2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6單元 不等式、推理與證明聽(tīng)課學(xué)案 理

第六單元不等式、推理與證明

第33講不等關(guān)系與不等式

課前雙擊鞏固

知識(shí)聚焦、

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

b

a-b>Oa_____b

a-b=Oa_____b

(1)作差法［a-b<

(2)作商法

ta

一>l(aR,b>0)Qb(aR,b>0),

b

a

—=lab(a,b=0),

h

a

一<l(aR,b>0)ab(aR,b>0).

\b

2.不等式的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性:a〉g(雙向性).

⑵傳遞性:a>b,b>ga>c(單向性).

(3)可力口性:a,2a+c6+c(雙向性)；

a>b,c>g(單向性).

(4)可乘性:a>b,cX)=>acbc;

a>b,c<0=acbc\

c>d>0=ac力"(單向性).

(5)乘方法則：6"(〃&N,〃21)(單向性).

(6)開(kāi)方法則:a>"0n*，W(〃GN,心2)(單向性).

對(duì)點(diǎn)演練、

題組一常識(shí)題

1.［教材改編］設(shè)a=*,b=j-F,c=?9,則a,b,c中最大者為

2.［教材改編］若/(x)之*-2x,g(x)=*-2,則與g(x)的大小關(guān)系是

11

3.［教材改編］已知下列四個(gè)條件:①(2^>a>b\③aX〉b;④a>g不能推出a8成立

的序號(hào)是.

題組二常錯(cuò)題

?索引：求范圍時(shí)亂用不等式的加法原理;乘法運(yùn)算不注意符號(hào)的影響；除法運(yùn)算受定勢(shì)的影

響,不注意不等式兩端的符號(hào).

4.已知-3QK5,則2a-b的取值范圍是.

abc

5.已知a,b,cGR,,設(shè)S=b+c町+c+a+b,則s與1的大小關(guān)系是.

a

6.已知2Q<3,-3<*-2,則石的取值范圍是.

課堂考點(diǎn)探究

。探究點(diǎn)一比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小

*-廬a-b

2

Ift(1)己知a*0,P=^+btQ=a+bt則p,Q的大小關(guān)系為.

(2)已知a,6,c為正數(shù)，且3"N"W',則下列正確的是()

A.6c<3a<4bB.6e<4Z?<3c?

C.3<a<4Z?<6cD.4A<3d<6c

［總結(jié)反思］(1)判斷兩個(gè)式子的大小關(guān)系的方法:作差、作商法;不等式性質(zhì)法;單調(diào)性法;

中間量法;特殊值法;數(shù)形結(jié)合法等.

(2)作差法的一般步驟:作差,變形,定號(hào),得出結(jié)論.

趣題⑴已知R,,K2p+l)(p-3),心(0與)(”3)+10,則也4的大小關(guān)系為.

⑵若aX,且aW7,則()

A.77a<7aa

B.77a5a7

C.77a>7aa

D.7'a"與7"a7的大小不確定

。探究點(diǎn)二不等式的性質(zhì)

［ft⑴［2017?淮北一中四模］若ae<0,給出下列不等式:

111

①st亂〉6;②/;③a+b>a)b.

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.OB.1

C.2D.3

(2)設(shè)0Q<l,"cA),則下列結(jié)論不正確的是()

A.a<a

B.lf>c

C.loga6<log.,c

aa

D.B)C

［總結(jié)反思］解決此類題目常用的三種方法：

(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證,利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意

前提條件；

(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案;

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí),可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)

函數(shù)、基函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.

圜式題(1)若a<7K0,則下列不等式不能成立的是()

A.箝ab

1111

C.a>bD.a-b)a

(2)［2017?北京朝陽(yáng)區(qū)二模］已知?jiǎng)t下列不等式一定成立的是()

11

A.x<y

B.log2(^-y)>0

C.x>y

。探究點(diǎn)三不等式性質(zhì)的應(yīng)用

b

例h(1)[2017?衡水中學(xué)三調(diào)]三個(gè)正數(shù)a",c滿足aWb+cW2a,bWa+cW2b,貝值的取值范

圍是()

23,

A.辰

黑8)

B」2)

C.[2,3]

D.[1,2]

1111

⑵已知-2W2x+_r〈2,-2W3x+jW2,則9x+y的取值范圍是.

[總結(jié)反思]運(yùn)用不等式的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí),常用的方法是正確使用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo),

并注意不等式性質(zhì)成立的條件以及笠仇我強(qiáng)的思想，比如減法可以轉(zhuǎn)化為加法,除法可以轉(zhuǎn)

化為乘法等.但應(yīng)注意兩點(diǎn):一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì);二是在多次運(yùn)用不等式的性

質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍，解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體

的等量關(guān)系,再通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.

