專題01等腰三角形的定義、性質(zhì)與判定(原卷版+解析)(重點(diǎn)突圍)

專題01等腰三角形的定義、性質(zhì)與判定【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一等腰三角形的定義】 1【考點(diǎn)二根據(jù)等邊對(duì)等角求角度】 2【考點(diǎn)三根據(jù)三線合一求解】 5【考點(diǎn)四格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形】 7【考點(diǎn)五求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形】 10【考點(diǎn)六等腰三角形的性質(zhì)與判定】 12【考點(diǎn)七等邊三角形的性質(zhì)與判定】 16【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 19【典型例題】【考點(diǎn)一等腰三角形的定義】例題：（2022春·江蘇·八年級(jí)期中）已知等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是7和3，則此三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】17【分析】分兩種情況討論：當(dāng)3是腰時(shí)或當(dāng)7是腰時(shí)，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析求解即可．【詳解】解：當(dāng)3是腰時(shí)，則，不能組成三角形，應(yīng)舍去；當(dāng)7是腰時(shí)，則三角形的周長(zhǎng)是．故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·吉林·八年級(jí)期末）若等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)分別為2和5，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】12【分析】分2是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解即可．【詳解】解：①2是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、5，∵，∴此時(shí)不能組成三角形，②2是底邊長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為2、5、5，此時(shí)能組成三角形，∴周長(zhǎng)．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是12．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意，正確分情況討論是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知是等腰三角形，若，則的頂角度數(shù)是______．【答案】或【分析】分是頂角和底角兩種情況討論，即可解答．【詳解】解：當(dāng)是頂角時(shí)，的頂角度數(shù)是；當(dāng)是底角時(shí)，則的頂角度數(shù)為；綜上，的頂角度數(shù)是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，此類題目，關(guān)鍵在于要分情況討論．3．（2022春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┮阎粋€(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為9cm，5cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____cm．【答案】23或19【分析】分9cm是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系討論求解．【詳解】解：①若9cm是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊分別為9cm、9cm、5cm，，能組成三角形，周長(zhǎng)（cm），②若9cm是底邊長(zhǎng)，則三角形的三邊分別為9cm、9cm、5cm，，能組成三角形，周長(zhǎng)（cm）．綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為23或19cm．故答案為：23或19．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，難點(diǎn)在于分情況討論并利用三角形三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．【考點(diǎn)二根據(jù)等邊對(duì)等角求角度】例題：（2022春·遼寧大連·八年級(jí)期末）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交直線于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是______°．【答案】60【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，利用等邊對(duì)等角求出答案．【詳解】解：由題意得，在中，，，∴，∴，故答案為：60．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角求角度，正確理解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（北京市朝陽(yáng)區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，平分，則_____________．【答案】36【分析】設(shè)的度數(shù)為x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到由三角形外角性質(zhì)得到，再由角平分線定義得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為，解出x即可．【詳解】解：設(shè)的度數(shù)為x，，平分，，，解得：，．故答案為：36．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)位置關(guān)系將各角的的大小表示出來(lái)．2．（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在中，，，則的外角_____°．【答案】100【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，繼而利用三角形外角性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的定義，掌握等邊對(duì)等角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·上海虹口·八年級(jí)?？计谥校┤绻切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一個(gè)“倍角三角形”．如果一個(gè)倍角三角形是一個(gè)等腰三角形，那么它的頂角的度數(shù)是____________．【答案】或##36°或90°【分析】分兩種情況：當(dāng)頂角是底角的2倍時(shí)和當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，列出方程，計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)頂角是底角的2倍時(shí)，設(shè)頂角為，則底角為，∴，解得：，當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，設(shè)頂角為，則底角為，∴，解得：，綜上所述，它的頂角的度數(shù)是或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的定義、解一元一次方程，解本題的關(guān)鍵在分情況討論思想的應(yīng)用．【考點(diǎn)三根據(jù)三線合一求解】例題：（2021春·福建福州·八年級(jí)校考期末）如圖，在等腰中，，為上一點(diǎn)，且，若，，則的長(zhǎng)是______．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)含度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，在等腰中，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了含度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握含度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，．若，則_____．【答案】6【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得即可．【詳解】解：，，．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，即在等腰三角形中，頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合，就叫三線合一，熟練掌握和運(yùn)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校階段練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)，在邊上，，若，則______．【答案】【分析】作于，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，在中由得到，則根據(jù)在直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得，然后計(jì)算即可．【詳解】解：作于，如圖，，，在中，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和含度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù)．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．3．（2021春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，且，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】1【分析】過(guò)點(diǎn)A作于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出．由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出，那么．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于E，又∵，，∴．在直角中，∵，，∴，∴，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線求出與是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形】例題：（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)期末）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上．(1)在圖①中畫(huà)出一個(gè)以為腰的等腰直角三角形；(2)在圖②中畫(huà)出一個(gè)以為底的等腰三角形，其面積為_(kāi)_____．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2)作圖見(jiàn)解析，．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可作圖；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可作圖，利用矩形面積減去三個(gè)小的直角三角形面積即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：為所求（2）解：如圖所示：為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·福建莆田·八年級(jí)校考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，已知點(diǎn)，點(diǎn)均為格點(diǎn)．按下列要求作圖，使得每個(gè)圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)請(qǐng)?jiān)趫D①中，畫(huà)出以AB為一邊的等腰直角；(2)請(qǐng)?jiān)趫D②中，畫(huà)出以AB為腰的等腰（必須是與上題形狀不相同的三角形）；(3)請(qǐng)?jiān)趫D③中，畫(huà)出以AB為底的等腰．【答案】(1)圖形見(jiàn)解析(2)圖形見(jiàn)解析(3)圖形見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的定義，作出圖形即可；（2）根據(jù)等腰三角形的定義，作出圖形即可；（3）根據(jù)等腰三角形的定義，作出圖形即可；【詳解】（1）如圖，為所求作的三角形；；（2）如圖，為所求作的三角形；；（3）如圖，為所求作的三角形．；【點(diǎn)睛】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰三角形判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【考點(diǎn)五求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形】例題：（2022春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在的網(wǎng)格中，每個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知圖中，兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中再尋找另一個(gè)格點(diǎn)，使成為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)有（

