數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系初探

數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系初探-一把滲透數(shù)學(xué)美作為教學(xué)的主旋律

教育部部長(zhǎng)袁貴仁部長(zhǎng)說，自古以來，中國(guó)就十分重視美育。在21世紀(jì)的

今天，中華民族將迎來一個(gè)創(chuàng)造力噴涌的偉大時(shí)代。我們要培養(yǎng)富有原創(chuàng)性的人

才，各級(jí)學(xué)校一定栗重視美育，要大力推進(jìn)科學(xué)、技術(shù)與人文、藝術(shù)的結(jié)合。我

們的教育目的在于使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中德、智、體、美、勞全面發(fā)展，其中美育

就是審美教育，其目的在于使學(xué)生具有美的素養(yǎng)，由此升華而使之具有美的情操，

又辨別真善美與假惡丑的能力，并且去為美好的明天、美好的生活而奮斗?？茖W(xué)

的美和藝術(shù)的美是相通的而且互補(bǔ)的，是精神世界最高最美的兩個(gè)側(cè)面。只有科

學(xué)的美，沒有藝術(shù)的美，是殘缺的；只有藝術(shù)的美，沒有科學(xué)的美，同樣是殘缺

的。羅素說：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻

的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒

有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只

有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地。一種真實(shí)的喜悅的精神，一種精神

上的亢奮，一種覺得高于人的意識(shí)——這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩(shī)里得到，

也能夠在數(shù)學(xué)里得到?！?/p>

什么是美？"美是難以定義的"，研究美學(xué)的一位祖宗柏拉圖早就這么嘆息過。

科學(xué)家也有類似的觀點(diǎn)。狄拉克說過："數(shù)學(xué)美與藝術(shù)美一樣是無法定義的。但

研究數(shù)學(xué)的人鑒賞數(shù)學(xué)美并不會(huì)覺得困難。"大哲學(xué)家大科學(xué)家尚且如此說，作

為門外美談就大可不必講究什么美與審美的定義、什么美的主觀性與客觀性等等,

只須承認(rèn)美的存在就可以談下去。美學(xué)是一門既古老又年輕的科學(xué)。從古代到現(xiàn)

代，隨著人類思維能力的發(fā)展和審美領(lǐng)域的擴(kuò)大，人們開始對(duì)審美經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考；

于是美學(xué)思想便逐步形成。西方美學(xué)思想亦發(fā)源于古希臘；其早期的美學(xué)思想大

都依附于自然科學(xué)，往往是在探究宇宙本原時(shí)涉及美的問題。其代表人物就是柏

拉圖和亞里士多德。亞里士多德關(guān)于美的理論是建立在對(duì)柏拉圖唯心主義理式論

的批判基礎(chǔ)上的，他認(rèn)為美不存在于超感性的理式世界；美只存在于具體的美的

事物中。20世紀(jì)法國(guó)女神秘主義者、社會(huì)哲學(xué)家韋伊(SimoneWeiI)曾經(jīng)這樣

寫道：“科學(xué)的真正主題是世界之美。”韋伊提出的命題雖然簡(jiǎn)短，但是卻富有

深意。的確，科學(xué)是理智的詩(shī)歌，科學(xué)研究是一門藝術(shù)，科學(xué)本質(zhì)上是藝術(shù)事業(yè)。

在科學(xué)發(fā)明或科學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程中，在對(duì)科學(xué)的學(xué)習(xí)和鑒賞中，人們能夠在精神上

獲得審美的愉悅或理性的驚嘆，并體驗(yàn)到類似宗教般的贊賞和敬畏之情。在審美

的高峰體驗(yàn)中，人們熱愛和迷戀科學(xué)。同樣在審美的高峰體驗(yàn)中，人們出神入化、

物我為一，從而有可能洞察實(shí)在本質(zhì)，把握宇宙的韻律。皮爾遜說得好：“在我

們?nèi)说拇嬖谥?，有一種無法用形式的推理過程滿足的要素；它就是想像的或?qū)徝?/p>

的側(cè)面，詩(shī)人和哲學(xué)家求助于這個(gè)側(cè)面，科學(xué)要成為科學(xué)的，也不能無視這個(gè)側(cè)

面。”由此可見，科學(xué)與審美的關(guān)系是密不可分的，科學(xué)審美是科學(xué)活動(dòng)的一個(gè)

不可或缺的組分，很有必栗加以探討。

美育教育是培養(yǎng)和發(fā)展受教育者的感性能力、它包括感受力、鑒賞力、想象

力、創(chuàng)造力等，是培養(yǎng)健全高尚人格，塑造完美理想人性，以最終實(shí)現(xiàn)人與自然、

人與社會(huì)、即人與人自身感性和理性的和諧的終極追求。美育具有形式化、動(dòng)情

化的教育特性，美育教育的過程就是審美體驗(yàn)的過程，它強(qiáng)調(diào)的是“韜養(yǎng)”，讓

欣賞者體驗(yàn)美好、體驗(yàn)成功、體驗(yàn)快樂，在潛移默化中提升對(duì)美的感受力、鑒賞

力、創(chuàng)造力及完善自我的能力。

學(xué)校美育教育的目的就在于使學(xué)生掌握一定的美學(xué)、美育知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生感

受美、鑒賞美、表現(xiàn)美和創(chuàng)造美的能力，使其得到全面的發(fā)展，而學(xué)校是實(shí)施美

育教育的最集中、最主要的場(chǎng)所。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)教材的德育

功能與智育功能，而且應(yīng)當(dāng)充分地發(fā)揮數(shù)學(xué)教材的美育功能，研究、挖掘數(shù)學(xué)美，

在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視審美教育，應(yīng)成為數(shù)學(xué)教育改革的當(dāng)議之題。

1、數(shù)學(xué)美在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位

數(shù)學(xué)美在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有極其重栗的作用，正如蘇霍姆林斯基所強(qiáng)調(diào)的："

我一千次確信，沒有一條富有詩(shī)意的，感情的和審美的清泉，就不可能有學(xué)生全

方面的智力發(fā)展?！蔽覈?guó)當(dāng)代的數(shù)學(xué)教育家徐利治教授明確指出：“數(shù)學(xué)教育的目

的之一，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的審美能力，從而既有利于激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)

的愛好，也有助于增長(zhǎng)他們的創(chuàng)造發(fā)明能力?！敝慕逃也淘嘣?jīng)說過：

“凡是學(xué)校所有課程，都沒有與美育無關(guān)的?！比R布尼茲以極大的同情談?wù)撟鳛?/p>

科學(xué)對(duì)象的自然之美和科學(xué)中的美：“自然之美是如此偉大，對(duì)它的凝視是如此

愜意，……無論誰品味它，都不得不把所有其他樂趣視為低等的。”他指出，科

學(xué)中的美不管在歷史進(jìn)程中如何變化——早先一代人認(rèn)為美的東西，對(duì)下一代人

來說能夠被視為價(jià)值不大的和平庸的——最美的理論共同具有的質(zhì)好像始終是

易懂的和不證自明的。誰在自然和理論中辨認(rèn)出像“多樣性中的簡(jiǎn)單性”這樣的

美，就意味著事物及其部分的和諧，簡(jiǎn)而言之美。人們都應(yīng)該尋求美的真理，他

們這樣做就是作為上帝的鏡子起作用，因?yàn)樯系垡灾撩绖?chuàng)造了“整個(gè)世界最好的

東西”。萊布尼茲言之有理。盡管在科學(xué)中沒有美的嚴(yán)格的定義，但是美在科學(xué)