康民題已知f(a,》=ax+by,如果1WF(1,DW2,且TWF(1,T)W1,則/>⑵1)的取值范圍

是.

第34講一元二次不等式及其解法

課前雙擊鞏固

知識(shí)聚焦、

1.一元二次不等式

只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫作一元二次不等式.

2.一元二次不等式的解集

判別式

4X)A=OA<0

/=6-Aac

常用結(jié)論

1.(1)“@/+打心0心力0,王哥)恒成立”的充要條件是“aX且爐Mac<0”.

(2)“aV司x+c<O(a#O)恒成立”的充要條件是“a<Q且Z^MacO'.

2.(1)對(duì)于不等式ax+bx+cX),求解時(shí)不要忘記討論a=0時(shí)的情形.

(2)注意區(qū)分48時(shí),ax'坳什c>0(aW0)的解集為R還是0.

對(duì)點(diǎn)演練、

題組一常識(shí)題

1.［教材改編］不等式X2-3X-10<0的解集為.

2.［教材改編］已知一元二次方程x42ax+(7a"6)K(aGR)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是.

3.［教材改編］已知集合A=(x/x-2x-3<0},8={-1,0,1,2,3},則A^B=.

題組二常錯(cuò)題

?索引：解不等式時(shí)變形必須等價(jià);注意二次項(xiàng)的系數(shù)符號(hào);對(duì)參數(shù)的討論不要忽略二次項(xiàng)系

數(shù)為0的情況.

4.不等式2x(x-7)>3(x-7)的解集為.

5.不等式(x+3)(1-x)20的解集為.

6.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式mHmxf<0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

課堂考點(diǎn)探究

。探究點(diǎn)一一元二次不等式的解法

例1⑴［2017?河南新鄉(xiāng)三模］若集合心{x。巧xT4<t)河心{*/1<x<4},則等于

()

A.0B.(1,4)

C.(2,4)D.(l，2)

⑵已知不等式af節(jié)x坳X)的解集為{x/-34<2},則不等式加七戶a為的解集為()

A.IAI-3<x<2}

B.{1x<-3或x>2}

C.{x/-3<x<2}

D.{A-/%<-3或x>2}

［總結(jié)反思］解一元二次不等式的一般步驟：①化為標(biāo)準(zhǔn)形式(二次項(xiàng)系數(shù)大于0)；②確定

判別式4的符號(hào)(若則求出該不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根，若4<0,則對(duì)應(yīng)的二次方

程無(wú)根)；圖合二次函數(shù)的圖像得出不等式的解集.

震式題⑴已知集合4={xGZ/V-3IW0},6={xGZ/2V-『6刈，則4C8的真子集的個(gè)數(shù)

為.

11

(2)已知一元二次不等式/(x)<0的解集為(-8,15)uG+8),則不等式/(10x)A)的解集

為.

。探究點(diǎn)二一元二次不等式恒成立問(wèn)題

考向1形如/'(M?OaGR)

IB不等式(a-2)x02(a-2)xYe對(duì)一切xdR恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

(a>0,

［總結(jié)反思］⑴若不等式a.+bx+c為(aWO)恒成立，則滿足L=b2-4ac<0.

(a<0,

⑵若不等式af+Ox+c-e(aWO)恒成立，則滿足L=b2-4ac<0.

(3)若不等式恒成立,則要考慮aR時(shí)是否滿足.

考向2形如f(x)》0(xe[a,6])

例fe若對(duì)任意的xd[T,2],都有V-2x+aW0(a為常數(shù))，則a的取值范圍是()

A.(-°0,-3]B.(-8,o]

C.[1,+8)D.(…,1]

[總結(jié)反思]一元二次不等式在指定范圍內(nèi)恒成立,其本質(zhì)是這個(gè)不等式的解集包含著指定

敢區(qū)阿?恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸上方;恒小于0就是相

應(yīng)的二次函數(shù)圖像在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.

考向3形如f(x)20(參數(shù)///€[a,b\)

IB對(duì)任意ae[-1,1],函數(shù)F(x)=/+(aM)xM-2a的值總大于零,則x的取值范圍

是.

[總結(jié)反思]解決一元二次不等式在給出參數(shù)取值范圍恒成立問(wèn)題時(shí)一定要搞清誰(shuí)是主元,

誰(shuí)是參數(shù),一般地,知道誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是主元,求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).

