銳角三角函數(shù)（學(xué)案含解析）

2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案

23銳角三角函數(shù)

中考命題說(shuō)明

考點(diǎn)課標(biāo)要求考查角度

通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)，知道30。45。,

常以選擇題、填空題的形式考查銳

銳角三角60。角的三角函數(shù)值；會(huì)使用計(jì)算器由已知

1角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角

函數(shù)銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值

函數(shù)值的計(jì)算等.

求它對(duì)應(yīng)的銳角.

①會(huì)利用銳角三角函數(shù)解直角三角形；常以選擇題、填空題、解答題的形式

解直角三

2②能運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)考查運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角

角形

的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，以應(yīng)用題為主.

知識(shí)第1：銳角三荒商政

知識(shí)點(diǎn)梳理

1.銳角三角函數(shù)的定義:

在RtZSABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,\C=b

ZA的對(duì)邊a

正弦:sinA=

斜邊

ex;勺譽(yù)邊，

余弦:

斜邊c

3A=幺黑半，.

余切:

Z4的鄰邊b

2.幾個(gè)重要公式：

設(shè)。是一個(gè)銳角，則sina=cos(90°—a),cosa=sin(90°—a),sin2a+cos2a=l.

3.特殊角的三角函數(shù)值：

asinacosatana

]_

30°走旦

223

45°也正1

22

60°走6

22

4.銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律：

①當(dāng)0。<01<90。時(shí)，sina（tana）隨著角度的增大（減?。┒龃螅p?。?

②當(dāng)時(shí)，cosa隨著角度的增大（減?。┒鴾p?。ㄔ龃螅?

?、

典型用甄

【例1】（4分）（2021?福建9/25）如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)P在48的延長(zhǎng)線上，PC,PO與。。

相切，切點(diǎn)分別為C,D.若A8=6,PC=4,則sin/CAZ）等于（）

3234

A.-B.-C.-D.-

5345

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；解直角三角形；圓周角定理

【分析】連接OC、O。、CD,CD交外于E,如圖，利用切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理得到OC_LCP,

PC=PD,OP平分NCPO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OP_LCQ,貝iJ/C08=N￡>08,根據(jù)圓周角定

理得到NC4O=LNCO￡>,所以NC08=NC4。，然后求出sinNCOP即可.

2

【解答】解：連接OC、OD、CD,CD交叢于E,如圖，

ypc,尸。與G）O相切，切點(diǎn)分別為C,D,

：.OCA.CP,PC=PD,OP平分NCPD,

J.OPLCD,

：.CB=DB,

：.ZC0B=ZD0B,

ZCAD=-ZCOD,

2

：.ZCOB=ZCAD,

在RtAOCP中，OP=yl0C2+PC2=>/32+42=5,

pc4

JsinZCOP=—=",

OP5

4

sinZC4D=-.

5

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理和解直角三

角形.

【例2】（3分）（2021?天津2/25）tan30。的值等于（）

A.—B.—C.ID.2

32

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案.

【解答】解：tan30°=正.

3

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

【例3】（5分）（2021?北京17/28）計(jì)算：2sin60°+版+卜5|-+

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)基；特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】直接利用零指數(shù)基的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，分別化

簡(jiǎn)得出答案.

【解答】解：原式=2x且+26+5-1

2

—y/3+2>/3+5-1

=373+4.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了零指數(shù)累的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等

知識(shí)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

【例4】（6分）（2021?云南15/23）計(jì)算：（-3了+四竺+（及-1）°一2]+2x（-6）.

23

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)累；特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)嘉

【分析】先分別計(jì)算乘方，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)基，負(fù)整數(shù)指數(shù)哥，然后在按照有理數(shù)的混合

運(yùn)算順序和法則進(jìn)行計(jì)算.

【解答】解：原式=9+'+」-4=6.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)基及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，掌握運(yùn)算順序

準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵.

知濃點(diǎn)2：解直角三角形

知識(shí)點(diǎn)梳理

1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程,叫做解直角三角形.

2.解直角三角形的常用關(guān)系：

在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b,則:

(1)三邊關(guān)系:a2+b2=c2.

(2)兩銳角關(guān)系:ZA+ZB=90°.

(3)邊與角關(guān)系：sinA-cosB--,cosA=sin8=2,tanA=—.

ccb

(4)sin2A+cos2A=1.

3.解直角三角形的應(yīng)用常用知識(shí)：

(1)仰角和俯角：

仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角.

俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角.

