高中數(shù)學(xué)：立體幾何大題

19.如圖，在△ABC中，AB=3,AC=2BC=4,。為AC的中點(diǎn)，AE=2EB>

而W后.現(xiàn)將△磔沿翻折至AAOE'得四棱錐.A'dC"

（1）證明：AP±DE<

（2）若A4'=2百，求直線AP與平面BC。所成角的事切值

50.（2021?浙江高三二模）在直角梯形￡BCZ）中，AB=2EA=2BC,將△￡?1￡>沿AD

翻折至△PAD位置，作AQ±PB于點(diǎn)。.

（1）求證：AQLPC.

（2）當(dāng)二面角P-BC—。最大時，求直線AQ與平面POC所成角。的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）上.

7

【解析】

（1）證明D4J"平面得3C_L平面R45,BC±AQ.然后可得AQ_L平面

PBC,從而得證線線垂直；

jr

（2）由（1）得NP5A是二面角P-BC-D的平面角,由正弦定理可得它最大值為工，

P,。重合，因此求得A到平面PCD的距離可得所求線面角的正弦值.過尸點(diǎn)作

PELAB交AB『點(diǎn)E,過￡點(diǎn)作。_LDC丁一點(diǎn)/，連接PE，過E點(diǎn)作EH±PF

于點(diǎn)H.證明四即為直線AB到平面PC。的距離，設(shè)AB=2,求得其長度后，可

得結(jié)論.

【詳解】

(1)證明：ZMLAB,DALPA.ABcA4=A,AB,PAu平面Q4B,

D4_L平面RIB.

3C7/ZM,，8C_L平面Q4B，A。匚平面F45，

.?.BC±AQ.

又AQLPB,PBcBC=B,PCu平

面PBC,

；.AQ±PC.

(2)解：由(1)知，8。_1平面從8,；.//554是二面角75—3。一。的平面角,

sinNPBAsinN4PB..sinZAPB1

由正弦定理得sinNPBA=--------W-.

PAAB22

JTIT

.?.當(dāng)NAP8=一時，NP8A取得最大值此時P,。兩點(diǎn)重合.

過P點(diǎn)作PELAB交AB于點(diǎn)E，過E點(diǎn)作EFLDC于點(diǎn)、F,連接PF，過E點(diǎn)

作EH工PF于點(diǎn)、H.

：BC_L平面Q46,BCu平面ABCD,...平面A8C￡)_L平面Q4B，

：PEu平面B4B,PEJ?平面ABC。，CDu平面ABC。，CD±PE,

又CD上EF,EFcPE=E,EF,PEu平面PEF,，。。，平面「印，

CDu平面PCD,...平面PEEJ_平面PC。，又EH工PF,平面PEFf］平面PCD

=PF,EHu平面PEF,

EH_L平面PCD.EH為AB到平面PCD的距離.

設(shè)AB=2，則B4=l,PE=—,EF=\,：.PF=—,EH=叵,

227

第2頁，共18頁

sin”曳二叵

PA7

54.（2021?浙江高三三模）如圖，在四面體ABC。中，△BCD是等邊三角形，M為AD

中點(diǎn)，P為BM中點(diǎn),AQ=3QC.

(1)求證：PQHffiBCD；

3

（2）若AO=—CD,BC±AD,二面角A—BC—O的平面角為120°,求直線8M

2

與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）亞.

14

【解析】

（1）取中點(diǎn)N,連接PN,QN,先由面面平行的判定定理，證明平面PQN〃平

面BCD,進(jìn)而可得結(jié)論成立；

（2）由題中條件，先得到5CL平面AED,且NA￡D為二面角A—5C—。的平面角，

設(shè)CD=1,求出AE；以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC方向?yàn)椋ポS正方向，ED方向?yàn)?gt;軸

正方向，過點(diǎn)E垂足于平面BCD向上的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求

出直線的方向向量，以及平面ABC的法向量，由向量夾角公式，直接計算，即可

得出結(jié)果.

【詳解】

（1）證明：取MD中點(diǎn)N,連接PN,QN,

因?yàn)镻為中點(diǎn)，所以在AMBO中，PN//BD,

因?yàn)镻Nz平面BCD,BOu平面BCD,所以PN〃平面BCD；

又在AACD中，不。=3QC,AN=3彷，=NQ//CD.

