高中數(shù)學(xué)北師大必修1學(xué)案第四章1　函數(shù)與方程

函數(shù)應(yīng)用

。方程

§1

1.1利用函數(shù)性質(zhì)判斷方程解的存在

?販麗課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本PU5?116,思考并完成以下問題

1.函數(shù)的零點的定義是什么？

2.判斷函數(shù)_/U)在區(qū)間(a,加內(nèi)有零點的方法是什么？

1.函數(shù)的零點

(1)函數(shù)的零點：函數(shù)v=/U)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數(shù)的零點.

(2)函數(shù)y=_/(x)的零點，就是方程於曰的解.

2.零點存在性定理

若函數(shù)y=*x)在閉區(qū)間［a,切上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反,

即/a”(b)<0,則在(a,加內(nèi)，函數(shù)v=Ax)至少有一個零點,即相應(yīng)的方程A*)=0在(。，協(xié)

內(nèi)至少有一個實數(shù)解.

［點睛］

(1)方程人x)=()有實數(shù)解今函數(shù)y=_")的圖像與x軸有交點臺函數(shù)y=/(x)有零點.

(2)f(a)-f(b)<0只能判斷出零點的存在性，而不能判斷出零點的個數(shù)，如下圖中的圖(1)

和圖⑵.

分別有4個零點和1個零點.

［小孩才多］

1.判斷下列說法是否正確，正確的打“J”，錯誤的打“x”.(1)函數(shù)7=式用的零點是

一個點.()

(2)函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/(x)=0的解.()

(3)若函數(shù)y=/(x)的圖像是連續(xù)不斷的，且爪。)叭。)V0,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間僅，。)內(nèi)

有且只有一個零點.()

(4)若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,。)內(nèi)有零點，則/(")：勵)<0.()

答案：⑴X(2)V(3)X(4)X

2.函數(shù)y=4x—2的零點是()

A.2B.(-2,0)

C.Q,o)D.|

答案：D

3.下列函數(shù)沒有零點的是()

A.J(x)=0B.於)=2

C.f(x)-=x2-lD.f(x)=x-j

答案：B

4.函數(shù)_Ax)=log2X—1的零點所在的區(qū)間為()

A.(0,|)B.&1)

C.(1,2)D,(2,3)

解析：選C?.?￡)=log2T—2=—3<0,

/ll)=log2l—1=-1<0,/(2}=log22-1=1>0,

二函數(shù)零點所在區(qū)間為(1,2).

字課堂講練設(shè)計，舉一能通類題

題型一v求函數(shù)的零點

［典例1求下列函數(shù)的零點.

(l)j=—X2—x+20；

(2購=/-1.

I解］(l)j=-x2-x+20=-(x2+x-20)

=-(x+5)(x—4),

方程一/一七+20=0的兩根為一5,4.

故函數(shù)的零點是一5,4.

(2)由于八七)=/一1=(*2+1)(*+1)。-1),

方程x4—1=0的實數(shù)根是一1,1.

故函數(shù)的零點是一1,1.

函數(shù)零點的求法

求函數(shù)八丫)的零點時，通常轉(zhuǎn)化為解方程式工)=0,若方程式x)=o有實數(shù)根，則函數(shù)/U)

存在零點，該方程的根就是函數(shù)大用的零點；否則，函數(shù)/U)不存在零點.

［活學(xué)活用］

求下列函數(shù)的零點.

(16x)=2,—1；(26x)=lg(*2—1)+8；

(3如)=門_4.

解：(1)由2*—1=0,得x=0,故函數(shù)的零點為0.

(2)由IgCr2—1)+8=。，得x=±d10F+1,故函數(shù)的零點為士N10F+1.

(3)由e*r-4=0,得x=l+ln4,故函數(shù)的零點為1+ln4.

題型二"判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間

［典例］函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點所在的一個區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

［解析］因為_/U)=lnl+2Xl-6=14V0,/(2)=ln2+2X2-6<lne2-2=0,f(3)=

ln3+2X3-6=ln3>0,/(4)=ln4+2X4-6=21n2+2>0,f(5)=\n5+2X5-6=ln5+4

>0,所以<2)近3)V0,又函數(shù)八x)的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，故函數(shù)八刈的零點所在

的一個區(qū)間是(2,3).

［答案］B

解決零點所在區(qū)間的判斷問題，只需計算選項中所有的區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值并判斷

正負即可.

~"［活學(xué)活用］

函數(shù)八x)=lnx—1的零點所在的大致區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.Q,1)和(3,4)D.(e,+~)

解析：選B??VU)=-2V0,12)=ln2—IVO,

又在(0,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，

.?.在(1,2)內(nèi)於)無零點.

