高中數(shù)學總復習-解題方法

思維方法?類比法

類比是通過兩個（或兩類）對象的比較，找出它們在某一方面（特征、屬性和

關(guān)系）的類似點，從而把其中一對象的其他有關(guān)性質(zhì)，移植到另一對象中去.因

此，類比推理是從特殊到特殊的思維方法.

在解析兒何中，類比法是編制新命題、發(fā)現(xiàn)新定理以及開拓解題思路的重要

方法.

解析幾何的研究對象是直線、圓和圓錐曲線，因此，在圓、橢圓、雙曲線、

拋物線之間相互類比，是類比推理的主要內(nèi)容.

例1對圓片+盧r'，由直徑上的圓周角是直角出發(fā)，可得：若AB是。。的

直徑，M是。0上一點（異于A、

是否有類似的結(jié)論？

KM1Mfli-iX設(shè)出劇43+《=1的直徑，&坐

標分別為（x”y）、（-X”-y.）,又設(shè)點M（x0,y°）是這個橢圓上一點，且x°

W±x”貝ij

l

XL

5ub1

h

o

以上兩式相減，得

?b10

從而工.生口?_4，

*>i?b-?ia

即k1ML?k|Q=-了①

同理，若AB是雙01線號-5=尚直徑.皿雙曲線上一點國

k|?L*k.=y.②

于是①、②兩式就是橢圓、雙曲線與圓類似的結(jié)論.

【解說】(1)與圓類似，連結(jié)圓錐曲線上兩點的線段叫做圓錐曲線的弦，

過有心曲線(橢圓、雙曲線)中心的弦叫做有心曲線的直徑；

(2)因為拋物線不是有心曲線，所以拋物線沒有與圓的這個性質(zhì)相類似的結(jié)

論.

州期制第田硒8,顯BJMiH上兩點.

且M1OB,我備十備'弓-―那冽砒線±*=1(0

<aVb)類似的命題是什么？

【分析】由習題1.1第5題，我們知道了橢圓這個命題的證明方法，用

類似的方法，我們來尋找雙曲線的有關(guān)命題.比較兩個標準方

祗曲耀，板曲線有曲+曲

KM1設(shè)樂8是雙曲線f-g=l(P<a<b)上一點，且3OB.又設(shè)

A.刖為|OA|ana).qOB|coX<li^),|OB|an

0±+k》，剜

4

吟&駕票J,從而

&O

1co^aan1a

麗—

,兀，兀

ic4(a±-z-)?(ai-7)

|OBpaabJ

.1srin'aco*3a

即畫廠7s—k②

由①+②，得

1111

兩■'畫廠了下

于是，我們得到與橢圓類似的正確命題：

若A,B是雙曲線4-§=l(0<a<b)上網(wǎng)點，flAOlOB,J?

ab

11I1

習題1.4

1.對圓x2+y2=r2,由過弦AB(非直徑)中點M的直徑垂直于此

弦，可神&?匕那么對1通3*%=1(8>?(9?雙曲線

%-*=1(a>0,b>0)類似的結(jié)果是什么？并證明你的結(jié)論.

2.對命題?已知懦國亍*入紡”

<1),一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點，則|AB|=|CD|.雙曲線類

似的命題是什么？并加以證明.

習題L4答案或提示

1.若AB是橢圓、雙曲線的弦(非直徑)，M是AB的中點，則對

2.已岫線今-左=l(a>0,b>旃捺-g=A8<KD.

一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點,則|AB|=|CD|.

思維方法-求異思維

所謂求異思維是一種不依常規(guī)、尋求變異、從多方面探索答案的思維形式.求

異思維又叫發(fā)散思維，它具有不落俗套、標新立異、不拘一格的特點.因此，用

求異思維解題有利于培養(yǎng)思維的多向性、靈活性和獨特性.

在平面解析幾何中，培養(yǎng)學生的求異思維能力，要注意以下幾個方面.

(一)變換思維方向

解證解析兒何習題，常常會出現(xiàn)“思路自然、運算麻煩”的局面，甚至會到

“山窮水盡疑無路”的地步.這時，若能變換思維角度，多方位思考，多渠道辟

徑，就會超過思維障礙，呈現(xiàn)“柳暗花明又一村”的美景.

例1已知點A(l,-1)、B(7,2),以A為圓心、8為半徑作。A,以B為圓

心，6為半徑作。B,求這兩個圓外公切線交點P的坐標.

