2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題 PA+kPB型之胡不歸問題專項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）

2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題PA+kPB型之胡不歸問題專項(xiàng)訓(xùn)練（學(xué)生版）課中講解故事介紹從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會(huì)不會(huì)更早些到家？模型建立如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。畣栴}分析，記，即求BC+kAC的最小值．問題解決構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。Ｐ涂偨Y(jié)在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段．例1.四邊形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn),則AM+BM的最小值為.變式思考：(1)本題如要求“2AM+BM”的最小值你會(huì)求嗎？(2)本題如要求“AM+BM+CM”的最小值你會(huì)求嗎？過關(guān)檢測1.如圖，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+2PB的最小值為.2.如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上。試說明CE是⊙O的切線。若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB;（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí)，求⊙O的AB的長。例2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，，，為射線上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為，點(diǎn)在上的運(yùn)動(dòng)速度是在上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為A． B． C． D．

例3.如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，過的直線交拋物線于，且，有一只螞蟻從出發(fā)，先以1單位的速度爬到線段上的點(diǎn)處，再以1.25單位的速度沿著爬到點(diǎn)處覓食，則螞蟻從到的最短時(shí)間是．例4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，其對稱軸與軸交于點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為；（3）為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)①若平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)共有個(gè)；②連接，，若不小于，求的取值范圍．

過關(guān)檢測1.等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲在Y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，若電子蟲走完全程的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為．2.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中將y＝2x+1向下平移3個(gè)單位長度得到直線l1，直線l1與x軸交于點(diǎn)C；直線l2：y＝x+2與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，且與直線l1交于點(diǎn)D．（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）直線l1的表達(dá)式為；（3）在直線l1上是否存在點(diǎn)E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，則求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（4）如圖2，點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接CP，一動(dòng)點(diǎn)H從C出發(fā)，沿線段CP以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再沿線段PD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止，求點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間最少時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

3.如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？

學(xué)習(xí)任務(wù)1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________.2.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，點(diǎn)M為對角線BD（不含點(diǎn)B）上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________.3.如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，AH⊥BC于H，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿高線AH向下移動(dòng)，以CP為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ，連接BQ．求∠CBQ的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)D為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接DA，DB，DC．證明：以DA，DB，DC為邊一定能組成一個(gè)三角形；（3）在（1）的條件下，在P點(diǎn)的移動(dòng)過程中，設(shè)x＝AP+2PC，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長度為y，當(dāng)x取最小值時(shí)，寫出x，y的關(guān)系，并說明理由．

4.如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？

5.如圖1，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)是一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，且．（1）求直線和直線的解析式；（2）點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，軸，射線與拋物線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，于點(diǎn)．當(dāng)與的乘積最大時(shí)，在線段上找一點(diǎn)（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；（3）如圖2，直線上有一點(diǎn)，將二次函數(shù)沿直線平移，平移的距離是，平移后拋物線上點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，點(diǎn)；當(dāng)△是直角三角形時(shí)，求的值．家長簽字：____________2024成都中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題PA+kPB型之胡不歸問題專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）課中講解故事介紹從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會(huì)不會(huì)更早些到家？模型建立如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小．問題分析，記，即求BC+kAC的最小值．問題解決構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。Ｐ涂偨Y(jié)在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段．例1.四邊形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn),則AM+BM的最小值為.變式思考：(1)本題如要求“2AM+BM”的最小值你會(huì)求嗎？(2)本題如要求“AM+BM+CM”的最小值你會(huì)求嗎？過關(guān)檢測1.如圖，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+2PB的最小值為.