中確實(shí)存在著，它的確發(fā)揮神奇的作用。誠(chéng)如海森伯所說，美的王國(guó)遠(yuǎn)遠(yuǎn)延伸到

藝術(shù)領(lǐng)域之外。它無疑也包括科學(xué)在內(nèi)的精神生活的其他領(lǐng)域，自然美也反映在

自然科學(xué)的美之中?！拔覀兛梢蚤_誠(chéng)布公地說，在精密科學(xué)中，絲毫也不亞于在

藝術(shù)中，美是啟發(fā)和明晰的最重要的源泉?！睈垡蛩固挂脖砻鳎涸诩妓囘_(dá)到一個(gè)

出神入化的地步后，科學(xué)和藝術(shù)就可以很好地在美學(xué)、形象和形式方面結(jié)合在一

起。偉大的科學(xué)家也常常是偉大的藝術(shù)家?？巳R因以作為一種方法、藝術(shù)、語言、

知識(shí)、也是一種精神的數(shù)學(xué)為例，全面展示了科學(xué)的文化功能：在西方文明中，

數(shù)學(xué)一直是一種主要的文化力量?！苌儆腥硕脭?shù)學(xué)在科學(xué)推理中的重要性,

以及在物理科學(xué)理論中所起的核心作用。至于數(shù)學(xué)決定了大部分哲學(xué)思想的內(nèi)容

和研究方法，摧毀和建構(gòu)了諸多宗教教義，為政治學(xué)說和經(jīng)濟(jì)理論提供了依據(jù)，

塑造了眾多流派的繪畫、音樂、建筑和文學(xué)風(fēng)格，創(chuàng)立了邏輯學(xué)，而且為我們必

須回答的關(guān)于人和宇宙的基本問題提供了最好的答案，這些就更加鮮為人知了。

作為理性精神的化身，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到以前由權(quán)威、習(xí)慣、風(fēng)俗所統(tǒng)治的領(lǐng)域，

而且取代它們成為思想和行動(dòng)的指南。最為重要的是，作為一種寶貴的、無可比

擬的人類成就，數(shù)學(xué)在使人賞心悅目和提供審美價(jià)值方面，至少可以與其他任何

一種文化門類媲美。其實(shí)，科學(xué)研究本身就是一種十分有意義的文化活動(dòng)，科學(xué)

文化也對(duì)其他文化不無裨益。巴爾的摩提出這樣一個(gè)問題：科學(xué)知識(shí)究竟給普通

人帶來什么好處呢？他的回答是：“首先，也是最重要的，就是科學(xué)進(jìn)展對(duì)人類

文化做出的貢獻(xiàn)。不斷地收集我們自身以及我們周圍環(huán)境的知識(shí)，乃是當(dāng)代生活

中極為重要的一種文化活動(dòng)。科學(xué)與藝術(shù)一樣，都能說明人類對(duì)其自身及其與其

他事物關(guān)系的看法?！羞@些知識(shí)，都有助于我們確立政治辯論和藝術(shù)創(chuàng)作

的基本原則?！币源擞^之，邦格理直氣壯的斷言看來并非言過其實(shí)：“科學(xué)借助

它的精神力量和物質(zhì)成果，開始占據(jù)現(xiàn)代文化的中心?！?/p>

1.1以美啟真

物理學(xué)家海森堡曾指出：“科學(xué)的探索者們最初往往是在美的光輝照耀下，去

認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)真理?！睏钫駥幹v：“美的追求是科學(xué)發(fā)展的一個(gè)動(dòng)力，美的鑒賞是作

出科學(xué)抉擇的一個(gè)重要條件，在美的探索中形成科研的不同風(fēng)格，今天我們比以

往任何時(shí)候都沒有理由容許我們放棄這個(gè)奇妙的信念。做科學(xué)研究是有所謂風(fēng)格

的，每一個(gè)人對(duì)于規(guī)律的美和妙的地方會(huì)有不同的感受，他對(duì)于一切現(xiàn)象、結(jié)論、

結(jié)構(gòu)就有偏好，這就發(fā)展出他的分割，這個(gè)風(fēng)格影響到他將來研究工作課題的研

究方向，影響到他將來研究問題的方法。所以風(fēng)格有決定性的作用”。在數(shù)學(xué)研

究中，選擇的直覺經(jīng)常表現(xiàn)為美的直覺，正如美國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、控制論的創(chuàng)始

人馮。諾依曼說：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)家無論是選擇題材，還是判斷成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要

都是美學(xué)的。數(shù)學(xué)家成功與否和它的努力是否值得的主觀標(biāo)準(zhǔn)，是非常自足的、

美學(xué)的，不受（或近乎不受）經(jīng)驗(yàn)的影響?！敝臄?shù)學(xué)家漢克爾。赫爾曼認(rèn)為：

“科學(xué)直覺直接引導(dǎo)和影響數(shù)學(xué)家們的研究活動(dòng)，能使數(shù)學(xué)家們不在無意義的問

題上浪費(fèi)精力。直覺和審美能力密切相關(guān)，這在科學(xué)研究中是唯一不能言傳而只

能意會(huì)的一種才能，但這卻是每一個(gè)有作為的數(shù)學(xué)家所不可缺少的能力?！敝?/p>

的數(shù)學(xué)家韋爾說：“我的工作總是力圖把真和美統(tǒng)一起來，但當(dāng)我必須從二者挑

選一個(gè)時(shí)，我總是選擇美。”它包含三個(gè)主要觀念：第一，堅(jiān)持對(duì)自然世界的和

諧完美秩序的信念，認(rèn)為自然規(guī)律本身必然是完美和諧的；第二，認(rèn)為科學(xué)研究

的內(nèi)在動(dòng)機(jī)，不是出于實(shí)用目的，甚至也不是為了認(rèn)識(shí)自然真理，而是為了發(fā)現(xiàn)

和展示自然世界和諧完美的秩序；第三，科學(xué)的審美感，既是引導(dǎo)和推動(dòng)科學(xué)理

論發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)新）的力量，也是鑒別一個(gè)科學(xué)理論是否具有真理性（科學(xué)性）的主

票標(biāo)準(zhǔn)。

審美活動(dòng)與數(shù)學(xué)研究并不是風(fēng)馬牛不相及的事情，克服數(shù)學(xué)原理中某些美學(xué)

因素的不恰，往往會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)新理論的建立，就是因?yàn)樵诳陀^世界中，真與美是

統(tǒng)一的，它們是同一事物的兩個(gè)側(cè)面，對(duì)真理的追求必然伴隨著對(duì)美的追求。由

此可見，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)的美感，培養(yǎng)美的直覺，有利于直覺思維的發(fā)展，有利于

創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)。

既然在科學(xué)中存在美（科學(xué)美以及數(shù)學(xué)美），那么判斷科學(xué)理論體系的美的

標(biāo)準(zhǔn)或科學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)是什么？所謂科學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)，也就是科學(xué)理論體系的審美性

質(zhì)或?qū)徝览跛?，它們足以打?dòng)鑒賞者，而且鑒賞者也用典型的審美語匯描述它們。

薩尼特提出這樣一個(gè)問題：美是統(tǒng)一(unity)、自我連貫(self-consistency)、

驚奇(wonder)、敬畏(awe)、驚異(surprise)、完美(perfection)、對(duì)

稱(symmetry),還是這些東西的一或多的組合？在古代美學(xué)大師柏拉圖那里，

美歸根結(jié)底無非就是適度、相稱、和諧、有序。其實(shí)，以上這些標(biāo)準(zhǔn)在某種程度

上完全可以成為科學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)。汝若不信，請(qǐng)聆聽現(xiàn)代科學(xué)美學(xué)大師彭加勒是怎

