高中數學-平面向量復習課教學設計學情分析教材分析課后反思

.教材依據：平面向量復習的教學設計

普通高中課程標準試驗教科書人民教育出版社（A版）數學必修

4.

二.設計思想：

1.教材分析：

本節(jié)內容是在學生學習了平面向量的加法、減法、數乘運算以

及向量的坐標表示之后的一節(jié)新授課，是本章的重點內容之一，也

是培養(yǎng)學生自主學習能力的良好題材.引入向量的坐標表示可使向

量運算以及向量的共線判斷與應用完全代數化，將數與形緊密結合

起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉化為學生熟知的數量運

算.

2.學情分析：

高一學生已具備一定的分析和概括能力以及自主探究的能力,

且對向量的知識有了比較深入的接觸和認識，已經熟悉由具體到抽

象的數學思維過程，能用向量語言和方法表述和解決數學中的一些

問題.

3.設計理念:

設計本節(jié)課時，力求強調過程，注重學生自主探究新知識的經

歷和獲得新知識的體驗.教學時不是簡單的告訴學生平面向量的坐

標運算,而是讓學生自己去探究、去發(fā)現(xiàn),充分體現(xiàn)學生的主體地位,

激發(fā)學生的學習興趣,提高學生解決問題的能力，培養(yǎng)學生的自主

學習的能力.

4.教學指導思想：

結合學生的實際情況及本節(jié)課的內容特點，采用的是以學生自

主探究為主，提出一系列精心設計的問題,在教師的啟發(fā)、引導下，

讓學生自己去分析、探究，在探究過程中得出結論，從而使學生在

獲得新知識的同時又提高了能力.

三.教學目標：

1.知識與技能：會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.

2.過程與方法：利用向量的坐標可以使向量運算完全代數化，實

現(xiàn)了形向數的轉化.

3.情感、態(tài)度與價值觀：了解向量與其他知識之間的緊密關系，

培養(yǎng)學生的學習興趣及探索精神.

四.教學準備：

根據本節(jié)課的特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，

便于學生更好的理解和掌握所學知識，利用多媒體輔助教學.

五.教學設計：

（一）.復習回顧：

1.向量的加法、減法：

師:已知向量a、b,如何求向量a+b、a-b?

學生回答，教師指正.\

2.向量的數乘運算?>\

師:已知向量a、b，如何求向量3a,2b?如何求向量3a+

2b?

學生回答，教師指正.

3.向量的坐標表示：

師:向量的坐標表示的定義是什么？

學生回答，教師指正，并強調：

在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個

單位向量i、j作為基底.對于平面內的任一向量a,由平面向

量基本定理可知，有且只有一對實數x、y,使a=xi+yj.這

樣，平面內的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把有序數

對（x,y）叫做向量a的坐標.

記作：a=（x,y）

（二）.自主探究：

師：已知a=（xjyJ,b=（x2,y2）,你能得出a+b,a—b,

Xa的坐標嗎？請同學們自己探究一下.

(學生自主探究，得出結論，然后討論交流)

生:a+b=(xii+y)j)+(x2i+y2j),

由向量線性運算的結合律和分配律，可得

(x"+y!j)+(x2i+y2j)=(x!+x2)i+(y1+y2)j

即a+b=(%]+%2，M+丁2)

同理a-b=(%j-x2,-y2)

師：通過以上計算:你悔"W向量運算的加法法則、減法法則和實數與向量

的積的運算法則嗎？

生：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與

差.

實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐

標.

(三).嘗試練習：

1.如圖，已知A(X1,yj,B(X2,y2),求Q的坐標.

學生練習，教師指名回答.

生：O4=(X2,Y2)-(X!,yi)=(x2-x,,y2-y)

師:你能用語言描述一下嗎?

生：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段終點的坐標減去

始點的坐標.

師：你能在圖中標出坐標為(X2-Xi,y2-y.)的點P嗎?

生：把而平移到以原點0為起點，則終點即為所求的點P.

師:你能發(fā)現(xiàn)向量而的坐標與向量麗的坐標之間的關系嗎？

生：向量通的坐標與向量麗的坐標是相等的.

師:這樣就建立了向量的坐標與點的坐標之間的一一對應關系，而

點的坐標與有序實數對是一一對應的，所以向量的坐標與有序

實數對也是一一對應的.

2.已知a=(2,1),b=(—3,4)，求a+b,a—b,3a+4

b的坐標.

學生練習，教師指名回答.

3.如圖，已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分

別是

(—2,1),(—1,3),(3,4),試求頂點D的坐標。

A

vc

師:用哪些向量的運算可以求得點D的坐標?本題的解法比較多,

請同學們根據所學的知識自己設計解題方法.(學生思考)

師：你能說說自己的解題思路嗎？

選擇不同思路的學生回答,通過交流,加深對問題的認識,不同思

路之間得到相互啟發(fā).然后選擇不同思路的學生板書解題過程，

其他學生各自解題,完成后與課本上的解答進行比較.