(2)坡度和坡角

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度6與水平寬度/的比叫做坡度或坡比，一般用i表示.

----------------------I

坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a,i=tana.

坡度越大，a角越大，坡面越陡.

(3)方向角(或方位角)

指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角叫做方向角.

福型田勉

3

【例5】(4分)(2021?云南4/23)在△A3C中，ZABC=90°.若AC=100,sinA=1,則AB的長(zhǎng)是

()

A500c503c°C

A.-----B.C.60D.80

35

【考點(diǎn)】解直角三角形

【分析】利用三角函數(shù)定義計(jì)算出8C的長(zhǎng)，然后再利用勾股定理計(jì)算出A8長(zhǎng)即可.

T.

【解答】解：：AC=100,sinA=-,

5

ABC=60,

/.AB=ylAC2-BC2=80,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握正弦定義.

【例6】(6分)(2021?北京22/28)如圖，在四邊形ABC。中，N4CB=NC4O=9()°,點(diǎn)E在BC

上，AE//DC,EFLAB,垂足為F.

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；

4

（2）若AE平分NBAC,BE=5,cosB=—，求BF和AD的長(zhǎng).

5

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；解直角三角形.

【分析】（1）證AQ〃CE,再由AE〃OC,即可得出結(jié)論；

（2）先由銳角三角函數(shù)定義求出8F=4,再由勾股定理求出EF=3,然后由角平分線的性質(zhì)得EC=

EF=3,最后由平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

【解答】（1）證明：???NAC8=NC4D=9（r,

：.AD//CE,

'：AE//DC,

：.四邊形AECD是平行四邊形；

（2）解：,：EF1AB,

：.ZBF￡=90°,

..48F

?COSD——=------，

5BE

44

：.BF=-BE=-x5=4,

55

EF=^BE2-BF2=V52-42=3,

平分NB4C,EFLAB,NACE=90°,

:.EC=EF=3,

由（I）得：四邊形AEC力是平行四邊形，

：.AD=EC=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理等

知識(shí)；熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，證明四邊形AEC。為平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

【例7】（8分）（2021?西藏25/27）如圖，為了測(cè)量某建筑物C￡）的高度，在地面上取A,B兩點(diǎn),使

A、B、。三點(diǎn)在同一條直線上，拉姆同學(xué)在點(diǎn)A處測(cè)得該建筑物頂部C的仰角為30°,小明同學(xué)在

點(diǎn)8處測(cè)得該建筑物頂部C的仰角為45°,且A8=10m.求建筑物8的高度.

（拉姆和小明同學(xué)的身高忽略不計(jì).結(jié)果精確到0.1m,A/3?1.732）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問(wèn)題

【分析】連接AC、BC,由銳角三角函數(shù)定義求出8￡>=CD,AD=y/3CD,再由AB=AL>-B￡>,即可求

解.

【解答】解：連接AC、BC,如圖所示：

由題意得：ZA=30°,NDBC=45°,45=10m,

在RtABDC't1,tanZ.DBC=—=tan45O=l.

BD

：.BD=CD,

在Rt^ACD中，tanZDAC=—=tan300=—,

AD3

AD=辰D,

AAB=AD-BD=y/3CD-CD=10（m）,

解得：8=56+5=13.7（m）,

答：建筑物CD的高度約為13.7m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，求出5Z）=CD,

AO=百8是解答本題的關(guān)鍵.

【例8】（3分）（2021?山西14/23）太原地鐵2號(hào)線是山西省第一條開通運(yùn)營(yíng)的地鐵線路，于2020年

12月26日開通，如圖是該地鐵某站扶梯的示意圖，扶梯AB的坡度i=5：12（為鉛直高度與水平寬度

的比）.王老師乘扶梯從扶梯底端A以0.5米/秒的速度用時(shí)40秒到達(dá)扶梯頂端B,則王老師上升的

鉛直高度BC為米.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問(wèn)題

【分析】由坡度的定義，可設(shè)8c=5。米，則AC=12a米，再由勾股定理得出方程，解方程即可求解.

【解答】解:由題意得：ZACB=90°,43=0.5X40=20（米），

；扶梯A8的坡度，=5:12=史，

AC

：.設(shè)BC=5a米，則AC=12。米，

由勾股定理得：（54）2+（12“）2=2（）2,

解得：a=—（負(fù)值已舍去），

13

BC-—（米），

13

故答案為：—.