強(qiáng)化演練

1.【考向1][2017?南充檢測(cè)]關(guān)于x的不等式V-ax+aXKaGR)在R上恒成立的充分不必

要條件是()

A.a<0或a>4B.0<a<2

C.0<a<4D.0<a<8

2.【考向2][2017?吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬]若對(duì)任意xG[l,2],有f-aWO恒成立，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是()

A.aW4B.a》4

C.aW5D.a35

3.【考向1]若函數(shù)f⑺52+&%+1的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-2,2)

B.(-8,-2)u(2,+8)

c(_oo,-2]u[2,+8)

D.[-2,2]

4.【考向3】不等式(a-3)x“<(4a-2)x對(duì)aS(0,1)恒成立,則x的取值范圍是.

。探究點(diǎn)三一元二次不等式的應(yīng)用

1ft［2017?蕪湖一中月考］某廠以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求

3

W10),每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是50(5x-1+J元.

(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于1500元,求”的取值范圍.

(2)要使生產(chǎn)480千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn):該廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求此最大

利潤(rùn).

［總結(jié)反思］對(duì)于不等式應(yīng)用問(wèn)題,一般可按四步進(jìn)行:一是理解題意,把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量;

二是引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等關(guān)系疑造丕笠式;三是解不等式;四是回答實(shí)際問(wèn)題.

穌題學(xué)校里兩條互相垂直的道路AM,4M旁有一矩形花園ABCD,現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)更大

的三角形花園APQ,要求點(diǎn)B,P在4”上,點(diǎn)D,。在川上,且收過(guò)點(diǎn)C,其中川/=汕值100m,AB^30

m,4?=20m,如圖6-34-1,記三角形花園4國(guó)的面積為Sm2.

(1)設(shè)〃。=xm(xX),建立三角形花園4國(guó)的面積S關(guān)于x的表達(dá)式.

(2)要使三角形花園4國(guó)的面積不小于1600m；請(qǐng)問(wèn)的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

圖6-34-1

第35講二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

課前雙擊鞏固

知識(shí)聚焦、

1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域

不等式表示區(qū)域

Ax+By+OO不包括______

直線Ax+By+C巾某一側(cè)的所

Ax+By+0

有點(diǎn)組成的平面區(qū)域包括______

0

不等式組各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的________

2.線性規(guī)劃中的基本概念

名稱意義

約束條件由變量X,y組成的________

線性約束條件由關(guān)于*,y的______不等式組成的不等式組

目標(biāo)函數(shù)關(guān)于X,y的函數(shù)________,如z3x+3y等

線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于X,y的______解析式

可行解滿足線性約束條件的______

可行域由所有可行解組成的______

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得______或_____的可行解

線性規(guī)劃問(wèn)題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的_____或______的問(wèn)題

3.利用線性規(guī)劃求最值，用圖解法求解的步驟

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域.

(2)作出目標(biāo)函數(shù)的等值線.

(3)確定最優(yōu)解:在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)等值線,從而確定最優(yōu)解.

對(duì)點(diǎn)演練、

題組一常識(shí)題

'x-y-2<0,

x+y+3<0,

1.［教材改編］不等式組I-34XW0表示的平面區(qū)域的面積為.

,X+2y<8,

0<x<4,

2.［教材改編］若變量*,y滿足約束條件I0WyW3,則z之x。的最大值等于.

3.［教材改編］某蔬菜收購(gòu)點(diǎn)租用車輛將100t新鮮辣椒運(yùn)往某市銷售,可租用的大卡車和農(nóng)

用車分別為10輛和20輛,若每輛卡車載重8t,運(yùn)費(fèi)960元,每輛農(nóng)用車載重2.5t,運(yùn)費(fèi)360

元,據(jù)此安排兩種車型使運(yùn)費(fèi)最少.設(shè)租用大卡車x輛,農(nóng)用車/輛,則應(yīng)滿足的不等關(guān)系

為.

題組二常錯(cuò)題

?索引：不明確目標(biāo)函數(shù)的最值與等值線的截距間關(guān)系;不清楚目標(biāo)函數(shù)的幾何意義;對(duì)最優(yōu)

解有無(wú)數(shù)個(gè)理解不透.

X+y<1

x>

0,

y->

4.已知變量％y滿足約束條件0,則的最大值為

-x-y+5>0,

x+y>0,

5.若變量滿足Ix<3,則的最大值是

y>o,

y—%+1工0,

6.已知變量x,y滿足(y-2X+4N0,若Z可-ax取得最大值時(shí)的最優(yōu)解(x,y)有無(wú)數(shù)個(gè),則a

的值為.

課堂考點(diǎn)探究

瞰究點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域信宵

考向1平面區(qū)域的面積問(wèn)題

'3x-2y>0,

3x-y-3<0,

I例i(1)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組【y>o表示的平面區(qū)域的面積是()

3

A.1B,2

5

C.21).2

'x+y-3<0,

x—2y—3W0,

(2)設(shè)不等式組lx>l表示的平面區(qū)域?yàn)閮|，直線y〃(x-3)分平面區(qū)域。，為面積相

等的兩部分,則k=.