師:你能說說各種解法的特點嗎？不同解法中體現(xiàn)了哪些數學思

想？

請學生點評,教師總結.

變式訓練：

1.已知平行四邊形ABCD的頂點A(-1,-2)、B(3,

-1）、

C(5,6),求頂點D的坐標.

學生練習，指名回答.

2.已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別是A(—2,1)、B(一

1,3)、

C(3,4),試求第四個頂點D的坐標.

師:思考一下本題與嘗試練習3有何區(qū)別？本題有幾種情況.

學生思考后，指名回答，最后教師總結.

(四).鞏固練習：

1.已知向量a,b的坐標，求a+b,a-b的坐標：

⑴a=(-2,4),b=(5,2).

(2)a=(4,3),b=(-3,8).

(3)a=(2,3),b=(-2,-3).

(4)a=(3,2),b=(0.4).

2.已知a=(3,2),b=(0,-1),求-2a+4b,4a+3b的坐標.

3.已知A、B兩點的坐標,求薪的坐標：

(1)A(3,5),B(6,9).

(2)A(-3,4),B(6,3).

(3)A(0,3),B(0,5).

(4)A(3,0),B(8,0).

(五).課堂小結：

師:這節(jié)課我們都學習了哪些問題？

學生自己歸納、總結，培養(yǎng)學生的歸納概括能力和語言表達能力,

最后教師點評.

1.已知a=(xjyJ,b=(x2,y2),

貝lja+b=(%i+%2，%+%)

a-b=(x1-x2,y}-y2)

2a=(/Uj,Ayj)

2.已知4(%1，月),3(%2，乃)

貝!|AB=(%2_占，為一為)

3.學習了應用平面向量以及方程的思想和數形結合的思想解決

平面幾何問題的方法.

課本P101、習題2.3、1、2、3.

六.教學反思：

本節(jié)課的設計，通過復習回顧、自主探究、嘗試練習、鞏固練

習等幾個環(huán)節(jié)，注重提出問題,引導學生獨立思考，自主探究,尋找

解決問題的途徑，體驗解決問題的過程,從而提高解決問題的能力.

學生在課堂上除了積極思考之外,還要動手演算，動口討論,采取

多樣的學習方式,積極主動的參與到課堂活動中來,充分發(fā)揮了學

生的主體地位，調動了學生學習的積極性和主動性，培養(yǎng)了學生

自主學習的能力.

平面向量的坐標運算

教學目標：

1.知識與技能：會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.

2.過程與方法：利用向量的坐標可以使向量運算完全代數化，實

現(xiàn)了形向數的轉化.

3.情感、態(tài)度與價值觀：了解向量與其他知識之間的緊密關

系，培養(yǎng)學生的學習興趣及探索精神

教學過程：

（一）.復習回顧：

1.向量的加法、減法：

師:已知向量a、b,如何求向量a+b、a-b?

學生回答，教師指正.\

2.向量的數賽運算：》\

師:已知向量a、b,如何求向量3a,2b?如何求向量3a+

2b?

學生回答，教師指正.

3.向量的坐標表示：

師:向量的坐標表示的定義是什么？

學生回答，教師指正，并強調：

在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個

單位向量i、j作為基底.對于平面內的任一向量a,由平面向

量基本定理可知，有且只有一對實數X、丫,使2=*1+丫）.這

樣，平面內的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把有序數

對（x,y）叫做向量a的坐標.

記作：a=(x,y)

(二).自主探究:

師：已知a=(xjyJ,b=(x2,y2),你能得出a+b,a—b,

入a的坐標嗎？請同學們自己探究一下.

(學生自主探究，得出結論，然后討論交流)

生:a+b=(xii+y)j)+(x2i+y2j),

由向量線性運算的結合律和分配律，可得

(x4+y,j)+(x2i+y2j)=(x,+x2)i+(y14-y2)j

即a+b=(%]+%2，兇+為)

問理a—b=(X|——為)

2a=(/Lx.,)

師：通過以上計算〉你1能彳/上向量運算的加法法則、減法法則和實數與向量

的積的運算法則嗎？

生：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與

差.

實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐

標.

(三).嘗試練習：

1.如圖，已知A(xjyj,B(X2,y2),求Q的坐標.

學生練習，教師指名回答.

生：/B=08-04=(X2,y2)-(xi,yi)=(x2-xi,y2~yj

師:你能用語言描述一下嗎？

生：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段終點的坐標減去

始點的坐標.

師：你能在圖中標出坐標為3-Xi,y2-yi)的點P嗎？

生：把而平移到以原點。為起點，則終點即為所求的點P.