13

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問(wèn)題以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握坡度的定義

和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【例9】（10分）（2021?天津22/25）如圖，一艘貨船在燈塔C的正南方向，距離燈塔257海里的A處

遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào).一艘救生船位于燈塔C的南偏東40°方向上，同時(shí)位于A處的北偏東60°方

向上的B處，救生船接到求救信號(hào)后，立即前往救援.求AB的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：tan40。

-0.84,G取1.73.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用一方向角問(wèn)題

【分析】通過(guò)作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的意義列方程求解即可.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作垂足為H,

由題意得，ZBAC=60°,ZBCA=40°,AC=257,

在中，

tanZBAH=—,cosNBAH=—,

AHAB

A”

，BH=AHtan60°=>/3AH，AB=---------=2AH，

cos60°

在RtzXBC”中，

??

.ta+nNB/CRHru=---B--H，

CH

.??BHNAH

??Cn=------=---------，

tan400tan40°

^：CA=CH+AH,

?___\/3AH

??257=------+AH,

tan40°

所以47=257x34],

tan400+V3

.Afi=2x257xtan40°g2x257x0.84=168（海里），

tan40°+V31.73+0.84

答：A8的長(zhǎng)約為168海里.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

【例10】（10分）（2021?青海24/25）如圖1是某中學(xué)教學(xué)樓的推拉門，已知門的寬度AO=2米,

且兩扇門的大小相同（EPAB=CD）,將左邊的門A881A1繞門軸A41向里面旋轉(zhuǎn)35°,將右邊的門

COD1C1繞門軸￡>￡>1向外面旋轉(zhuǎn)45°,其示意圖如圖2,求此時(shí)8與C之間的距離（結(jié)果保留一位

小數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin35°七0.6,cos35°^0.8,x/2Q1.4）

【考點(diǎn)】生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；解直角三角形的應(yīng)用.

【分析】作8ELAO于點(diǎn)E,作于點(diǎn)F,延長(zhǎng)FC到點(diǎn)M,使得3E=CM,則EM=8C,在

RtA/lBE.Rt/XCDf中可求出AE、BE、DF、R7的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出E尸的長(zhǎng)度，再在中

利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)，此題得解.

【解答】解：作BELAQ于點(diǎn)￡,作CFLAQ于點(diǎn)F,延長(zhǎng)FC到點(diǎn)M,使得BE=CM,

：A8=CE,AB+CD=AD^2,

：.AB=CD^l,

在RtZkABE中，ZA=35°，AB=\,

：.BE=AB'sinZA=1Xsin350心0.6,

；.4E=A8?cosNA=lXcos35°*0.8,

在RtZXCCF中，ZD=45°,CD=\,

.?.CF=C￡>.sinNO=lXsin45°七0.7,

.,.DF-CD-cosZD-1Xcos450-0.7,

'：BELAD,CF1.AD,

:.BE〃CM,

又；BE=EM,

四邊形BEMC是平行四邊形，

:.BC=EM,

在RtZXMEF中，F(xiàn)M=CF+CM=\.3,EF=AD-AE-FD=0.5,

：.EM=>JEF2+FM2=VL94=1.4.

答：B與C之間的距離約為1.4米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，

利用勾股定理求出8c的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

[例11]（8分）（2021?江西20/23）圖1是疫情期間測(cè)溫員用“額溫槍”對(duì)小紅測(cè)溫時(shí)的實(shí)景圖，

圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身2A與額頭保持垂直.量得

胳膊A/N=28c〃3MB=42cm,肘關(guān)節(jié)M與槍身端點(diǎn)4之間的水平寬度為25.3CTH（即MP的長(zhǎng)度），

槍身BA=8.5cm.

（1）求/ABC的度數(shù)；

（2）測(cè)溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)A與額頭距離范圍為3?5°”.在圖2中，若測(cè)得/BMN=68.6°,小紅與

測(cè)溫員之間距離為50c%.問(wèn)此時(shí)槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說(shuō)明理由.（結(jié)

果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°*=0.92,cos66.4040.40,sin23.6°七0.40,&61.414）

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作垂足為H,根據(jù)解直角三角形COS/BMH=M^=畫=0.4,即

BM42

可計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可算出N48c的度數(shù)；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和已知條件可計(jì)算出NNM/的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)即可算出M/的長(zhǎng)度，再

根據(jù)已知條件即可算出PK的長(zhǎng)度，即可得出答案.