［總結(jié)反思］求解平面區(qū)域的面積問(wèn)題的基本步驟：

(1)畫(huà)出不等式組表示的關(guān)面區(qū)域；

(2)判斷平面區(qū)域的形狀,也可將平面區(qū)域劃分為幾個(gè)三角形;

(3)求解面積.

考向2平面區(qū)域的形狀問(wèn)題

12x-y+2>0,

x+y—2<0,

I例力不等式組【y>o表示的平面區(qū)域的形狀為()

A.三角形B,平行四邊形

C.梯形D.正方形

［總結(jié)反思］平面區(qū)域的形狀問(wèn)題主要有兩種題型：

(1)確定平面區(qū)域的形狀,求解時(shí)先畫(huà)滿足條件的平畫(huà)區(qū)域,然后判斷其形狀；

(2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問(wèn)題,求解時(shí)通常先畫(huà)滿足條件的平面區(qū)域,但要注意對(duì)參

數(shù)進(jìn)行必要的討論.

強(qiáng)化演練

,x+y-2>0,

%<4,

1.【考向2】不等式組Iy<5表示的平面區(qū)域的形狀為()

A.等邊三角形

B.梯形

C.等腰直角三角形

D.正方形

'x>0,

x+y<2,

2.【考向1】在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組［x<y所表示的平面區(qū)域的面積為()

A.1B.2

C.4D,8

，x>0,,

（x,y）|x+y<1,

3.【考向1］［2017?三明質(zhì)檢］在區(qū)域1刀-丫31）中,若滿足@戶卜）0的區(qū)域面積

1

占°面積的則實(shí)數(shù)a的值是（）

21

A.3B.2

12

C.-2D.-3

'x<0,

x+y>0,

4.【考向2】若關(guān)于的不等式組lkx-y+120表示的平面區(qū)域的形狀是等腰直角三角

形，貝Ik=.

。探究點(diǎn)二求目標(biāo)函數(shù)的最值星四

考向1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值

'-2x+y<4,

4x+3y<12,

例h(1)[2017?河南新鄉(xiāng)三模]已知變量滿足約束條件Iy>l,則的最小

值為()

1

A.-2B.1

11

C.-2D.2

'y>3%-3,

2y<x+4,

（2）［2017?衡水中學(xué)月考］已知變量滿足約束條件13x+4y+12>0,則z=2x-y的最大

值為（）

A.2B.3

C.4D.5

［總結(jié)反思］求目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值,先準(zhǔn)確作出可行域,再借助目標(biāo)函數(shù)

的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值?

考向2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

'x>2,

x+y<6,

IB⑴［2017?成都三模］若滿足不等式組5-2yW0廁zd+V的最小值是（）

A.2B.A/5

C.4D.5

-x-2y-4<0,

x4-y-1>0,____

(2)若變量滿足約束條件l2%-y-2N0,則z』+l的取值范圍是()

A.[0,2)B.[0,2]

11

-1-

C.'2」D」0,+8)

[總結(jié)反思]目標(biāo)函數(shù)是非線性形式的函數(shù)時(shí),?？紤]目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,常見(jiàn)代數(shù)式的幾

何意義主要有：

(l)J/+y2表示點(diǎn)(X,力與原點(diǎn)(0,0)間的距離,J(x-a)2+(y-b)2表示點(diǎn)(%。與點(diǎn)(&?

間的距離；

yy-b

(2)或表示點(diǎn)(x,力與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率,右表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,6)連線的斜率.

考向3求線性規(guī)劃中的參數(shù)

'x+y>1,

mx-y<0,

IB(1)[2017?馬鞍山三模]已知變量％?滿足【2x-y+2N0,若z3r-y的最大值為1,

則小的值為()

8

A.3B.2

2

C.1D.3

'%+y-320,

x-2y4-3>0,

(2)[2017?煙臺(tái)二模]關(guān)于的不等式組Ix-2<0表示的平面區(qū)域?yàn)椤ㄈ魠^(qū)域〃

內(nèi)存在滿足的點(diǎn),則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()

A.(-8,1]B,口,+8)

C.(-8,5]D.[5,+8)

[總結(jié)反思](1)線性規(guī)劃問(wèn)題中的參數(shù)可以出現(xiàn)在約束條件或目標(biāo)函數(shù)中；

(2)一般地，目標(biāo)函數(shù)只在可行域的頂點(diǎn)或邊界處取得最值.

