直線與平面平行的判定高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊(cè)

4.1直線與平面平行的判定第六章立體幾何初步認(rèn)識(shí)知識(shí)回顧：在空間中直線與平面有幾種位置關(guān)系？直線在平面內(nèi)

直線與平面相交

直線與平面平行文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言α

aAα

aαa

怎樣判定直線與平面平行呢？問(wèn)題

根據(jù)定義，判定直線與平面是否平行，只需判定直線與平面有沒(méi)有公共點(diǎn)．但是，直線無(wú)限延長(zhǎng)，平面無(wú)限延展，如何保證直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)呢？a（1）分析實(shí)例—猜想定理問(wèn)題1:觀察湖面上的大橋，大橋與它的倒影所在的平面（湖面）是什么位置關(guān)系？（1）分析實(shí)例—猜想定理問(wèn)題2:在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，觀察棱CC1與側(cè)面ABB1A1以及CC1與BB1的位置關(guān)系,由此你認(rèn)為保證CC1

//側(cè)面ABB1A1的條件是什么？D1C1BACDB1A1（2）動(dòng)手操作—確認(rèn)定理

問(wèn)題3:將一本書平放在桌面上，翻動(dòng)書的頁(yè)面，頁(yè)面邊緣所在直線與桌面所在平面具有什么樣的位置關(guān)系？

7（2）動(dòng)手操作—確認(rèn)定理ABCD在封面翻動(dòng)過(guò)程中:直線AB在桌面所在的平面外直線CD在桌面所在的平面內(nèi)直線AB與CD始終是平行的直線AB與桌面始終是平行的

ba

如果平面外的一條直線和此平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.直線和平面平行的判定定理：簡(jiǎn)述為：線線平行

線面平行空間問(wèn)題平面問(wèn)題注意：使用定理時(shí)，必須具備三個(gè)條件（1）直線a在平面α外，（2）直線b在平面α內(nèi)，（3）兩條直線a、b平行。

三個(gè)條件缺一不可（1）若直線a不在平面α外，即a在平面α內(nèi)a//α嗎？ab缺少條件1，顯然不成立。反例：（2）若直線b不在平面α內(nèi)，a//嗎？ab缺少條件2，定理也不成立。缺少條件3，定理也不成立。ab（3）若直線a不平行于直線b，a//嗎？

三個(gè)條件缺一不可，缺少其中任何一條，則結(jié)論就不一定成立了。例1.下列命題正確的個(gè)數(shù)是()(1)若直線a上有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)不在平面

內(nèi)，則a

∥

;(2)如果直線a、b平行于同一個(gè)平面,那么a∥b

；(3)若直線a與平面

內(nèi)一直線平行，則a∥

；(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行.A.0B.1C.2D.3A2.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是()BCD例2、實(shí)踐：（口答）如圖：長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′中，

①與AB平行的平面是____________

②

與AA′平行的平面是____________

③

與AD平行的平面是_____________①平面A′B′C′D′和平面DCC′D′②平面BCC′

B′和平面DCC′D′③平面A′B′C′D′和平面BCC′B′D’C’B’A’DCBA

已知：三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)。求證：EF//平面BCD證明：∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)∴EF//BD

由直線與平面平行的判斷定理得:EF//平面BCD。例1定理應(yīng)用中位線法ABEFDC如圖，在三棱錐A-BCD中，E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若，則EF與平面BCD的位置關(guān)系是_____________.

EF//平面BCD變式1四、定理應(yīng)用比值相等法ABEFDCBDFOACE變式2:

如圖,四棱錐A—DBCE中,底面DBCE為正方形,F為AE的中點(diǎn).求證:AB//平面DCF.例2.正方體ABCD——A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC與C1D1的中點(diǎn).判斷EF與平面BDD1B1位置關(guān)系，說(shuō)明理由。MM方法一方法二平行四邊形法應(yīng)用判定定理判定線面平行的關(guān)鍵是找平行線。方法一：三角形的中位線方法二：平行四邊形的平行關(guān)系。數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想空間問(wèn)題平面問(wèn)題方法三：線段成比例方法四：基本事實(shí)4五、方法總結(jié)證明:連接BD交AC于O,連結(jié)EO∵O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),∴DO=OB,

又∵DE=ED1,∴BD1//EO.ED1C1B1A1DCBAO鞏固練習(xí)1:如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，求證:BD1//平面AEC.變式訓(xùn)練.如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn).求證：AB1//平面DBC1P鞏固練習(xí)2:如圖所示，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點(diǎn)，求證：AF∥平面PCE.GPBCADEF鞏固練習(xí)3:如圖，在四面體A－BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.求證：PQ∥平面BCD.鞏固練習(xí)4:

鞏固練習(xí)5:B如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM=ND，求證：MN∥平面AA1B1B.鞏固練習(xí)6:證明直線與平面平行的方法：（1）利用定義:（2）利用判定定理:線線平行線面平行直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)應(yīng)用判定定理判定線面平行時(shí)應(yīng)注意六個(gè)字:（1）面外（2）面內(nèi)（3）平行六、課堂小結(jié)4.2直線與平面平行的性質(zhì)第六章立體幾何初步認(rèn)識(shí)

ba

如果平面外的一條直線和此平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.直線和平面平行的判定定理：線線平行

線面平行思考1:如果直線a與平面α平行，那么經(jīng)過(guò)直線a的平面與平面α有幾種位置關(guān)系？αaαa思考2:如果直線a與平面α平行，經(jīng)過(guò)直線a的平面與平面α相交于直線b，那么直線a、b的位置關(guān)系如何？為什么？αabβ證明：∵α∩β=b，∴b?α.又a//α，∴a與b沒(méi)有公共點(diǎn).又a?β，

b?β，∴a//b.線面平行的性質(zhì)定理:

如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)該直線的任意一平面與已知平面的交線與該直線平行.簡(jiǎn)述為：線面平行線線平行αabβ練習(xí)：以下命題（其中a，b為直線，

為平面）①

③若a∥b，b∥，則a∥

④其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè)

D.3個(gè)A例1：有一塊木料如圖，已知棱BC平行于B′C′．(1)要經(jīng)過(guò)木料表面A′B′C′D′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？(2)所畫的線和平面ABCD有什么關(guān)系？解：(1)如右圖，在平面A'C內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線EF，使EF//B'C'，并分別交棱A'B',D'C'

于點(diǎn)E,F.連接BE,CF,則EF,BE,CF就是應(yīng)畫的線.(2)∵BC//平面A'C',平面BC'∩平面A'C'=B'C',∴BC//B'C'.由(1)知，EF//B'C'，∴EF//BC.

而BC在平面AC內(nèi)，EF

在平面AC外，

∴EF//平面AC，

顯然BE,CF都與平面AC相交.HOACBDGPM例2如下圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH.寫出GH的作圖過(guò)程，并證明：AP∥GH.

例5.如圖，在三棱錐P－ABQ中，E，F(xiàn)，C，D分別是PA，PB，QB，QA的中點(diǎn)，平面PCD∩平面QEF＝GH.求證：AB∥GH.

例5.已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是B1D1上一點(diǎn)，且PQ//面AB1，則線段

PQ長(zhǎng)為

．ABCDA1B1C1D1PQ

課堂小結(jié)證明平行的轉(zhuǎn)化思想：線//線線//面線面平行的判定定理線面平行的性質(zhì)定理4.3平面與平面平行的性質(zhì)第六章立體幾何初步認(rèn)識(shí)1.復(fù)習(xí)（1）直線與平面平行判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.簡(jiǎn)稱：線線平行，則線面平行.一條直線與一個(gè)平面平行,如果過(guò)該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.簡(jiǎn)稱：線面平行，則線線平行.（2）直線與平面平行性質(zhì)定理符號(hào)表示：符號(hào)表示：αabβ

1.面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面的任意一條直線平行于另一個(gè)平面。面面平行線面平行下面我們研究平面與平面平行的性質(zhì),也就是以平面與平面平行為條件，探究可以推出哪些結(jié)論.2.平面與平面平行的性質(zhì)定理:（面面平行線線平行）兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.ba例1求證:夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等.已知：如圖示,α//β,AB//CD,且A∈β,C∈β,B∈α,D∈α,求證：AB=CD.

例4如圖，平面α，β，γ兩兩平行，且直線l與α，β，γ分別交于點(diǎn)A,B,C,直線m與α，β，γ分別交于點(diǎn)D,E,F,AB=6,BC=2,EF=3.求DE的長(zhǎng).解當(dāng)直線m與l共面時(shí)，該平面與α，β，γ分別交于直AD,BE,CF,因?yàn)棣粒?，γ兩兩平行，所以AD∥BE∥CF,故當(dāng)直線m與l不共面時(shí)，連接DC.設(shè)DC與β相交于點(diǎn)G,則平面ACD與α，β分別相交于直線AD,BG,平面DCF與β，γ分別交于直線GE,CF.因?yàn)棣粒?，γ兩兩平行，所以BG∥AD,GE∥CF.因此所以

又因?yàn)锳B=6,BC=2,EF=3,所以,DE=9.

4.4平面與平面平行的判定第六章立體幾何初步認(rèn)識(shí)1、平面β內(nèi)有一條直線與平面α平行，平面α，β一定平行嗎？（不一定）2、平面β內(nèi)有兩條直線與平面α平行，平面α，β一定平行嗎？思考：一平面內(nèi)兩條平行直線都平行于另一平面兩平面位置關(guān)系？判定方法2：平面與平面平行的判定定理：

符號(hào)表示：

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.P①內(nèi)②交③平行線面平行面面平行

mn解：(1)錯(cuò)誤；(2)正確；(3)錯(cuò)誤；αβl(1)αβl(3)a(4)正確；(5)正確.2.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO?

4.如圖，B為△ACD所在平面外一點(diǎn)，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心，求證：平面MNG∥平面ACD。CBADN·M··G5.如圖，在正四棱錐S－ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持PE∥平面SBD.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與△SCD組成的相關(guān)圖形最有可能是圖中的()A

BC,D)D

A

6.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，M，N分別為棱A1D1，A1B1的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為________．18面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面的任意一條直線平行于另一個(gè)平面。證明線面平行有兩種：一是找線；二是找面.面面平行線面平行A1C1B1ACBD1DPQ例1、設(shè)P，Q是單位正方體AC１的面AA１D１D、面A1B1C1D1的中心.證明：PQ//平面AA1B1B例1、設(shè)P，Q是單位正方體AC１的面AA１D１D、面A1B1C1D1的中心.證明：PQ//平面AA1B1B變式.如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一點(diǎn)P，Q，且AP＝DQ.求證PQ∥平面BCE.(用多種方法證明)4.5平行關(guān)系復(fù)習(xí)第六章立體幾何初步認(rèn)識(shí)三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線平行線面平行面面平行線面平行判定線面平行性質(zhì)面面平行判定面面平行定義面面平行性質(zhì)若一條直線和兩個(gè)相交平面都平行,則這條直線和它們的交線的位置關(guān)系是

.平行練習(xí)1:

、

、

為三個(gè)不重合的平面，a，b，c為三條不同直線，則下列命題，正確的是