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)8作垂足為H,過(guò)點(diǎn)用作M/_LFG,垂足為/,過(guò)點(diǎn)尸作尸K_L

DE,垂足為K,

u

：MP=253cmfBA=HP=S.5cmf

:?MH=MP-HP=25.3-8.5=16.8(cm),

在中，

8s4m〃=也=小=。4,

BM42

AZBM//=66.4°,

9：AB//MP,

：.ZBMH+ZABC=\SO°,

AZABC=\SO0-66.4°=113.6°；

(2)???NABC=180°-ZBMH=180°-66.4°=113.6°.

?：NBMN=68.6°,NBMH=66.4°,

???NNM/=180°-N8MN-N8M"=180°-68.6°-66.4°=45°,

?；MN=28cm,

.._oMlMl

MN28

:19.74cm,

〈KI=50cm,

：.PK=KI?MI?MP=50-19.74-25.3=4.96^5.0(^),

???此時(shí)槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是在規(guī)定范圍內(nèi).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的

關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

X__________________________/

1.（6分）（2021?呼倫貝爾?興安盟18/26）計(jì)算:-T2-2sin60°+|1-^|-Jj.

2.（5分）（2021?通遼18/26）計(jì)算：（；尸+（萬(wàn)一3）°-2cos30。+|3-疵|.

3.（3分）（2021?西藏14/27）計(jì)算：U-3）°+（-1）-2-4sin30°=3.

4.（5分）（2021?新疆15/23）如圖，已知正方形A88邊長(zhǎng)為1,E為他邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為中心，

A/7O

將按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△￡>“；連接EF,分別交30,CO于點(diǎn)"，N,若——=-,則

DN5

sinZ￡ZW=—.

5

4

5.（10分）（2021?上海21/25）如圖，已知△AB。中，ACVBD,8c=8,CD=4,cosZABC=-,BF

5

為AO邊上的中線.

（1）求AC的長(zhǎng)；

（2）求tan/FBD的值.

6.（6分）（2021?廣東20/25）如圖，在RtZ\ABC中，44=90。，作8C的垂直平分線交AC于點(diǎn)。，

延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E,使CE=A8.

（1）若AE=1,求△ABD的周長(zhǎng)；

（2）若=求tanZA8c的值.

3

7.（12分）（2021?河北26/26）在一平面內(nèi)，線段A8=20,線段BC=CD=OA=10,將這四條線段

順次首尾相接.把AB固定，讓AQ繞點(diǎn)A從AB開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a（a>0°）到某一位置時(shí)，BC,

CD將會(huì)跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置.

論證：如圖1,當(dāng)AO〃BC時(shí)，設(shè)AB與C。交于點(diǎn)O,求證：40=10；

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=60°時(shí)，NADC的度數(shù)可能是多少？

嘗試：取線段CQ的中點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)用與點(diǎn)B距離最大時(shí)，求點(diǎn)”到AB的距離；

拓展：①如圖2,設(shè)點(diǎn)。與8的距離為d,若N8CO的平分線所在直線交A8于點(diǎn)P,直接寫出BP

的長(zhǎng)（用含4的式子表示）；

②當(dāng)點(diǎn)C在AB下方，且與CO垂直時(shí)，直接寫出”的余弦值.

8.（3分）（2021?呼和浩特8/24）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4,剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，則可求

出此正八邊形的外接圓直徑d,根據(jù)我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形

的周長(zhǎng)近似代替其外接圓周長(zhǎng)，便可估計(jì)次的值，下面d及申的值都正確的是（）

A..=8（及-1）,*8sin22.5°

sin22.5°

B.d="&T）,^?4sin22.5°

sin22.5°

C.”=4（夜-1）,”8sin22.5°

sin22.5°

D.d=8?1）,乃。4sin22.5°

sin22.5°

9.（3分）（2021?包頭12/26）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。ABC的0A邊在*軸的正半軸上，OC

邊在y軸的正半軸上，點(diǎn)6的坐標(biāo)為（4,2）,反比例函數(shù)y=±（x>0）的圖象與3c交于點(diǎn)與對(duì)

x

角線OB交于點(diǎn)E,與AB交于點(diǎn)F,連接OD,DE,EF,DF.下列結(jié)論：

①sinZDOC=cosZBOC；②OE=BE；③S"叱=5：；④。O:OF=2:3.

其中正確的結(jié)論有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

10.（3分）（2021?鄂爾多斯10/24）如圖①，在矩形ABCD中，”為CD邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A

出發(fā)沿折線AH-HC-CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，它們的運(yùn)

動(dòng)速度都是1刖/s,若點(diǎn)M、N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r（s）,ZVIMN的面積為Sa/）,已

知S與/之間函數(shù)圖象如圖②所示，則下列結(jié)論正確的是（）

①當(dāng)0<f,,6時(shí)，△AMN是等邊三角形.