強(qiáng)化演練

2x4-y-2>0,

x+y-3<0,

1.【考向1】若滿足IxfyEN\則片2Y的最大值為（）

A.3B.2

C.0D.-2

Fx-y+1>0,

x+y>0,

2.【考向1］若變量滿足【x<0,則z=2x+y的最小值為（）

1

A.-2B.0

3

C.1D,2

2x-y>0,

x+2y-2>0,L

3.【考向2］［2017娛州模擬］若x,y滿足約束條件［y-l<0,則z=x的最大值為（）

A.1B.2

C.3D.4

1

4.【考向3］［2017?石家莊二模］變量滿足/x+l/Wj<-5x+l時(shí)，目標(biāo)函數(shù)ZMXY的

最大值等于5,則實(shí)數(shù)〃的值為（）

1

A.-1B.-2

C.2D.5

'x>0,

y<1,

5.【考向3］已知變量滿足12x-2y+lW0,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（aW0）取得最小值時(shí)的

最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè),則實(shí)數(shù)a的值為.

y>1,

y<x-l,

6.【考向3］若x,y滿足?+y<m,且z4+/的最大值為10,則m=.

。探究點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用

I例咖啡館配制兩種飲料，甲種飲料分別用奶粉9g、咖啡4g、糖3g.乙種飲料分別用奶

粉4g、咖啡5g、糖10g.已知每天使用原料限額為奶粉3600g、咖啡2000g、糖3000g.

如果甲種飲料每杯能獲利0.7元，乙種飲料每杯能獲利1.2元.每天在原料的使用限額內(nèi)飲料

能全部售出,每天配制甲種飲料杯、乙種飲料杯能獲利最大.

［總結(jié)反思］解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：(1)分析題意,設(shè)出未知量；(2)列出約束條件和

目標(biāo)函數(shù);⑶作出平面區(qū)域；⑷判斷最優(yōu)解;(5)布據(jù)實(shí)際問(wèn)題作答.

雷式題［2017%沙長(zhǎng)郡中學(xué)三模］某高新技術(shù)公司要生產(chǎn)一批新研發(fā)的A款產(chǎn)品和B款產(chǎn)

品,生產(chǎn)一臺(tái)A款產(chǎn)品需要甲材料3kg,乙材料1kg,并且需要花費(fèi)1天時(shí)間,生產(chǎn)一臺(tái)B款

產(chǎn)品需要甲材料1kg,乙材料3kg,也需要1天時(shí)間，已知生產(chǎn)一臺(tái)A款產(chǎn)品的利潤(rùn)是1000

元,生產(chǎn)一臺(tái)B款產(chǎn)品的利潤(rùn)是2000元,公司目前有甲、乙材料各300kg,則在不超過(guò)120

天的情況下，公司生產(chǎn)兩款產(chǎn)品的最大利潤(rùn)是元.

第36講基本不等式

課前雙擊鞏固

知識(shí)聚焦、

a+b

1.基本不等式版W2

(1)基本不等式成立的條件:.

(2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

2.幾個(gè)重要的不等式

(Da+42(a,方WR).

ba

(2)公正2(a,6同號(hào)).

Q+b

(3)abW(2)2(a"CR).

22

Q+ba+b

(a,6GR).

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設(shè)aA),"0,則a"的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為、萬(wàn)瓦基本不等式可敘述

為:.

4.利用基本不等式求最值問(wèn)題

己知xX),y>0,則

(1)如果積孫是定值",那么當(dāng)且僅當(dāng)x可時(shí),x+y有最小值是(簡(jiǎn)記:積定和最小).

(2)如果和x+y是定值0,那么當(dāng)且僅當(dāng)x可時(shí),燈有最大值是(簡(jiǎn)記:和定積最大).

對(duì)點(diǎn)演練、

題組一常識(shí)題

1

1.［教材改編］已知x〉2則戶"7的最小值為.

2.［教材改編］己知正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=\,則孫的最大值為.

3.［教材改編］一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，則這個(gè)矩形菜園的最大面積

為.

題組二常錯(cuò)題

?索引：對(duì)于基本不等式的應(yīng)用，注意字母的正負(fù)以及等號(hào)成立的條件,等號(hào)不成立時(shí),通常

考慮利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

4.函數(shù)了丁-1(x<l)的最大值為.

4

5.當(dāng)x24時(shí)，,x+x-1的最小值為.

41

6.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+*3,則以3的最小值為,

課堂考點(diǎn)探究

?探究點(diǎn)一利用基本不等式求最值

考向1利用配湊法求最值

8

例1(1)［2017?重慶九校聯(lián)考］若aX),則a+2a+1的最小值為.