）個(gè)．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可解答．【詳解】解：如圖所示：分三種情況：①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交網(wǎng)格線的格點(diǎn)為，，②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交網(wǎng)格線的格點(diǎn)為，，③當(dāng)時(shí)，作的垂直平分線，交網(wǎng)格線的格點(diǎn)為，，，，綜上所述：使成為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，根據(jù)題意，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，2），點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，若以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有（

）個(gè)．A．5 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】分別以點(diǎn)O、A為圓心，以O(shè)A的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P的位置．【詳解】解：如圖，以點(diǎn)O、A為圓心，以O(shè)A的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧與坐標(biāo)軸有6個(gè)交點(diǎn)，OA的垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有2個(gè)，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P有8個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更簡(jiǎn)便．2．（2022春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】分AB為腰和為底兩種情況考慮，畫(huà)出圖形，即可找出點(diǎn)C的個(gè)數(shù)．【詳解】解：如下圖：當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作圓，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有2個(gè)；當(dāng)AB為底時(shí)，作AB的垂直平分線，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有1個(gè)，所以點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為：2+1=3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，能分以AB為底和以AB為腰兩種情況，并畫(huà)出圖形是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)六等腰三角形的性質(zhì)與判定】例題：（2022春·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，在中，，于點(diǎn)D．(1)若，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E在邊上，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到的度數(shù)即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，等量代換得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵于點(diǎn)D，∴，，又，∴；（2）∵于點(diǎn)D，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三線合一的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，，，．(1)求證：；(2)過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F交直線于點(diǎn)M，連接，判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)；理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，得出，根據(jù)，得出，證明，即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，求出，證明，得出，即可得出．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，，又∵，∴，∴．（2）解：；理由如下：過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，如圖所示：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，垂線的定義，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明．2．（北京市朝陽(yáng)區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）在中，是邊的中線，E是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)F．(1)如圖①，判斷的形狀并證明；(2)如圖②，，①補(bǔ)全圖形；②用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)等腰三角形，理由見(jiàn)解析(2)①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析，②，理由見(jiàn)解析．【分析】(1)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可推導(dǎo)出，即可得到是等腰三角形．(2)過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，利用已知條件和等腰三角形的性質(zhì)可得到，，．繼而可證得，即可推導(dǎo)出，所以．【詳解】（1）等腰三角形．證明：∵，是邊的中線，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴是等腰三角形．（2）①補(bǔ)全圖形．②之間的數(shù)量關(guān)系是．證明：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H．∵，是邊的中線，，∴，．∴．∵，∴．∴．∴．在中，，∴．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，做出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七等邊三角形的性質(zhì)與判定】例題：（2022春·福建福州·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)M在的平分線上，連接，且．①求證：是等邊三角形；②的值是否為定值，如果是，請(qǐng)求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)6(2)①見(jiàn)解析；②6【分析】（1）首先求出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出；（2）①作于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，首先得出，再證明，推出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；②在上截取，連接，先證明是等邊三角形，再由是等邊三角形，證明，得出，進(jìn)而得出．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴的長(zhǎng)是6．（2）①證明：如圖1，作于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∴，∵點(diǎn)M在的平分線上，°，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴是等邊三角形．②解：的值為定值，如圖2，在上截取，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴這個(gè)定值為6．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，已知P是等邊中邊上一點(diǎn)，(1)過(guò)點(diǎn)P作，求證：為等邊三角形；(2)連接，以P為頂點(diǎn)作，交的外角平分線于點(diǎn)Q，連接，那么是什么特殊三角形？證明你的結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)是等邊三角形，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由是等邊三角形得，再由得，即可證明結(jié)論成立；（2）證明，得，再由，即可證明為等邊三角形．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴為等邊三角形；（2）解：是等邊三角形，理由如下：∵是等邊三角形，為等邊三角形，∴，，，∴，∴，∵，平分的外角，∴，∵，，∴∴，∴，∵，∴為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)、外角定義、全等三角形的判定及性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期中）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是，則這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分兩種情況討論，當(dāng)?shù)慕鞘堑捉菚r(shí)和當(dāng)?shù)慕鞘琼斀菚r(shí)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：當(dāng)?shù)慕鞘堑捉菚r(shí)，三角形的底角就是；當(dāng)?shù)慕鞘琼斀菚r(shí)，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得底角是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論的思想分析問(wèn)題是解題關(guān)鍵．2．（2022·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，則三角形的周長(zhǎng)為（）A．1 B．1 C．1或 D．1【答案】C【分析】分是腰長(zhǎng)和底邊兩種情況討論求解．【詳解】解：是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為、、，能組成三角形，周長(zhǎng)為，是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為、、，能組成三角形，周長(zhǎng)為，綜上所述，此三角形的周長(zhǎng)是或．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論．3．（2022春·河北邯鄲·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，平分，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：三線合一即可知【詳解】∵，∴是等腰三角形，且平分，∴，，∴，∴，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)：三線合一求解，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵4．（2022·浙江溫州·溫州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，已知，，則的面積為（