②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使得為等腰三角形的點(diǎn)M一共有3個(gè).

③當(dāng)0<4,6時(shí)，S=—t2.

4

④當(dāng)f=9+6時(shí)，IXADRsXABM.

⑤當(dāng)9V，<9+3G時(shí)，S=-3r+9+3石.

A.①③④B.①③⑤C.①②④D.③④⑤

11.（3分）（2021?赤峰16/26）某滑雪場(chǎng)用無(wú)人機(jī)測(cè)量雪道長(zhǎng)度.如圖，通過(guò)無(wú)人機(jī)的鏡頭C測(cè)一段

水平雪道一端A處的俯角為50。，另一端3處的俯角為45。，若無(wú)人機(jī)鏡頭C處的高度CD為238

米，點(diǎn)A,。，3在同一直線上，則雪道A5的長(zhǎng)度為還米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)sin50°*0.77,

cos50°x0.64,tan50°?1.19）

12.（12分）（2021?赤峰24/26）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、5D相交于點(diǎn)。。經(jīng)過(guò)

點(diǎn)6,C,交對(duì)角線瓦）于點(diǎn)石，且CE=BE,連接OE交6C于點(diǎn)尸.

（1）試判斷AB與。0的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若8。=必右，tanZCBZ）=-,求。。的半徑.

52

13.（7分）（2021?呼倫貝爾?興安盟22/26）如圖，在山坡AP的坡腳A處豎有一根電線桿AB（即

AB1MN）,為固定電線桿，在地面。處和坡面D處各裝一根引拉線3C和即，它們的長(zhǎng)度相等，

測(cè)得AC=6米，tan/BC4=±,ZPAN=30°,求點(diǎn)。到/歸的距離.

3

14.（8分）（2021?呼和浩特20/24）如圖，線段EF與表示某一段河的兩岸，EF//MN.綜合實(shí)踐

課上，同學(xué)們需要在河岸MN上測(cè)量這段河的寬度（EF與MN之間的距離），己知河對(duì)岸EF上有建

筑物C、D,且CD=60米，同學(xué)們首先在河岸例N上選取點(diǎn)4處，用測(cè)角儀測(cè)得C建筑物位于A北

偏東45°方向，再沿河岸走20米到達(dá)B處，測(cè)得。建筑物位于8北偏東55°方向，請(qǐng)你根據(jù)所測(cè)

數(shù)據(jù)求出該段河的寬度，（用非特殊角的三角函數(shù)或根式表示即可）

15.（7分）（2021?通遼21/26）如圖，一段河流自西向東，河岸筆直，且兩岸平行.為測(cè)量其寬度，

小明在南岸邊B處測(cè)得對(duì)岸邊A處一棵大樹位于北偏東60°方向，他以1.5〃〃s的速度沿著河岸向

東步行40s后到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得大樹位于北偏東45。方向，試計(jì)算此段河面的寬度（結(jié)果取整數(shù),

參考數(shù)據(jù)：73*1.732）

16.（8分）（2021?鄂爾多斯20/24）圖①是一種手機(jī)平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機(jī)放

置在托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，托板長(zhǎng)4?=115皿支撐板長(zhǎng)8=70〃沖，板AB固定在

支撐板頂點(diǎn)C處，且CB=35mm,托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng),支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，ZCP￡=60".

（1）若NDCB=70。時(shí)，求點(diǎn)A到直線DE的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位）；

（2）為了觀看舒適，把（1）中〃C8=70。調(diào)整為90°,再將CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落

在直線DE上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度.

（參考數(shù)據(jù):sin50°?0.8,cos50°?0.6,tan50°?1.2,sin26.6°?0.4,cos26.6°?0.9,tan26.6°?0.5,

73?1.7）

17.（9分）（2021?鄂爾多斯21/24）如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交AC于點(diǎn)

D,3c于點(diǎn)E,直線即1AC于點(diǎn)/，交A6的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

（1）求證：印7是。。的切線；

（2）當(dāng)EB=6,cosNAfiEn」時(shí)，求tan”的值.