⑵已知x+3y=l(xX),y>0),則xy的最大值是.

［總結(jié)反思］利用配湊法求最值,主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.

考向2利用常數(shù)代換法求最值

IB(1)［2017?煙臺(tái)一模］已知函數(shù)y=l+log.x(9且/W1)的圖像恒過(guò)點(diǎn)M若直線

xy

a正二1(aX,6刈經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,則a+b的最小值為()

A.2B.3

C.4D,5

(2)［2017?四川綿陽(yáng)中學(xué)三模］已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%)滿足曲若存在兩項(xiàng)金,電使

14

2——

a

得a.aP=ie>l,則巾+P的最小值為()

4

A.3B.9

3

C.2D.不存在

ab

［總結(jié)反思］常數(shù)代換法主要解決形如“已知"yr1為常數(shù))，求蔣亍的最值”的問(wèn)題，先

ababx4-y

將蔣3轉(zhuǎn)化為(入亍)?一1,再用基本不等式求最值.

考向3利用消元法求最值

2a+3b

例3［2017?浙江學(xué)軍中學(xué)模擬］已知正實(shí)數(shù)a"滿足才-6掰W0,則a+b()

14

A.有最大值5

14

B.有最小值5

C.有最小值3

D.有最大值3

［總結(jié)反思］當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí),通常是考慮利用已知條件消去部分變

量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值.

考向4利用兩次基本不等式求最值

1

黝已知a〉M),那么a?仍(a-b)的最小值為.

［總結(jié)反思］利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時(shí)一定要注意驗(yàn)證笠號(hào)懸查或或,特別

是當(dāng)連續(xù)多次使用基本不等式時(shí),一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立,并且注意取等號(hào)的

條件的一致性,因此在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí),列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要

步驟,也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.

強(qiáng)化演練

1

1.【考向1】已知xG（0,4）,則y=x（l/x）的最大值為.

1

2.【考向1]若函數(shù)⑵在產(chǎn)a處取得最大值，則a=（）

A.V2-lB.1~yl^

C.1D.2

3.【考向2】設(shè)直角坐標(biāo)系x/平面內(nèi)的三點(diǎn)小1,-2）,庾a,T）,C（也0）,其中aX,若

12

A,B,C三點(diǎn)共線,貝值石的最小值為（）

A.4B.6

C.8D.9

11

4.【考向4】設(shè)則才+萬(wàn)+而可的最小值是（）

A.1B.2

C.3D.4

41

5.【考向3][2017?山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模]若a,6,c都是正數(shù)，且a?+c4,則RT市17的

最小值是（）

A.2B.3

C.4D.6

。探究點(diǎn)二基本不等式與函數(shù)的綜合問(wèn)題

IB（I）[2017哈肥質(zhì)檢]對(duì)函數(shù)心）,如果存在&ro使得/0）=-/（-%,則稱（檢式X。））

與（-8,/（-%））為函數(shù)圖像的一組奇對(duì)稱點(diǎn).若/（x）m'-a（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）存在奇對(duì)稱

點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-8,1）

B.（1,+8）

C.（e,+8）

D.[1,+8）

8

(2)［2017?南昌一模］已知兩條直線/i：片7〃(加＞0)和，2：片2m+1,A與函數(shù)片|］。。2%1的圖

像從左到右相交于點(diǎn)A,民心與函數(shù)片的。2%1的圖像從左到右相交于點(diǎn)C,D,記線段/C和BD

b

在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a,b,當(dāng)加變化時(shí),改的最小值為.

2

ax+bx+c

［總結(jié)反思］形如片dx+e的函數(shù)的值域或最值，可以利用基本不等式求解，在求解過(guò)

程中特別要注意取等號(hào)的情況,若不滿足取等號(hào)的情況,則可以利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.

圜式題若在函數(shù)片Mx)圖像上不同兩點(diǎn)材(幾兄，M及,㈤處的切線的斜率分別是七,k、,規(guī)

\kM~*.1

定定理加=l-N|(/腑/為線段*的長(zhǎng)度)叫作曲線尸f(x)在點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的“彎曲

度”.設(shè)函數(shù)F(r)=x，2圖像上的不同兩點(diǎn)為做為，必),N5,㈤，且汨熱=1,則＜t＞(此心的取值

范圍是.

。探究點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

版fe小王于年初用50萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一輛大貨車，第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬(wàn)元,從第二年

起,每年都比上一年增加支出2萬(wàn)元，假定該車每年的運(yùn)輸收入均為25萬(wàn)元.小王在該車運(yùn)輸

累計(jì)收入超過(guò)總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第〃年年底出售,其銷售價(jià)

格為(25-〃)萬(wàn)元(國(guó)家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年).

