頻率的穩(wěn)定性教案

10.3.1頻率的穩(wěn)定性

導(dǎo)學(xué)案

編寫：廖云波初審：孫銳終審：孫銳廖云波

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率

【自主學(xué)習(xí)】

知識(shí)點(diǎn)1頻率的穩(wěn)定性

大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一

般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)〃的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率%(A)會(huì)

逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們

可以用頻率為(A)估計(jì)概率尸(A).

知識(shí)點(diǎn)2頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系

(1)頻率是概率的近似，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率，頻率本身是隨機(jī)的

試驗(yàn)前是不能確定的.

(2)概率揭示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，是一個(gè)確定的常數(shù)，與試驗(yàn)的次數(shù)無關(guān)，概率

可以通過頻率來測(cè)量，某事件在〃次試驗(yàn)中發(fā)生了加次，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)〃很大時(shí)，就將與作

為事件A發(fā)生的概率的近似值，即尸(A)=,

(3)求一個(gè)隨機(jī)事件的概率的方法是根據(jù)定義通過大量的重復(fù)試驗(yàn)用事件發(fā)生的頻率近似地

作為它的概率；任何事件A的概率尸(A)總介于0和1之間，即OWP(A)W1,其中必然事件

的概率是1,不可能事件的概率是0.

知識(shí)點(diǎn)3頻率穩(wěn)定性的作用

可以用頻率力(A)估計(jì)概率P(A).

【合作探究】

探究一頻率和概率的區(qū)別和聯(lián)系

［例1］下列說法正確的是（）

A.由生物學(xué)知道生男生女的概率約為0.5,一對(duì)夫婦先后生兩個(gè)小孩，則一定為一男一女

B.一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)概率為0.2,則摸5張票，一定有一張中獎(jiǎng)

C.10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎(jiǎng)票的可能性大

D.10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1

【答案】D［一對(duì)夫婦生兩個(gè)小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A

不正確；中獎(jiǎng)概率為0.2是說中獎(jiǎng)的可能性為0.2,當(dāng)摸5張票時(shí)，可能都中獎(jiǎng)，也可能中

一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎(jiǎng)，所以B不正確；10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去

摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1,所以C不正確，

D正確.］

歸納總結(jié)：理解概率與頻率應(yīng)關(guān)注的三個(gè)方面

（1）概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事件A發(fā)生的

概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的近似值.

（2）由頻率的定義我們可以知道隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有

規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映.

（3）正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系.對(duì)具體的問題要從全局和整體

上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個(gè)具體的事件.

【練習(xí)11"某彩票的中獎(jiǎng)概率為貴”意味著（）

A.買100張彩票就一定能中獎(jiǎng)

B.買100張彩票能中一次獎(jiǎng)

C.買100張彩票一次獎(jiǎng)也不中

D.購買彩票中獎(jiǎng)的可能性為擊

【答案】D［某彩票的中獎(jiǎng)率為擊，意味著中獎(jiǎng)的可能性為志，可能中獎(jiǎng)，也可能不中

獎(jiǎng).］

探究二用隨機(jī)事件的頻率估計(jì)其概率

［例2］某公司在過去幾年內(nèi)使用了某種型號(hào)的燈管1000支，該公司對(duì)這些燈管的使用壽

命(單位：時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：

分

[0,900)[900,1100)[1100,1300)[1300,1500)[1500,1700)[1700,1900)[1900,+8)

組

頻

4812120822319316542

數(shù)

頻

率

(1)將各組的頻率填入表中；

(2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率.

［思路探究］根據(jù)頻率的定義計(jì)算，并利用頻率估計(jì)概率.

【答案】(1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0,165,0.042.

(2)樣本中使用壽命不足1500小時(shí)的頻數(shù)是48+121+208+223=600.

所以樣本中使用壽命不足1500小時(shí)的頻率是黑=0.6,

即燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率約為06

歸納總結(jié)：

1.頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)〃2與試驗(yàn)總次數(shù)〃的比值，利用此公式可求出它們的頻率，頻

率本身是隨機(jī)變量，當(dāng),很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動(dòng)，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率.

2.解此類題目的步驟：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算頻率，然后用頻率估計(jì)概率.

【練習(xí)2】某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，對(duì)投保的車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛

車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

賠償金額(元)01000200030004000

車輛數(shù)(輛)500130100150120

(1)若每輛車的投保金額為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；

(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主

是新司機(jī)的占20%,估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.

