2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題 PA+kPB型之胡不歸問題專項(xiàng)訓(xùn)練(含答案)_第1頁
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文檔簡介

2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題PA+kPB型之胡不歸問題專項(xiàng)訓(xùn)練(學(xué)生版)課中講解故事介紹從前有個(gè)少年外出求學(xué),某天不幸得知老父親病危的消息,便立即趕路回家.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地,但他義無反顧踏上歸途,當(dāng)趕到家時(shí),老人剛咽了氣,小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說,老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不歸?…”(“胡”同“何”)而如果先沿著驛道AC先走一段,再走砂石地,會(huì)不會(huì)更早些到家?模型建立如圖,一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1,在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2,且V1<V2,A、B為定點(diǎn),點(diǎn)C在直線MN上,確定點(diǎn)C的位置使的值最?。畣栴}分析,記,即求BC+kAC的最小值.問題解決構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k,即,CH=kAC.將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值,過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C,交AD于H點(diǎn),此時(shí)BC+CH取到最小值,即BC+kAC最?。P涂偨Y(jié)在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中,關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段,將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型.而這里的PB必須是一條方向不變的線段,方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段.例1.四邊形ABCD是菱形,AB=6,且∠ABC=60°,M為對角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),則AM+BM的最小值為.變式思考:(1)本題如要求“2AM+BM”的最小值你會(huì)求嗎?(2)本題如要求“AM+BM+CM”的最小值你會(huì)求嗎?過關(guān)檢測1.如圖,在菱形ABCD中,AB=6,且∠ABC=150°,點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA+2PB的最小值為.2.如圖,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑AB在線段AE上。試說明CE是⊙O的切線。若△ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB;(3)設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接OD,當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí),求⊙O的AB的長。例2.如圖,在直角坐標(biāo)系中,,,,,為射線上一點(diǎn),一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā),運(yùn)動(dòng)路徑為,點(diǎn)在上的運(yùn)動(dòng)速度是在上的3倍,要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少,則點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為A. B. C. D.

例3.如圖,拋物線與軸交于、兩點(diǎn),過的直線交拋物線于,且,有一只螞蟻從出發(fā),先以1單位的速度爬到線段上的點(diǎn)處,再以1.25單位的速度沿著爬到點(diǎn)處覓食,則螞蟻從到的最短時(shí)間是.例4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),,,其對稱軸與軸交于點(diǎn)(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)若為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,則的最小值為;(3)為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)①若平面內(nèi)存在點(diǎn),使得以,,,為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,則這樣的點(diǎn)共有個(gè);②連接,,若不小于,求的取值范圍.

過關(guān)檢測1.等邊三角形ABC的邊長為6,將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,其中BC邊在x軸上,BC邊的高OA在Y軸上.一只電子蟲從A出發(fā),先沿y軸到達(dá)G點(diǎn),再沿GC到達(dá)C點(diǎn),已知電子蟲在Y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍,若電子蟲走完全程的時(shí)間最短,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為.2.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中將y=2x+1向下平移3個(gè)單位長度得到直線l1,直線l1與x軸交于點(diǎn)C;直線l2:y=x+2與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),且與直線l1交于點(diǎn)D.(1)填空:點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為;(2)直線l1的表達(dá)式為;(3)在直線l1上是否存在點(diǎn)E,使S△AOE=2S△ABO?若存在,則求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(4)如圖2,點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接CP,一動(dòng)點(diǎn)H從C出發(fā),沿線段CP以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再沿線段PD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止,求點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間最少時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

3.如圖,已知拋物線為常數(shù),且與軸從左至右依次交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為.(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn),使得以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似,求的值;(3)在(1)的條件下,設(shè)為線段上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接,一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到,再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止,當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少?

學(xué)習(xí)任務(wù)1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________.2.如圖,四邊形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=60°,點(diǎn)M為對角線BD(不含點(diǎn)B)上的一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為___________.3.如圖,△ABC是等邊三角形.(1)如圖1,AH⊥BC于H,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿高線AH向下移動(dòng),以CP為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ,連接BQ.求∠CBQ的度數(shù);(2)如圖2,若點(diǎn)D為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),連接DA,DB,DC.證明:以DA,DB,DC為邊一定能組成一個(gè)三角形;(3)在(1)的條件下,在P點(diǎn)的移動(dòng)過程中,設(shè)x=AP+2PC,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長度為y,當(dāng)x取最小值時(shí),寫出x,y的關(guān)系,并說明理由.

