2024成都中考數(shù)學二輪復習專題 PA+kPB型之胡不歸問題專項訓練（含答案）

2024成都中考數(shù)學二輪復習專題PA+kPB型之胡不歸問題專項訓練（學生版）課中講解故事介紹從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？模型建立如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。畣栴}分析，記，即求BC+kAC的最小值．問題解決構造射線AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．將問題轉化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。Ｐ涂偨Y在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段．例1.四邊形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點,則AM+BM的最小值為.變式思考：(1)本題如要求“2AM+BM”的最小值你會求嗎？(2)本題如要求“AM+BM+CM”的最小值你會求嗎？過關檢測1.如圖，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，點P是對角線AC上的一個動點，則PA+2PB的最小值為.2.如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經過點C，且圓的直徑AB在線段AE上。試說明CE是⊙O的切線。若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB;（3）設點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當CD+OD的最小值為6時，求⊙O的AB的長。例2.如圖，在直角坐標系中，，，，，為射線上一點，一動點從出發(fā)，運動路徑為，點在上的運動速度是在上的3倍，要使整個運動時間最少，則點的坐標應為A． B． C． D．

例3.如圖，拋物線與軸交于、兩點，過的直線交拋物線于，且，有一只螞蟻從出發(fā)，先以1單位的速度爬到線段上的點處，再以1.25單位的速度沿著爬到點處覓食，則螞蟻從到的最短時間是．例4.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經過點，，，其對稱軸與軸交于點（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；（2）若為軸上的一個動點，連接，則的最小值為；（3）為拋物線對稱軸上一動點①若平面內存在點，使得以，，，為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點共有個；②連接，，若不小于，求的取值范圍．

過關檢測1.等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GC到達C點，已知電子蟲在Y軸上運動的速度是在GC上運動速度的2倍，若電子蟲走完全程的時間最短，則點G的坐標為．2.如圖1，在平面直角坐標系中將y＝2x+1向下平移3個單位長度得到直線l1，直線l1與x軸交于點C；直線l2：y＝x+2與x軸、y軸交于A、B兩點，且與直線l1交于點D．（1）填空：點A的坐標為，點B的坐標為；（2）直線l1的表達式為；（3）在直線l1上是否存在點E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，則求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．（4）如圖2，點P為線段AD上一點（不含端點），連接CP，一動點H從C出發(fā)，沿線段CP以每秒1個單位的速度運動到點P，再沿線段PD以每秒個單位的速度運動到點D后停止，求點H在整個運動過程中所用時間最少時點P的坐標．

3.如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點，與軸交于點，經過點的直線與拋物線的另一交點為．（1）若點的橫坐標為，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內的拋物線上有點，使得以，，為頂點的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運動到，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到后停止，當點的坐標是多少時，點在整個運動過程中用時最少？

學習任務1.如圖，在平面直角坐標系中，點，點P為x軸上的一個動點，當最小時，點P的坐標為___________.2.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，點M為對角線BD（不含點B）上的一動點，則的最小值為___________.3.如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，AH⊥BC于H，點P從A點出發(fā)，沿高線AH向下移動，以CP為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ，連接BQ．求∠CBQ的度數(shù)；（2）如圖2，若點D為△ABC內任意一點，連接DA，DB，DC．證明：以DA，DB，DC為邊一定能組成一個三角形；（3）在（1）的條件下，在P點的移動過程中，設x＝AP+2PC，點Q的運動路徑長度為y，當x取最小值時，寫出x，y的關系，并說明理由．

4.如圖，拋物線與直線交于，兩點，交軸于，兩點，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側拋物線上一動點，連接，過點作交軸于點，問：是否存在點使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．（2）設為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒一個單位速度運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到后停止，當點的坐標是多少時，點在整個運動中用時最少？

5.如圖1，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點，點的坐標為，點在第一象限內，點是二次函數(shù)圖象的頂點，點是一次函數(shù)的圖象與軸的交點，過點作軸的垂線，垂足為，且．（1）求直線和直線的解析式；（2）點是線段上一點，點是線段上一點，軸，射線與拋物線交于點，過點作軸于點，于點．當與的乘積最大時，在線段上找一點（不與點，點重合），使的值最小，求點的坐標和的最小值；（3）如圖2，直線上有一點，將二次函數(shù)沿直線平移，平移的距離是，平移后拋物線上點，點的對應點分別為點，點；當△是直角三角形時，求的值．家長簽字：____________2024成都中考數(shù)學二輪復習專題PA+kPB型之胡不歸問題專項訓練（解析版）課中講解故事介紹從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？模型建立如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。畣栴}分析，記，即求BC+kAC的最小值．問題解決構造射線AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．將問題轉化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。Ｐ涂偨Y在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段．例1.四邊形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點,則AM+BM的最小值為.變式思考：(1)本題如要求“2AM+BM”的最小值你會求嗎？(2)本題如要求“AM+BM+CM”的最小值你會求嗎？過關檢測1.如圖，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，點P是對角線AC上的一個動點，則PA+2PB的最小值為.