）A．7 B．14 C．21 D．28【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，根據(jù)，，得到，結(jié)合，得到，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，得到，代入面積公式計(jì)算即可．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，得到，所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一，角的平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)南師附中新城初中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】分三種情況分別畫(huà)出圖形，如圖，以為腰，為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形；以為腰，為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形；以為底邊，為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形；從而可得答案．【詳解】解：如圖，以為腰，為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形有以為腰，為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形有，以為底邊，為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形有，其中是等邊三角形，∴符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有6個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的定義，等邊三角形的判定，做到不重復(fù)不遺漏的得到點(diǎn)P是解本題的關(guān)鍵．6．（2022春·湖北黃岡·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知中，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，且滿足；過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)F，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【分析】由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于，角的平分線的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴是等腰三角形，是等腰三角形，∵平分，∴，∴，即是等腰三角形，∴，∴，即是等腰三角形，∵，∴，∴，即是等腰三角形，，即是等腰三角形，∵，∴，即是等腰三角形∵，∴，即是等腰三角形，故圖中等腰三角形有8個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角相等是本題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022春·浙江·八年級(jí)期中）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為_(kāi)_．【答案】或##或【分析】首先要進(jìn)行分析題意，“等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角”沒(méi)明確是頂角還是底角，所以要分兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】本題分兩種情況，①當(dāng)角為頂角時(shí)，頂角的度數(shù)為，②當(dāng)角為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為；∴這個(gè)等腰三角形的頂角為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（2022春·廣東東莞·八年級(jí)東莞市厚街海月學(xué)校校考期中）一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為，已知一邊為3，則它的另兩邊長(zhǎng)分別為_(kāi)_______．【答案】6，6【分析】當(dāng)?shù)妊切蔚牡走厼?時(shí)，腰為：，根據(jù)，得滿足三角形三邊關(guān)系，當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，底邊為：，根據(jù)得不滿足三角形三邊關(guān)系，綜上，即可得．【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切蔚牡走厼?時(shí)，腰為：，∵，，∴滿足三角形三邊關(guān)系，當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，底邊為：，∵，∴不滿足三角形三邊關(guān)系，綜上，另兩邊長(zhǎng)分別為6，6，故答案為：6，6．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．9．（2022春·福建泉州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)，是小正方形的頂點(diǎn)，如果點(diǎn)是小正方形的頂點(diǎn)，且使是等腰三角形，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________．【答案】8【分析】分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可解答．【詳解】解：如圖：分三種情況：當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交小正方形的格點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作圓，交小正方形的格點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，作的垂直平分線，交小正方形的格點(diǎn)為，，,；綜上所述：是等腰三角形，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)為8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，平分交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】10【分析】首先根據(jù)勾股定理求得斜邊的長(zhǎng)度，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)來(lái)求的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，在中，，由勾股定理知：，∵，平分交于點(diǎn)，∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和等腰三角形三線合一，解決本題的關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．11．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）在如圖所示的方格紙中，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A坐標(biāo)為，則________，若是以為腰的等腰三角形，點(diǎn)B為格點(diǎn)且點(diǎn)B在x軸上，則滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】

