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)Q位于AB右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得，列方程解得，點(diǎn)Q坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)Q位于AB左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作軸，交于點(diǎn)Ｎ，點(diǎn)Ｎ的縱坐標(biāo)為，，于是，解得，Q坐標(biāo)為；（3）聯(lián)立得，得，設(shè)，由，求得C的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在直線(xiàn)上，點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為，連接，，則，，作軸，垂足為G，在中，，所以的最小值為．【詳解】（1）解：整理得∵不論k取何值時(shí)，上式都成立∴當(dāng)，即時(shí)，∴無(wú)論k為何值，函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；∴點(diǎn)A坐標(biāo)為；點(diǎn)B坐標(biāo)為；∵點(diǎn)Q在直線(xiàn)：上，∴設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為；①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q位于AB右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意得．∴．解得．點(diǎn)Q坐標(biāo)為；②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q位于AB左側(cè)時(shí)，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作軸，交于點(diǎn)Ｎ，則點(diǎn)Ｎ的縱坐標(biāo)為，由，得，，∴．∴，解得，∴Q恰好位于x軸上，此時(shí)Q坐標(biāo)為；綜上所述：若，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）由（2）可得直線(xiàn)AB：，聯(lián)立得，解得．∴∵點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸，設(shè)則，∵，∴解得∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為∵動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．∴點(diǎn)M在直線(xiàn)上．∴點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為，連接，，則，則為的最小值；作軸，垂足為G，在中，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)，圖象交點(diǎn)求解，軸對(duì)稱(chēng)；結(jié)合題設(shè)條件，作線(xiàn)段的等量轉(zhuǎn)移，構(gòu)造直角三角形求解線(xiàn)段是解題的關(guān)鍵應(yīng)用2：利用方程組的解求兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)【例題2】（21-22八年級(jí)上·陜西漢中·期末）已知二元一次方程組的解為，則在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)：與直線(xiàn)：的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解解答即可．【詳解】解：∵二元一次方程組的解為，∴直線(xiàn)l1：y=x+5與直線(xiàn)l2：y=?x-1的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，1）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)【變式1】（22-23八年級(jí)下·河南商丘·期末）已知方程組的解為，則函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：方程組的解為，函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)坐標(biāo)相當(dāng)于函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)【變式2】（22-23八年級(jí)下·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交于C、D兩點(diǎn)．

(1)求交點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)直接寫(xiě)出不等式的解集；(3)求四邊形的面積．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)是(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)的解析式，利用二元一次方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出不等式的解集；（3）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意得，解得，故直線(xiàn)的解析式是,則解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）解：由圖象可知，時(shí)，y=kx+b故不等式的解集是；（3）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,則點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、利用二元一次方程組求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)、利用函數(shù)圖象解不等式，掌握待定系數(shù)法的一般步驟、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵【變式3】（22-23八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)：經(jīng)過(guò)，動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)：上，直線(xiàn)和交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求直線(xiàn)的解析式；(2)交點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(3)過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，求的值；(4)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)交軸于點(diǎn)，以為邊向右作正方形，當(dāng)正方形的頂點(diǎn)或落在直線(xiàn)上時(shí)，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)(3)的值為或(4)的值為或0或【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將代入，解出即可解決；（2）根據(jù)表達(dá)式聯(lián)立組成方程組，解出即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)，可得，，解方程即可解決；（4）由題意得：，，根據(jù)正方形性質(zhì)可得，，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，則，，分別將點(diǎn)、點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求得答案．【詳解】（1）解：將代入中，，解得，∴：；（2）解：由題意得：，解得：，點(diǎn)，故答案為：；（3）在：上，，，軸，在：上，，，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，，即，解得：，，的值為或；（4）解：的值為或0或．理由如下：當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)在上時(shí)，，解得：，當(dāng)在上時(shí)，，解得：；

當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)在上時(shí)，，此方程無(wú)解，當(dāng)在上時(shí)，，解得：；

綜上：的值為或0或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形性質(zhì)、正方形性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是分類(lèi)畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題應(yīng)用3：方程組的解與兩個(gè)一次函數(shù)的關(guān)系【例題3】直線(xiàn)與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，則方程組的解的情況是（