【答案】(1)設(shè)A表示事件”賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，

以頻率估計(jì)概率得尸(A)=#*=0.15,P(B)=f^=0.12,

由于投保額為2800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3000元和4000元，A

與B互斥，所以所求概率為P(A)+P(8)=0.15+0.12=0.27.

(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主是新司機(jī)

的有0.1x1000=100(位),而賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機(jī)的有0.2X120=24(位),

24

所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為而=0.24,由頻率估計(jì)概率得尸(。

=0.24.

探究三游戲的公平性

［例3］某校高二年級(jí)(1)(2)班準(zhǔn)備聯(lián)合舉行晚會(huì)，組織者欲使晚會(huì)氣氛熱烈、有趣，策劃

整場(chǎng)晚會(huì)以轉(zhuǎn)盤游戲的方式進(jìn)行，每個(gè)節(jié)目開始時(shí)，兩班各派一人先進(jìn)行轉(zhuǎn)盤游戲，勝者獲

得一件獎(jiǎng)品，負(fù)者表演一個(gè)節(jié)目.(1)班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字123,4,5,6,7的兩個(gè)轉(zhuǎn)

盤(如圖所示)，設(shè)計(jì)了一種游戲方案：兩人同時(shí)各轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，

和為偶數(shù)時(shí)(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝.該方案對(duì)雙方是否公平？為什么？

［思路探究］計(jì)算和為偶數(shù)時(shí)的概率是否為看概率是3就公平，否則不公平.

【答案】該方案是公平的，理由如下:

各種情況如表所示:

和4567

15678

26789

378910

由表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，為奇數(shù)

的也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率Pi=A=1,(2)班代表獲勝的概率尸2=條=；,即

Pi=pl,機(jī)會(huì)是均等的，所以該方案對(duì)雙方是公平的.

歸納總結(jié):

【練習(xí)3】若在例3中，轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指

針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字.游戲規(guī)則如下：兩個(gè)人參加，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，

乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的數(shù)字相符，則乙獲勝，否則甲獲勝.猜數(shù)方

案從以下兩種方案中選一種:

A.猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；

B.猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”.

請(qǐng)回答下列問題：

(1)如果你是乙，為了盡可能獲勝，你會(huì)選哪種猜數(shù)方案？

(2)為了保證游戲的公平性，你認(rèn)為應(yīng)選哪種猜數(shù)方案？

【答案】(1)為了盡可能獲勝，乙應(yīng)選擇方案B.猜“不是4的整數(shù)倍”，這是因?yàn)椤安皇?

的整數(shù)倍”的概率為%=0.8,超過了0.5,故為了盡可能獲勝，選擇方案B.

(2)為了保證游戲的公平性，應(yīng)當(dāng)選擇方案A,這是因?yàn)榉桨窤是猜“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”

的概率均為0.5,從而保證了該游戲的公平性.

課后作業(yè)

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.給出下列3種說法：

①設(shè)有一大批產(chǎn)品，己知其次品率為01，則從中任取100件，必有10件是次品；

②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是條

③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

其中正確說法的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】A［由頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別知，①②③均不正確.］

2.設(shè)某廠產(chǎn)品的次品率為2%,估算該廠8000件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)可能為（）

A.160B.7840

C.7998D.7800

【答案】B［次品率為2%,故次品約8000x2%=160（件），故合格品的件數(shù)可能為78401

3.某地氣象局預(yù)報(bào)說：明天本地降水的概率為80%,則下列解釋正確的是（）

A.明天本地有80%的區(qū)域降水，20%的區(qū)域不降水

B.明天本地有80%的時(shí)間降水，20%的時(shí)間不降水

C.明天本地降水的可能性是80%

D.以上說法均不正確

【答案】C［選項(xiàng)A,B顯然不正確，因?yàn)槊魈毂镜亟邓母怕蕿?0%不是說有80%

的區(qū)域降水，也不是說有80%的時(shí)間降水，而是指降水的可能性是80%.故選C.］

4.某中學(xué)要在高一年級(jí)的二、三、四班中任選一個(gè)班參加社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，有人提議用如下

方法選班：擲兩枚硬幣，正面向上記作2點(diǎn)，反面向上記作1點(diǎn)，兩枚硬幣的點(diǎn)數(shù)和是幾,

就選幾班.按照這個(gè)規(guī)則，當(dāng)選概率最大的是（）

A.二班B.三班

C.四班D.三個(gè)班機(jī)會(huì)均等

【答案】B[擲兩枚硬幣，共有4種結(jié)果：（2,2）,（2,1）,（1,2）,（1,1）,故選四班的概率

是工選三班的概率為上/選二班的概率為今故選B.]