4.如圖,拋物線與直線交于,兩點(diǎn),交軸于,兩點(diǎn),連接,,已知,.(Ⅰ)求拋物線的解析式和的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)條件下:(1)為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接,過點(diǎn)作交軸于點(diǎn),問:是否存在點(diǎn)使得以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(2)設(shè)為線段上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接,一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止,當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少?

5.如圖1,二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在第一象限內(nèi),點(diǎn)是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),點(diǎn)是一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,且.(1)求直線和直線的解析式;(2)點(diǎn)是線段上一點(diǎn),點(diǎn)是線段上一點(diǎn),軸,射線與拋物線交于點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),于點(diǎn).當(dāng)與的乘積最大時(shí),在線段上找一點(diǎn)(不與點(diǎn),點(diǎn)重合),使的值最小,求點(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值;(3)如圖2,直線上有一點(diǎn),將二次函數(shù)沿直線平移,平移的距離是,平移后拋物線上點(diǎn),點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn),點(diǎn);當(dāng)△是直角三角形時(shí),求的值.家長簽字:____________2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題PA+kPB型之胡不歸問題專項(xiàng)訓(xùn)練(解析版)課中講解故事介紹從前有個(gè)少年外出求學(xué),某天不幸得知老父親病危的消息,便立即趕路回家.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地,但他義無反顧踏上歸途,當(dāng)趕到家時(shí),老人剛咽了氣,小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說,老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不歸?…”(“胡”同“何”)而如果先沿著驛道AC先走一段,再走砂石地,會(huì)不會(huì)更早些到家?模型建立如圖,一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1,在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2,且V1<V2,A、B為定點(diǎn),點(diǎn)C在直線MN上,確定點(diǎn)C的位置使的值最小.問題分析,記,即求BC+kAC的最小值.問題解決構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k,即,CH=kAC.將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值,過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C,交AD于H點(diǎn),此時(shí)BC+CH取到最小值,即BC+kAC最?。P涂偨Y(jié)在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中,關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段,將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型.而這里的PB必須是一條方向不變的線段,方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段.例1.四邊形ABCD是菱形,AB=6,且∠ABC=60°,M為對角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),則AM+BM的最小值為.變式思考:(1)本題如要求“2AM+BM”的最小值你會(huì)求嗎?(2)本題如要求“AM+BM+CM”的最小值你會(huì)求嗎?過關(guān)檢測1.如圖,在菱形ABCD中,AB=6,且∠ABC=150°,點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA+2PB的最小值為.

2.如圖,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑AB在線段AE上。試說明CE是⊙O的切線。若△ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB;(3)設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接OD,當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí),求⊙O的AB的長。