么說的：數(shù)學(xué)家把重大的意義與他們的方法和他們的結(jié)果的雅致(elegance)聯(lián)

系起來。這不是純粹的淺薄涉獵。在解中、在證明中給我們以雅致感的實(shí)際上是

什么呢？它是各部分的和諧，是它們的對(duì)稱、它們的巧妙平衡；一句話，它是所

有引入秩序的東西，是所有給出統(tǒng)一，容許我們清楚地觀察和一舉理解整體和細(xì)

節(jié)的東西?？墒牵@正好就是產(chǎn)生重大結(jié)果的東西；事實(shí)上，我們?cè)绞乔宄亍?/p>

越是一目了然地觀察這個(gè)集合，我們就越是徹底地察覺到它與其他鄰近對(duì)象的類

似性，從而我們就有更多的機(jī)會(huì)推測(cè)可能的概括。在意外地遇見我們通常沒有匯

集到一起的對(duì)象時(shí)，雅致可以產(chǎn)生未曾料到的感覺；在這里，它再次是富有成果

的，因?yàn)樗@樣便向我們揭示出以前沒有辨認(rèn)出的親緣關(guān)系。甚至當(dāng)它僅僅起因

于方法的簡(jiǎn)單性和提出的問題的復(fù)雜性之間的強(qiáng)烈對(duì)照時(shí)，它也是富有成效的；

于是，它促使我們想起這種懸殊差別的理由，而且每每促使我們看到，偶然性并

不是理由；它必定能在某個(gè)意想到的定律中找到。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)雅致感僅僅是由

于解適應(yīng)我們心智的需要而引起的滿足，這個(gè)解之所以能夠成為我們的工具，正

是因?yàn)檫@種適應(yīng)。因此，這種審美的滿足與思維經(jīng)濟(jì)密切相關(guān)。我又一次想到厄

瑞克忒翁廟的女像柱的比喻，……請(qǐng)看，彭加勒在這段話里使用了雅致、和諧、

對(duì)稱、平衡、秩序、統(tǒng)一、簡(jiǎn)單性、對(duì)照、適應(yīng)、奇異、思維經(jīng)濟(jì)等審美術(shù)語，

并在語句中賦予其特定的涵義——它們都是科學(xué)美和數(shù)學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)。也許彭加勒

覺得標(biāo)準(zhǔn)眾多，易于使人無所適從，所以他干脆一言以蔽之：“世界的普遍和諧

是眾美之源”，“惟有這種內(nèi)部和諧才是美的，從而值得我們努力追求”。

1.2以美啟趣

蘇霍姆林斯基曾說：“教師如果不想方設(shè)法使學(xué)生產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)

心狀態(tài)，而只是不動(dòng)感情的腦力勞動(dòng)，就會(huì)帶來疲倦。處于疲倦狀態(tài)下的頭腦，

很少有效地汲取知識(shí)。”現(xiàn)代教學(xué)論告訴我們，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，能否激發(fā)起

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性是我們教學(xué)成敗的關(guān)鍵。孔子講：“知之者不如好之者，好之

者不如樂知者?！笨茖W(xué)史和教育史都證明，審美感成為構(gòu)成意志行動(dòng)的主要因素

之一，是能夠轉(zhuǎn)化探索未知世界的巨大動(dòng)力的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面可以數(shù)與

形的形式美啟發(fā)學(xué)生的興趣，還可以通過數(shù)學(xué)的結(jié)論美、解法美激發(fā)學(xué)生的興趣。

對(duì)于一個(gè)喜歡數(shù)學(xué)的人來說，他之所以喜歡數(shù)學(xué)，是因?yàn)樗吹?、感覺到這門學(xué)

問的美。他所謂的對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，其實(shí)就是對(duì)數(shù)學(xué)美的欣賞、享受與追求。

1.3以美啟德

德育與美育是相輔相成的，數(shù)學(xué)家在探索數(shù)學(xué)的艱辛旅程中，一方面總是伴隨著

對(duì)美的熱烈追求，另一方面又強(qiáng)烈地表現(xiàn)出他們精神上的種種美德。這些都是審

美教育中珍貴的美學(xué)因素，數(shù)學(xué)家對(duì)美的執(zhí)著追求和他們的人生美德，可以啟迪

學(xué)生的智慧，引發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，激勵(lì)成功的意志，養(yǎng)成獻(xiàn)身科學(xué)的良好品德。

2、數(shù)學(xué)美在教學(xué)過程中的滲透途徑初探

進(jìn)行美育教育就是要提高學(xué)生的審美能力，它主要包括審美感知力、審美想象力

和審美鑒賞力。法國(guó)著名的雕塑學(xué)家羅丹曾經(jīng)講過：“美是到處都有的。對(duì)于我

們的眼睛不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)?！睌?shù)學(xué)學(xué)科包含的內(nèi)容是真實(shí)的、生動(dòng)的、

美好的，它本身充滿著情趣。正如我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授所講的：“就數(shù)

學(xué)本身來說，也是壯麗多彩，千姿百態(tài)，引人入勝的”。“仁者見仁，智者見智，

美者見美”，教學(xué)藝術(shù)的美學(xué)核心是由方法美和啟迪美構(gòu)成的，方法美是體，啟

迪美是神，兩者是辨證統(tǒng)一的。

數(shù)學(xué)審美活動(dòng)是從對(duì)數(shù)學(xué)審美注意開始的，教師要根據(jù)特點(diǎn)把學(xué)生引向?qū)?shù)學(xué)美

的注意。所謂在數(shù)學(xué)教學(xué)滲透美育，就是要在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，揭示數(shù)學(xué)美，

培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的干支、鑒賞、評(píng)價(jià)活潑創(chuàng)造的能力，以利于數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和

學(xué)生素質(zhì)的提高。科學(xué)審美活動(dòng)是從科學(xué)審美注意開始的，教師要根據(jù)特點(diǎn)把學(xué)

生引向數(shù)學(xué)美的注意。數(shù)學(xué)中審美對(duì)象主要通過教學(xué)語言體現(xiàn)出來，它不是那么

直接和鮮明的，更多的要借助于想象活動(dòng)，具有一定的間接性、模糊性和間接體

驗(yàn)性特點(diǎn)。數(shù)學(xué)美常常是在抽象、概括、推理論證、作圖演算等數(shù)學(xué)活動(dòng)中產(chǎn)生

的。所以感受數(shù)學(xué)美必須以一定的數(shù)學(xué)知識(shí)水平為前提，對(duì)數(shù)學(xué)美的感受隨著數(shù)

學(xué)水平的提高而不斷增長(zhǎng)，而且這種增長(zhǎng)離不開教師的啟發(fā)和引導(dǎo)。因此在數(shù)學(xué)

教學(xué)中滲透美育，重視發(fā)揮其美育功能是十分重要的。

由科學(xué)美的界定順?biāo)浦?，可以把?shù)學(xué)美界定為數(shù)學(xué)理論體系的美。詳細(xì)說

明符號(hào)的、數(shù)學(xué)的關(guān)系的審美性質(zhì)，比詳細(xì)說明基于我們的經(jīng)驗(yàn)和觀察之上的模

型、隱喻和圖像的性質(zhì)也許更加困難。純粹數(shù)學(xué)關(guān)系的美學(xué)和它所喚起的強(qiáng)烈的

激情恢復(fù)了藝術(shù)中的的形式主義的審美——盡管是在比較抽象的水平上——因

為數(shù)學(xué)公式化避開了形象化。這種審美中的原則標(biāo)準(zhǔn)被藝術(shù)理論家命名為''有意

義的形式”，它意指構(gòu)成要素的最理想的統(tǒng)一和融貫。有意義的形式喚起了一種

特殊類型的反應(yīng)，即審美情感，這種情感比我們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)歷的情感更強(qiáng)烈、