因?yàn)镹Q（z平面6C。，8u平面8co.所以NQ〃平面BCD；

因?yàn)镹QcPN=N,NQu平面PQN,PNu平面PQN,

平面PQN〃平面BCD，

又PQu平面PQN，,PQH平面BCD.

(2)取8C中點(diǎn)E，連接OE，AE,

因?yàn)椤?C￡＞是等邊三角形，則。E_L8C；

又6C_LAT＞,ADcDE=D，ADu平面A￡￡＞，DEu平面AEO,

BC，平面AED，且NA￡￡＞為二面角A-BC—。的平面角，

不妨設(shè)co=i,則DE=2,

22

由余弦定理可得A。？=AE2+ED2-2AE-ED-cos120°，即？=A爐+之+走AE,

442

解得AE=正或AE=-G(舍)；

2

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC方向?yàn)閤軸正方向，方向?yàn)椋据S正方向，過點(diǎn)上垂足于平

面BCD向上的方向?yàn)閦軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

11、、

則—二,。，0|，C\—,0,0|,D0,^-,0,A0,-,

2

77

X

UIBI」B_3、

因此M，所以,-5,AB\"""，7,碇=(1,0,0),

,2r8244J

7

設(shè)平面A5C的一個法向量〃=(x,y,z),

n-BC=x=0

n±BCx=0

則〈所以《3即〈

filAB'n-AB=x+y——z-0,=任'

244

不妨令z=l，則〃=(0,百,1)；

設(shè)宜線與平面A8C所成角為。,

ruuu*33

rumrri-BM-+3不

88

則sin0=cos<n,BM>TrrtiUtr

fMBM2x./—+-I，

46464

即直線BM與平面ABC所成角的正弦值為地.

14

第4頁，共18頁

A

BECx

60.(2021?浙江高三其他模擬)已知直角梯形ABC。，ABI/CD,ABLBC,

AB=BD=2CD,b為AD的中點(diǎn)，將△BCD沿3。翻折至△BOP.

(1)求證：BD±PF；

A

(2)若PF=W~PD，求PB與平面PAD所成角的正弦值.

2

【答案】(1)證明見解析；(2)2場.

13

【解析】

(1)作于E,連接E凡令PD=1,經(jīng)計算證明石即可得解；

(2)三棱錐B-以。中，作出面鞏。上的高PQ,用等體積法求出PQ即可得解.

【詳解】

(1)過點(diǎn)P作PE_L8。于E,連接EF,Rt/\BPD中，令P3=1,則BD=2PD=2,BP=6

NBDP=60；DE=L,PE=也,如圖：

22

..一

直角梯形ABCD中，顯然有ZCBD=30，而43_13。，則/450=60°，又

AB=BD，即為正三角形，

而產(chǎn)為AO的中點(diǎn)，則。/B」

=,AO=L。=1,又44。8=60°，△。石尸中，由余

22

3

弦定理得EF2=DF2+DE2-2DF-DE-cos60=

4

即EF2+OE2=I=OF2,△￡）以?是直角三角形，有EF上BD,而PELBQ,

PEcEF=E,

所以8。，面尸石尸，"u面P"，故3￡>_LPE：

⑵過B作SQL平面PAD與平面PAD交于點(diǎn)Q,連接PQ,則PQ是PB在平面PAD內(nèi)

射影，/BP。是直線尸8與平面以。所成角，如圖：

因面PEF，即平面面PEF,平面ABDc面莊尸=EP,過點(diǎn)P作

PO±EFTO,則PO_L面A3D，

liiWPF=—PD=—,EF=PE=PF=—,。。=3，

2224

△PDF中，PD=DF=l,則

-PFG________6q

cosNPFD=Z—=—,sinNPFD=Jl-cos?NPFD=—'

DF44

SPAD=2SpFD=21PFDF.smNPFD=叵,

SA*=LABBD-sinZABD=6,

AntflJ2

V

由匕"AD=P-ABD得4?BQ?S/AD=1P。，S“BD,即BQ?j.G，

J384

6BQ62739

BQ=sin4PQ=

V13，~PB~j39~13

所以PB與平面PAO所成角的正弦值為獨(dú)9.

13

1.如圖所示，在三棱柱4BC-&B1Q中，四邊形4BB1&為菱形，/人為&=今平面

ABBMi1平面ABC,AB=BC,AC=V2AAt=2>/2,E為AC的中點(diǎn).