【分析】如圖1—4.解本題的自然思路是，先求出兩條外公切線的方程,

再解方程求出交點坐標.但這種解法是入手容易出手難，由于運算量過大，使思

維陷入困境.如果能換一個角度思考，聯(lián)想到公切

線的交點毋在心線上，8Pp.B.AH點共線.且疆即兩同半

徑之比)，那么便可用線段定比分點公式，使問題獲得巧解.

【解】如圖1-4,設(shè)M、N是一條外公切線與兩個圓的切點，連結(jié)AB、BP,

則A、B、P三點共線，再連結(jié)AM、BN,則AMLMP、BN±MP.

,BN//AM.

|PB||BN|63

從而

-B--P-———3

PA4

設(shè)點P的坐標為(x,y),則由線段定比分點公式，得

j-=25t

3

2-TX(-D

故點P的坐標為(25,11).

例2如圖1一5,直線y=kx+b與圓妙+產(chǎn)1交于B、C兩點，與雙曲線x=y2=l

交于A、D兩點，若B、C恰好是線段AD的三等分點，求k與b的值.

【分析】如圖1—5,解本題的自然思路是，由|AB|=|BC|=|CD|入手，先

計算出|AB|、|BC|、|CD|(即用k、b表示)，然后解方程組求得k、b的值.但由

于線段AB、CD的端點不在同…曲線上，從而上述解法運算相當麻煩.如果變換

思考角度，由|AB|=|CD|出發(fā)，可得線段BC與AD的中點重合，進而可用韋達定

理，列出k、b的一個關(guān)系式，再

由|Bq=*AD],可求出匕訥值.

【解】如圖1—5,把丫=1^+1)代入必-產(chǎn)1中，整理，得

(1+k)x2+2bkx+b2-l=0

從而由韋達定理，得

十』=

把y=kx+b代入xJy2=l中，整理，得

(l-k2)x2-2bkx-(b2+l)=0

②

2bk

|AB|=jCD|,

，AD與BC的中點重點.

?

22

V

解之，得k=0或b=0.

當k=0時,方程①化為x2=l+,

X=±7t-b\TJ||Bq=2Vl-ba.

方為r=[+『，"=*Vl*b\

于追AD|=2后戶

由已知,鐲Bq=；|AD|,,-.2jTbT=|jl+ba.

解之,斜二士竽.

同理，當b=OBtk=土竿.

故k=0.b=*或卜=tb=0.

（二）一題多解

在解析兒何中，進行一題多解訓練是培養(yǎng)求異思維能力的一種極好形式.

例3已知直線1過坐標原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸

上，若點A(T,0)和點B(0,8)關(guān)于1的對稱點都在C上，求直線1和拋物線C

的方程.(1994年全國高考理科試題)

【分析11設(shè)直線1的方程為y=kx,拋物線C的方程為y2=2px(p>0),先

求出A、B關(guān)于1對稱的點A，、B'的坐標(用k表示)，再代入拋物線C的方程

中，可得k、p的方程組，最后解方程組即可.

【解法1】如圖1—6.由已知可設(shè)拋物線C的方程為

y2=2px(p>0).

圖1-6

由于直線1不與兩坐標軸重合，故可設(shè)1的方程為

y=kx(kW

0).①

設(shè)A'、B，分別是A、B關(guān)于1的對稱點，則由A，AL1可得直線AA'的

方程為

y=-^(x+l)②

將①、②聯(lián)立，解得線段AA'的中點M的坐標為

于是，由中點坐標公式，可得點A'的坐標為(昌三,一鬲上

同理，點B，的坐標為^.節(jié)譽

分別把A'、B，的坐標代入拋物線C的方程中，得

[2k_2p0?-p

JPT?ka+i⑷

8（k,-Dp2P?16k/

-"STTT?

由③?④，消去p,整理，得

k2-k-l=0.

⑤

又由④知k>

）.

⑥

于?ff?.?,=

妃―竽代入③中，轄

24

P=-?

故直緯的方程為了二孥*,鶴線C的方程為

345

，=-M-

【分析2】如圖1—7,設(shè)直線1的傾斜角為a,則1的斜率為

1T

k=iga.由對淵珈NA，8,=—,從而利用三角豳數(shù)的定義，可

用a的三角函數(shù)表示點A'、B，的坐標，再把這些坐標用k表示，以下同

解法1.

5法21JrtHi-7,設(shè)直線I的假角為,a#Q).則

1的斜率為k.