3

18.（4分）（2021?重慶A卷10/26）如圖，相鄰兩個(gè)山坡上，分別有垂直于水平面的通信基站和

ND.甲在山腳點(diǎn)C處測(cè)得通信基站頂端M的仰角為60°，測(cè)得點(diǎn)C距離通信基站MA的水平距

離CB為30m；乙在另一座山腳點(diǎn)F處測(cè)得點(diǎn)F距離通信基站ND的水平距離FE為50m,測(cè)得山

坡小的坡度i=l：L25.若ND=）DE,點(diǎn)C,B,E,廠在同一水平線上，則兩個(gè)通信基站頂

8

端M與頂端N的高度差為（參考數(shù)據(jù)：&=1.41,6=1.73）（）

A.9.0mB.12.8mC.13.1mD.22.7加

19.（4分）（2021?重慶B卷10/26）如圖，在建筑物AB左側(cè)距樓底B點(diǎn)水平距離150米的C處有

一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）為i=l：2.4,坡頂。到BC的垂直距離。E=50米（點(diǎn)A,B,C,

D,E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)。處測(cè)得建筑物頂A點(diǎn)的仰角為50。，則建筑物A8的高度約為（）

（參考數(shù)據(jù):sin50°=0.77；cos50°=0.64；tan500~1.19）

A.69.2米B.73.1XC.80.0XD.85.7米

20.（4分）（2021?廣東16/25）如圖，在28CD中，AD=5fAB=12,sin.過(guò)點(diǎn)。作DEIAfi,

5

垂足為石，則sinNBCE=2^3.

50

21.（8分）（2021?安徽17/23）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，學(xué)習(xí)制作機(jī)械零件.零件的截面如圖陰影部分

所示，已知四邊形AEFQ為矩形，點(diǎn)、B、C分別在EF、QF上，NA8C=90°,NBAD=53°,AB=

10cm,BC=6cm.求零件的截面面積.參考數(shù)據(jù)：sin53°弋0.80,cos53°=0.60.

22.（9分）（2021?河南19/23）開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像

是石窟中最大的佛像.某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到龍門石窟景區(qū)測(cè)量這尊佛像的高度.如圖，他們選取的測(cè)量

點(diǎn)A與佛像8D的底部。在同一水平線上.已知佛像頭部6c為4用，在A處測(cè)得佛像頭頂部3

的仰角為45。，頭底部C的仰角為37.5。，求佛像8D的高度（結(jié)果精確到0.1加.參考數(shù)據(jù)：

sin37.5°?0.61,cos37.5°?0.79,tan37.5°?0.77）.

23.（10分）（2021?新疆20/23）如圖，樓頂上有一個(gè)廣告牌A8,從與樓BC相距15〃?的。處觀測(cè)廣

告牌頂部A的仰角為37°,觀測(cè)廣告牌底部B的仰角為30°,求廣告牌A8的高度.（結(jié)果保留小

數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin37°七0.60,cos37°g0.80,tan37°^0.75,右比1.41,>5?1.73）

24.（11分）（2021?新疆22/23）如圖，AC是。。的直徑，BC,比>是。。的弦，做為5c的中

點(diǎn)，OM與BD交于點(diǎn)、F,過(guò)點(diǎn)。作。E18C,交3C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,且8平分N4CE.

（1）求證：。后是。。的切線；

（2）求證：Z.CDE=ZDBE；

7___

（3）若￡>E=6,tan/C￡>E=—,求斯的長(zhǎng).

3

25.（9分）（2021?河北23/26）如圖是某機(jī)場(chǎng)監(jiān)控屏顯示兩飛機(jī)的飛行圖象，1號(hào)指揮機(jī)（看成點(diǎn)產(chǎn)）

始終以3kmimin的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛行，2號(hào)試飛機(jī)（看成點(diǎn)Q）一直保持在1

號(hào)機(jī)P的正下方.2號(hào)機(jī)從原點(diǎn)。處沿45°仰角爬升，到4b”高的A處便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行，再過(guò)

\rnin到達(dá)B處開始沿直線BC降落，要求\rnin后到達(dá)C（10,3）處.

（1）求OA的人關(guān)于s的函數(shù)解析式，并直接寫出2號(hào)機(jī)的爬升速度；

（2）求3c的"關(guān)于s的函數(shù)解析式，并預(yù)計(jì)2號(hào)機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)：

（3）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明兩機(jī)距離PQ不超過(guò)3km的時(shí)長(zhǎng)是多少.