2.如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經過點C，且圓的直徑AB在線段AE上。試說明CE是⊙O的切線。若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB;（3）設點D是線段AC上任意一點（不含端點），連接OD，當CD+OD的最小值為6時，求⊙O的AB的長。

例2.如圖，在直角坐標系中，，，，，為射線上一點，一動點從出發(fā)，運動路徑為，點在上的運動速度是在上的3倍，要使整個運動時間最少，則點的坐標應為A． B． C． D．【分析】假設在的速度為3，在的速度為1，首先表示出總的時間，再根據(jù)根的判別式求出的取值范圍，進而求出的坐標．【解答】解：假設在的速度為3，在的速度為1，設坐標為，則，，設，等式變形為：，則的最小值時考慮的取值即可，，，△，的最小值為，，點的坐標為，故選．解法二：假設在的速度為，在的速度為，總時間，要使最小，就要最小，因為，過點作交于點，交于，易證，所以，所以，因為是等腰三角形，所以，所以要最小，就是要最小，就要、、三點共線就行了．因為，所以，即，所以，所以點的坐標應為．【點評】本題考查了勾股定理的運用、一元二次方程根的判別式△判斷方程的根的情況以及坐標于圖形的性質題目的綜合性較強，難度較大．例3.如圖，拋物線與軸交于、兩點，過的直線交拋物線于，且，有一只螞蟻從出發(fā)，先以1單位的速度爬到線段上的點處，再以1.25單位的速度沿著爬到點處覓食，則螞蟻從到的最短時間是．【分析】過點作軸的平行線，再過點作軸的平行線，兩線相交于點，如圖，利用平行線的性質和三角函數(shù)的定義得到，設，，則，則可判斷螞蟻從爬到點所用的時間等于從爬到點所用的時間相等，于是得到螞蟻從出發(fā)，先以1單位的速度爬到線段上的點處，再以1.25單位的速度沿著爬到點所用時間等于它從以1單位的速度爬到點，再從點以1單位速度爬到點的時間，利用兩點之間線段最短得到的最小值為的長，接著求出點和點坐標，再利用待定系數(shù)法求出的解析式，然后解由直線解析式和拋物線解析式所組成的方程組確定點坐標，從而得到的長，然后計算爬行的時間．【解答】解：過點作軸的平行線，再過點作軸的平行線，兩線相交于點，如圖，，，，設，，則，螞蟻從爬到點的時間若設螞蟻從爬到點的速度為1單位，則螞蟻從爬到點的時間，螞蟻從爬到點所用的時間等于從爬到點所用的時間相等，螞蟻從出發(fā)，先以1單位的速度爬到線段上的點處，再以1.25單位的速度沿著爬到點所用時間等于它從以1單位的速度爬到點，再從點以1單位速度爬到點的時間，作于，則，的最小值為的長，當時，，解得，，則，，直線交軸于點，如圖，在中，，，則，設直線的解析式為，把，代入得，解得，直線的解析式為，解方程組得或，則點坐標為，，，螞蟻從爬到點的時間，即螞蟻從到的最短時間為．故答案為．【點評】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標化為解關于的一元二次方程．解決本題的關鍵是確定螞蟻在和上爬行的時間相等．例4.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經過點，，，其對稱軸與軸交于點（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；（2）若為軸上的一個動點，連接，則的最小值為；（3）為拋物線對稱軸上一動點①若平面內存在點，使得以，，，為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點共有個；②連接，，若不小于，求的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法轉化為解方程組解決問題．（2）如圖1中，連接，作于，交于，此時最小．最小值就是線段，求出即可．（3）①先在對稱軸上尋找滿足是等腰三角形的點，由此即可解決問題．②作的中垂線與軸交于點，連接，則，以為圓心，為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點、．則，從而線段上的點滿足題意，求出、的坐標即可解決問題．【解答】解：（1）由題意解得，拋物線解析式為，，頂點坐標，．（2）如圖1中，連接，作于，交于，此時最?。碛桑?，，，，，，此時最短（垂線段最短）．在中，，，，，，的最小值為．故答案為．（3）①以為圓心為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，以為圓心為半徑畫弧與對稱軸也有兩個交點，線段的垂直平分線與對稱軸有一個交點，所以滿足條件的點有5個，即滿足條件的點也有5個，故答案為5．②如圖，中，，，作的中垂線與軸交于點，連接，則，以為圓心，為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點、．則，從而線段上的點滿足題意，，，，，，，解得或，故，，，，的取值范圍.