又???八3)=1113—；>0,

.??Ax)在(2,3)內(nèi)有一個零點.故選B.

題型三'

判斷函數(shù)零點的個數(shù)

I典例I函數(shù)八x)=2'+lg(x+l)—2的零點個數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

［解析］法一：(判定定理法)；/(0)=l+0—2=—1<0,

/(l)=2+lg2-2=lg2>0,

.?JU)在(0,1)上必定存在零點.

又顯然人r)=2*+lg(x+l)—2在(-1,+8)上為增函數(shù)，

故/(X)有且只有一個零點.

法二：(圖像法)如圖，在同一坐標系中作出入(*)=2—2*和8(*)=旭(*+1)的圖像.

由圖知，g(x)=lg(x+l)和h(x)=2~2x的圖像有且只有一個交點，

即｛x)=2*+lg(x+l)-2有且只有一個零點.

［答案］B

~~判斷函數(shù)零點的個數(shù)的主要方法

(1)利用判定定理法判斷：對于一般函數(shù)的零點個數(shù)的判斷問題，可以利用零點存在性

定理來確定零點的存在性，然后借助于函數(shù)的單調(diào)性判斷零點的個數(shù).

(2)利用圖像法判斷：由/(x)=g(x)—Mx)=O,得g(x)=A(x),在同一坐標系中作出山=

g(x)和72=%(x)的圖像，利用圖像判斷方程根的個數(shù).

［活學(xué)活用］

函數(shù)｛x)=x§一映的零點個數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B函數(shù)式x)=x3-Q>的零點個數(shù)，即方程*3—《>=()的根的個數(shù)，即

函數(shù)y=x)的圖像與函數(shù)圖像的交點個數(shù)；畫出兩者的圖像(如圖)，可得交點的個

數(shù)為1.

-3-2-id-i23ix

題型四

［典例］已知a是實數(shù)，函數(shù)4x)=2a|x|+2x—a,若函數(shù)y=/U)有且僅有兩個零點,

則實數(shù)a的取值范圍是.

［解析］易知a#=0,令/U)=o,即2a|x|+2x—a=o,變形得|x|一一］，

分別作出函數(shù)yi=|x|—m=一的圖像，如圖所示.

/U

由圖易知：當0<一!<1或

—K—^<0,即“V—1或”>1時，力和力的圖像有兩個不同的交點，

...當“V—1或時，函數(shù)y=/(x)有且僅有兩個零點，即實數(shù)a的取值范圍是(一8,

-1)U(1,+8).

［答案］(-8,-1)U(1,+8)

一寢博函藪零點不藪泰參藪標賽一

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，通過解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后

數(shù)形結(jié)合求解.

［活學(xué)活用］

已知關(guān)于x的方程好一2。*+4=0,在下列條件下，求實數(shù)a的取值范圍.

(1)一個根大于1,一個根小于1;

(2)一個根在(0,1)內(nèi)，另一個根在(6,8)內(nèi).

解：(1)方程x2-2ax+4=0的一個根大于1,一個根小于1,設(shè)貝丫)=爐-2ax+4,結(jié)

合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及零點的存在性定理得_/U)=5-2aV0,解得a>|.

故實數(shù)a的取值范圍為G，+°°)

(2)方程必一2仆+4=0的一個根在(0,1)內(nèi)，另一個根在(6,8)內(nèi)，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與

7(0)=4>0,

Al)=5-2?<0,1017

性質(zhì)及零點的存在性定理得\解得TVaV7.

/(6)=40-12a<0,34

J(8)=68-16a>0,

故實數(shù)a的取值范圍為管，?).

后整t錦網(wǎng)唳摩理由課后層級訓(xùn)練，步步提升能力

層級一學(xué)業(yè)水平達標

1.函數(shù)式X)=*2—X—1的零點有()

A.0個B.1個

C.2個D.無數(shù)個

解析：選CJ=(-l)2-4XlX(-l)=5>0

方程/一工一1=0有兩個不相等的實根，

故函數(shù)=X—1有2個零點.

2.方程停>一*=0的解有()

A.0個B.1個

C.2個D.3個

解析：選B設(shè)g(x)=G)。h(x)=x,在同一坐標系中，畫出函|>

數(shù)g(x)和人(x)的圖像，如圖所示.則g(x)和Mx)圖像僅有一個交點，

則方程啰一x=0僅有一個解.ZJ°

3.函數(shù)yu)=igx+x有零點的區(qū)間是()

A.(1,2)B.(0,1)

C.(-1,0)D.(1,3)

解析：選B:端)=扁+點=-1+忘<0,/(D=lg1+1=1>0,.,.函數(shù)段)在

4，1)內(nèi)有零點，經(jīng)驗證選項A、C、D均不滿足，故選B.