,.,|0A,|=|OA|=1,

|OBZ|=|0B|=8,NxOA'=-(n-2a),

,.JT兀7T

NeB--5--2(--<1)=20,

由三角函數(shù)的定義，得A'的坐標為

/

xA=10A'\cosZxOA=-cos2a,

I--ak2-1

__1+i82a\+d，

,z

yA=|OA|sinZxOA=-sin2a

2tg。2k.

l+1al+H

?,16k

xB=|OB|c<wZxOB=8?n2G=

7=|OBZ|?fiZxOBJ=8(-?^20)二3).

B唱

以下同解法1,從略.

8你1*881-7,設(shè)N1OBj=8,UZBCML/=e-^

又IOB，1=8,|OAZ|=b從而此題可設(shè)極坐標方程去解.

【解法3】如圖1—7,以0為極點，Ox為極軸建立極坐標系，把-Pcos

0代入方程y-2px(p>0)中，得拋物線的坐標方程為

加0*8

P

面’8

由已知可設(shè)點B'的極坐標為(8,a)、A'的極坐標為(1,

a-2，把它們分別3地線方程中，.

2k>cosd一

anaa_8*

兀

2pc*Q--)

4

,兀

-年)

4

pcosU=4An'a.

V

2paa<l=cos"。.

梢卻，器g、a=5，二姐。=J，

O/

又0<a<2，，而。=§.c<?a

*■JJ

?而4dna2#

從而P=G.可

直線1平分NBOB',

直哪制角為1+；弓-9=梟+0.

兀

17TLc?(a+—)

[3a+北--------

“?.彳)

l-t-aoa/+i

=一■■------------

83a2

故直緯的方程為‘二爭x,端線C的方程為力=華*.

期析41如BL7,礎(chǔ)峨I物河設(shè)其#數(shù)方ft為卜".

卜-2pt

BjeiftAJ(2Hb2pQ，B，(2pt：,gXhVQ)，再由|OA'|-L|OB1

=8,0A/_LOB'列出p、3、七的方程組，進而去求解.

MHI-7.謝I瞰妨翟為卜二于；9》辦

(y-2pt

發(fā)點A7.B，3標砌為(2pt；,率J.(2pt：,2^)(li<°).

,.'|0Az|=|OA|=1,|0B'|=|0B=8,

?'?(2f*：>+(2?9'=10

aa

(2pt?)+C2ptt)=??

又由OA'_LOB',得鼠、?嗑=-1,

即春,急=』

②+①，得字巨=64

把上式，整理，你；=言.

XtiV。.；工1=節(jié)

4

把它代入①中，ftp=^

這時，A'的坐標為（點，-喳.

從而k”.JF?

于伸k=-J-=”.

故直牌的方程為y="x,鶴線C的方程為/=華*.

【分析5】如圖1一7,由于|0A'|=1,|OB，|=8,NA'

N

OB'=y,0可考慮用復數(shù)法耳配

【解法5】如圖1一7.把直角坐標系視為復平面，設(shè)點A'

對應(yīng)的復數(shù)為勺+力「由|OA'|=L|OB,|=8/A'OB'W，

得點B'對應(yīng)的復數(shù)為(x,+yii)8i=-8yi+8x,i.

二點A，、Bz的坐標為

(Xi,y)、(-8y1,8x0.

把它們分別代入拋物線C的方程y2=2px(p>0)中，得

V?=2*?i①

由②+①，叫卬=曲，，"=2

即k0產(chǎn)-2,又|0A'|=1,

后26

■-J",力■——■

iWA0申,癡岑.

以下同解法4,從略.

[分析6]本題也可以把拋物線的參數(shù)方程與復數(shù)法結(jié)合起來去解.

MH1-7,設(shè)AjB'的坐標分別為你:，4Q.

刖，g).曼?由/4，8,=90*.|OA*|=l,|OB,1=麗復

數(shù)乘法的幾何意義，得

(2pt?+2ptli)?=2^+2ptai.

由復數(shù)相等的條件，得

-18C]=卻?,

消去P，解得tz=2.

從而B'的坐標為(8p,4p).

|0B"=J(8p)+(4p)'=8.

2

1"PF

?.?線段BB'的中點C的坐標為(4p,2p+4),

故直線I的方程為y=端端c的方程為r=華工

【分析7】在解法5中，利用復數(shù)乘法的幾何意義，發(fā)現(xiàn)了A，、B，坐標

之間的關(guān)系式，從而獲得簡解.如圖1—8,點B'與點A'的坐標關(guān)系也可用平

面幾何法得到.