(1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出？

(2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大？(利潤(rùn)=累計(jì)收入修肖售收

入-總支出)

［總結(jié)反思］利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用題的基本思路：

(1)設(shè)變量時(shí)一般把要求的變量定義為函數(shù);

(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值;

(3)求最值時(shí)注意定義域的限制.

第37講合情推理與演繹推理

課前雙擊鞏固

知識(shí)聚焦、

1.合情推理

⑴定義:根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行,然后提出的

推理叫作合情推理.

(2)分類:數(shù)學(xué)中常用的合情推理有和.

(3)歸納和類比推理的定義、特點(diǎn)及步驟

名稱歸納推理類比推理

根據(jù)某類事物的_____具有某些特征,推

由兩類對(duì)象具有_______特征和其中一

出該類事物的_______都具有這些特征

定義類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象

的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論

也具有這些特征的推理,叫作類比推理

的推理,叫作歸納推理

由______到______、

特點(diǎn)由______到______的推理

由______到______的推理

④戈出兩類事物之間

0?過(guò)觀察_______發(fā)現(xiàn)___________;的______________;

步驟②從已知的_______中推②用一類事物的_____去推

出_________________________測(cè)___________,得出一個(gè)明確的命題

(猜想)

2.演繹推理

(1)模式:三段論

。大前提：已知的一般原理；

②小前提:所研究的特殊情況；

霹論:根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷.

(2)特點(diǎn):演繹推理是由到的推理.

對(duì)點(diǎn)演練y

題組一常識(shí)題

1.［教材改編］仔細(xì)觀察如圖6-37-1所示的圖形:圖⑴是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊,圖

(2)、圖(3)是由這樣的小正方體木塊疊放而成的,按照這樣的規(guī)律放下去,至第7個(gè)疊放的圖

形中,小正方體木塊總數(shù)是.

圖6-37-1

。］++**a+

2.［教材改編］若數(shù)列｛&｝("WN)是等差數(shù)列,且b0=n,貝IJ｛兒｝也為等差數(shù)列.

類比上述性質(zhì),相應(yīng)地:若數(shù)列⑷是等比數(shù)列,且c,N,則當(dāng)&=時(shí)，｛&｝也是等比數(shù)

列.

3.［教材改編］給出如下“三段論”的推理過(guò)程：

因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=log“x(aX且a聲1)是增函數(shù)(大前提)，而y=lo次是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提)，所

以y=lo次是增函數(shù)(結(jié)論).

則上述推理過(guò)程的錯(cuò)誤原因是.

題組二常錯(cuò)題

?索引：演繹推理中的大前提、小前提和結(jié)論判斷出現(xiàn)錯(cuò)誤或違背演繹推理規(guī)則;沒(méi)有理解類

比推理中的規(guī)律，歸納推理中的猜想.

4.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)閒(x)=sin(x+l)是正弦函數(shù)，所以f(x)=sin(x+l)是奇函數(shù).以上

推理的錯(cuò)誤原因是.

S11

5.在平面幾何中有如下結(jié)論:若正三角形力寬的內(nèi)切圓面積為S,外接圓面積為題則$2=4.

推廣到空間幾何體中可以得到類似結(jié)論:若正四面體小時(shí)的內(nèi)切球體積為匕外接球體積

為%則嗔=.

6.觀察下列各式：

13

W22<2,

￡￡5

W22^32<3,

1117

I1???/2a.

111

照此規(guī)律,當(dāng)時(shí)，"22,32*.+(n+1)2<.

課堂考點(diǎn)探究

。探究點(diǎn)一類比推理

例1⑴設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S1H則S,,W-S,$2-S成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有:設(shè)

%

等比數(shù)列｛九｝的前〃項(xiàng)積為T(mén),?則T,,,78成等比數(shù)列.

(2)［2017?太原三模］我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì),所失彌

少，割之又割，以至于不可割,則與圓周盒體而無(wú)所失矣.”它體現(xiàn)了一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)

1

1

1+------

程.比如在表達(dá)式H1+…中“…”即代表無(wú)限次重復(fù),但原式卻是個(gè)定值,它可以通過(guò)方

1-yJS+1

程1%玄心的)求得產(chǎn)2.類比上述方法，則j3+2j3+2j...=()

g+］

A.3B.2

C.6D.2#

［總結(jié)反思］英比推理懸由特殊到特殊的推理,其一般步驟為：魏出兩類事物之間的相似

性或一致性;②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題(猜想).

