備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題04基本不等式及其應(yīng)用

專題04基本不等式及其應(yīng)用【考點(diǎn)預(yù)料】1、基本不等式假如，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．基本不等式1：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；基本不等式2：若，則（或），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．留意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿意等號成立的條件．（2）連續(xù)運(yùn)用不等式要留意取得一樣．【方法技巧與總結(jié)】1、幾個(gè)重要的不等式（1）（2）基本不等式：假如，則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”）．特例：（同號）．（3）其他變形：①（溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式）②（溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式）③（溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式）④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值（留意等號成立的條件）．2、均值定理已知．（1）假如（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．（2）假如（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即積為定值，和有最小值”．3、常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．【題型歸納書目】題型一：基本不等式及其應(yīng)用題型二：干脆法求最值題型三：常規(guī)湊配法求最值題型四：消參法求最值題型五：換元法求最值題型六：“1”的代換求最值題型七：利用基本不等式證明不等式題型八：利用基本不等式解決實(shí)際問題【典例例題】題型一：基本不等式及其應(yīng)用例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式明顯不成立，故錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，成立的條件為，故錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式明顯不成立，故錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，由于，故，正確.故選：D例2．（2024春·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習(xí)）下列幾個(gè)不等式中，不能取到等號的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對A，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立；對B，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立；對C，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立；對D，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)脮r(shí)等號成立，無解，等號不成立．故選：D．例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）給出下面三個(gè)推導(dǎo)過程：①∵a、b為正實(shí)數(shù)，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.其中正確的推導(dǎo)為（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】B【解析】①，依據(jù)基本不等式的學(xué)問可知①正確.②，當(dāng)時(shí)，，所以②錯(cuò)誤.③，依據(jù)基本不等式的學(xué)問可知③正確.所以正確的為①③.故選：B變式1．（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？计谀┫铝忻}中，真命題的是（

）A．，都有B．，使得C．隨意非零實(shí)數(shù)，都有D．若，則的最小值為4【答案】AB【解析】對于A，恒成立，則，都有，A選項(xiàng)正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，，使得，B選項(xiàng)正確；對于，當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，令,在上單調(diào)遞增，，則的最小值不是4，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.變式2．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列推導(dǎo)過程，正確的為（

）A．因?yàn)?、為正?shí)數(shù)，所以B．因?yàn)?，所以C．，所以D．因?yàn)?、，，所以【答案】AD【解析】對于A選項(xiàng)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?、，、則，.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，D選項(xiàng)正確．故選：AD【方法技巧與總結(jié)】熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要留意對不等式等號是否成立進(jìn)行驗(yàn)證．題型二：干脆法求最值例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，則ab的最小值是（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2，化簡可得2，∴ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)等號成立，故ab的最小值是8，故選：B．例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b滿意，則ab的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】∵，，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，∴．故選：D．例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最大值為（