【解法7】如圖1—8,作A'CLOx于C,B'DLOx于D.設(shè)A'、B'的

坐標分別為(x“yj、(x2,y2).

NB'OD+NA'0C=90°，

RtAA(COSRSODB'.

|0B1|0D[|BT|

joAj"jTq-"oc-

又|OA'|=1,|OB'|=8,

|0D|=8|AzC|,|B'D|=8|0C|.

于是X2=-8y”y2=8xl.

以下同解法5,從略.

【解說】本例給出了七種解法.解法1是本題的一般解法，它的關(guān)鍵是求

點A、B關(guān)于1的對稱點的坐標.解法2是三角法，它

TT

抓住=y,利用三角商數(shù)的定義去求AL的坐標.解

法3是極坐標法，巧妙利用了A'、B'的特殊位置.解法4是利用拋物線

的參數(shù)方程去解的.解法5和解法7是從尋找A'、B，的坐標關(guān)系式入手的，

分別用復數(shù)法和相似形法獲解.解法6把參數(shù)法與復數(shù)法結(jié)合起來，體現(xiàn)了思維

的靈活性.總之，本例運用了解析幾何的多種方法，是對學生進行求異思維訓練

的極好例題.

(三)逆向思維

在人們的思維活動中，如果把A-B的思維過程看作正向思維的話，那么就

把與之相反的思維過程B-A叫做逆向思維.

在平常的學習中，人們習慣于正向思維，而不善長逆向思維.因此，為了培

養(yǎng)思維的多向性和靈活性，就必須加強逆向思維訓練.在解題遇到困難時，若能

靈活地進行逆向思維，往往出奇制勝，獲得巧解.

在解析兒何中，培養(yǎng)學生逆向思維能力，要注意逆用解析式的兒何意義、逆

用曲線與方程的概念和逆用圓錐曲線的定義.

例4設(shè)a、b是兩個實數(shù)，A={(x,y)|x=n,y=na+b,nWZ},B={(x,y)|x=m,

y=3(m2+5),mWZ},C={(x,y)/+于忘144}是平面xOy內(nèi)的點焦，討論是否存

在a和b,使得：⑴ACBW。；(2)(a,b)6C.(1985年全國高考理科試題)

【解】由已知可得，a、b是否存在等價于混合組

{na4-b=%’+5)

是否有解.

W+bV+i

以上二式的兒何意義是：如圖1-9,在平面aO'b中，na+b=3(rf+5)是直

線，區(qū)+4忘144是圓面(即圓好+于=144的邊界及其內(nèi)部).因此，這個混合組有

解的充要條件是直線na+b=3(n%5)與圓^+￡=144有公共點，即圓心0'(0,

0)到這條直線的距離dW12.

從而與獸《⑵

即(n2+5)2^16(n2+l),

二n」6n49WO,

即5-3)2<0.

又(nT)。。,

n2=3.這與n是整數(shù)矛盾.

圖1-9

故滿足題中兩個條件的實數(shù)a、b不存在.

【解說】這種解法中，把混合組翻譯成兒何語言(直線和圓面是否有公共

點)就是解析法的逆向思維.教學實踐表明，學生普遍認為這種解法難想，其實,

“難就難在逆向思維”，普遍認為這種解法巧妙，其實，“巧就巧在逆向思維”.

習題1.2

22

1.已知圓C：(x+l)z+(y-2)2=4與圓G：(x-3)+(y-4)=25,求它們外公切

線交點P的坐標.

2.已知直線1過點P(l,4),求它在兩坐標軸正向截距之和最小時的方程.(要

求至少5種解法)

3.已知***+&=l(a>b>Q),A.B是*0上的網(wǎng)點，蝸AB

則-巴20〈巴士.

aa.

（要求至少4種證法）.（1992年全國高考理科試題）

4.長度為3的線段AB的兩端點在拋物線y2=x上移動，記線段AB的中點為

M,求點M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時點M的坐標.（要求至少4種解法）.（1987

年全國高考理科試題）

5.已知2a+3b=5,求證：直線ax+by-5=0必過一個定點.

6.+b^nB=qcoap聲5+亍&

2

F*?kA

EZ),--------1求由

2-----2

7.已知三個集合M={(x,y)|y2=x+l),S={(x,y)14x2+2x-2y+5=0},

P={(x,y)|y=ax+m}，問是否存在正整數(shù)a、m使得(MUS)CPR?(其中。表

示空集)

習題1.2答案或提示

i.式T，$.