4.若a<b<c,則函數(shù)/(x)=(x—a>(x—b)+(x—6>(x—c)+(x—c>(x—a)的兩個零點分

別位于區(qū)間()

A.(a,8)和(Z>,c)內(nèi)B.(—°°,a)和(a,Z>)內(nèi)

C.(b,c)和(c,+8)內(nèi)D.(—8,a)和(c,+8)內(nèi)

解析：選A由已知易得八°)>0,f(b)<0,f(c)>0,故函數(shù)_/U)的兩個零點分別位于區(qū)

間(a,b)和(b,c)內(nèi).

5.已知函數(shù)人x)為奇函數(shù)，且該函數(shù)有三個零點，則三個零點之和等于()

A.0B.1

C.-1D.不能確定

解析：選A?奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，.?.若Ax)有三個零點，則其和必為0.

6.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程e，一x—2=0的一個根所在的最小區(qū)間為

解析：令A(yù)x)=e，-x-2,則八1)=-3=一<0,{2)=—4=>0,⑵V0....函數(shù)

Ax)在(1,2)內(nèi)有零點，即方程e*-x—2=()的根在(1,2)內(nèi).

答案：(1,2)

7.若函數(shù)人*)=/-x+a有兩個零點，則a的取值范圍是.

解析：,.?/=(—1)2—4X1Xa=l—4a.而/(x)=x2—x+a有兩個零點，即方程好一*+“

有兩個不相等的實數(shù)根.即aV；.

答案：(~8,

8.若函數(shù)/(x)=-y,則g(x)=y(4x)—x的零點是

x-14x-1

解析：..VUL?，.\A4x)=-^-

4x-14x—1

則g(x)=4x-X,令g(x)=0,有4xr=0,

解得x=；.

答案：I

9.判斷函數(shù)/U)=x—3+lnx的零點的個數(shù).

解：法一：在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=lnx,y=—x+3

的圖像，如圖所示.卜(一/3

由圖可知函數(shù)y=lnx,寸

OA2J\X

y=-r+3的圖像只有一個交點，|/

即函數(shù)4x)=x-3+lnx只有一個零點.

2

法二：因為八3)=ln3>0,1A2)=-1+ln2=ln-<0,所以人3)哄2)<0,說明函數(shù)/U)

=x-3+lnx在區(qū)間Q,3)內(nèi)有零點.

又_/(x)=x—3+lnx在(0,+8)上是增函數(shù)，

所以原函數(shù)只有一個零點.

10.試判斷方程好=2、在區(qū)間［1,2］內(nèi)是否有實數(shù)根？

解：因為函數(shù)4%)=好-2,的圖像在區(qū)間［1,2］上是連續(xù)曲線，

并且11)=1-2=-1<0,12)=8—4=4>0,

所以犬1)叭2)V0,

所以函數(shù)八X)=好一2*在區(qū)間［1,2］內(nèi)至少有一個零點，即方程￡*=2*在區(qū)間［1,2］內(nèi)至少

有一個實數(shù)根.

層級二應(yīng)試能力達標

1.已知/U)是定義域為R的奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)的零點有1003個，則/(x)的零

點的個數(shù)為()

A.1003B.1004

C.2006D.2007

解析：選D'Vlx)為奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)有1003個零點，.?.在(一8,0)上也有

1003個零點，又；/10)=0,二共有2006+1=2007個.

2.方程好一上一1=0在［1,1.5］內(nèi)實數(shù)解有()

A.3個B.2個

C.至少1個D.0個

解析：選C令人》)=好一萬一1,則丈1)=一1V0,

41.5)=3——i=3->o.

所以方程x3—x-l=0在［1,1.5］內(nèi)實數(shù)解至少有1個.

3.設(shè)函數(shù)_/U)=e*+x—2,g(x)=lnx+x2-3.若實數(shù)a,b滿足｛a)=0,gS)=0,貝！|()

A.g⑷VOV加)B.加)VOVg(<

C.0<g(a)<fib)D.fib)<g(a)<0

解析：選A因為函數(shù)八x)=e』+x-2在R上單調(diào)遞增，且#0)=1—2V0,_/U)=e-l

>0,所以/(a)=0時，aG(O,l).又g(x)=lnx+x2-3在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g(i)=-

2<0,所以g(a)VO.由g(2)=ln2+l>0,g(<=0得附1,2),又且|x)=e*+x-

2在R上單調(diào)遞增，所以八。)>0.綜上可知，g(a)VOV_A，).