更集中，與數(shù)學(xué)家所說的對(duì)純粹數(shù)學(xué)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)是相同的。可見，數(shù)學(xué)美是一種

更為抽象的形式美，沒有足夠的知識(shí)背景乃至比較高深的造詣，是難以領(lǐng)悟其美

的神韻的。數(shù)學(xué)美從兩方面講可以囊括在科學(xué)美之內(nèi)：數(shù)學(xué)是科學(xué)的一個(gè)分支，

數(shù)學(xué)美不用說屬于科學(xué)美；發(fā)達(dá)的科學(xué)已經(jīng)數(shù)學(xué)化或至少大量地運(yùn)用數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)

美當(dāng)然是該門科學(xué)的美的一個(gè)組分。因此，數(shù)學(xué)美不僅使數(shù)學(xué)美不勝收，也給科

學(xué)美錦上添花。麥克斯韋這樣描繪數(shù)學(xué)美：“我總是把數(shù)學(xué)看作是獲得事物的最

佳形態(tài)和維度的方法；這不僅是指最實(shí)用的和最經(jīng)濟(jì)的，更主要是指最和諧的和

最美的。”羅素對(duì)數(shù)學(xué)美的酷愛和稱賞溢于言表：數(shù)學(xué)，如果正確地看它，則具

有至高無上的美——冷峻的和簡(jiǎn)樸的美，像雕塑之美一樣。這種美不是投合我們

天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇

高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的、只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地。一

種真實(shí)的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識(shí)——這些是至

善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩(shī)里得到，也能夠在數(shù)學(xué)里得到。

狄拉克提出這樣一個(gè)高標(biāo)準(zhǔn)的栗求：“物理學(xué)定律應(yīng)該具有數(shù)學(xué)美?！边@

個(gè)要求在17和18世紀(jì)的力學(xué)，在19世紀(jì)的電磁學(xué)早已實(shí)現(xiàn)過。在20世紀(jì)的現(xiàn)

代科學(xué)中，誠(chéng)如楊振寧所說，狹義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是四維時(shí)空連續(xù)統(tǒng)的概念，

廣義相對(duì)論建立在黎曼幾何之上，量子力學(xué)的數(shù)學(xué)是希爾伯特空間的漂亮而抽象

的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，非阿貝爾規(guī)范物理學(xué)令人驚奇地基于纖維叢幾何。所有這些數(shù)學(xué)發(fā)

展對(duì)20世紀(jì)的物理學(xué)是非常重要的，它們相當(dāng)抽象而美麗。這些數(shù)學(xué)思想為物

理學(xué)提供了美的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這是所謂的數(shù)學(xué)美，物理學(xué)等的日趨數(shù)學(xué)化使數(shù)學(xué)美

越來越重栗。自然界為它的物理學(xué)定律選擇這樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一件神奇的事情，

沒有人能真正解釋這一點(diǎn)。

科學(xué)中的美的概念是不固定的，是不斷發(fā)展的。數(shù)學(xué)美的直覺雖然不是一種嚴(yán)

格的邏輯思維活動(dòng)，但是數(shù)學(xué)美也有其確定的內(nèi)容。我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教

育家徐利治先生指出：“數(shù)學(xué)美包含數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)

調(diào)性、對(duì)稱性和數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性?！?/p>

筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)美還應(yīng)當(dāng)包括數(shù)學(xué)量的守恒性等方面。數(shù)學(xué)美的范疇包括以下幾

個(gè)方面：

2.1對(duì)稱美

在原始的意義上，對(duì)稱性是指組成某一事物或?qū)ο蟮膬蓚€(gè)部分的對(duì)等性。

人們對(duì)于數(shù)學(xué)美是早就有所認(rèn)識(shí)的，古希臘時(shí)代數(shù)學(xué)家就把對(duì)稱看承數(shù)學(xué)美的一

種基本形式，亞里士多德曾指出：“美是和諧與成比例的?！薄爸刃蚝蛯?duì)稱是美的

重要因素，而這兩點(diǎn)都能在數(shù)學(xué)中找到。”張奠宙教授應(yīng)用層次性理論，把數(shù)學(xué)

教學(xué)中的美育分為四大層次：美觀、美好、美妙、完美。并從對(duì)稱性角度出發(fā)，

列舉了中學(xué)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱案例，他說：“幾何學(xué)常常帶給人們直觀的美學(xué)形象。

幾何圖形中的圓，是全方位對(duì)稱圖形，美觀、勻稱、無可非議。正三角形、五角

形等常用的幾何圖形都因?qū)ΨQ和諧而受到人們喜愛。”

2.2和諧美

“多樣”是指整體中所包含的各部分在形式上相互區(qū)別的差異性，體現(xiàn)了各

個(gè)事物個(gè)性的千姿百態(tài)和豐富變化；“統(tǒng)一”是指整體中所包含的各個(gè)部分在形

式上的某些共同特征，以及它們之間的相互呼應(yīng)和襯托關(guān)系，體現(xiàn)了各個(gè)事物共

性和整體聯(lián)系。如果只有統(tǒng)一，世界是單調(diào)乏味、呆板機(jī)械的世界；而只有多樣，

世界是雜亂無章、紛繁散漫的世界。只有把多樣與統(tǒng)一綜合起來考察，既要在統(tǒng)

一中見多樣，又要在多樣中見統(tǒng)一，使人感到既豐富又單純，既活潑又有秩序的

和諧統(tǒng)一美。作為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象——數(shù)和形是和諧的，海森堡曾經(jīng)定義：精密

科學(xué)中美的含義就在于“一部分與另一部分以及整體之間的和諧”，所有被稱為

“偉大的科學(xué)藝術(shù)品”的物理學(xué)理論，都有驚人的內(nèi)在自恰性?！痹诒憩F(xiàn)形式上

和諧美具體體現(xiàn)為統(tǒng)一和諧、層次和諧、互補(bǔ)和諧和奇異和諧，如理論性和實(shí)踐

性的和諧、復(fù)雜性與簡(jiǎn)單性的和諧、普遍性與特殊性的和諧、抽象性與具體性的

和諧、對(duì)稱性與破缺性的和諧。丘成桐先生說：“我們發(fā)展一個(gè)一般理論，其目

的并不是為了服務(wù)于其它學(xué)科，而是基于它自身的完美以及達(dá)到和諧統(tǒng)一?！?/p>

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)該向?qū)W生滲透統(tǒng)一性、協(xié)調(diào)性的觀點(diǎn)。例如在講述兩

圓的公切線時(shí)，當(dāng)兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時(shí)，公切線的條數(shù)依次為