）A．2 B．5 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.所以的最大值為.故選：D變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】因?yàn)椋傻?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值是.故選：B.變式4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿意，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因?yàn)?，又所以所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，所以的最小值為2，故選：C.變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A．4 B． C．3 D．【答案】A【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為4.故選：A【方法技巧與總結(jié)】干脆利用基本不等式求解，留意取等條件．題型三：常規(guī)湊配法求最值例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【解析】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以函數(shù)的最小值是.故選：D.例9．（2024·上海·高三專題練習(xí)）若，則函數(shù)的最小值為___________.【答案】3【解析】由題意，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以函數(shù)的最小值為3.故答案為：3.變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）（1）求函數(shù)的最小值及此時(shí)的值；（2）已知函數(shù)，，求此函數(shù)的最小值及此時(shí)的值.【解析】（1）∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立.故函數(shù)的最小值為5，此時(shí)；（2）令，將代入得：，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號成立.故函數(shù)的最小值為5，此時(shí).【方法技巧與總結(jié)】1、通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、留意驗(yàn)證取得條件．題型四：消參法求最值例21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿意，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正實(shí)數(shù)，，滿意，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即的最大值是1．故選：D例22．（2024·全國·高三專題練習(xí)（理））已知正實(shí)數(shù)a，b滿意，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B【解析】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.故選：B.例23．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿意，則的最大值為______．【答案】【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿意b+3a＝2ab，所以a＝，則＝＝＝﹣2（）2+，當(dāng)，即b＝2時(shí)取得最大值．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解．解題過程中要留意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不行！題型五：換元法求最值例29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則取到最小值為________．【答案】．【解析】令，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即的最小值是．例30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，且，則的最小值為_________【答案】【解析】令，則，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最小值為.故答案為：.例10．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）（1）已知，求函數(shù)的值域；（2）已知，，且，求：的最小值．【解析】（1）設(shè)，因?yàn)?，可得，且，故，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立．所以函數(shù)的值域?yàn)椋?）由，可得，即，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)，等號成立，所以的最小值為．【方法技巧與總結(jié)】若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系．1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理．2、留意驗(yàn)證取得條件．題型六：“1”的代換求最值例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，且滿意，則的最小值為__．【答案】【解析】∵實(shí)數(shù)，，且滿意，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號．故答案為：.例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿意，則的最小值為______．【答案】0【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)x，時(shí)，由得，所以（當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，等號成立）．所以的最小值為0．故答案為：.例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為___________．【答案】【解析】由題意當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，故答案為：變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿意，則的最小值為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故答案為：.變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿意x＋y＝1，則的最小值為__________．【答案】【解析】由題意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）＝4＋5＋＋≥9＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，時(shí)取等號，此時(shí)，故的最小值為．故答案為：變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為______．【答案】6【解析】由已知條件得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號．故答案為：6.【方法技巧與總結(jié)】1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特殊留意等價(jià)變形．1、依據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2、留意驗(yàn)證取得條件．題型七：利用基本不等式證明不等式例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b，c為正數(shù).(1)求的最小值；(2)求證：.【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.（2）因?yàn)?，同理，，所以三式相加得，所以，?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號成立例15．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預(yù)料）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.（2）因?yàn)?所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知：，求證：.【解析】，兩邊平方得，依據(jù)基本不等式有，將上述個(gè)不等式相加得，即，所以，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.【方法技巧與總結(jié)】類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證明．題型八：利用基本不等式解決實(shí)際問題例17．（2024春·廣東東莞·高三東莞市東華高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了加強(qiáng)“平安校內(nèi)”建設(shè)，保障師生平安，某校確定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體，建立一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形態(tài)的校內(nèi)警務(wù)室.由于此警務(wù)室的后背靠墻，無需建立費(fèi)用，甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)14400元.設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為米.(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？并求出最低報(bào)價(jià)；(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參加此警務(wù)室的建立競標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)勝利，試求的取值范圍.【解析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)的總造價(jià)為元，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.即當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為4米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低為28800元.（2）由題意可得，對隨意的恒成立.即，從而恒成立，令，又在為單調(diào)增函數(shù)，故.所以.例18．（2024春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）習(xí)總書記指出：“綠水青山就是金山銀山”.某市一鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)號召，因地制宜地將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.調(diào)研過程中發(fā)覺：某水果樹的單株產(chǎn)量（單位千克）與施用發(fā)酵有機(jī)肥費(fèi)用（單位：元）滿意如下關(guān)系：，這種水果樹單株的其它成本總投入為元.已知該水果的市場售價(jià)為元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求，記該水果樹的單株利潤為（單位：元）.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí)，該單株水果樹獲得的利潤最大?最大利潤是多少?【解析】（1）由題意得：，即，∴化簡得．（2）當(dāng)時(shí)，的對稱軸且開口向上，∴；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，綜上，當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為元時(shí)，單株水果樹獲得的利潤最大為380元．例19．（2024春·山東菏澤·高三巨野縣試驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2024年9月17日13時(shí)34分，神舟12號返回艙在東風(fēng)著陸場勝利著陸，它是中國成為太空大國的里程碑．2024年6月17日將神舟12號載人飛船送入太空的長征二號F運(yùn)載火箭在設(shè)計(jì)生產(chǎn)中接受了許多新技術(shù)新材料．甲工廠擔(dān)當(dāng)了某種材料的生產(chǎn)，并以千克/時(shí)（為保證質(zhì)量要求）的速度勻速生產(chǎn)，每小時(shí)可消耗A材料（）千克，已知每小時(shí)生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時(shí)，消耗A材料10千克．(1)設(shè)生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品，消耗A材料y千克，試把y表示為x的函數(shù)．(2)要使生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗的A材料最少，工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度?并求消耗的A材料最少為多少．【解析】（1）（1）由題意得k＋9＝10，解得k＝1，因?yàn)樯a(chǎn)千克該產(chǎn)品須要的時(shí)間是，所以．（2）由（1）知，生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗的A材料為（千克），當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝3時(shí)，等號成立，故工廠應(yīng)選取3千克/時(shí)的生產(chǎn)速度，此時(shí)消耗的A材料最少，最少為6000千克．【方法技巧與總結(jié)】1、理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題．2、留意定義域，驗(yàn)證取得條件．3、留意實(shí)際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，得：，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號），的最小值為.故選：C.2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿意且存在這樣的，使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以，解得或，所以的取值范圍是.故選：C3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值為（）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】∵，∴，∴≥＝6，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值6，故選：A．4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某次國際象棋競賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得0分，某參賽隊(duì)員競賽一局勝的概率為a，平局的概率為b，負(fù)的概率為c（），已知他競賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為1，則ab的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，競賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為，故，又，故，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.故選：B.5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）小王用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻且面積為的矩形菜園，墻長為，小王須要合理支配矩形的長寬才能使所用籬笆最短，則最短的籬笆長度為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)矩形的長、寬分別為xm(x≤18)，ym，籬笆的長為lm，則，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)(m)，符合題意，即長、寬分別略為、時(shí)，籬笆的最短長度為，故選：C．6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿意，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為.故選：B7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號．故選：D．8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿意，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為.故選：B.9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知都是正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】由題意知，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：C．10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），的最大值為.故選：A.二、多選題11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，，則（