［注：（1）及（2）中不必寫s的取值范圍］

26.（6分）（2021?陜西21/26）一座吊橋的鋼索立柱AD兩側(cè)各有若干條斜拉的鋼索，大致如圖所

示.小明和小亮想用測(cè)量知識(shí)測(cè)較長(zhǎng)鋼索A8的長(zhǎng)度.他們測(cè)得NA8O為30°,由于從。兩點(diǎn)間的

距離不易測(cè)得，通過(guò)探究和測(cè)量，發(fā)現(xiàn)/AC。恰好為45°,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離約為16%已知

B、C、。共線，AD1BD.求鋼索48的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留根號(hào)）

27.（10分）（2021?海南20/22）如圖，在某信號(hào)塔A8的正前方有一斜坡CD,坡角NC￡>K=30°,

斜坡的頂端C與塔底B的距離8C=8米，小明在斜坡上的點(diǎn)E處測(cè)得塔頂A的仰角Z4￡W=60°,

CE=4米，旦BC//NE//KD,AB1BC（點(diǎn)A,B,C,D,E,K,N在同一平面內(nèi)）.

（1）填空：48=150度,Z4EC=度；

（2）求信號(hào)塔的高度A8（結(jié)果保留根號(hào)）.

28.（8分）（2021?山西21/23）某公園為引導(dǎo)游客觀光游覽公園的景點(diǎn)，在主要路口設(shè)置了導(dǎo)覽指示

牌，某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組想要測(cè)量此指示牌的高度，他們繪制了該指示牌支架側(cè)面的截面圖

如圖所示，并測(cè)得AB=100C7〃，BC=S0cm,ZABC=120°,ZBCD=75。,四邊形DEFG為矩形，且

DE=5cm.請(qǐng)幫助該小組求出指示牌最高點(diǎn)4到地面印的距離（結(jié)果精確到O.lcm.參考數(shù)據(jù)：

sin75°?0.97,cos75°?0.26,tan75°?3.73,V2?1.41）.

29.（8分）（2021?西藏26/27）如圖，A6是。。的直徑，OC是半徑，延長(zhǎng)OC至點(diǎn)。.連接4）,

AC,BC,使NGW=4.

（1）求證：4）是。。的切線；

（2）若4）=4,tanZC4￡>=-,求3C的長(zhǎng).

2

30.（7分）（2021?吉林22/26）數(shù)學(xué)小組研究如下問(wèn)題：長(zhǎng)春市的緯度約為北緯44°,求北緯44°緯

線的長(zhǎng)度，小組成員查閱了相關(guān)資料，得到三條信息：

（1）在地球儀上，與南，北極距離相等的大圓圈，叫赤道，所有與赤道平行的圓圈叫緯線；

（2）如圖，。。是經(jīng)過(guò)南、北極的圓，地球半徑0A約為6400k”.弦BC〃OA,過(guò)點(diǎn)。作。K1BC

于點(diǎn)K,連接03.若/4。8=44。，則以歐為半徑的圓的周長(zhǎng)是北緯44°緯線的長(zhǎng)度；

（3）參考數(shù)據(jù)：a取3,sin44°=0.69,cos44°=0.72.

小組成員給出了如下解答，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：

解：因?yàn)锽C〃OA,408=44°,

所以N8=AAOB=44。（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（填推理依據(jù)），

因?yàn)镺KJ_BC,所以NBKO=90。，

在RtZ^BOK中，08=04=6400.

BK=OBx（填“sinB"或"cosB"）.

所以北緯44°的緯線長(zhǎng)。=2%.

=2x3x6400x（填相應(yīng)的三角形函數(shù)值）

=（km）（結(jié)果取整數(shù)）.

?

鞏固訓(xùn)練解析

「二

1.（6分）（2021?呼倫貝爾?興安盟18/26）計(jì)算：-2-2-2sin60o+|l-G|-J.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)累；特殊角的三角函數(shù)值

【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)分別

化簡(jiǎn)得出答案.

【解答】解：原式=」-2x且+百一1_且=_1_73+^-1--

4234343

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性

質(zhì)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

2.（5分）（2021?通遼18/26）計(jì)算：弓尸+（萬(wàn)一3）°-2cos30。+|3-疵|.

【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；負(fù)整數(shù)指數(shù)塞；實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【分析】先計(jì)算負(fù)整數(shù)次幕、零指數(shù)幕、特殊三角函數(shù)、絕對(duì)值的運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

【解答】解：原式=2+l-2x巫+26-3

2

=>/3.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握負(fù)整數(shù)次基、零指數(shù)幕、特殊三角函數(shù)、絕對(duì)值的運(yùn)算法則

是解決此題關(guān)鍵.