4.已知人x)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，/(JOUX2—3x.則函數(shù)g(x)=_/tx)—x+

3的零點的集合為()

A.{1,3}B.{-3,-1,1,3)

C.{2—巾，1,3}D.{-2一巾，1,3}

解析：選D當x20時，函數(shù)g(x)的零點即方程_/U)=x-3的根，由好-3%=丫-3,

解得x=l或3;

當xVO時，由八x)是奇函數(shù)得一/U)=/(-*)=/-3(一*),即,*工)=一*2—3*,

由,/(x)=x—3得x=-2一木(正根舍去).

x1-!,xWO,

5.函數(shù),*x)=的零點個數(shù)是

2x—6+lnx,x>0

解析：當xWO時，令2=0,解得x=-也；當x>0時，/(x)=2x—6+lnx,顯然

函數(shù)凡r)=2x-6+lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，因為/U)=2-6+ln1=—4<(),八3)=ln3

>0,所以函數(shù)/(x)=2x—6+lnx在(0,+8)上有且只有一個零點.綜上，函數(shù)式x)的零點

個數(shù)為2.

答案：2

6.已知函數(shù)八x)=logax+x—夙a>0,且aWl).當2VaV3V》V4時，函數(shù)4x)的零

點XoG(",〃+1),“GN",則”=.

解析：函數(shù)段)的零點即方程log?x=&-X的根，

令yi=log“x,yi=b-x,

函數(shù)/U)的零點即這兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標.

當2V.V3V8V4時，作出這兩個函數(shù)的圖像,

如圖所示.

由圖像知函數(shù)_/U)只有一個零點,

且"只能是1或2或3,

而<1)=1一。VO,/(2)=logfl2+2-Z><14-2-3=0,犬3)=log"3+3-)>l+3—4=0,

根據(jù)零點的存在性定理，

可得函數(shù)｛x)的零點在區(qū)間Q,3)內(nèi)，故“=2.

答案：2

7.關(guān)于x的方程機xZ+zQ.+su+Z/n+MnO有兩實根，且一個大于4,一個小于4,

求實數(shù)”，的取值范圍.

解：原方程可化為：—+如，*x+非+2=0,

令式x)=/+迎#2+￡+2,則大4)V0,

即?16+,七8(m+L3)+,記14+,2V。，-即1記9VT3,

19/19>

解得一記V，"V0.故實數(shù)，〃的取值范圍是(一百，0).

選做題

8.函數(shù)/U)=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.6]=1,[2]=2,已知OWx

<4.

(1)求函數(shù)八x)的表達式；

(2)記函數(shù)g(x)=x-/U),在平面直角坐標系中作出函數(shù)g(x)的圖像；

(3)若方程g(x)—log“(x-§=0(a>0,且aHl)有且僅有一個實根，求a的取值范圍.

"0,00<1,

1,1?2,

解：

2,20V3,

、3,30V4.

x9OWxVl,

1?2,

(2)g(x)=x-/U)=q'圖像如圖所示.

x—2,2?3,

、x—3,3Wx<4,

⑶方程g(x)—log“G—T)=0僅有一根等價于g(x)與/j(x)=k>gaG—§的圖像僅有一個交

點.由圖可知：

『A(x)=loga(x--i-),a>l

IJ(x~^a>i

o(1\yl\^3~4~~*

://、\^^)=log*+)，OVQVl

當OV〃V1時，力(l)=k)g\，l=logm,解得

3

當。>1時，A(2)=lo啊>1=1。曲a或

(5

/<3)=logT<l,..

fl，357

<_解得1V〃V不或7V〃W不

7LLL

/i(4)=log?2^1,

1357

綜上，Q的取值范圍是3，1U1,TUT,T.

1.2利用二分法求方程的近似解

■施受詆加而加隹，課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本PU7?119,思考并完成以下問題

1.二分法的定義是什么？

2,若X。是滿足精度￡的近似解，則xo應(yīng)滿足什么條件？

［新加初賽］

1.二分法

對于在區(qū)間［a,一上連續(xù)不斷且血)叭6)<0的函數(shù)v=*x),通過不斷地把函數(shù)式x)的零

點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫

作二分法.

2.滿足精度￡的近似解

設(shè)？是方程式x）=o的一個解，給定正數(shù)&若X。滿足|xo|＜￡,就稱X0是滿足精度￡

的近似解.