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(I)求證：B1G1平面4BB14；

(n)求平面EB1G與平面BB1GC所成角的大小.

【答案】(I)證明：???四邊形ABB1&為菱形，AB=

BC,AC=夜441=2V2,

AC2=AB2+BC2,得AB1BC,

又平面ABBMi平面ABC,平面ABBMiC平面

ABC=AB,BCu平面4BC,二BCJL平面/88出，

又BG//BC,BQ_L平面4幽人；

(II)取為&的中點(diǎn)0,占C1的中點(diǎn)N,連接04,0N,

???B?J_平面ABB1&,BiCJ/ON,

ON1平面4BB14,又04，。4(3平面488141，

得。NJ.O&,ON10A,

又四邊形4BB1必為菱形，444泮1=泉。是4/1的中點(diǎn)，.??CM14當(dāng)，

故。ON,。4兩兩互相垂直.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。4、0N、。4所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

(-1,0,0),Ci(-1,2,0),E(-U,回B(-2,0,73).

由圖可知，平面EBiG的一個法向量為布=(1,0,0),

設(shè)平面BBiGC的一個法向量為元=(x,y,z),

則g-￡i￡i=2y=0，取z=1,得元=(73,0,1).

設(shè)平面ESC］與平面BBiGC所成角的大小為0,

則cos。=Icos<m,n>I=I詆I=——=T>

又???。6(0勺，」.T，

Zo

故平面EBC與平面B/CiC所成角的大小為今

【解析】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用

空間向量求解空間角，屬于難題.

(I)由已知利用勾股定理證明AB1BC,再由平面4BB1411平面4BC,由面面垂直的性

質(zhì)可得BC，平面488遇1，即可證得BiQ_L平面4BB送1；

(11)取力181的中點(diǎn)0,&G的中點(diǎn)N,連接。4ON,證明04,ON,。4兩兩互相垂直，

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。4、ON、。4所在直線為％、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分

別求出平面E&Ci的一個法向量與平面BBiGC的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦

值即可求得平面EB1Q與平面BBiQC所成角的大小.

2.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD是平行四邊形，AABC=120°,AB=

l.BC=4,PA=V15>M,N分別為BC,PC的中點(diǎn)，PDA.DC,PM1MD.

(1)證明：AB1PM；

(2)求直線4N與平面PDM所成角的正弦值.

【答案】(1)證明：???NABC=120°,AB=1,BC=4,

.?.在ADCM中，DC=1,CM=2,Z.DCM=60°,由余弦定理可得CM=遍，

則。M2+DC2=CM2,

:.DM1DC,

由題意可知。C_LPO,且PDCDM=D,PD,OMu平面POM,

DC1平面PDM,而PAfC平面PDM,

.??DC1PM,又AB“DC,

：.AB1PM.

(2)由PM_LMD,DC1PM,而OC與DM相交，DC,DMu平面4BCD,

PM，平面4BCD,

vZ.ABC=120°,AB=1,BM=2,

--AM=V7,

???PM=2vL

取AD中點(diǎn)為E,連接ME,則ME,DM,PM兩兩垂直，以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直

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角坐標(biāo)系，如圖所示:

則4(一封2,0),P(0,0,272),D(V3,0,0),M(0,0,0),C(V3,-l,0),

又N為PC中點(diǎn)，

而=(竽,一|,煙，

由(1)得CD1平面PDM,可得平面PDM的一個法向量記=(0,1,0),

從而直線4N與平面PDM所成角的正弦值為：而而司=至毒二==.

744

【解析】本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，利用空間向量求解直線與平面所成角，屬

于中檔題.

(1)由題意可證DMJ.DC,又。C1PD,且PDCiDM=D,即可證明DCJL平面PDM,進(jìn)

而證明DC-LPM,又AB"DC,即證AB1PM：

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解直線與平面所成角即可.

3.如圖，在平面四邊形4BCD中，=CD,BC1CD,ADlBDf

折起，使點(diǎn)4到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PCL8C.

C

(1)證明：PD1CD.

(2)若M為PB的中點(diǎn)，二面角P-BC-。的大小為60。，求直線PC與平面MC。所成

角的正弦值.