例2.如圖,在直角坐標(biāo)系中,,,,,為射線上一點(diǎn),一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā),運(yùn)動(dòng)路徑為,點(diǎn)在上的運(yùn)動(dòng)速度是在上的3倍,要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少,則點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為A. B. C. D.【分析】假設(shè)在的速度為3,在的速度為1,首先表示出總的時(shí)間,再根據(jù)根的判別式求出的取值范圍,進(jìn)而求出的坐標(biāo).【解答】解:假設(shè)在的速度為3,在的速度為1,設(shè)坐標(biāo)為,則,,設(shè),等式變形為:,則的最小值時(shí)考慮的取值即可,,,△,的最小值為,,點(diǎn)的坐標(biāo)為,故選.解法二:假設(shè)在的速度為,在的速度為,總時(shí)間,要使最小,就要最小,因?yàn)?,過點(diǎn)作交于點(diǎn),交于,易證,所以,所以,因?yàn)槭堑妊切?,所以,所以要最小,就是要最小,就要、、三點(diǎn)共線就行了.因?yàn)?,所以,即,所以,所以點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、一元二次方程根的判別式△判斷方程的根的情況以及坐標(biāo)于圖形的性質(zhì)題目的綜合性較強(qiáng),難度較大.例3.如圖,拋物線與軸交于、兩點(diǎn),過的直線交拋物線于,且,有一只螞蟻從出發(fā),先以1單位的速度爬到線段上的點(diǎn)處,再以1.25單位的速度沿著爬到點(diǎn)處覓食,則螞蟻從到的最短時(shí)間是.【分析】過點(diǎn)作軸的平行線,再過點(diǎn)作軸的平行線,兩線相交于點(diǎn),如圖,利用平行線的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義得到,設(shè),,則,則可判斷螞蟻從爬到點(diǎn)所用的時(shí)間等于從爬到點(diǎn)所用的時(shí)間相等,于是得到螞蟻從出發(fā),先以1單位的速度爬到線段上的點(diǎn)處,再以1.25單位的速度沿著爬到點(diǎn)所用時(shí)間等于它從以1單位的速度爬到點(diǎn),再從點(diǎn)以1單位速度爬到點(diǎn)的時(shí)間,利用兩點(diǎn)之間線段最短得到的最小值為的長,接著求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出的解析式,然后解由直線解析式和拋物線解析式所組成的方程組確定點(diǎn)坐標(biāo),從而得到的長,然后計(jì)算爬行的時(shí)間.【解答】解:過點(diǎn)作軸的平行線,再過點(diǎn)作軸的平行線,兩線相交于點(diǎn),如圖,,,,設(shè),,則,螞蟻從爬到點(diǎn)的時(shí)間若設(shè)螞蟻從爬到點(diǎn)的速度為1單位,則螞蟻從爬到點(diǎn)的時(shí)間,螞蟻從爬到點(diǎn)所用的時(shí)間等于從爬到點(diǎn)所用的時(shí)間相等,螞蟻從出發(fā),先以1單位的速度爬到線段上的點(diǎn)處,再以1.25單位的速度沿著爬到點(diǎn)所用時(shí)間等于它從以1單位的速度爬到點(diǎn),再從點(diǎn)以1單位速度爬到點(diǎn)的時(shí)間,作于,則,的最小值為的長,當(dāng)時(shí),,解得,,則,,直線交軸于點(diǎn),如圖,在中,,,則,設(shè)直線的解析式為,把,代入得,解得,直線的解析式為,解方程組得或,則點(diǎn)坐標(biāo)為,,,螞蟻從爬到點(diǎn)的時(shí)間,即螞蟻從到的最短時(shí)間為.故答案為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點(diǎn):把求二次函數(shù),,是常數(shù),與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)化為解關(guān)于的一元二次方程.解決本題的關(guān)鍵是確定螞蟻在和上爬行的時(shí)間相等.例4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),,,其對稱軸與軸交于點(diǎn)(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)若為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,則的最小值為;(3)為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)①若平面內(nèi)存在點(diǎn),使得以,,,為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,則這樣的點(diǎn)共有個(gè);②連接,,若不小于,求的取值范圍.【分析】(1)利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程組解決問題.(2)如圖1中,連接,作于,交于,此時(shí)最?。钚≈稻褪蔷€段,求出即可.(3)①先在對稱軸上尋找滿足是等腰三角形的點(diǎn),由此即可解決問題.②作的中垂線與軸交于點(diǎn),連接,則,以為圓心,為半徑作圓,與拋物線對稱軸交于點(diǎn)、.則,從而線段上的點(diǎn)滿足題意,求出、的坐標(biāo)即可解決問題.【解答】解:(1)由題意解得,拋物線解析式為,,頂點(diǎn)坐標(biāo),.(2)如圖1中,連接,作于,交于,此時(shí)最?。碛桑?,,,,,,此時(shí)最短(垂線段最短).在中,,,,,,的最小值為.故答案為.(3)①以為圓心為半徑畫弧與對稱軸有兩個(gè)交點(diǎn),以為圓心為半徑畫弧與對稱軸也有兩個(gè)交點(diǎn),線段的垂直平分線與對稱軸有一個(gè)交點(diǎn),所以滿足條件的點(diǎn)有5個(gè),即滿足條件的點(diǎn)也有5個(gè),故答案為5.②如圖,中,,,作的中垂線與軸交于點(diǎn),連接,則,以為圓心,為半徑作圓,與拋物線對稱軸交于點(diǎn)、.則,從而線段上的點(diǎn)滿足題意,,,,,,,解得或,故,,,,的取值范圍.