5

【分析】過(guò)A作軸于H，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再分別討論、的各種情況，即可得出答案．【詳解】解：過(guò)A作軸于H，則，在中，；設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，①若，∵，∴，則點(diǎn)；②若，即，∴，則點(diǎn)；∴符合條件的B點(diǎn)的坐標(biāo)為：．故答案為：5；．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握為等腰三角形時(shí)，那么任意一組鄰邊可為腰，注意分情況討論．12．（2022春·河南平頂山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，B、C、D在同一直線上，，，于O，，P為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不包括D、B），當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】3或或13【分析】根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求出和的長(zhǎng)，分三種情況，根據(jù)勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵，∴，在中，，∴，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在中，，即，解得，，則，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，是等腰三角形時(shí)，線段DP的長(zhǎng)度為3或或13．故答案為：3或或13．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么．三、解答題13．（2022春·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，平分，交于點(diǎn)D，E為中點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)54°【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得出，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的判定解答即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可．【詳解】（1）∵，∴．∵平分，∴，，∴，即是等腰三角形；（2）∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、E、F均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中畫(huà)圖，所畫(huà)圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，不要求寫(xiě)畫(huà)法．(1)在圖①中以線段為一腰畫(huà)一個(gè)等腰銳角三角形；(2)在圖②中以線段CD為底畫(huà)一個(gè)等腰直角三角形；(3)在圖③中畫(huà)等腰鈍角三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫(huà)出圖形即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的定義畫(huà)出圖形即可；（3）根據(jù)等腰鈍角三角形的定義畫(huà)出圖形即可．【詳解】（1）解：如圖1中，或即為所求作，由勾股定理可知：，由圖可知：，，即或都是滿足條件的等腰三角形；（2）解：如圖②中，或即為所求作，由圖知：，，，或都是滿足條件的等腰直角三角形；（3）解：如圖③中，為所求作，如圖：，且，是等腰鈍角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．15．（2022春·河南周口·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，D，E分別在上，．(1)求證：是等腰三角形；(2)延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接，判定的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)是等腰三角形，見(jiàn)解析【分析】（1）先證明是等腰三角形，再根據(jù)證明即可；（2）先根據(jù)是等腰三角形得到四邊形是等腰梯形，進(jìn)而得到，，再根據(jù)證明，進(jìn)而可得出是等腰三角形．【詳解】（1）∵，∴是等腰三角形，∵，∴是等腰三角形．（2）∵，∴，∵是等腰三角形，∴四邊形是等腰梯形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．（2021春·陜西安康·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在中，的平分線交于點(diǎn)D，．(1)如圖1，求證：是等腰三角形；(2)如圖2，若平分交于E，，在邊上取點(diǎn)F使，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，即可證明是等腰三角形；（2）先根據(jù)，平分，可證，進(jìn)而得出；作于點(diǎn)G，根據(jù)等腰三角形三線合一可得，再證，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：平分，，，，，，是等腰三角形；（2）解：，，，平分，，，，如圖，作于點(diǎn)G，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，難度一般，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)．17．（北京市海淀區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷）已知在中，，且=．作，使得．(1)如圖1，若與互余，則=__________(用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若與互補(bǔ)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：；(3)若由與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論數(shù)．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)與相等或互補(bǔ)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等得，根據(jù)與互余得，由即可求出的度數(shù)；（2）作根據(jù)AAS證明≌,則，由等腰三角形三線合一可得，因此，問(wèn)題得證；（3）由與的面積相等得高相等.情況①：作于,于,根據(jù)可得≌，則可得=；情況②:是鈍角三角形，作于，作垂直于的延長(zhǎng)線于，根據(jù)可得≌，則可得，由于與互補(bǔ)，因此與互補(bǔ)．【詳解】（1）解：中，，且=,