2.如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上。試說明CE是⊙O的切線。若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB;（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí)，求⊙O的AB的長。

例2.如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，，，為射線上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為，點(diǎn)在上的運(yùn)動(dòng)速度是在上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為A． B． C． D．【分析】假設(shè)在的速度為3，在的速度為1，首先表示出總的時(shí)間，再根據(jù)根的判別式求出的取值范圍，進(jìn)而求出的坐標(biāo)．【解答】解：假設(shè)在的速度為3，在的速度為1，設(shè)坐標(biāo)為，則，，設(shè)，等式變形為：，則的最小值時(shí)考慮的取值即可，，，△，的最小值為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選．解法二：假設(shè)在的速度為，在的速度為，總時(shí)間，要使最小，就要最小，因?yàn)?，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于，易證，所以，所以，因?yàn)槭堑妊切?，所以，所以要最小，就是要最小，就要、、三點(diǎn)共線就行了．因?yàn)?，所以，即，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、一元二次方程根的判別式△判斷方程的根的情況以及坐標(biāo)于圖形的性質(zhì)題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大．例3.如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，過的直線交拋物線于，且，有一只螞蟻從出發(fā)，先以1單位的速度爬到線段上的點(diǎn)處，再以1.25單位的速度沿著爬到點(diǎn)處覓食，則螞蟻從到的最短時(shí)間是．【分析】過點(diǎn)作軸的平行線，再過點(diǎn)作軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)，如圖，利用平行線的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義得到，設(shè)，，則，則可判斷螞蟻從爬到點(diǎn)所用的時(shí)間等于從爬到點(diǎn)所用的時(shí)間相等，于是得到螞蟻從出發(fā)，先以1單位的速度爬到線段上的點(diǎn)處，再以1.25單位的速度沿著爬到點(diǎn)所用時(shí)間等于它從以1單位的速度爬到點(diǎn)，再從點(diǎn)以1單位速度爬到點(diǎn)的時(shí)間，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到的最小值為的長，接著求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出的解析式，然后解由直線解析式和拋物線解析式所組成的方程組確定點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到的長，然后計(jì)算爬行的時(shí)間．【解答】解：過點(diǎn)作軸的平行線，再過點(diǎn)作軸的平行線，兩線相交于點(diǎn)，如圖，，，，設(shè)，，則，螞蟻從爬到點(diǎn)的時(shí)間若設(shè)螞蟻從爬到點(diǎn)的速度為1單位，則螞蟻從爬到點(diǎn)的時(shí)間，螞蟻從爬到點(diǎn)所用的時(shí)間等于從爬到點(diǎn)所用的時(shí)間相等，螞蟻從出發(fā)，先以1單位的速度爬到線段上的點(diǎn)處，再以1.25單位的速度沿著爬到點(diǎn)所用時(shí)間等于它從以1單位的速度爬到點(diǎn)，再從點(diǎn)以1單位速度爬到點(diǎn)的時(shí)間，作于，則，的最小值為的長，當(dāng)時(shí)，，解得，，則，，直線交軸于點(diǎn)，如圖，在中，，，則，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得，直線的解析式為，解方程組得或，則點(diǎn)坐標(biāo)為，，，螞蟻從爬到點(diǎn)的時(shí)間，即螞蟻從到的最短時(shí)間為．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)化為解關(guān)于的一元二次方程．解決本題的關(guān)鍵是確定螞蟻在和上爬行的時(shí)間相等．例4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，其對稱軸與軸交于點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為；（3）為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)①若平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)共有個(gè)；②連接，，若不小于，求的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程組解決問題．（2）如圖1中，連接，作于，交于，此時(shí)最?。钚≈稻褪蔷€段，求出即可．（3）①先在對稱軸上尋找滿足是等腰三角形的點(diǎn)，由此即可解決問題．②作的中垂線與軸交于點(diǎn)，連接，則，以為圓心，為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點(diǎn)、．則，從而線段上的點(diǎn)滿足題意，求出、的坐標(biāo)即可解決問題．【解答】解：（1）由題意解得，拋物線解析式為，，頂點(diǎn)坐標(biāo)，．（2）如圖1中，連接，作于，交于，此時(shí)最?。碛桑?，，，，，，此時(shí)最短（垂線段最短）．在中，，，，，，的最小值為．故答案為．（3）①以為圓心為半徑畫弧與對稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，以為圓心為半徑畫弧與對稱軸也有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的垂直平分線與對稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以滿足條件的點(diǎn)有5個(gè)，即滿足條件的點(diǎn)也有5個(gè)，故答案為5．②如圖，中，，，作的中垂線與軸交于點(diǎn)，連接，則，以為圓心，為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點(diǎn)、．則，從而線段上的點(diǎn)滿足題意，，，，，，，解得或，故，，，，的取值范圍.