過關(guān)檢測1.等邊三角形ABC的邊長為6,將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,其中BC邊在x軸上,BC邊的高OA在Y軸上.一只電子蟲從A出發(fā),先沿y軸到達(dá)G點(diǎn),再沿GC到達(dá)C點(diǎn),已知電子蟲在Y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍,若電子蟲走完全程的時(shí)間最短,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為.【解答】解:如圖作GM⊥AB于M,設(shè)電子蟲在CG上的速度為v,電子蟲走完全全程的時(shí)間t=+=(+CG),在Rt△AMG中,GM=AG,∴電子蟲走完全全程的時(shí)間t=(GM+CG),當(dāng)C、G、M共線時(shí),且CM⊥AB時(shí),GM+CG最短,此時(shí)CG=AG=2OG,易知OG=?×6=所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0,﹣).故答案為:(0,﹣).2.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中將y=2x+1向下平移3個(gè)單位長度得到直線l1,直線l1與x軸交于點(diǎn)C;直線l2:y=x+2與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),且與直線l1交于點(diǎn)D.(1)填空:點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為;(2)直線l1的表達(dá)式為;(3)在直線l1上是否存在點(diǎn)E,使S△AOE=2S△ABO?若存在,則求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(4)如圖2,點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接CP,一動(dòng)點(diǎn)H從C出發(fā),沿線段CP以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再沿線段PD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止,求點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間最少時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【解答】解:(1)直線l2:y=x+2,令y=0,則x=﹣2,令y=0,則x=2,故答案為(﹣2,0)、(0,2);(2)y=2x+1向下平移3個(gè)單位長度得到直線l1,則直線l1的表達(dá)式為:y=2x﹣2,故:答案為:y=2x﹣2;(3)∵S△AOE=2S△ABO,∴yE=2OB=4,將yE=4代入l1的表達(dá)式得:4=2x﹣2,解得:x=3,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,4);(4)過點(diǎn)P、C分別作y軸的平行線,分別交過點(diǎn)D作x軸平行線于點(diǎn)H、H′,H′C交BD于點(diǎn)P′,直線l2:y=x+2,則∠ABO=45°=∠HBD,PH=PD,點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間=+=PH+PC,當(dāng)C、P、H在一條直線上時(shí),PH+PC最小,即為CH′=6,點(diǎn)P坐標(biāo)(1,3),故:點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用最少時(shí)間為6秒,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(1,3).

3.如圖,已知拋物線為常數(shù),且與軸從左至右依次交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為.(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn),使得以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似,求的值;(3)在(1)的條件下,設(shè)為線段上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接,一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到,再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止,當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少?

【分析】(1)首先求出點(diǎn)、坐標(biāo),然后求出直線的解析式,求得點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線解析式,求得的值;(2)因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限內(nèi)的拋物線上,所以為鈍角.因此若兩個(gè)三角形相似,只可能是或.如答圖2,按照以上兩種情況進(jìn)行分類討論,分別計(jì)算;(3)由題意,動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為折線,運(yùn)動(dòng)時(shí)間:.如答圖3,作輔助線,將轉(zhuǎn)化為;再由垂線段最短,得到垂線段與直線的交點(diǎn),即為所求的點(diǎn).【解答】解:(1)拋物線,令,解得或,,.直線經(jīng)過點(diǎn),,解得,直線解析式為:.當(dāng)時(shí),,,.點(diǎn),在拋物線上,,.拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:.即.(2)由拋物線解析式,令,得,,.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限內(nèi)的拋物線上,所以為鈍角.因此若兩個(gè)三角形相似,只可能是或.①若,則有,如答圖所示.設(shè),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),則,.,即:,.,代入拋物線解析式,得,整理得:,解得:或(與點(diǎn)重合,舍去),.,,即,解得:.②若,則有,如答圖所示.設(shè),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),則,.,即:,.,代入拋物線解析式,得,整理得:,解得:或(與點(diǎn)重合,舍去),.,,,解得,,,綜上所述,或.(3)方法一:如答圖3,由(1)知:,,如答圖,過點(diǎn)作軸于點(diǎn),則,,,,.過點(diǎn)作軸,則.過點(diǎn)作于點(diǎn),則.由題意,動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為折線,運(yùn)動(dòng)時(shí)間:,,即運(yùn)動(dòng)的時(shí)間值等于折線的長度值.由垂線段最短可知,折線的長度的最小值為與軸之間的垂線段.過點(diǎn)作于點(diǎn),則,與直線的交點(diǎn),即為所求之點(diǎn).點(diǎn)橫坐標(biāo)為,直線解析式為:,,,.綜上所述,當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為,時(shí),點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少.方法二:作,,交直線于點(diǎn),,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),最小,點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為:,,,.【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)壓軸題,難度很大.第(2)問中需要分類討論,避免漏解;在計(jì)算過程中,解析式中含有未知數(shù),增加了計(jì)算的難度,注意解題過程中的技巧;第(3)問中,運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想使得試題難度大大降低,需要認(rèn)真體會(huì).