4、3、2、1、0,體現(xiàn)了兩圓位置關(guān)系與公切線條數(shù)的統(tǒng)一性；設(shè)兩圓的半徑分

別是R、r(R>r),圓心距為d,貝|R2+d2-r2>2dR的充要條件是兩圓相離，

R2+d2-rJ2dR的充要條件是兩圓相切，K+dZ-jVZdR的充要條件是兩圓相交，充

分體現(xiàn)了兩圓位置關(guān)系與兩圓半徑、圓心距之間存在著協(xié)調(diào)性，而且與直線和圓

的位置歸案系具有相似性。圓、拋物線、雙曲線、橢圓有統(tǒng)一的定義及極坐標(biāo)方

程，棱柱、棱錐、棱臺(tái)有統(tǒng)一的表面積與體積公式，援助、圓錐、圓臺(tái)有統(tǒng)一的

表面積和體積公式，球、球冠、球帶有統(tǒng)一的表面積公式，切線長(zhǎng)定理、相交弦

定理與切割線定理在某種意義上可以統(tǒng)一都反映了數(shù)學(xué)知識(shí)的統(tǒng)一性和協(xié)調(diào)性，

培養(yǎng)學(xué)生統(tǒng)一性、協(xié)調(diào)性的觀點(diǎn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生類比類比推理能力，因?yàn)轭惐?/p>

的基礎(chǔ)在于事物的一致性。

數(shù)論大師賽爾伯格曾經(jīng)說，他喜歡數(shù)學(xué)的一個(gè)動(dòng)機(jī)是以下的公式：

￡=+這個(gè)公式實(shí)在美極了，奇數(shù)1、3、5、…這樣的組合可以給出乃，

435

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)家來說，此公式正如一幅美麗圖畫或風(fēng)景。歐拉公式：e'"=-1,

曾獲得“最美的數(shù)學(xué)定理”稱號(hào)。歐拉建立了在他那個(gè)時(shí)代，數(shù)學(xué)中最重要的幾

個(gè)常數(shù)之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，包容得如此協(xié)調(diào)、有序。與歐拉公式有關(guān)的棣

美弗一歐拉公式是cose+isine=e〃一一(1)。這個(gè)公式把人們以為沒有什么共

同性的兩大類函數(shù)一一三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)緊密地結(jié)合起來了。對(duì)他們的結(jié)合，

人們始則驚詫，繼而贊嘆一一確是“天作之合”，因?yàn)椋伤麄兊慕Y(jié)合能派生出

許多美的，有用的結(jié)論來。比如，由公式(1)得穌。=1^—,sin*—o

22

由這兩個(gè)公式，可把三角函數(shù)的定義域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域上去，即考慮“弧度”為復(fù)

數(shù)的“角，新定義的余弦函數(shù)與我們?cè)缫咽煜さ耐ǔ５挠嘞液瘮?shù)和諧一致。和

諧的美，在數(shù)學(xué)中多得不可勝數(shù)。如著名的黃金分割比4=正匚，即0。

2

61803398-O在正五邊形中，邊長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)的比是黃金分割比。數(shù)學(xué)中有一個(gè)

很著名的菲波那契數(shù)列｛aj,定義如下：a產(chǎn)1,a2=1,當(dāng)n，3時(shí)，an=an_+an

一,可以證明，當(dāng)n趨向8時(shí)，極限是幾=由二1。維納斯的美被所有人所公

an-l2

認(rèn)，她的身材比也恰恰是黃金分割比。黃金分割比在許多藝術(shù)作品中、在建筑設(shè)

計(jì)中都有廣泛的應(yīng)用。達(dá)?芬奇稱黃金分割比2=在二1為“神圣比例”.他認(rèn)為

2

“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上"。與2=心匚有關(guān)的問題還有

2

許多，“黃金分割”、“神圣比例”的美稱，她受之無愧。

縱觀美學(xué)史，我們發(fā)現(xiàn)，不僅秩序與和諧之間有著高度的一致，而且它們常

常被用來解釋美的本質(zhì)，描述美的特征。同時(shí)，和諧雖然不能與秩序等同，但秩

序總意味著起碼的和諧，和諧總是有秩序的和諧?？梢哉f，沒有和諧就談不上秩

序，而沒有秩序則也說不上有和諧。和諧是矛盾統(tǒng)一性的表現(xiàn)形式之一，是表示

事物發(fā)展的協(xié)調(diào)性、有序性、平衡性、完整性和合乎規(guī)律性的哲學(xué)范疇。在古希

臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就提出美是和諧的概念，他們認(rèn)為''和諧是雜多因素的統(tǒng)一，

不協(xié)調(diào)因素的協(xié)調(diào)”?！坝钪?(cosmos)這個(gè)詞在希臘就包含著“和諧、數(shù)量、

秩序”等意義。亞里士多德也用秩序與和諧來解釋美，他認(rèn)為“美的主要形式是

秩序、勻稱和明確”。他同時(shí)把生物有機(jī)體的思想運(yùn)用到美學(xué)中來，釋美為和諧，

“美與不美，藝術(shù)作品與現(xiàn)實(shí)事物，分別就在于美的東西和藝術(shù)作品里，原來零

散的因素結(jié)合成為統(tǒng)一體?！?/p>

2.3抽象美

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式的目的，不僅僅是去欣賞數(shù)學(xué)公式的形式美和結(jié)構(gòu)美，更重

要的是去挖掘數(shù)學(xué)美的內(nèi)在特征，即數(shù)學(xué)公式的廣泛應(yīng)用，通過應(yīng)用能使學(xué)生反

過來加深對(duì)它的優(yōu)美結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)。在學(xué)習(xí)黃金分割時(shí)，我曾向?qū)W生介紹了其在自

然科學(xué)中的應(yīng)用；在學(xué)習(xí)加權(quán)平均數(shù)時(shí)想學(xué)生說明了物理學(xué)中的平均功率與平均

速度、化學(xué)中混和溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)等都是加權(quán)平均數(shù)。在學(xué)習(xí)過程中，使學(xué)生深

刻地體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的抽象美，正如伽利略所講的：“大自然是用數(shù)學(xué)語言來書寫的。”

ArthurJaffe〔譯注：英國(guó)數(shù)學(xué)家，與J.Glimm一?起為建設(shè)量子場(chǎng)理論的創(chuàng)立者〕

建議：”數(shù)學(xué)想法并非從研究者的頭腦中產(chǎn)生和充分發(fā)展。數(shù)學(xué)家往往從自然的

圖案獲得靈感。從自然某個(gè)方面提煉的教益，在我們探索其它的自然現(xiàn)象時(shí)能夠

使我們繼續(xù)受益。”數(shù)學(xué)家總將他們的發(fā)現(xiàn)帶到鄰近的領(lǐng)域，幫助他們產(chǎn)生新的

見識(shí)和全新的子域。

意大利數(shù)學(xué)家奧多。斐波那奇(1170?1250)在其所著的《算盤書》中有

這樣一個(gè)題目：“某人想知道一對(duì)兔子一年后可以繁殖成幾對(duì)兔子，他筑了一道

圍墻把一對(duì)兔子關(guān)在里面。已知一對(duì)兔子出生后的第二個(gè)月就可以生一對(duì)小兔子,

問一對(duì)兔子一年后能繁殖成幾對(duì)兔子？

斐波那奇解這道題的過程中總結(jié)出這樣一個(gè)數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,

21,34,55,89,144,233,377,這是個(gè)有限項(xiàng)數(shù)列。按上述規(guī)律，寫出的無

限項(xiàng)數(shù)列就是斐波那奇數(shù)列。此數(shù)列有下面的低推關(guān)系：Fn+2=Fn+1+Fn(n=0,1,

2,3…)

隨著近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，這個(gè)由養(yǎng)兔子問題推導(dǎo)出來的數(shù)列的應(yīng)用范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)地

沖出了圍兔子的圍墻。從植物葉子在梗上的排列，花朵的花瓣數(shù)，蜜蜂的繁殖，

鋼琴音階排列，人口年齡結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)，優(yōu)選法等等，直到方程論，應(yīng)用涉及面之廣，