2.<-J=l(a>0,b>0),第由P€L?+

abab

-1.ft%li由Tb=^">0.從lSa>l.a+b=(a-l)+

?(3+5=9.TJI當a=3,6=時.加

鋁，雌2.Km=a+b,癡…二，從

36a-1

式法可得m>9.解法3,由』+?=Lfl(a-l)%-4)=4,從而a+b?

&D

_________i4

(a-l)4-(b-4)4-5>27(a-0(b-^+5=9.雌4.a+b=(a+0(TQ

ao

=5+3工>5+2^?f=9,Wfe5,由2+：=t(40b>(0,Rlifc-

abVababa

4兀

=co?'0-=ritt36(0<6<—)JMa+b-sec30*4csc30-5*tgJ

9b2f

0+4d?ao>5+2jlgq8?4^8=9.

3.證法1：設(shè)A、B的坐標分別為(x”y)和(xz,臉,

1

■由己%I,由|PA|=1PB1,fftMt-Me)+yl=(Ka*yL

a

a：=F-Id，7：=F嗎-xg?yY)

Afl&：.

可??=幺尹?二再由-?“，叼<%且%人，?-2a<

JLA.

o+叼<2gE-二旦5<

aa

|PA|=r,則圓P的方程為（x-x>+y2=r2,與橢圓方程聯(lián)立，消去y,得

--2"--Zx+120+b'-r'=0,由韋達定理.得丐十!-.t

aa-b

證法羽設(shè)線段AB的中點醺工y)＜屯+鞏工-”,，-4,

把A、B的坐標代入橢圓方程中，后把所

舸期g咤竽.又由岫，哂±?3」.從國

=工+萼?之坦工又由可回結(jié)論.證法％設(shè)?國的

1K自動窗JP=-M(e'.p?j，MBfl瞠制冽為(P“g

i-eoosvac

)、(P”0J,點P的坐標為(t,0),則t=x°+c.由|PA|=|PB|,可得

P；-2Plta?8i=P：-2P；tco>ei”…<D.又由PL=Y7^i-，Pl

中

=Z~A，t=

l?ecosjePteP3

t=芷鏟2又言皿PS言做去y<芝工

即-=<!<=

aa

4.解法l：設(shè)A(*i，30,B(Z4>口)，兄兄=K(,y：=5由|AB|

3,+

=3^T^(y1-y1)[H-(jri+ya)]=9.設(shè)M(小力，fil?=|(?l?a)-x

44

(y?+力=/gF)’+(n+%)；+1-rJ'Kn%)'+il

-0=j-當刖小值:時為?.士號?解法2序捌武法.由

4442

|AB|=3#?=-(y?+^),可承小必下+2力以+9-2x-4x,■。.由4

>0,傅4-16(9-2?-4-)>0.所以《>。.懶三設(shè)M(M,，找直線AB

4

的參數(shù)方程為；；：:=；M/=卻孰小=暗月=~劭

.。="乙匕/，骷a怖'=：?"+武江加+4

915

O*777^-11>GQX3-D--.*?8(^，。,用由|AB|-3,硼

1/^y4q

AjfyJ+3co?9,y.+lsinB),所以力+五口曾，=y：+3cos。.從而加

3cos

S8=；10。-San30).軸也yXMx-y?*^co?8-

044

*9癡'0**-D*(2小?0?

5.逆用點在直線的概念，得定點為(2,3).

6.在直角坐標系中，由已知兩個等式可知，直線ax+by=c過點

豌的。，in8),B(coar.疝口■).又宜^AB的方程為~~-

K-co?8

手.即》?.^^+yrin，；2=81與上.于是.由網(wǎng)直線

g3”g3

重合的條件，可證得結(jié)論.

由刊蛾茄』+I與丁=W+工埒在布必

7.》刖為±1

和?，所以珀t(MUanP="又送N,版i-2.由

44

y=az+2J\

/…加,當A3-8a+l<0,aPaWl..l+?)

y■?*2.

味方程穌淵叫5U6N,故a=l.這時?方程統(tǒng)

廠2K

也無實數(shù)解.故a=l,m=2.

思維方法?分析綜合法

綜合法、分析法和分析綜合法是平面解析幾何中論證命題的基本方法.