【答案】(1)證明：因?yàn)锽C11PC,PCnCD=C,PC,CDu平面PCD,

所以BC1平面PCD.

又因?yàn)镻Du平面PC。，所以BC1PO.

又因?yàn)镻D1BD,BDCBC=B,BD,BCu平面BCD,

所以PD_L平面BCD,

又因?yàn)镃Du平面BCD,

所以PD1CO；

(2)解：因?yàn)镻CIBC,CD1BC,所以NPCD是二面角P-BC-。的平面角，

由已知得/PCD=60",因此PD=CDtan600=V3CZ).

取BC的中點(diǎn)。，連接OM,0C,由已知得OM,OC,BC兩兩垂直.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

設(shè)。8=1,則6=VI,則P(0,l,巡)，C(l,0,0),0(0,1,0),M(0,0凈,

所以而=(一1,1,遍)，CD=(-1,1,0),CM=(-1,0,y)>

設(shè)平面MCD的一個法向量為方=(x,y,z),

n-CD=0,-x+y=0,

-x+日z=0,

ji-CM=

令z=?得記=(百,百,企)，

所以cos(元,而＞=湍強(qiáng)邛

因此，直線PC與平面所成角的正弦值為它.

4

第10頁，共18頁

【解析】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)定理以及利用空間向量求解線面角，考查二面

角，屬于中檔題.

(1)根據(jù)線面垂直的判定可證BC平面PCD,進(jìn)而證明P。_L平面BCD,根據(jù)線面垂直的

性質(zhì)即可證明；

(2)根據(jù)二面角的定義可知=gCD,取的中點(diǎn)。，連接OM,0C,以。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

4.如圖，在三棱錐。一ABC中，AB1BD,BC1CD,M,N分別是線段4。，8。的中

點(diǎn)，MC=1,AB=BD=&，二面角D—的大小為60。.

(1)證明：平面MNG_L平面BCD；

(2)求直線和平面MNC所成角的余弦值.

【答案】解：(1)在中，N是斜邊BD的中點(diǎn)，

所以NC=工8。=—,

22

因?yàn)镸,N是AD,BD的中點(diǎn)，

所以MN=L/1B=立，且MC=1,

22

所以MN2+NC2=MC2,MN1NC,

又因?yàn)镸N//AB,

所以MNIB。，且BDCNC=N,BD,NCu平面BCD,

故MN1平面BCD,

因?yàn)镸Nu平面MNC,

所以平面MNC_L平面BCD.

(2)由(1)知MN1平面BCO,故48_L平面BCD,

所以ABIBC,AB1DC,又4B1BD,

所以4cBe即為二面角D—B4—C的平面角，故4CBD=60。,

因此BC=BN=CN=—,CD=

22

又DCJ.CB,ABHCB=B,所以DC1平面ABC,

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，B4為y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镈停,0,日），4（0,企,0）,

所以中點(diǎn)M件爭令麗=（今冬務(wù)

C俘,0,0）,N仔0,分

所以麗=（一￡o,務(wù)W=（o,^,o）.

設(shè)平面NMC的法向量記=（%,y,z）,

取％=8，得沆=(b,0,1),

所以8s〈而，而=舒

y/6瓜—

_7+7_漁，

-1X2-4

故sin（BM,m）=邛，

因此直線8M和平面MNC所成角的余弦值等于叵.

4

【解析】本題主要考查面面垂直的判定及利用向量求直線與平面所成的角，考查了學(xué)生

的空間想象能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題.

（1）要證平面MNC，平面BCD,需證線面垂直，根據(jù)條件可知MNJ.BD,再根據(jù)勾股可

證MN1NC,從而可證MNJ?平面BCD,進(jìn)而證出結(jié)論；

（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，8c為x軸，84為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法可求.

5.如圖，在平面四邊形ABCD中，BC=V5AB,CD=2AD,且AABD為等邊三角形.設(shè)E

為AD中點(diǎn)，連結(jié)BE,將AABE沿BE折起，使點(diǎn)A至U達(dá)平面BCDE上方的點(diǎn)P,連結(jié)PC,

PD,設(shè)F是PC的中點(diǎn)，連結(jié)BF.

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p

(1)證明：BF〃平面PDE；

(2)若二面角P-BE-D為60。，設(shè)平面PBC與平面PDE的交線為1,求1與平面PCD所

成角的正弦值.