．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于E點(diǎn)，中，，，，中，，，,=，

．在和中，,,，∴≌，

∴，

∴．（3）①如圖，作于，于，∵與的面積相等，∴，又∵,∴≌(HL)∴即=

②如圖，作于，作垂直于的延長(zhǎng)線于．則．∵，，∴，∵與的面積相等，∴．∴≌．∴．，∴，綜上，與相等或互補(bǔ)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，綜合能力較強(qiáng)，有一定難度.熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2022春·江蘇·八年級(jí)期中）在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，將沿翻折后得到，邊交線段于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)，時(shí)．和有怎樣的位置關(guān)系，為什么？若，，求線段的長(zhǎng)．(2)如圖2，若，折疊后要使和，這兩個(gè)三角形其中一個(gè)是直角三角形而另一個(gè)是等腰三角形．求此時(shí)的度數(shù)．【答案】(1)，見(jiàn)解析；(2)的值為【分析】（1）由折疊可知，，由平行可知，，根據(jù)三角形內(nèi)角和得到，再由，利用等量代換可求，即可求解；設(shè)，則，在Rt中，，解得：，設(shè)，由折疊可知，，則，在Rt中，，解得：，即可求解；（2）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)此時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)不成立．【詳解】（1）解：，理由如下：由折疊可知，，，，，，，，，，；設(shè)，則，由折疊可知，，在Rt中，，，解得：，，設(shè)，由折疊可知，，則，在Rt中，，，解得：，即；（2）解：，設(shè)，則，由折疊可知，，當(dāng)時(shí)，是直角三角形則是等腰三角形，，；當(dāng)時(shí)，是直角三角形，則是等腰三角形，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)此時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，是直角三角形，此時(shí)不能是等腰三角形，否則與邊沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是直角三角形，則是等腰三角形，所以，所以；此時(shí)，與題意不符合，不成立；當(dāng)時(shí)，是直角三角形，則是等腰三角形，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不成立．綜上所述，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．19．（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期末）等邊三角形中，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與、不重合，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．試確定與的數(shù)量關(guān)系．【特例研究】(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)判斷線段與的數(shù)量關(guān)系：（填“”“”或“”，并說(shuō)明理由；【一般探索】(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系；若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】(3)在等邊三角形中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)當(dāng)點(diǎn)為上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)，三線合一性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，計(jì)算說(shuō)明即可．（2）過(guò)作交于，證明是等邊三角形，即可證明．（3）過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，證明是等邊三角形，即可證明．【詳解】（1），理由如下：為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，平分，，，，，，，，，，故答案為：．（2）當(dāng)點(diǎn)為上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論成立，理由如下：如圖②，過(guò)作交于，是等邊三角形，，，，，即，是等邊三角形，，，，，，，，在和中，，，，．（3）如圖③，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，則為等邊三角形，，，，，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．專題01等腰三角形的定義、性質(zhì)與判定【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一等腰三角形的定義】 1【考點(diǎn)二根據(jù)等邊對(duì)等角求角度】 2【考點(diǎn)三根據(jù)三線合一求解】 5【考點(diǎn)四格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形】 7【考點(diǎn)五求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形】 10【考點(diǎn)六等腰三角形的性質(zhì)與判定】 12【考點(diǎn)七等邊三角形的性質(zhì)與判定】 16【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 19【典型例題】【考點(diǎn)一等腰三角形的定義】例題：（2022春·江蘇·八年級(jí)期中）已知等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是7和3，則此三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·吉林·八年級(jí)期末）若等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)分別為2和5，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．2．（2022春·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知是等腰三角形，若，則的頂角度數(shù)是______．3．