學(xué)習(xí)任務(wù)1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________.[答案]:2.如圖,四邊形ABCD是菱形,AB=4,且∠ABC=60°,點(diǎn)M為對角線BD(不含點(diǎn)B)上的一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為___________.[答案]:3.如圖,△ABC是等邊三角形.(1)如圖1,AH⊥BC于H,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿高線AH向下移動(dòng),以CP為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ,連接BQ.求∠CBQ的度數(shù);(2)如圖2,若點(diǎn)D為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),連接DA,DB,DC.證明:以DA,DB,DC為邊一定能組成一個(gè)三角形;(3)在(1)的條件下,在P點(diǎn)的移動(dòng)過程中,設(shè)x=AP+2PC,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長度為y,當(dāng)x取最小值時(shí),寫出x,y的關(guān)系,并說明理由.【解答】(1)解:如圖1中∵△ABC是等邊三角形,AH⊥BC,∴∠CAP=∠BAC=30°,CA=CB,∠ACB=60°,∵△PCQ是等邊三角形,∴CP=CQ,∠PCQ=∠ACB=60°,∴∠ACP=∠BCQ,∴△ACP≌△BCQ,∴∠CBQ=∠CAP=30°.(2)證明:如圖2中,將△ADC繞當(dāng)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ,連接DQ.∵△ACD≌△ABQ,∴AQ=AD,CD=BQ,∵∠DAQ=60°,∴△ADQ是等邊三角形,∴AD=DQ,∴DA,DB,DC為邊一定能組成一個(gè)三角形(圖中△BDQ).(3)如圖3中,作PE⊥AB于E,CF⊥AB于F交AH于G.∵PE=PA,∴PA+2PC=2(PA+PC)=2(PE+PC),根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)E與F重合,P與G重合時(shí),PA+2PC的值最小,最小值為2CF.由(1)可知△ACP≌△BCQ,可得BQ=PA,∴PA=BQ=AG=CG=y(tǒng),F(xiàn)G=y(tǒng),∴x=2(y+y),∴y=x.4.如圖,拋物線與直線交于,兩點(diǎn),交軸于,兩點(diǎn),連接,,已知,.(Ⅰ)求拋物線的解析式和的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)條件下:(1)為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接,過點(diǎn)作交軸于點(diǎn),問:是否存在點(diǎn)使得以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(2)設(shè)為線段上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接,一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止,當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少?【分析】(Ⅰ)只需把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入,就可得到拋物線的解析式,然后求出直線與拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo),利用勾股定理逆定理判斷出三角形是直角三角形,從而得到,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出的值;(Ⅱ)(1)過點(diǎn)作軸于,則.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,由在軸右側(cè)可得,則,易得.若點(diǎn)在點(diǎn)的下方,①當(dāng)時(shí),.此時(shí)可證得,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得.則有,然后把代入拋物線的解析式,就可求出點(diǎn)的坐標(biāo)②當(dāng)時(shí),,同理,可求出點(diǎn)的坐標(biāo);若點(diǎn)在點(diǎn)的上方,同理,可求出點(diǎn)的坐標(biāo);(2)過點(diǎn)作軸于,如圖3.易得,則點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間可表示為.作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn),連接,則有,,,從而可得,.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得:當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí),最?。藭r(shí)可證到四邊形是矩形,從而有,.然后求出點(diǎn)的坐標(biāo),從而得到、、的值,即可得到點(diǎn)的坐標(biāo).【解答】解:(Ⅰ)把,代入,得,解得:.拋物線的解析式為聯(lián)立,解得:或,點(diǎn)的坐標(biāo)為.如圖1.,,,,,,,是直角三角形,,;(Ⅱ)方法一:(1)存在點(diǎn),使得以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似.過點(diǎn)作軸于,則.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,由在軸右側(cè)可得,則.,,.若點(diǎn)在點(diǎn)的下方,①如圖2①,當(dāng)時(shí),則.,,,..則.把代入,得,整理得:解得:(舍去),(舍去).②如圖2②,當(dāng)時(shí),則.同理可得:,則,把代入,得,整理得:解得:(舍去),,,;若點(diǎn)在點(diǎn)的上方,①當(dāng)時(shí),則,同理可得:點(diǎn)的坐標(biāo)為.②當(dāng)時(shí),則.同理可得:點(diǎn)的坐標(biāo)為,.綜上所述:滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為、,、,;方法二:作的“外接矩形”,易證,,以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似,或,設(shè),,,①,,,,②,,,(舍,滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為、,、,;(2)方法一:過點(diǎn)作軸于,如圖3.在中,,即,點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所

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