3.（3分）（2021?西藏14/27）計(jì)算：（萬(wàn)—3）°+（-1尸一4sin3（T=3.

【考點(diǎn)】負(fù)整數(shù)指數(shù)基；特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)累；實(shí)數(shù)的運(yùn)算

［分析】直接利用零指數(shù)基的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡(jiǎn)得出答案.

【解答】解：原式=l+4-4x4=l+4-2=3.

2

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)基的性質(zhì)，正確化筒各

數(shù)是解題關(guān)鍵.

4.（5分）（2021?新疆15/23）如圖，已知正方形A38邊長(zhǎng)為1,E為他邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為中心，

將△ZM￡按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△OCF,連接所，分別交50,CD于點(diǎn)M,N.若任=2,則

DN5

sinZEDM=好.

5

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EG_LBD于點(diǎn)G,設(shè)AE=2x,則DV=5x,易證△FNCs△尸EB,得些=空，

EBBF

求出x的值，進(jìn)而得到隹，EB的值，根據(jù)勾股定理求出即，在RtaEBG中求出EG,根據(jù)正弦的

定義即可求解.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EGLBD于點(diǎn)G,

設(shè)AE=2x,則DV=5x,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：CF=AE=2x,N￡>b=NA=90。，

?.?四邊形A88是正方形，

:.ZDCB=90°,ZABC=90°,ZABD=45°,

ZDCB+ZDCF=180P,ZDCB=ZABC,

:.點(diǎn)B,C,尸在同一條直線上，

■.Z/XJB=ZABC,ZNFC=AEFB,

:.△FNCsXFEB,

NCCF

--=——，

EBBF

l-5x_2x

…l-2x-l+2x'

解得：Xj=-1（舍去），x=—,

2-6

AE=C2x—1=—1,

63

.1ED=4AE2+AD2=拈y+[2=半，

EB=AB-AE=\--=~,

33

在RtZ\EBG中，EG=BE-sin45°=-x—=—

323

0

EGT=V5

sinNEDM=訪一澗一丁

3

故答案為：好.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形，證明出

△FNCS^FEB,求出x的值是解題的關(guān)鍵.

4

5.（10分）（2021?上海21/25）如圖，已知△A3Q中，AC±BD,BC=8,CD=4,cosZABC=-,BF

5

為AO邊上的中線.

(1)求4c的長(zhǎng)；

(2)求tan/FBO的值.

【考點(diǎn)】解直角三角形

【分析】(1)解銳角三角函數(shù)可得解；

(2)連接CF,過(guò)產(chǎn)作BD的垂線，垂足為E,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得CF=FD,

由勾股定理可得A。=2萬(wàn)，EF=2,即可求tan/尸8D

RC4

【解答】解：(1)VcosZABC=—=-,BC=8,

AB5

AAB=10,

,JACLBD,

在RtZVICB中，由勾股定理得，

AC=^AB--BC-=>/102-82=6,

即AC的長(zhǎng)為6；

(2)如圖，

連接CF,過(guò)F作2。的垂線，垂足為E,

「臺(tái)尸為A。邊上的中線，

即尸為A。的中點(diǎn)，

/?CF=-AD=FD,

2

在RtZ\ACQ中，由勾股定理得，

AD=qAC2+CD2=A/62+42=2>/13,

:△CFf)為等腰三角形，F(xiàn)ELCD,

：.CE=-CD=2,

2

22

在RtZXEFC中，EF=yJCF-CE=5/13-4=3,

尸尸33

二tanZFBD=——=-------=—.

BEBC+CE10

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解本題關(guān)鍵根據(jù)題意作輔助線，熟練掌握解直角三角函數(shù)和勾股定

理等基本知識(shí)點(diǎn).

6.(6分)(2021?廣東20/25)如圖，在Rt/XASC中，/4=90。，作BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)O,

延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E,使CE=AB.

(1)若他=1,求△48。的周長(zhǎng)；

（2）若AD=LBD,求tanZABC的值.

3

【考點(diǎn)】解直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)

【分析】（1）連接如，設(shè)8c垂直平分線交BC于點(diǎn)F，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可;

（2）設(shè)A￡>=x,則或）=CD=3x,AC=4x,由勾股定理可表示出AB=2岳，從而可計(jì)算出

,小AC4xFT

tanZABC==—左一=v2.

AB2V2x

【解答】解：（1）如圖，連接必，設(shè)8C垂直平分線交8C于點(diǎn)尸,

:.BD=CD,

=AB+AC,

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故△A5Q的周長(zhǎng)