過關檢測1.等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GC到達C點，已知電子蟲在Y軸上運動的速度是在GC上運動速度的2倍，若電子蟲走完全程的時間最短，則點G的坐標為．【解答】解：如圖作GM⊥AB于M，設電子蟲在CG上的速度為v，電子蟲走完全全程的時間t＝+＝（+CG），在Rt△AMG中，GM＝AG，∴電子蟲走完全全程的時間t＝（GM+CG），當C、G、M共線時，且CM⊥AB時，GM+CG最短，此時CG＝AG＝2OG，易知OG＝?×6＝所以點G的坐標為（0，﹣）．故答案為：（0，﹣）．2.如圖1，在平面直角坐標系中將y＝2x+1向下平移3個單位長度得到直線l1，直線l1與x軸交于點C；直線l2：y＝x+2與x軸、y軸交于A、B兩點，且與直線l1交于點D．（1）填空：點A的坐標為，點B的坐標為；（2）直線l1的表達式為；（3）在直線l1上是否存在點E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，則求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．（4）如圖2，點P為線段AD上一點（不含端點），連接CP，一動點H從C出發(fā)，沿線段CP以每秒1個單位的速度運動到點P，再沿線段PD以每秒個單位的速度運動到點D后停止，求點H在整個運動過程中所用時間最少時點P的坐標．【解答】解：（1）直線l2：y＝x+2，令y＝0，則x＝﹣2，令y＝0，則x＝2，故答案為（﹣2，0）、（0，2）；（2）y＝2x+1向下平移3個單位長度得到直線l1，則直線l1的表達式為：y＝2x﹣2，故：答案為：y＝2x﹣2；（3）∵S△AOE＝2S△ABO，∴yE＝2OB＝4，將yE＝4代入l1的表達式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，則點E的坐標為（3，4）；（4）過點P、C分別作y軸的平行線，分別交過點D作x軸平行線于點H、H′，H′C交BD于點P′，直線l2：y＝x+2，則∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，點H在整個運動過程中所用時間＝+＝PH+PC，當C、P、H在一條直線上時，PH+PC最小，即為CH′＝6，點P坐標（1，3），故：點H在整個運動過程中所用最少時間為6秒，此時點P的坐標（1，3）．

3.如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點，與軸交于點，經過點的直線與拋物線的另一交點為．（1）若點的橫坐標為，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內的拋物線上有點，使得以，，為頂點的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運動到，再沿線段以每秒2個單位的速度運動到后停止，當點的坐標是多少時，點在整個運動過程中用時最少？

【分析】（1）首先求出點、坐標，然后求出直線的解析式，求得點坐標，代入拋物線解析式，求得的值；（2）因為點在第一象限內的拋物線上，所以為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是或．如答圖2，按照以上兩種情況進行分類討論，分別計算；（3）由題意，動點運動的路徑為折線，運動時間：．如答圖3，作輔助線，將轉化為；再由垂線段最短，得到垂線段與直線的交點，即為所求的點．【解答】解：（1）拋物線，令，解得或，，．直線經過點，，解得，直線解析式為：．當時，，，．點，在拋物線上，，．拋物線的函數(shù)表達式為：．即．（2）由拋物線解析式，令，得，，．因為點在第一象限內的拋物線上，所以為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是或．①若，則有，如答圖所示．設，過點作軸于點，則，．，即：，．，代入拋物線解析式，得，整理得：，解得：或（與點重合，舍去），．，，即，解得：．②若，則有，如答圖所示．設，過點作軸于點，則，．，即：，．，代入拋物線解析式，得，整理得：，解得：或（與點重合，舍去），．，，，解得，，，綜上所述，或．（3）方法一：如答圖3，由（1）知：，，如答圖，過點作軸于點，則，，，，．過點作軸，則．過點作于點，則．由題意，動點運動的路徑為折線，運動時間：，，即運動的時間值等于折線的長度值．由垂線段最短可知，折線的長度的最小值為與軸之間的垂線段．過點作于點，則，與直線的交點，即為所求之點．點橫坐標為，直線解析式為：，，，．綜上所述，當點坐標為，時，點在整個運動過程中用時最少．方法二：作，，交直線于點，，，，當且僅當時，最小，點在整個運動中用時為：，，，．【點評】本題是二次函數(shù)壓軸題，難度很大．第（2）問中需要分類討論，避免漏解；在計算過程中，解析式中含有未知數(shù)，增加了計算的難度，注意解題過程中的技巧；第（3）問中，運用了轉化思想使得試題難度大大降低，需要認真體會．