）A． B．C．的最小值為 D．【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，又，所以，A正確；因?yàn)?，，則，，所以，B正確；因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，C不正確；因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)?，所以，D正確.故選：ABD.12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)正數(shù)，4是與的等比中項(xiàng)，則下列說法正確的是（

）A．的最小值是1 B．的最大值是1C．的最小值是 D．的最大值是【答案】BC【解析】因?yàn)椋?，所以，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最大值為1，故錯(cuò)誤，B正確．因?yàn)椋实淖钚≈禐椋瑹o最大值，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，，最小值為2；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取得最小值2；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值2；對于D，，當(dāng)時(shí)取得最小值1，綜上可知：ABC正確.故選：ABC.14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由題設(shè)，，則(僅等號成立)，可得，由，即，則，A正確；由，即，B錯(cuò)誤；由，C正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，D錯(cuò)誤；故選：AC15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且值域?yàn)榈挠校?/p>

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意可得是奇函數(shù)，故解除選項(xiàng)B；是偶函數(shù)，但值域?yàn)椋式獬x項(xiàng)C；和都是偶函數(shù)，且值域均為.故選：AD.三、填空題16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若正數(shù)a，b滿意，則的最小值為___________.【答案】【解析】因?yàn)椤⑶?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號；故答案為：17．（2024·上海·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故答案為：．18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a，b滿意，則的最小值為___________.【答案】1【解析】∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立即，則∴或（舍去），即故答案為：1．19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿意，且，則的最大值為______.【答案】【解析】令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為故答案為：20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿意，則的最小值是_______．【答案】16【解析】∵，則可得∴∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立∴故答案為：16．21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若，則的最小值是___________.【答案】2【解析】因?yàn)?，所以，則，所以，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，