從已知條件出發(fā)，運用學過的定義、公式、定理進行一步步地正確推理，最

后證得結(jié)論，這種論證命題的思維方法叫做綜合法.從命題的結(jié)論入手，尋找使

這個結(jié)論成立的充分條件，一直追溯到已知條件為止，這種論證命題的思維方法

叫做分析法.把分析法與綜合法結(jié)合起來去論證命題的思維方法叫做分析綜合

法，它是從一個命題的兩頭向中間“擠”，因此容易發(fā)現(xiàn)證題的突破口，收到事

半功倍的效果.

例1設(shè)A、B、C是雙曲線xy=l上的三點，求證：4ABC的垂心H必在此雙

曲線上.

【分析】如圖1-1,設(shè)H的坐標為(x0,%),要證H在此雙曲線上，即證

x<,yo=l.而H是兩條高AH與BH的交點，因此需求直線AH、BH的方程，進而從所

得方程組中設(shè)法推出x0y°=l.

【證明】如圖1—1,由已知可設(shè)A、B、C的坐標分別為(a,

卷)、Y-)-

..ji

,-一斤

k=-PT.

從而直線AH的方程為y，2=07（x?。）.

同電直線BHft方程為八千二丫用邛），

設(shè)點H的坐標為（x0，y?），則

y.-=PT(?o-a)①

y.-j-=7tt(Io-p)

由①式左乘②式右及①式右乘②式左，得

。7（%-白吸邢）=07（%母&-S，

化簡可得xoy（>（a-3）=a-g.

aWB,Xoy0=l.

故H點必在雙曲線xy=l上.

【解說】本證法的思考過程中，從分析法入手，得出證點H在雙曲線xy=l

上就是證x°y0=l.這為綜合法證明此題指明了目標.在用綜合法證明的過程中，

牢牢抓住這個目標，去尋找X。、%的關(guān)系式，用式子①與②相乘，巧妙地消去參

數(shù)a、B、Y,得到x°y°=l.從而避免了解方程的麻煩，提高了解題速度.

例2在直角坐標系xOy中，已知Ai（x“仕）、Az（x”yz）是單位圓x2+yF內(nèi)

任兩點，設(shè)點P（x,y）是以線段AA為直徑的圓上任一點，求證：x2+y2<2.

【分析】欲證犬+丫2<2,由于A,、也是圓好+歹=1內(nèi)兩點,

所叫:+A<1,€+6<1，從加:+M：+*+，<2,徐

為fiM+/《；+*；+4+,；.為此，需舞群泡唯座標與點A『.

坐標的關(guān)系式，又點P在以AA為直徑的圓上，故可從PA」PAz入手去證.

【證明】當P是直徑AA的端點時，結(jié)論顯然成立.當P不是直徑AA的

端點時，如圖1一2,連結(jié)PA、PA”則PA」PA”

圖1-2

從而(x-X|Xx-*a)G-力)-0,

22

即x+y-(xi+x2)x-(yi+y2)?y+x,x2+y1y2=0,

22

?*.x+y=(xi+x2)x+(yi+y2)y-xlx2-y1y2.

7(?i+?,)!<%/+(!+!)']

+€)+*&?

(n+5h)y<

=%'“M+U)+力外，

???，+產(chǎn)號(*'+/)+%■：+?)+(￡+渤,

<■4

從而P+/<(*；+")+(KJ+力.

又由Ai、A,是圓x2+y-l內(nèi)兩點，得

U+y；<i，

+0〈父+才)+y+yi)<21

故x2+y2<2.

【解說】乍看，本題難以下手.但用分析綜合法，把被證結(jié)論轉(zhuǎn)

化為？+f<寸+4+月+月后?利用已知條件PAJPA用不等式ab

〈”+口）后，麗便幽麗

例3已知P是橢圓bq+ay=a2b“a>b>0）上任一點，￡、艮是左、右兩個

焦點，NPFR=a,NPFE=B,e是離心率，求證：

aP1-e

電=

22l+e

RE唧欲證吟?J=S

輸?成：i--

即證22_a

aP

coi—cos—1+—

22

a.B

m-2flnT

V&E

aPa*-c

3TC01T

由合分比定理，得只需證

apa￡

an—sin-*??-?>?

222~22a

apaP-2c*

in—an--co1—co?

222T

8?5（a-p）

明ET------

*力

①

如圖1-3,在△PFF中，由正弦定理，得

幽I圖眄|

AQCLan&n（Cl+P）1

從而幽卜㈣IF聞

sina-1?anp+

|PF/+|PF/=2a,|FF/=2c,

2a

ana-i-aiip^n（a+B）'

_and4-anPa

11

SJ■l=—

"A?a+B）c

由和差化積公式和倍角公式，得

a+Ba-B

2an---cos---

______22

a4-Ba+B

2an---cos---

22

cos------。

______i_____匕

a+0c

2~

即①式成立.