5.給出下列四個(gè)命題：

①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05,則從中任取200件，必有10件是次品；

②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是需；

③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率；

9

④拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果有18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是5.

其中正確命題有（）

A.①B.②

C.③D.@

【答案】D[①錯(cuò)，次品率是大量產(chǎn)品的估計(jì)值，并不是針對(duì)200件產(chǎn)品來說的；②③

混淆了頻率與概率的區(qū)別.④正確.]

6.甲、乙兩人做游戲，下列游戲中不公平的是（）

A.拋一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則乙勝

B.同時(shí)拋兩枚相同的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和大于7則甲勝，否則乙勝

C.從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝

D.甲、乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝

【答案】B[對(duì)于A,C,D,甲勝、乙勝的概率都是游戲是公平的；對(duì)于B,點(diǎn)數(shù)

之和大于7和點(diǎn)數(shù)之和小于7的概率相等，但點(diǎn)數(shù)等于7時(shí)乙勝，所以甲勝的概率小，游戲

不公平.]

7.（多選題）投擲一枚普通的正方體骰子，四位同學(xué)各自發(fā)表了以下見解，其中正確的是（）

A.出現(xiàn)“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”的概率等于出現(xiàn)“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”的概率

B.只要連擲6次，一定會(huì)“出現(xiàn)1點(diǎn)”

C.投擲前默念幾次“出現(xiàn)6點(diǎn)”，投擲結(jié)果“出現(xiàn)6點(diǎn)”的可能性就會(huì)加大

D.連續(xù)投擲3次，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和不可能等于19

【答案】AD[擲一枚骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)和出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的概率都是看故A正確；“出現(xiàn)

1點(diǎn)”是隨機(jī)事件，故B錯(cuò)誤；概率是客觀存在的，不因?yàn)槿说囊饽疃淖?，故C錯(cuò)誤；連

續(xù)擲3次，每次都出現(xiàn)最大點(diǎn)數(shù)6,則三次之和為18,故D正確.故選AD.]

二、填空題

8.某制造商今年3月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)乒乓球的

直徑（單位：mm）,將數(shù)據(jù)分組如下：

分組頻數(shù)頻率

[39.95,39.97)100.10

[39.97,39.99)200.20

[39.99,40.01)500.50

[40.01,40.03]200.20

合計(jì)1001.00

若用上述頻率近似概率，已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為40.00mm,則這批乒乓球的直徑誤

差不超過0.03mm的概率約為.

【答案】0.90[標(biāo)準(zhǔn)尺寸是40.00mm,并且誤差不超過0.03mm,即直徑需落在

[39.97,40.03]范圍內(nèi).由頻率分布表知，所求頻率為0.20+0.50+0.20=0.90,所以直徑誤差

不超過0.03mm的概率約為0.90.]

9.小明和小展按如下規(guī)則做游戲：桌面上放有5支鉛筆，每次取1支或2支，最后取完鉛

筆的人獲勝，你認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則.（填“公平”或“不公平”）

【答案】不公平［當(dāng)?shù)谝粋€(gè)人第一次取2支時(shí)，還剩余3支，無論是第二個(gè)人取1支

還是取2支，第一個(gè)人在第二次取鉛筆時(shí)，都可取完，即第一個(gè)人一定能獲勝，所以不公平.］

10.種子發(fā)芽率是指在規(guī)定條件和時(shí)間內(nèi)長(zhǎng)成的正常幼苗數(shù)占供檢種子數(shù)的百分率.種子發(fā)

芽率的測(cè)定通常是在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)進(jìn)行，隨機(jī)取600粒種子置于發(fā)芽床上，通常以100粒種子為

一個(gè)重復(fù)，根據(jù)不同種類的種子控制相應(yīng)的溫度、水分、光照等條件，再到規(guī)定的時(shí)間鑒定

正常幼苗的數(shù)量，最后計(jì)算出種子的發(fā)芽率.下表是舜猴桃種子的發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果：

種子粒數(shù)100100100100100100

發(fā)芽粒數(shù)797881798082

發(fā)芽率79%78%81%79%80%82%

根據(jù)表格分析舜猴桃種子的發(fā)芽率約為.

【答案】80%［由表格中的數(shù)據(jù)可知，該桃猴桃種子的發(fā)芽率約為80%」

三、解答題

11.某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：

射擊次數(shù)n102050100200500

擊中靶心次數(shù)相8194492178455

擊中靶心的頻率彳

⑴填寫表中擊中靶心的頻率；

(2)這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？

【答案】［解］(1)表中依次填入的數(shù)據(jù)為：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.89附近，所以這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.89.