引起了科學(xué)界的密切關(guān)注和極大興趣。美國(guó)甚至專門出版了一份《斐波那奇季刊》,

登載斐波那奇數(shù)列在應(yīng)用上的新發(fā)現(xiàn)及有關(guān)理論。

我們不難發(fā)現(xiàn)，斐波那奇數(shù)列相鄰兩個(gè)數(shù)相除的數(shù)值，隨著數(shù)列項(xiàng)的增加，

越來越接近黃金分割點(diǎn)0.618,即Fn/Fn+1越來越接近0.6180神奇的斐波那奇

數(shù)列與黃金分割數(shù)密不可分。斐波那奇數(shù)列是個(gè)神奇的數(shù)列，它的唯象學(xué)公式為：

Fn+2=Fn+1+Fn(n=0,1,2,3…)，這個(gè)數(shù)列隱含著自然界怎樣的法則？

2.4推理美

伽利略曾感慨地說：“在真理面前，一千個(gè)權(quán)威抵不上一個(gè)謙恭的邏輯推理

現(xiàn)有科研常用邏輯工具有數(shù)學(xué)物理方法的演繹邏輯，歸納統(tǒng)計(jì)方法的因果邏輯，

辯證分析方法的矛盾統(tǒng)一邏輯等三大類型，深入物質(zhì)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的三大層次。數(shù)學(xué)

物理方法的演繹邏輯推理形式是在假設(shè)或公理或方程基礎(chǔ)上，在一定條件下推出

結(jié)論，解釋相應(yīng)現(xiàn)象。歸納統(tǒng)計(jì)方法的因果邏輯推理形式是在大量觀察實(shí)驗(yàn)和測(cè)

量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上，尋找原因、規(guī)律來推出結(jié)果和解釋現(xiàn)象。辯證分析方法的矛

盾統(tǒng)一邏輯推理形式是遇到矛盾就要解決矛盾，或分析矛盾中統(tǒng)一矛盾，并以此

來解釋現(xiàn)象。著名的數(shù)學(xué)家懷特。威廉講：''數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué)。它是

研究、了解和知曉現(xiàn)實(shí)世界的工具。復(fù)雜的東西可以通過這一工具簡(jiǎn)單的措辭去

表達(dá)。從這一意義上說，數(shù)學(xué)可被定義為一種連續(xù)地用較簡(jiǎn)單的概念去取代復(fù)雜

概念的學(xué)科?！敝臄?shù)學(xué)物理學(xué)家狄拉克講：“數(shù)學(xué)的最高境界是結(jié)構(gòu)美，是簡(jiǎn)

潔的邏輯美。在邏輯推理中學(xué)生依據(jù)一個(gè)或幾個(gè)判斷得出另一個(gè)判斷，這些判斷

之間依次線性排列，學(xué)生會(huì)感受到嚴(yán)謹(jǐn)、清晰和簡(jiǎn)明的推理美。非邏輯的臻美推

理則是依靠想象與直覺的矛盾運(yùn)動(dòng)而達(dá)到從整體上推出理想的結(jié)果。它的基本結(jié)

構(gòu)是想象、直覺與靈感，是一種或然的非線性推理。例如在講授分步計(jì)數(shù)原理的

應(yīng)用時(shí)，我曾分析在直線上最少用兩種顏色即可把區(qū)間分開，在平面上最少用四

種顏色即可把各區(qū)域分開，在三維空間可以猜想最少8種顏色可以區(qū)分開各區(qū)

域，、、、、、、，在n維空間最少用2n種顏色可以區(qū)分開各區(qū)域。

例1設(shè)有〃個(gè)罐子，在每個(gè)罐子里各有加個(gè)白球和左個(gè)黑球，從第一個(gè)罐子

中人任取一球放到第二個(gè)罐子里，并以此類推，求從最后一個(gè)罐子里取出一個(gè)白

球的概率.

解析：先探索規(guī)律，設(shè)〃=2

令H1=“從第一個(gè)罐子里取出一個(gè)球，是白球”；H2=“從第二個(gè)罐子中

取出一個(gè)球，是白球”.

顯然P(H)=」一

m+k

所求概率P(H2)=P(HJP(H21H1)+P(H1)P(H2IHl)

mm+1kmm

=---------1---------=---.

m+km+k+1m+km+k+1m+k

這恰與”=1時(shí)的結(jié)論是一樣的，于是可以預(yù)見，無論“為什么自然數(shù)，所求

的概率都應(yīng)是一^,則當(dāng)“=t+l時(shí)，有P(H-I)=P(HJP(|

m+k

H,)+P(H,)P(H,|H)=--------------------+--------------------=---------.于是，結(jié)論

+1(m+km+k+1m+km+k+1m+k

P(H.)="一對(duì)所有自然數(shù)都成立.

m+k

2.5簡(jiǎn)潔美

美國(guó)著名心理學(xué)家L.布隆菲爾德(L.Bloonfield)說：“數(shù)學(xué)是語言所能

達(dá)到的最高境界?！比绻f，詩(shī)歌的簡(jiǎn)潔，是寫意的，是欲言還休的，是中國(guó)水

墨畫中的留白，那么數(shù)學(xué)語言的微言大義，則是寫實(shí)的，是簡(jiǎn)潔精確、抽象規(guī)范

的，是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔，不僅使人們更快、更準(zhǔn)確地把握理

論的精髓，促進(jìn)自身學(xué)科的發(fā)展，也使數(shù)學(xué)學(xué)科具有了很強(qiáng)的通用性。目前，數(shù)

學(xué)作為自然科學(xué)的語言和工具，已經(jīng)成了所有科學(xué)------包括社會(huì)科學(xué)在內(nèi)的語

言和工具。最為典型的例子，莫過于二進(jìn)制在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的的應(yīng)用。試想，任何

一個(gè)復(fù)雜的指令，都被譯做明確的01數(shù)字串，這是多么偉大的一個(gè)構(gòu)想?？梢?/p>

說，沒有數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)化，就沒有現(xiàn)在這個(gè)互聯(lián)網(wǎng)四通八達(dá)、信息技術(shù)飛速發(fā)展的時(shí)

代。人們總是喜歡選擇最簡(jiǎn)單的假設(shè)，以求用最簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)形式來凸顯物理的本

質(zhì)。這種思行觀是由來已久的最深入人心的優(yōu)秀傳統(tǒng)之一，Mach稱之為“經(jīng)濟(jì)

思維原則”。簡(jiǎn)潔，給人以簡(jiǎn)單、明了、深遠(yuǎn)、有序的美感?，F(xiàn)代審美理論認(rèn)為：

那些在特定條件下，刺激物被組織的最好、最規(guī)則和具有最大限度的簡(jiǎn)單明了的

“形”，會(huì)給人以相當(dāng)愉悅的感受。數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔美包括兩個(gè)方面：理論形式簡(jiǎn)

單性和邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中始終應(yīng)該注意滲透簡(jiǎn)潔性與守恒性思想，

例如平面幾何的定理相當(dāng)多，但都是從幾個(gè)簡(jiǎn)單明了的公理出發(fā)得到；三角形無

論怎樣變化，內(nèi)角和始終等于360°,邊與角之間始終滿足正弦定理與余弦定理；

多邊形的邊數(shù)無論怎樣變化，外角和始終等于360°；一元二次方程的系數(shù)無論怎

樣變化，求跟公式總是相同的，......這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)量的守恒性與簡(jiǎn)潔性。