故原結(jié)論成立.

【解說】本例的上述證法就是分析綜合法.它從被證結(jié)論入手，把它轉(zhuǎn)化

為證①式成立，這個過程是分析法.然后，從已知條件出發(fā)，運用解析幾何、三

角知識推得①式，這個過程是綜合法.

習題1.1

用分析綜合法證明下列各題：

1.已知a、b、c滿足3(a2+b2)=4c2(cW0),求證：直線ax+by+c=0與圓

x2+y-l有兩個不同的交點.

2.設(shè)1?14+4=1(8＞?。上有點?，以財m的右?點，

ab

。為原點.flZOPA=9(r,求fib挖.

b

3.已知乂?幗捺+昌=1色＞1＞〉6上異詢"峋任一點.

B、B，是此橢圓的短軸的兩個端點，BM與1M分別交x軸于K、N兩點.求

證:|0N|?|0K|=a2.

4.設(shè)E、F2是雙曲線x2-y2=a2(a＞0)的兩個焦點,P為該雙

曲線的右支上任一點，O1JR點，求證，2c國爵叫＜2

5.已斕=兩條串徑OA.OB互相垂直，求證，

ab

l11I

而上阿TP

習題i.i答案或提示

1.欲證直線與圓有兩個不同的交點，只需證圓心0到直線的距離

小于霸的耨.因為距闞=薦］,又由改.得匹薩=舄4

**b

解U=.Vi.

2.欲證［〉四,IB蕤立關(guān)于&赧科式.設(shè)點式.，yj.0。

<a.又點P既在橢圓上，又在圓x?+y2-ax=0上，由此可得出一)

K|+a、i--小=0,8P(a「力［(14>1)7--］=0,從而可--5―

<4T*；〉低

D

3.欲證|0K|-|0Nha2,需要求出K、N兩點的橫坐標，從而只需求出直線

BM、B'M的方程.

4.ift-~~=u-BPfiE24^2點.y1)>由

焦亭徑公式和網(wǎng)點間距離公式及<；?4=??可得*；==，進而

2u-8

向環(huán)等式宰7AL可將2V*m.

2u-8

5T證大品原WG應(yīng)先求出曲利蘇?由于

&BMH4+^-=i±ftA.^5U>Bft締邠M|OA|.|陽訪.

.從而設(shè)耶》|8>a,|QA|ma).BqcB|c?

屋f和國'

aty),|OB|A?Qt芻,把它們分冊MIH方程.便可得到加

co*?aan1a41sin：acos1a

-和兩

思維方法-數(shù)形結(jié)合觀點

解析幾何是數(shù)形結(jié)合的科學，其顯著特點是用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性

質(zhì)，從而把代數(shù)、兒何、三角熔為一爐.解題時，要貫穿數(shù)形結(jié)合的觀點，不但

要注意把圖形數(shù)字化和把數(shù)式圖形化，而且還要留心觀察圖形的特點，發(fā)掘題目

中的隱含條件，充分利用圖形的兒何性質(zhì)，把數(shù)與形有機地結(jié)合在一起，去探索

問題的最佳解法.

例1過圓M：(x-l)2+(yT)2=l外一點P向此圓作兩條切線，當這兩切線

互相垂直時，求動點P的軌跡方程.

【分析】本題一般用參數(shù)法去解，但運算量大且有一定的技巧，不易求

解.如果運用數(shù)形結(jié)合的觀點，仔細觀察圖形的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)動點P是正方形

PTML的頂點，因此|PM|是定值，立得簡捷解法如下.

圖1-10

【解】如圖1—10,設(shè)切點為T,、L,連結(jié)MR、MTz、PM,則MT」TF,ML

±PL,又TFJ_PT”且|PT,|=|PTZ|,那么MTPTI

是防舫從而止兇=閶皿|=耳

設(shè)動點P(x,y),則(x—l)2+(yT)2=2,這就是所求的軌跡方程.

例2定?G1-貨+?印=(，上有動點p,它關(guān)于定點M7口

的對稱點為Q，點P繞圓心C依逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°后到達點R,求線段

RQ長度的最大值和最小值.