圉式題⑴［2017?吉林大學(xué)附屬中學(xué)模擬］如圖6-37-2,在梯形/版中,48〃噸+nb

CD,AB=a,CD=b｛a>6).若EFaAB,〃到CD與四的距離之比為m：n,則可推算出EF=m+n,

利用以上結(jié)論,推想出下面問(wèn)題的結(jié)果.在上面的梯形切中,分別延長(zhǎng)梯形的兩腰4〃和BC

交于。點(diǎn)，設(shè)△力瓦△如C的面積分別為S,&,則△斷的面積&滿足俐用

歷,〃，51,W表示).

(2)己知等差數(shù)列｛%］中，3|()?4),則a^+a2+--+aa=ai9*“+a20mM()＜2017).若等比數(shù)列也”｝

中，瓦1。=1,則類比上述等差數(shù)列的結(jié)論,試寫(xiě)出等比數(shù)列的結(jié)論為.

圖6-37-2

雷式題(1)［2017?吉林大學(xué)附屬中學(xué)模擬］如圖6-37-2,在梯形/靦中,/8〃

ma+nb

CD,AB=a,CD=b(a＞。.若EF〃AB,做到CD與49的距離之比為m:n,則可推算出跖二6十九，

利用以上結(jié)論,推想出下面問(wèn)題的結(jié)果.在上面的梯形5中,分別延長(zhǎng)梯形的兩腰力〃和BC

交于。點(diǎn),設(shè)IXOAB、的面積分別為S,W,則△密的面積&滿足(利用

m,77,51,S表不).

⑵已知等差數(shù)列｛，｝中，aioosO,則ai+ai+--+aa=團(tuán)9*“(加＜2017).若等比數(shù)列也“｝

中，瓦1。=1,則類比上述等差數(shù)列的結(jié)論,試寫(xiě)出等比數(shù)列的結(jié)論為.

O探究點(diǎn)二歸納推理

例2(1)［2017?南昌三模］己知13+2342),13+23+3342),l3+23+3M3=\2)，….若

1'+23+33Ml?切3%025,則〃=()

A.8B.9C.10D.11

(2)［2017?鄭州、平頂山、濮陽(yáng)質(zhì)檢］平面內(nèi)凸四邊形有2條對(duì)角線，凸五邊形有5條對(duì)角

線，以此類推，凸十三邊形的對(duì)角線條數(shù)為()

A.42B.65C.143D.169

［總結(jié)反思］歸納推理是從蟋到二股的推理，所以應(yīng)根據(jù)題中所給的現(xiàn)有的圖形、數(shù)據(jù)、

結(jié)構(gòu)等著手分析,從而找出一般性的規(guī)律或結(jié)論.

回式題(1)己知整數(shù)對(duì)的序列為

(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…，則第

70個(gè)數(shù)對(duì)是()

A.(3,10)B.(4,9)C.(5,8)D.(6,7)

2xx

⑵己知心)=2-X,設(shè)/i(x)=/(x),以X)=￡T[￡T(x)](n>l,cGN*),若A(x)=1-256%(旌心,

則m=()

A.9B.10C.11D.126

o探究點(diǎn)三演繹推理

例b如圖6-37-3,在直三棱柱ABC-46K中，力人園點(diǎn)〃是四的中點(diǎn).

圖6-37-3

求證：⑴47_L6G;

(2)4G〃平面BKD.

［總結(jié)反思］演繹推理是從一般到特殊的推理,其一般模式為三段論,應(yīng)用三段論解決問(wèn)題

時(shí),首先應(yīng)該明確大前提、小前提是亂么,而第前提是顯然的,則可以省略.

震民題［2017?陜西渭南二模］某運(yùn)動(dòng)隊(duì)對(duì)A,B,C,D四位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行選拔,只選一人參加比

賽，在選拔結(jié)果公布前，甲、乙、丙、丁四位教練對(duì)這四位運(yùn)動(dòng)員預(yù)測(cè)如下：甲說(shuō)：''是C或D

參加比賽”；乙說(shuō)：“是B參加比賽”；丙說(shuō)：“A,D都未參加比賽”；丁說(shuō)：“是C參加比賽”.

若這四位教練中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則參賽的運(yùn)動(dòng)員是.

第38講直接證明與間接證明

課前雙擊鞏固

知識(shí)聚焦、

1.直接證明

(1)綜合法

綜合法是從推導(dǎo)到的思維方法.

具體地說(shuō),綜合法是從出發(fā),經(jīng)過(guò)逐步的,最后達(dá)到.

(2)分析法

分析法是從追溯到的思維方法,具體地說(shuō),分析法是從出

發(fā),一步一步尋求結(jié)論成立的,最后達(dá)到或.

2.間接證明

反證法:假設(shè)不成立(即在的條件下,—不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得

出，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了成立,這種證明方法,叫作