（2022春·江蘇蘇州·八年級(jí)校考期中）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為9cm，5cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____cm．【考點(diǎn)二根據(jù)等邊對(duì)等角求角度】例題：（2022春·遼寧大連·八年級(jí)期末）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交直線于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是______°．【變式訓(xùn)練】1．（北京市朝陽(yáng)區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，平分，則_____________．2．（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在中，，，則的外角_____°．3．（2022春·上海虹口·八年級(jí)?？计谥校┤绻切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一個(gè)“倍角三角形”．如果一個(gè)倍角三角形是一個(gè)等腰三角形，那么它的頂角的度數(shù)是____________．【考點(diǎn)三根據(jù)三線合一求解】例題：（2021春·福建福州·八年級(jí)校考期末）如圖，在等腰中，，為上一點(diǎn)，且，若，，則的長(zhǎng)是______．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，．若，則_____．2．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校階段練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)，在邊上，，若，則______．3．（2021春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，且，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【考點(diǎn)四格點(diǎn)圖中畫(huà)等腰三角形】例題：（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)期末）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上．(1)在圖①中畫(huà)出一個(gè)以為腰的等腰直角三角形；(2)在圖②中畫(huà)出一個(gè)以為底的等腰三角形，其面積為_(kāi)_____．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·福建莆田·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，已知點(diǎn)，點(diǎn)均為格點(diǎn)．按下列要求作圖，使得每個(gè)圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)請(qǐng)?jiān)趫D①中，畫(huà)出以AB為一邊的等腰直角；(2)請(qǐng)?jiān)趫D②中，畫(huà)出以AB為腰的等腰（必須是與上題形狀不相同的三角形）；(3)請(qǐng)?jiān)趫D③中，畫(huà)出以AB為底的等腰．【考點(diǎn)五求與圖形中任意兩點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形】例題：（2022春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在的網(wǎng)格中，每個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知圖中，兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中再尋找另一個(gè)格點(diǎn)，使成為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)有（

）個(gè)．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，2），點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，若以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有（

）個(gè)．A．5 B．6 C．8 D．92．（2022春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)六等腰三角形的性質(zhì)與判定】例題：（2022春·江蘇·八年級(jí)期末）如圖，在中，，于點(diǎn)D．(1)若，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E在邊上，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，，，．(1)求證：；(2)過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F交直線于點(diǎn)M，連接，判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．（北京市朝陽(yáng)區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）在中，是邊的中線，E是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)F．(1)如圖①，判斷的形狀并證明；(2)如圖②，，①補(bǔ)全圖形；②用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【考點(diǎn)七等邊三角形的性質(zhì)與判定】例題：（2022春·福建福州·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)M在的平分線上，連接，且．①求證：是等邊三角形；②的值是否為定值，如果是，請(qǐng)求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知P是等邊中邊上一點(diǎn)，(1)過(guò)點(diǎn)P作，求證：為等邊三角形；(2)連接，以P為頂點(diǎn)作，交的外角平分線于點(diǎn)Q，連接，那么是什么特殊三角形？證明你的結(jié)論．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期中）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是，則這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)是（

）A． B． C．或 D．或2．（2022·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，則三角形的周長(zhǎng)為（）A．1 B．1 C．1或 D．13．（2022春·河北邯鄲·八