12.某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果如下表:

每批粒數(shù)251070130700150020003000

發(fā)芽的粒數(shù)24960116637137017862709

發(fā)芽的頻率

(1)請(qǐng)完成上述表格(保留3位小數(shù));

(2)該油菜籽發(fā)芽的概率約為多少？

【答案】［解］⑴填入題表中的數(shù)據(jù)依次為1.000,0.800,0.900,

0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.

填表如下:

每批粒

251070130700150020003000

數(shù)

發(fā)芽的

24960116637137017862709

粒數(shù)

發(fā)芽的

1.0000.8000.9000.8570.8920.9100.9130.8930.903

頻率

(2)由(1)估計(jì)該油菜籽發(fā)芽的概率約為0.900.

B組能力提升

一、選擇題

1.在調(diào)查運(yùn)動(dòng)員是否服用過興奮劑的時(shí)候，給出兩個(gè)問題作答，無關(guān)緊要的問題是：“你

的身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查

的運(yùn)動(dòng)員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問題，否則回答第二個(gè)問題.

由于回答哪一個(gè)問題只有被測(cè)試者自己知道，所以應(yīng)答者一般樂意如實(shí)地回答問題.

如我們把這種方法用于300個(gè)被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員，得到80個(gè)“是”的回答，則這群人中

服用過興奮劑的百分率大約為（）

A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%

【答案】B［因?yàn)閿S硬幣出現(xiàn)正面向上的概率為宏大約有150人回答第一個(gè)問題，又身份

證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)是等可能的，在回答第一個(gè)問題的150人中大約有一半人，即

75人回答了“是”，另外5個(gè)回答“是”的人服用興奮劑.因此我們估計(jì)這群人中大約有3.33%

的人服用過興奮劑.］

2.下面有三種游戲規(guī)則：袋子中分別裝有大小相同的球，從袋中取球，

游戲1游戲2游戲3

3個(gè)黑球和1個(gè)白球1個(gè)黑球和1個(gè)白球2個(gè)黑球和2個(gè)白球

任取兩個(gè)球取1個(gè)球任取兩個(gè)球

取出的兩個(gè)球同色一甲勝取出的球是黑球一甲勝取出的兩個(gè)球同色一甲勝

取出的兩個(gè)球不同色一乙勝取出的球是白球一乙勝取出的兩個(gè)球不同色一乙勝

問其中不公平的游戲是（）

A.游戲1B.游戲1和游戲3

C.游戲2D.游戲3

【答案】D［游戲1中取2個(gè)球的所有可能情況有：

（黑1,黑2）,（黑1,黑3）,（黑1,白），（黑2,黑3）,（黑2,白），（黑3,白），所以甲

勝的概率為13=1,所以游戲1是公平的.游戲2中，顯然甲勝的概率是0.5,游戲是公平的.游

戲3中取2個(gè)球的所有可能情況有（黑1,黑2）,（黑1,白1）,（黑1,白2）,（黑2,白1）,（黑

2,白2）,（白1,白2）,所以甲勝的概率為:，所以游戲3是不公平的.]

二、填空題

3.某工廠為了節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1000度，按照上個(gè)月的用電記錄，在

30天中有12天的用電量超過指標(biāo)，若這個(gè)月（按30天計(jì)）仍沒有具體的節(jié)電措施，則該月的

第一天用電量超過指標(biāo)的概率約是.

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【答案】0.4[由頻率的定義可知用電量超過指標(biāo)的頻率為而=0.4,由頻率估計(jì)概率知

第一天用電量超過指標(biāo)的概率約是0.41

三、解答題

4.某教授為了測(cè)試貧困地區(qū)和發(fā)達(dá)地區(qū)的同齡兒童的智力出了10個(gè)智力題,每個(gè)題10分,

然后做了統(tǒng)計(jì)，下表是統(tǒng)計(jì)結(jié)果：

貧困地區(qū)

參加測(cè)試的人數(shù)3050100200500800

得60分以上的人數(shù)162752104256402

得60分以上的頻率

發(fā)達(dá)地區(qū)

參加測(cè)試的人數(shù)3050100200500800

得60分以上的人數(shù)172956111276440

得60分以上的頻率

（1）利用計(jì)算器計(jì)算兩地區(qū)參加測(cè)試的兒童中得60分以上的頻率（結(jié)果精確到0.001）；

（2）求兩個(gè)地區(qū)參加測(cè)試的兒童得60分以上的概率.

【答案】[M]（