過關(guān)檢測1.等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲在Y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，若電子蟲走完全程的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為．【解答】解：如圖作GM⊥AB于M，設(shè)電子蟲在CG上的速度為v，電子蟲走完全全程的時(shí)間t＝+＝（+CG），在Rt△AMG中，GM＝AG，∴電子蟲走完全全程的時(shí)間t＝（GM+CG），當(dāng)C、G、M共線時(shí)，且CM⊥AB時(shí)，GM+CG最短，此時(shí)CG＝AG＝2OG，易知OG＝?×6＝所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，﹣）．故答案為：（0，﹣）．2.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中將y＝2x+1向下平移3個(gè)單位長度得到直線l1，直線l1與x軸交于點(diǎn)C；直線l2：y＝x+2與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，且與直線l1交于點(diǎn)D．（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）直線l1的表達(dá)式為；（3）在直線l1上是否存在點(diǎn)E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，則求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（4）如圖2，點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接CP，一動(dòng)點(diǎn)H從C出發(fā)，沿線段CP以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再沿線段PD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止，求點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間最少時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）直線l2：y＝x+2，令y＝0，則x＝﹣2，令y＝0，則x＝2，故答案為（﹣2，0）、（0，2）；（2）y＝2x+1向下平移3個(gè)單位長度得到直線l1，則直線l1的表達(dá)式為：y＝2x﹣2，故：答案為：y＝2x﹣2；（3）∵S△AOE＝2S△ABO，∴yE＝2OB＝4，將yE＝4代入l1的表達(dá)式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，4）；（4）過點(diǎn)P、C分別作y軸的平行線，分別交過點(diǎn)D作x軸平行線于點(diǎn)H、H′，H′C交BD于點(diǎn)P′，直線l2：y＝x+2，則∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間＝+＝PH+PC，當(dāng)C、P、H在一條直線上時(shí)，PH+PC最小，即為CH′＝6，點(diǎn)P坐標(biāo)（1，3），故：點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用最少時(shí)間為6秒，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，3）．

3.如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？

【分析】（1）首先求出點(diǎn)、坐標(biāo)，然后求出直線的解析式，求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得的值；（2）因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以為鈍角．因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是或．如答圖2，按照以上兩種情況進(jìn)行分類討論，分別計(jì)算；（3）由題意，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為折線，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：．如答圖3，作輔助線，將轉(zhuǎn)化為；再由垂線段最短，得到垂線段與直線的交點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)．【解答】解：（1）拋物線，令，解得或，，．直線經(jīng)過點(diǎn)，，解得，直線解析式為：．當(dāng)時(shí)，，，．點(diǎn)，在拋物線上，，．拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．即．（2）由拋物線解析式，令，得，，．因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以為鈍角．因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是或．①若，則有，如答圖所示．設(shè)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，．，即：，．，代入拋物線解析式，得，整理得：，解得：或（與點(diǎn)重合，舍去），．，，即，解得：．②若，則有，如答圖所示．設(shè)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，．，即：，．，代入拋物線解析式，得，整理得：，解得：或（與點(diǎn)重合，舍去），．，，，解得，，，綜上所述，或．（3）方法一：如答圖3，由（1）知：，，如答圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，，．過點(diǎn)作軸，則．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．由題意，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為折線，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：，，即運(yùn)動(dòng)的時(shí)間值等于折線的長度值．由垂線段最短可知，折線的長度的最小值為與軸之間的垂線段．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，與直線的交點(diǎn)，即為所求之點(diǎn)．點(diǎn)橫坐標(biāo)為，直線解析式為：，，，．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少．方法二：作，，交直線于點(diǎn)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為：，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)壓軸題，難度很大．第（2）問中需要分類討論，避免漏解；在計(jì)算過程中，解析式中含有未知數(shù)，增加了計(jì)算的難度，注意解題過程中的技巧；第（3）問中，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想使得試題難度大大降低，需要認(rèn)真體會(huì)．