師:你能發(fā)現(xiàn)向量麗的坐標與向量麗的坐標之間的關系嗎？

生：向量麗的坐標與向量麗的坐標是相等的.

師:這樣就建立了向量的坐標與點的坐標之間的一一對應關系，而

點的坐標與有序實數對是一一對應的,所以向量的坐標與有序

實數對也是一一對應的.

2.已知a=(2,1),b=(—3,4)，求a+b,a—b,3a+4

b的坐標.

學生練習，教師指名回答.

3.如圖，已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分

別是

請同學們根據所學的知識自己設計解題方法.（學生思考）

師:你能說說自己的解題思路嗎?

選擇不同思路的學生回答,通過交流,加深對問題的認識,不同思

路之間得到相互啟發(fā).然后選擇不同思路的學生板書解題過程，

其他學生各自解題,完成后與課本上的解答進行比較.

師:你能說說各種解法的特點嗎?不同解法中體現(xiàn)了哪些數學思

想？

請學生點評,教師總結.

變式訓練：

1.已知平行四邊形ABCD的頂點A(-1,-2)、B(3,

-1)、

C(5,6),求頂點D的坐標.

學生練習，指名回答.

2.已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別是A(—2,1)、B(-

1,3)、

C(3,4),試求第四個頂點D的坐標.

師:思考一下本題與嘗試練習3有何區(qū)別？本題有幾種情況.

學生思考后，指名回答，最后教師總結.

(四).鞏固練習：

1.已知向量a,b的坐標，求a+b,a-b的坐標：

⑴a=(-2,4),b=(5,2).

(2)a=(4,3),b=(-3,8).

(3)a=(2,3),b=(-2,-3).

(4)a=(3,2),b=(0,4).

2.已知a=(3,2),b=(0,-1),^-2a+4b,4a+3b的坐標.

3.已知A、B兩點的坐標，求Q的坐標：

(1)A(3,5),B(6,9).

(2)A(-3,4),B(6,3).

(3)A(0,3),B(0,5).

(4)A(3,0),B(8,0).

（五）.課堂小結：

師:這節(jié)課我們都學習了哪些問題？

學生自己歸納、總結，培養(yǎng)學生的歸納概括能力和語言表達能力,

最后教師點評.

1.已知a=（X],yJ,b=（x2,y2）,

貝！Ja+b=（%]+x2,y}+y2）

a-b=（%i_%2，力一%）

Aa=（犯,肛）

2.已知4（可，力）,5（%2，乃）

則AB=（X2-七，為一力）

3.學習了應用平面向量以及方程的思想和數形結合的思想解決

平面幾何問題的方法.

課本P101、習題2.3、1、2、3.

高一學生已具備一定的分析和概括能力以及自主探究的能力，且

對向量的知識有了比較深入的接觸和認識，已經熟悉由具體到抽象的

數學思維過程，能用向量語言和方法表述和解決數學中的一些問題.

效果分析

在前一節(jié)課中已經對平面向量的定義進行了學習，這節(jié)課主要

是學習平面向量的坐標運算及共線表示。

通過本節(jié)課的教學發(fā)現(xiàn)了如下特點：

首先對于平面向量基本概念，坐標運算，共線證明及應用的方法

上達到了預期效果,做到了很好的掌握.

其次，坐標法用來證明與計算,確實降低了學生思維的難度，但對

計算能力的要求提高了，學生的計算能力有待加強.對于坐標法證明與

計算方面

另外，通過評，也感覺到及時鼓勵表揚學生對調動學生積極性

作用很大。教學的好壞，取決于學生對知識的理解和掌握，教學中通

過學生回答問題，歸納總結等方面反饋學生對數學知識的理解程度,

對數學技能的掌握程度和發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。教師根據反饋

信息適時點撥，同時從新課標評價理念出發(fā)，鼓勵學生發(fā)表自己的觀

點、充分質疑，并抓住學生在語言、思想等方面的亮點給予表揚，樹

立他們學習數學的自信心。

本節(jié)內容是在學生學習了平面向量的加法、減法、數乘運算以

及向量的坐標表示之后的一節(jié)新授課，是本章的重點內容之一，也

是培養(yǎng)學生自主學習能力的良好題材.引入向量的坐標表示可使向

量運算以及向量的共線判斷與應用完全代數化，將數與形緊密結合

起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉化為學生熟知的數量運

算.