）A．有無(wú)數(shù)組解 B．有一組解 C．有兩組解 D．沒(méi)有解【答案】D【分析】根據(jù)二元一次方程組的解與一次函數(shù)交點(diǎn)的關(guān)系解答即可．【詳解】直線(xiàn)與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，則方程組沒(méi)有解．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解與一次函數(shù)交點(diǎn)的關(guān)系．熟練掌握兩者的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵【變式1】方程組沒(méi)有解，因此直線(xiàn)y=﹣x+2和直線(xiàn)y=﹣x+在同一平面直角坐標(biāo)系中的位置關(guān)系是（）A．重合 B．平行 C．相交 D．以上三種情況都有可能【答案】B【分析】方程組可化為,若方程組沒(méi)有解，說(shuō)明直線(xiàn)y=﹣x+2和直線(xiàn)y=﹣x+在同一平面直角坐標(biāo)系中沒(méi)有交點(diǎn)，可得兩直線(xiàn)關(guān)系.【詳解】方程組可化為,若方程組沒(méi)有解，說(shuō)明直線(xiàn)y=﹣x+2和直線(xiàn)y=﹣x+在同一平面直角坐標(biāo)系中沒(méi)有交點(diǎn)，所以，兩條直線(xiàn)平行.故選B【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：一次函數(shù)與方程組.解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解一次函數(shù)與方程組的關(guān)系【變式2】（23-24八年級(jí)上·廣西梧州·期中）直線(xiàn)與平行,則方程組的解的情況是．【答案】無(wú)解【分析】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程組解的關(guān)系．熟知兩個(gè)一次函數(shù)平行無(wú)交點(diǎn)即可得到本題答案．【詳解】解:∵直線(xiàn)與平行,∴兩直線(xiàn)無(wú)交點(diǎn),∴方程組無(wú)解．故答案為:無(wú)解．【變式3】（2022八年級(jí)下·上海·專(zhuān)題練習(xí)）已知兩個(gè)一次函數(shù)和；(1)、為何值時(shí)，兩函數(shù)的圖像重合?(2)、滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，兩函數(shù)的圖像相互平行?(3)、取何值時(shí)，兩函數(shù)圖像交于軸上同一點(diǎn)，并求這一點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)且(3)，，坐標(biāo)為（2，0）【分析】（1）因?yàn)閮珊瘮?shù)的圖象重合，也就是兩個(gè)函數(shù)的比例系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相等，由此建立關(guān)于a、b的方程組，求得a、b的數(shù)值；（2）根據(jù)“兩個(gè)一次函數(shù)的圖像平行，則比例系數(shù)相等，常數(shù)不相等”列式求解即可；（3）分別根據(jù)兩函數(shù)與x軸相交于同一點(diǎn)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵兩函數(shù)的圖像重合∴兩個(gè)一次函數(shù)的比例系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都相等，∴解得：；（2）∵兩個(gè)一次函數(shù)的圖像平行，∴比例系數(shù)相等，常數(shù)不相等，∴，且，即，且；（3）∵兩個(gè)一次函數(shù)的圖像交于軸上一點(diǎn)，即兩個(gè)一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)重合，∴兩個(gè)一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)重合；對(duì)于，令，得，對(duì)于，令，得，∴，即，∴當(dāng)，時(shí)，兩函數(shù)圖像交于軸上同一點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線(xiàn)相交和平行問(wèn)題，利用兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式所組成的方程組的解解決問(wèn)題應(yīng)用4：利用二元一次方程組求一次函數(shù)的解析式【例題4】（22-23八年級(jí)下·廣東江門(mén)·期末）直線(xiàn)與軸、軸交于A、兩點(diǎn)，的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)的解析式是（

）（提示：在軸上取一點(diǎn)，使，連接）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)于已知直線(xiàn)，分別令與為0求出對(duì)應(yīng)與的值，確定出A與的坐標(biāo)，在軸上取一點(diǎn)，使，連接，由為的平分線(xiàn)，得到，利用得出兩三角形全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到，設(shè)，可得出，在中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值，確定出坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)解析式為，將A與坐標(biāo)代入求出與的值，即可確定出直線(xiàn)解析式．【詳解】解：對(duì)于直線(xiàn)，令，求出；令求出，，，即，，根據(jù)勾股定理得：，在軸上取一點(diǎn)，使，連接，如圖所示：

為的平分線(xiàn)，，在和中，，，設(shè)，則，在中，，根據(jù)勾股定理得：，解得：，，即，設(shè)直線(xiàn)解析式為，將A與坐標(biāo)代入得：，解得：，則直線(xiàn)解析式為．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵【變式1】（23-24八年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，且它的圖象與軸的交點(diǎn)和直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)一次函數(shù)的解析式為．【答案】【分析】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．首先求出直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)進(jìn)一步求出所求的一次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，然后設(shè)所求的一次函數(shù)解析式為，再利用待定系數(shù)法將點(diǎn)和代入可得出方程組，解出即可得出和的值，即得出了函數(shù)解析式．【詳解】解：直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，所求直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，設(shè)所求直線(xiàn)的解析式為，所求直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，，解得：，所求的一次函數(shù)解析式為：．故答案為：【變式2】（23-24八年級(jí)下·重慶九龍坡·期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)：與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，兩直線(xiàn)交于點(diǎn)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，．(1)求直線(xiàn)的解析式；(2)如圖2，連接，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)且位于直線(xiàn)下方，若有，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖3，將直線(xiàn)平移得到直線(xiàn)，使得直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解點(diǎn)坐標(biāo)其中一種情況的過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）分別令求得點(diǎn)，，根據(jù)題意得出，，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）先求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式求得，根據(jù)建立方程，即可求解；（3）根據(jù)平移可得的解析式為，得出，設(shè)，又，根據(jù)勾股定理表示出，進(jìn)而分三種情況討論，建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：對(duì)于直線(xiàn)：，當(dāng)，則，當(dāng)，則，∴，∴∵，點(diǎn)在軸負(fù)半軸，則，∵是的中點(diǎn)，∴設(shè)直線(xiàn)的解析式為，代入，，解得：∴直線(xiàn)的解析式為；（2）∵，∴聯(lián)立，解得：∴∵在直線(xiàn)上，設(shè)，∴∵∴解得：∴坐標(biāo)為（3）解：將直線(xiàn)平移得到直線(xiàn)，使得