學習任務1.如圖，在平面直角坐標系中，點，點P為x軸上的一個動點，當最小時，點P的坐標為___________.[答案]：2.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，點M為對角線BD（不含點B）上的一動點，則的最小值為___________.[答案]：3.如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，AH⊥BC于H，點P從A點出發(fā)，沿高線AH向下移動，以CP為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ，連接BQ．求∠CBQ的度數(shù)；（2）如圖2，若點D為△ABC內任意一點，連接DA，DB，DC．證明：以DA，DB，DC為邊一定能組成一個三角形；（3）在（1）的條件下，在P點的移動過程中，設x＝AP+2PC，點Q的運動路徑長度為y，當x取最小值時，寫出x，y的關系，并說明理由．【解答】（1）解：如圖1中∵△ABC是等邊三角形，AH⊥BC，∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，∵△PCQ是等邊三角形，∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．（2）證明：如圖2中，將△ADC繞當A順時針旋轉60°得到△ABQ，連接DQ．∵△ACD≌△ABQ，∴AQ＝AD，CD＝BQ，∵∠DAQ＝60°，∴△ADQ是等邊三角形，∴AD＝DQ，∴DA，DB，DC為邊一定能組成一個三角形（圖中△BDQ）．（3）如圖3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．∵PE＝PA，∴PA+2PC＝2（PA+PC）＝2（PE+PC），根據(jù)垂線段最短可知，當E與F重合，P與G重合時，PA+2PC的值最小，最小值為2CF．由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝PA，∴PA＝BQ＝AG＝CG＝y(tǒng)，F(xiàn)G＝y(tǒng)，∴x＝2（y+y），∴y＝x．4.如圖，拋物線與直線交于，兩點，交軸于，兩點，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側拋物線上一動點，連接，過點作交軸于點，問：是否存在點使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．（2）設為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒一個單位速度運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到后停止，當點的坐標是多少時，點在整個運動中用時最少？【分析】（Ⅰ）只需把、兩點的坐標代入，就可得到拋物線的解析式，然后求出直線與拋物線的交點的坐標，利用勾股定理逆定理判斷出三角形是直角三角形，從而得到，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出的值；（Ⅱ）（1）過點作軸于，則．設點的橫坐標為，由在軸右側可得，則，易得．若點在點的下方，①當時，．此時可證得，根據(jù)相似三角形的性質可得．則有，然后把代入拋物線的解析式，就可求出點的坐標②當時，，同理，可求出點的坐標；若點在點的上方，同理，可求出點的坐標；（2）過點作軸于，如圖3．易得，則點在整個運動中所用的時間可表示為．作點關于的對稱點，連接，則有，，，從而可得，．根據(jù)兩點之間線段最短可得：當、、三點共線時，最小．此時可證到四邊形是矩形，從而有，．然后求出點的坐標，從而得到、、的值，即可得到點的坐標．【解答】解：（Ⅰ）把，代入，得，解得：．拋物線的解析式為聯(lián)立，解得：或，點的坐標為．如圖1．，，，，，，，是直角三角形，，；（Ⅱ）方法一：（1）存在點，使得以，，為頂點的三角形與相似．過點作軸于，則．設點的橫坐標為，由在軸右側可得，則．，，．若點在點的下方，①如圖2①，當時，則．，，，．．則．把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）．②如圖2②，當時，則．同理可得：，則，把代入，得，整理得：解得：（舍去），，，；若點在點的上方，①當時，則，同理可得：點的坐標為．②當時，則．同理可得：點的坐標為，．綜上所述：滿足條件的點的坐標為、，、，；方法二：作的“外接矩形”，易證，，以，，為頂點的三角形與相似，或，設，，，①，，，，②，，，（舍，滿足題意的點的坐標為、，、，；（2）方法一：過點作軸于，如圖3．在中，，即，點在整個運動中所