平面向量的評測練習

一、選擇題

1.已知平面向量a=(l,l)，b={\,T),則向量%—前等于()

A.(—2,-1)B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

2.已知。一號方=(1,2),。+)=(4,-10),則。等于()

A.(-2,-2)B.(2,2)

C.(-2,2)D.(2,-2)

3.已知向量。=(1,2),5=(2,3),c=(3,4),且。=九。+勵,則九，3的值分別為()

A.-2,1B.1,-2

C.2,-1D.-1,2

4.已知”(3,-2),M—5,—1)且加=3疚，則點P的坐標為()

A.(-8,1)B.(l,D

C(-l,D.(8,-1)

5.在平行四邊形ABC。中，AC為一條對角線.若矗=(2,4),啟=(1,3),則昉等于()

A.(—2,—4)B.(—3,—5)

C.(3,5)D.(2,4)

6.已知四邊形ABC。為平行四邊形，其中A(5,-1),8(—1,7),C(l,2),則頂點。的坐

標為()

A.(-7,0)B.(7,6)

C.(6,7)D.(7,—6)

題號123456

答案

二、填空題

7.已知平面上三點4(2,-4),8(0,6),C(-8,10),貝心/一；迸的坐標是.

8.已知A(-l,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),且啟=2防，則x+y=.

9.若向量a=(x+3,/—3x—4)與油相等，其中A(l,2),8(3,2),則x=.

10.函數y=/+2x+2按向量。平移所得圖象的解析式為y=x2,則向量a的坐標是

三、解答題

11.已知a=(—2,3),Z>=(3,1),c=(10,—4),試用a,1表示

12.已知平面上三個點坐標為A(3,7),8(4,6),C(l,一2),求點。的坐標，使得這四個點為

構成平行四邊形的四個頂點.

平面向量復習課的反思

平面向量是中學數學的主要部分屬于基礎性,方法性的內容，是研究幾何圖形和幾何變

換的工具，在解析幾何中具有重要的作用.而平面向量的坐標運算，又是平面向量內容里面的

重要部分，它是對平面向量基本定理的進一步深化.因此，我在上完這節(jié)課后，有很多反思的地

方，現(xiàn)與大家分享！

向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種

工具,有著極其豐富的實際背景。向量的坐標表示，實際是向量的代數表示。引入向量的坐標

表示可以使向量完全代數化，將數與形緊密結合起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉化

為學生熟知的數量運算.而平面向量的坐標運算是?？嫉闹R點，運用向量方法解決解析幾何

和立體幾何中的有關知識,有時候顯的非常方便.通過平面向量的坐標運算，我們可以培養(yǎng)學

生的歸納、猜想、演繹能力，通過代數方法解決幾何問題,提高學生用數形結合思想解決問題

的能力。

本節(jié)的教學重點是:平面向量的坐標運算

本節(jié)的教學難點是:對平面向量共線的坐標表示的理解

二、課程內容設計

1、平面向量得坐標運算

本部分內容比較簡單，直接運用向量在基底下的表示形式講解即可.然后進行小結，然后

再讓學生做4道練習；

2、平面向量共線的坐標表示

有向量共線的判定定理：，將兩向量用坐標表示，消元，得到共線的坐標表示，然后比較兩式的

優(yōu)缺點，并告訴學生消元的時候不能直接兩式相除的理由,最后再通過練習強化.最后通過邊

講邊練，讓學生充分動手，動腦，動眼達到掌握本節(jié)內容的目的。

但是，在課程內容設計上，我把平面向量的坐標運算和平面向量共線的坐標運算放一起講

解了。課后反思，內容過于大了,一方面學生在接受上有一定的困難，另一方面在細節(jié)問題上就

很難把握的好，一節(jié)課45分鐘，在這么短的時間內讓學生掌握住如此多的知識，難度很大,同時,

一味地趕進度，帶來的直接后果就是學生學而不精,對深層的問題，沒有實質性的認識，只會死

記公式，做原題，對于變形題目,學生仍然無從下手。

三、學生水平分析

本班學生，通過前面幾次考核，大部分學生的知識基礎和接受的能力還是可以的,20%的

學生是很聰明的,通過自己看書，能夠基本掌握本節(jié)內容,30%的學生在課堂上能夠跟上我的

思路，通過講解,也能很快掌握,30%的學生勉強能跟上我的思路，但需要時間消化，剩下20%的

學生，如果不預習課本,基本上上課很難聽懂，即使提前預習了，也不一定能跟的上.事實證明:我

對本班學生的分析還是很不到位的，學生在接受新知識方面，大部分學生還是有一定困難的.

1、課程引入

上課之前，我已經讓學生提前預習，因此，我個人認為本節(jié)內容，大部分學生都能懂，對平面

向量的運算法則，學生再比較數的運算,能很好的理解.因此，在課堂引入過程中，直接預練，找

出問題，充分展示，達到很好效果.如此教學,學生能很快掌握住平面向量坐標的運算法則,,

學生雖然能很快記住這種運算，但卻不明白是如何得來了，這是教學的一個失誤.

2、例題處理

在處理例題練習上,我高估了學生的水平，對學生的認知能力沒有一個清楚的認識，