【答案】解：⑴在平面BCDE內(nèi)，設(shè)DE,CB的延長線交于點(diǎn)Q,連結(jié)PC

在△BCD中，設(shè)BD=1,則=CD=2,

所以BD1BC,S.ABDC=^BDE=60°,

所以DQ=DC,且B為CQ中點(diǎn)

因?yàn)槭荘C中點(diǎn)，所以BF〃PQ

又因?yàn)锽F笈平面PDE,PQu平面PDE,

所以BF//平面PCE

(2)因?yàn)樵谧髨D中，E是4。中點(diǎn)，即4E=DE,所以BEJ.4E.

所以在右圖中，CEJ.BE,PE1BE,DEOPE=E,U平面PDE，

所以BEJJHFfPDE,BEU平面BCDE，則平面BCCE1平面PDE.

且NPED是二面角P—BE-D的平面角，即4PED=60。，設(shè)BD=1,

所以PD=PE=DE=手=2.

設(shè)。為DE中點(diǎn)，連結(jié)PO,則POJ.DE,PO=—，因?yàn)槠矫鍮CDE1平面PDE,

4

平面BCDEn平面PDE=DE,P。u平面PDE,

所以P。_L平面BCDE.

過B作8T//0P,貝1平面BCDE.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC,BD,BT為支軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則B(0,0,0),C(灰,0,0),0(0,1,0),Q(-73,0,0),E(一

。(-我⑼，「(-靠不

所以加=(一1,一：,1)，DC=(V3,-l,0)?而=(一督，一'一務(wù)

因?yàn)锽CnDE=Q,所以平面PBCn平面PDE=PQ

z

設(shè)平面PCD的一個法向量為司=(xo,yo<o).

由(起雪今(=0

■rijDc小祝=o

V3%0-y0=o.

即V31.V3

rTx°-8yo+TZo=A0-

取沏=1,得％=遮，Zo=1,此時元=(1,V3,1)

設(shè)PQ與平面PCD所成角為a,

—?一、?I而向2V34V195

則sina=|cos<PQ，=>I=

65

即/與平面PCD所成角的正弦值為嗜.

【解析】本題考查了線面平行的判定與證明，考查了空間中線面角和二面角的計算，屬

于拔高題.

第14頁，共18頁

(1)根據(jù)線面平行的判定定理分析即可；

(2)先找到二面角P-BE-。的平面角，然后建系運(yùn)算即可.

6.在四棱錐P-ABCO中，BC=BD=DC=26，AD=AB=PD=PB=2.

(1)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，求證：BE〃平面PAD；

(2)當(dāng)平面PBD_L平面4BCD時，求二面角C-PD—B的余弦值.

【答案】(1)證明:

取CD的中點(diǎn)為M,連結(jié)EM,BM.

由已知得，△BCD為等邊三角形，故8MleD.

???ADAB=2,BD=2舊，

???AADB=AABD=30°,

/.ADC=90°,

AD1CD,

：.BM//AD,

又BMC平面PAD,ADu平面PAD,

???BM〃平面PAO.

???E為PC的中點(diǎn)，M為CD的中點(diǎn)，

???EM//PD.

又EMC平面PAD,PDu平面PAD,

???EM〃平面PAD.

=EMu平面BEM,BMu平面BEM,

???平面BEM〃平面PAD.

vBEu平面BEM,

???BE〃平面PAD；

(2)連結(jié)AC,交BD于點(diǎn)0,連結(jié)P0,由對稱性知，。為BD的中點(diǎn)，且AC1BD,P01BD.

???平面PBD_L平面4BCD,P01BD,平面PBDD平面4BCD=BD,

P01平面4BCD,PO=AO=1,CO=3.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，元的方向?yàn)閤軸正方向，旗的方向?yàn)閥軸正方向，前的方向?yàn)閦軸正

方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

則。(0,一封0),C(3,0,0),P(0,0,l).

易知平面PBC的一個法向量為元=(1,0,0).

設(shè)平面PCD的法向量為相=(x,y,z),

則近1比，n；lDP，

(n;-'DC=0

(n；DP=0,

vDC=(3,V3,0)，DP=(0,V3,l)>

(3x+V3y=0

[V3y+z=0

令y=百，得x=-1,z=-3,

???布=(-1,V3,-3)?

,—>―>、n7