歐拉給出的公式：V—E+F=2,堪稱“簡(jiǎn)單美”的典范。世間的多面體有多

少？沒有人能說清楚。但它們的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F,都必須服從歐拉給

出的公式，一個(gè)如此簡(jiǎn)單的公式，概括了無數(shù)種多面體的共同特性，能不令人驚

嘆不已？由她還可派生出許多同樣美妙的東西。如：平面圖的點(diǎn)數(shù)V、邊數(shù)E、

區(qū)域數(shù)F滿足V—E+F=2,這個(gè)公式成了近代數(shù)學(xué)兩個(gè)重要分支——拓?fù)鋵W(xué)

與圖論的基本公式。由這個(gè)公式可以得到許多深刻的結(jié)論，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)與圖論的發(fā)

展起了很大的作用。

在數(shù)學(xué)中，像歐拉公式這樣形式簡(jiǎn)潔、內(nèi)容深刻、作用很大的定理還有許多。

比如：圓的周長(zhǎng)公式：C=2nR,勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜

力1,409***9,

邊平方。平均不等式：對(duì)任何正數(shù)-________,正弦定理：△

X]+%+…+N■■■Xn

ABC的外接圓半徑R,貝|，-=上-=-^=2R。

sinAsinBsinC

數(shù)學(xué)的這種簡(jiǎn)潔美，用幾個(gè)定理是不足以說清的，數(shù)學(xué)歷史中每一次進(jìn)步都

使已有的定理更簡(jiǎn)潔。正如偉大的希而伯特曾說過：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展

都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著彭加勒在同一本書這樣

寫道：“像對(duì)于有用的渴望一樣，對(duì)于美的渴望也導(dǎo)致我們做相同的選擇。因此，

按照馬赫的看法，這種思維之經(jīng)濟(jì)、勞力之就是科學(xué)的永恒趨勢(shì)，同時(shí)也是美的

源泉和實(shí)際利益的源泉。我們所贅美的大廈是建筑師知道如何使手段與目的相稱

的大廈，在這樣的大廈中，支柱似乎輕松地承載著加于其上的重量而毫無吃力之

感，像厄瑞克忒翁廟的雅致的女像柱一樣。”【1】

2.6奇異美

奇異美是指數(shù)學(xué)領(lǐng)域中某些超出常人想象而使人驚奇的特征，這些特征使

審美主體具有強(qiáng)烈的新奇性，包括調(diào)和中的奇異和諧調(diào)中的破缺。培根說：“沒

有一個(gè)極美的東西不是在調(diào)和中有著某些奇異?！逼娈惻c和諧是一對(duì)對(duì)立而統(tǒng)一

的美學(xué)范疇。一個(gè)新出現(xiàn)的和諧理論總包含某種奇異，而奇異的科學(xué)思想方法只

有當(dāng)它具備和諧性時(shí)才能顯示其美。重大的奇異性往往導(dǎo)致科學(xué)理論的革命，因

而奇異又是向更高級(jí)和諧境界發(fā)展的標(biāo)志。奇異美表現(xiàn)于數(shù)學(xué)概念、理論、模型

等的新穎與新奇，表現(xiàn)在它們能夠巧妙地解決數(shù)學(xué)問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)

該滲透數(shù)學(xué)的新奇性與創(chuàng)造性的觀點(diǎn)。創(chuàng)造能力是一種高級(jí)能力，它是在創(chuàng)造活

動(dòng)過程中形成和發(fā)展起來的。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，就是使

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，獨(dú)立地解決未曾解決過的問題或把所

學(xué)的知識(shí)應(yīng)用到新的情景中去的能力。例如在教學(xué)的過程中我曾引導(dǎo)學(xué)生利用

“斜邊的中線等于斜邊一半”證明斜邊直角邊公理，利用相似三角形證明勾股定

理和逆定理。

全世界有很大影響的兩份雜志曾聯(lián)合邀請(qǐng)全世界的數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)選“近50年

的最佳數(shù)學(xué)問題”，其中有一道相當(dāng)簡(jiǎn)單的問題：有哪些分?jǐn)?shù)效，不合理地把b

be

約去得到色,結(jié)果卻是對(duì)的？

C

經(jīng)過一種簡(jiǎn)單計(jì)算，可以找到四個(gè)分?jǐn)?shù)：o這個(gè)問題涉及到“運(yùn)

64659598

算謬誤，結(jié)果正確”的歪打正著，在給人驚喜之余，不也展現(xiàn)一種奇異美嗎。

還有一些“歪打正著等式”，比如

25-92=2592

.525c=25

3131

1129-1=11291-

33

人造衛(wèi)星、行星、彗星等由于運(yùn)動(dòng)的速度的不同，它們的軌道可能是橢圓、

雙曲線或拋物線，這幾種曲線的定義如下：到定點(diǎn)距離與它到定直線的距離之比

是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)e<1時(shí)，形成的是橢圓.當(dāng)e>1時(shí)，形成的是雙曲

線.當(dāng)e=1時(shí)，形成的是拋物線.

常數(shù)e由0.999變?yōu)?、變?yōu)?.001,相差很小，形成的卻是形狀、性質(zhì)完

全不同的曲線。而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線。

橢圓與正弦曲線會(huì)有什么聯(lián)系嗎？做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，把厚紙卷幾次，做成一個(gè)圓

筒。斜割這一圓筒成兩部分。如果不拆開圓筒，那么截面將是橢圓，如果拆開圓

筒，切口形成的即是正弦曲線。這其中的玄妙是不是很奇異、很美。

無序的混沌狀態(tài)，通常以為不可用數(shù)學(xué)來研究?？蓮拇_定的現(xiàn)象(一個(gè)二

次函數(shù)入x(1-x))通過迭代居然能產(chǎn)生出隨機(jī)現(xiàn)象，也就是說無序的混沌狀態(tài)，

竟然可以從一個(gè)二次方程的迭代產(chǎn)生出來。這就把兩種完全不同類型的數(shù)學(xué)問題

溝通起來了。這深刻的發(fā)現(xiàn)，使人不禁感嘆大自然規(guī)律的神奇。還有，菲根鮑姆

對(duì)許多迭代函數(shù)進(jìn)行了大量的計(jì)算，都得到了常數(shù)4.669201629…，這決非巧合,

盡管目前還不清楚這個(gè)數(shù)的本質(zhì)。就是數(shù)學(xué)的這種奇異美使神秘、嚴(yán)肅、程式化

的數(shù)學(xué)世界充滿了勃勃生機(jī)。

歐幾里得幾何曾經(jīng)是完美的經(jīng)典幾何學(xué)，其中的公理5:“過直線外一點(diǎn)有

且只有一條直線與已知直線平行”和結(jié)論“三角形內(nèi)角和等于二直角”，這些似

乎是天經(jīng)地義的絕對(duì)真理。但羅馬切夫斯基卻采用了不同公理5的結(jié)論：“過直

線外一點(diǎn)至少有兩條直線與已知直線平行”，在這種幾何里，''三角形內(nèi)角和小于

二直角”，從而創(chuàng)造了羅氏幾何。黎曼幾何學(xué)沒有平行線。這些與傳統(tǒng)觀念相違

背的理論，并不是虛無飄渺的，當(dāng)我們進(jìn)行遙遠(yuǎn)的天文測(cè)量時(shí)，用羅氏幾何學(xué)是

很方便的，原子物理、狹義相對(duì)論中也有應(yīng)用；而愛因斯坦建立的廣義相對(duì)論中，

較多地利用了黎曼幾何這個(gè)工具，才克服了所遇到的數(shù)學(xué)計(jì)算上的困難。每一個(gè)