學(xué)習(xí)任務(wù)1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________.[答案]：2.如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，點(diǎn)M為對角線BD（不含點(diǎn)B）上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________.[答案]：3.如圖，△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，AH⊥BC于H，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿高線AH向下移動(dòng)，以CP為邊在CP的下方作等邊三角形CPQ，連接BQ．求∠CBQ的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)D為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接DA，DB，DC．證明：以DA，DB，DC為邊一定能組成一個(gè)三角形；（3）在（1）的條件下，在P點(diǎn)的移動(dòng)過程中，設(shè)x＝AP+2PC，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長度為y，當(dāng)x取最小值時(shí)，寫出x，y的關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）解：如圖1中∵△ABC是等邊三角形，AH⊥BC，∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，∵△PCQ是等邊三角形，∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．（2）證明：如圖2中，將△ADC繞當(dāng)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ，連接DQ．∵△ACD≌△ABQ，∴AQ＝AD，CD＝BQ，∵∠DAQ＝60°，∴△ADQ是等邊三角形，∴AD＝DQ，∴DA，DB，DC為邊一定能組成一個(gè)三角形（圖中△BDQ）．（3）如圖3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．∵PE＝PA，∴PA+2PC＝2（PA+PC）＝2（PE+PC），根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)E與F重合，P與G重合時(shí)，PA+2PC的值最小，最小值為2CF．由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝PA，∴PA＝BQ＝AG＝CG＝y(tǒng)，F(xiàn)G＝y(tǒng)，∴x＝2（y+y），∴y＝x．4.如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？【分析】（Ⅰ）只需把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，就可得到拋物線的解析式，然后求出直線與拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理逆定理判斷出三角形是直角三角形，從而得到，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出的值；（Ⅱ）（1）過點(diǎn)作軸于，則．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由在軸右側(cè)可得，則，易得．若點(diǎn)在點(diǎn)的下方，①當(dāng)時(shí)，．此時(shí)可證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得．則有，然后把代入拋物線的解析式，就可求出點(diǎn)的坐標(biāo)②當(dāng)時(shí)，，同理，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn)在點(diǎn)的上方，同理，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作軸于，如圖3．易得，則點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間可表示為．作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則有，，，從而可得，．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最?。藭r(shí)可證到四邊形是矩形，從而有，．然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到、、的值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）把，代入，得，解得：．拋物線的解析式為聯(lián)立，解得：或，點(diǎn)的坐標(biāo)為．如圖1．，，，，，，，是直角三角形，，；（Ⅱ）方法一：（1）存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．過點(diǎn)作軸于，則．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由在軸右側(cè)可得，則．，，．若點(diǎn)在點(diǎn)的下方，①如圖2①，當(dāng)時(shí)，則．，，，．．則．把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）．②如圖2②，當(dāng)時(shí)，則．同理可得：，則，把代入，得，整理得：解得：（舍去），，，；若點(diǎn)在點(diǎn)的上方，①當(dāng)時(shí)，則，同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．②當(dāng)時(shí)，則．同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，．綜上所述：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為、，、，；方法二：作的“外接矩形”，易證，，以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，或，設(shè)，，，①，，，，②，，，（舍，滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為、，、，；（2）方法一：過點(diǎn)作軸于，如圖3．在中，，即，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所