8所與解1本甌TR雌是,先設(shè)點PO+,cosa,3+溫

a),然后求出點Q、R的坐標，最后用兩點間距離公式，求出IRQI的最值.但

這種解法運算量較大，還易出錯.

觀察圖1-11,在△PRQ中，欲求IRQ因A是PQ的中點，易想起三角形的

中位線,從而取PR的中點B,連結(jié)BA,則|RQ|=2|AB|.又

B是茯RP的中點，連CB,JWCB1RP,ZBCP=jzPCR=6O*,所以

1叼=38|=：?于是，點以期船是以皿為隹的圖.這時，

求IQRI的最值，轉(zhuǎn)化為求點A與所作圓上點的距離的最值.過C、A作直線,

交所作圓于B,、B。兩點，則由平面幾何知，|AB|的最大值為

-------------------525

IABJHAQ4-1叫=Ja了+(0f2+工=—.|AB|的最小值為JABJ

#CHCBJ=5-，=胸QR|的量大值,最小值分別為裂吟.

例3設(shè)關(guān)于I的不等武g”/〉(a-Di的解集為A.flAC(ip<

x<2},求a的值集.

【分析與解】本題如果用純代數(shù)法，著眼于求出集合A,就相當麻煩.如

果用數(shù)形結(jié)合的觀點看待已知不等式，從“形”的角度去考慮可得下列簡捷解法:

設(shè)y=-X1(0<K<4),J#ya=4?即+jr；=4

(0<*<4fy>0).T*.y=的幾flffl就是61(2,2

為半徑的半圓(如圖1—12),而y=(aT)x是過原點的直線束.

問題轉(zhuǎn)化為：求半圓在動直線上方且0<xV2時，a的值集.易得a-121,

即a22.

故a的值集為{a1a22}.

【解說】由以上三例可知，數(shù)與形密切配合，坐標法以圖形性質(zhì)相助，如

虎添翼，問題可迎刃而解.

習題1.3

用數(shù)形結(jié)合觀點解證下列各題：

1.過圓M：(x—a)z+y2=a2(a>0)上一點A(2a,0)作此圓的動弦AB,求AB

中點P的軌跡方程.

2.求證,以雙曲線W*-4=Ka>。，b>0的鬃點弦AB為直徑的國

必與相應(yīng)的準線相交.

3.已如實效，、遍足(*印+/=3,承，的最大值.

4.己知―足J/+尸-2?+l+J?+y,+2.+1=8.求

u=x?+y2的最大值和最小值.

5.已如aJl-b,+bTTF=1,求證，W+b'=l.

習題1.3答案或提示

1.連MP,則MP_LAB,從而P的軌跡是以AM為直徑的圓，方

程為(x-+尸-g>)L

2.欲證準線1與以AB為直徑的圓相交，即證圓心M到1的距離小于半徑.設(shè)

過A、B、M分別作準線1的垂線，重足分別為P、Q、N,

刪MI制QAPMBQ)=》中+寫吟明得網(wǎng)心也整為

鬣氤民AB).

3.設(shè)，=HWy=kx.這時，國，1與1+/=3上點與原點連線

的斜率.J=，,

4.己丸蹲式為麻〒+而可亍=8,它的曲童義是，點P

(x,y)是以FK-1,0)、R(l,0)為焦點、長軸為8的橢圓上的動點.u皿=16,

um?=15.

5.=PGub)?伸HilTH,M

|0P|XPH1，即而豆>嘩」-I.從而+寧乂2+

Vl-ba+l-aJ

b2)]>h即(aTb-DWO,所以a，+b2=l.

學科方法?參數(shù)法

參數(shù)觀點是運動、變化思想在數(shù)學中的重要體現(xiàn).參數(shù)是解析幾何中最活躍

的元素，也是解題的一種主要方法.解析兒何中的許多解題技巧都來源于參數(shù)觀

點.

(一)參數(shù)法解題的基本步驟

參數(shù)法解題的步驟是：

(1)設(shè)參，即選擇適當?shù)膮?shù)(參數(shù)的個數(shù)可取一個或多個)；

(2)用參，即建立參數(shù)方程或含參數(shù)的方程；

(3)消參，即通過運算消去參數(shù)，使問題得到解決.

例1已知拋物線y2=2px(p>0),在x軸的正半軸上求一點M,使過M的弦

PR,滿足OP」OB.

【解】如圖2—5,設(shè)M(m,0)(m>0)>P[(x”y)、P2(x2,y2).

0P,10P2,

:.