理論都在需要不斷創(chuàng)新，每一個(gè)奇思妙想、每一個(gè)似乎不合理又不可思議的念頭

都可能開辟新的天地。這種開闊了我們的視野、開闊了我們心胸、給我們完全不

同感受的難到不是切入肌膚的美嗎？如果我們?cè)俅竽懺O(shè)想一下，是不是還存在一

個(gè)能包容歐氏幾何和非歐幾何的更廣泛的幾何學(xué)呢？事實(shí)上，通過高斯曲率可以

將三種幾何統(tǒng)一在曲面的內(nèi)在幾何學(xué)中，還可以通過克萊因幾何學(xué)與變換群的觀

點(diǎn)將三種幾何統(tǒng)一起來。在不斷創(chuàng)新的過程中，數(shù)學(xué)得到了發(fā)展。

2.7創(chuàng)造美

數(shù)的概念從自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)，擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，經(jīng)歷了無數(shù)次坎坷，

范圍不斷擴(kuò)大了，在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的作用也不斷地增大。那么，人們自然想到

能否再把復(fù)數(shù)的概念繼續(xù)推廣。

英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓苦苦思索了15年，沒能獲得成功。后來，他“被迫作出

妥協(xié)”，犧牲了復(fù)數(shù)集中的一條性質(zhì)，終于發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)，即形為&+azi+a3j+a4k

(a“a2i,a3j,a4k為實(shí)數(shù))的數(shù)，其中i、j、k如同復(fù)數(shù)中的虛數(shù)單位。若

a3=a4=0,貝U四元數(shù)a+azi+asj+a4k是一般的復(fù)數(shù)。四元數(shù)的研究推動(dòng)了線性代

數(shù)的研究，并在此基礎(chǔ)上形成了線性結(jié)合代數(shù)理論，物理學(xué)家麥克斯韋利用四元

數(shù)理論建立了電磁理論。

數(shù)學(xué)的發(fā)展是逐步統(tǒng)一的過程。統(tǒng)一的目的也正如希而伯特所說的：“追求

更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法

例2有2〃+l(〃eN)個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，每個(gè)飛機(jī)場(chǎng)都有一架飛機(jī)，各個(gè)飛機(jī)場(chǎng)之間

的距離互不相等?，F(xiàn)讓所有的飛機(jī)一起起飛，飛向最近的機(jī)場(chǎng)降落，求證必存在

一個(gè)機(jī)場(chǎng)沒有飛機(jī)降落。

證明：當(dāng)”=1時(shí)，設(shè)3個(gè)飛機(jī)場(chǎng)為其中區(qū)d<lAB],\BC\<\AC\,則

5c間的飛機(jī)必定對(duì)飛。而不管A機(jī)場(chǎng)的飛機(jī)飛向8還是飛向C,都使A機(jī)場(chǎng)無

飛機(jī)降落。

現(xiàn)假設(shè)〃=上時(shí)命題成立，當(dāng)“=左+1時(shí)，由于機(jī)場(chǎng)之間的距離兩兩不等，必

有兩處機(jī)場(chǎng)的距離是最近的，這兩處的飛機(jī)會(huì)對(duì)飛，不會(huì)影響其他機(jī)場(chǎng)。我們將

這兩個(gè)機(jī)場(chǎng)先撤出，由歸納假設(shè)，剩下的2k+1個(gè)機(jī)場(chǎng)中，存在一個(gè)機(jī)場(chǎng)尸沒有

飛機(jī)降落，再把撤走的機(jī)場(chǎng)放回，則尸仍無飛機(jī)降落，從而可知當(dāng)〃=左+1時(shí)命

題成立。

例3設(shè)有2"個(gè)球分成了許多堆，我們可以任意選甲，乙兩堆來按照以下規(guī)

則挪動(dòng)：若甲推的球數(shù)p不少于乙堆的球數(shù)q,則從甲推拿q個(gè)球放到乙堆去，

這樣算挪動(dòng)一次，求證：可以經(jīng)過有限次挪動(dòng)把所有的球合并成一堆。

證明：當(dāng)”=1時(shí)，共有2個(gè)球，若已成一堆，則不必挪動(dòng)；若分成兩堆，

則挪動(dòng)一次便可成功。

假設(shè)77=左時(shí)命題成立，當(dāng)〃=左+1時(shí)，對(duì)于個(gè)球，若將2個(gè)粘合成1個(gè)

便退到2上個(gè)球的情況，這種粘合要求每堆球的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，可討論如下：

若每堆球的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則每挪動(dòng)一次都挪動(dòng)了偶數(shù)個(gè)球，這樣的任意一次挪動(dòng)

與將球兩兩粘合在一起挪動(dòng)無本質(zhì)區(qū)別，從而等價(jià)與丁個(gè)球的挪動(dòng)，根據(jù)歸納

假設(shè)，這是可以做到的。

若存在球數(shù)為奇數(shù)的堆，則由總球數(shù)為偶數(shù)知，有奇數(shù)的堆數(shù)為偶數(shù)，將它

們配對(duì)先挪動(dòng)一次，于是每堆球數(shù)都為偶數(shù)，問題可以解決。

例4對(duì)每個(gè)2,求證存在"個(gè)互不相等的正整數(shù)a，%，…，使得

(q.|(4，對(duì)任意的z；/w{l,2,/w)成立。

證明：當(dāng)”=2時(shí)，取。]=1,“2=2,命題顯然成立。

假設(shè)n=Z時(shí)命題成立,即存在ax,a2,---ak滿足1%記b為

q,%，…以及它們每?jī)蓴?shù)之差的最小公倍數(shù)，貝，左+1個(gè)數(shù)。,%+上出+瓦…%+年

也滿足[(q+b)-b]\[^at+b)+b],?=1,2,…左),

[(《+b)-+b)][(《?+Z?)+(%+Z?)],(i,j=l,2..?k,iwj),

即命題對(duì)“=左+1時(shí)成立，由數(shù)學(xué)歸納法知命題得證。

例5設(shè)數(shù)列a“=標(biāo)，求證：當(dāng)〃之3時(shí)，a“+i<4。

證明：當(dāng)“=3時(shí)，a4=A/4=y/2=,而%=A/3=A/9,所以/<%,原不

等式成立。

彳度設(shè)”=左23時(shí)，有女可式<班,即（左+i）*</+i,（1）

當(dāng)n=左+1時(shí)，要證”而萬<上班工1,即要證（左+2）1<（左+1）"2,（2）

由⑴式兩邊分別乘以（4+2戶，從而

（左+球（左+2廣?<［左（左+2）『<［（左+1『『，

兩邊消去（左+球,得（4+2廣<優(yōu)+1廣2。

兩邊開（左+1）（k+2）次方即得及即「1<上必1工1。即當(dāng)〃=左+1時(shí)，原式成立。

綜上，證得原命題成立。

例6已知：對(duì)于任意的正數(shù)以恒有。<匕+￡,證明：a<b,

a-b八77a-ba+b

￡=---->0b+￡-b-\--------=-------<a

證明設(shè)。>人，則a—>>0,取2,有22

與已知相矛盾，所以假設(shè)不成立，于是原命題結(jié)論。<匕成立.

愛因斯但曾經(jīng)說過：“我思考問題時(shí)，不是用語言進(jìn)行思考，而是用活動(dòng)的

跳躍的形象進(jìn)行思考。當(dāng)這種思考完成以后，我要花很大力氣把他們轉(zhuǎn)換成語言。

愛因斯坦一生的夢(mèng)想就是