［點睛］為了得到滿足精度￡的近似解，只需找到方程的一個有解區(qū)間［a,b］,使得區(qū)

間長度?一aWe,那么區(qū)間（a,b）內(nèi)任意一個數(shù)都是滿足精度￡的近似解.

［小微才子］

1.判斷下列說法是否正確，正確的打“J”，錯誤的打“X”.

（1）所有函數(shù)都能用二分法判斷零點所在區(qū)間.（）

（2）如果一個函數(shù)在區(qū)間［a,句內(nèi)有零點，那么用二分法能找出這個函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的所

有零點.（）

（3）精度為，即精確到小數(shù)點后一位.（）

答案：（1）X（2）X（3）X

2.下列圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數(shù)零點的是（）

答案：A

3.下列函數(shù)不能用二分法求零點的是（）

A.貝x）=3x—1B.

C.Ax）=\x\D.f（x）=\nx

答案：C

4.用二分法求函數(shù)式x）=3*—x—4的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下:

八1.6000)=”.5875戶/(1.5750產(chǎn)

加.5625)一川.55625)七一川.5500產(chǎn)一

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可得人工）=3*—上一4的一個零點的近似值（精度0.01）為.

解析：由參考數(shù)據(jù)知，A1.5625）弋＞0,41.55625）右一＜0,即41.5625）叭1.55625）＜

0,且1.5625-1.55625=0.00625V,.7危0=3,一工一4的一個零點的近似值可取為1.5625.

答案：1.5625

字於目相■課堂講練設(shè)計，舉一能通類題

題型一v方程近似解的求法

［典例］利用計算器，求方程lgx=2—x的近似解.（精度為0.1）

［解］作出y=lgx,y=2-x的圖像，可以發(fā)現(xiàn)，方程lgx=2—X有唯一解，記為Xo,

并且解在區(qū)間［1,2］內(nèi).

設(shè)"x)=lgx+x-2,用計算器計算得

/(2)>0=>xe［l,2］;

f(1.5)<0,42)>0=xW［1.5,2］;

/(1.75)<0,,A2)>0^xG［1.75,2］;

川.75)<0,/(1.875)>0=>xG［1,75,1.875］;

AL75)VO,八1.8125)>0=>xG［1.75,1.8125］.

V1.8125-=0.0625<,

區(qū)間［1.75,1.8125］內(nèi)任意一個值都可以是方程lgx=2-x的近似解.

方程lgx=2-x的精度為的一個近似解可取1.8125.

「用二分法求方程的近似薜面首先要選好計霓的初始區(qū)間，這個區(qū)間坪面包含所求的根,

又要使其長度盡量小，其次要依據(jù)給定的精度，及時檢驗所得區(qū)間端點的近似值是否達到

要求(達到給定的精度)，以決定是停止計算還是繼續(xù)計算.

［活學(xué)活用］

用二分法研究函數(shù)/(*)=*3+3*—1的零點時，第一次經(jīng)計算人0)<0,_A0.5)>0,可得

其中一個零點,第二次應(yīng)計算,以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為()

A.(0,0.5),1Ao.25)B.(0,1)，削.25)

C.(0.5,1),八0.75)D.(0,0.5),大0.125)

解析：選A由大0)叭0.5)<0,故其中一個零點(0,0.5),第二次計算時取區(qū)間(0,0.5)

的中點，故第二次計算大0.25).

題型二求函數(shù)的一個近似零點

［典例］用二分法求函數(shù)7=好一3的一個正零點(精度為0.01).

［解］由于犬1)=一2<0,42)=5>0,因此可取區(qū)間［1,2］作為計算的初始區(qū)間，用二分

法逐次計算，見表如下：

次數(shù)左端點左端點函數(shù)值右端點右端點函數(shù)值

第1次1-225

第2次1-2

第3次-1.0469

第4次-0.4004

第5次1.4375-0.0295

第6次1.4375-0.02951.468750.1684

第7次1.4375-0.02951.4531250.06838

第8次1.4375-0.02951.44531250.0192

第9次1.44140625-0.00531.44531250.0192

第10次1.44140625-0.00531.4433593750.006931

因為1.443359375-1.44140625=0.001953125<,又區(qū)間[1.44140625,1.443359375]

內(nèi)的所有值，若精確到都是，所以就是所求函數(shù)一個精度為的正零點的近似值.

二分法求解步驟：

(1)確定區(qū)間［a,b］.驗證八a)叭初始區(qū)間的選擇不宜過大，否則易增加運算的次

數(shù)；

(2)求區(qū)間［a,切的中點c；

(3)計算司c):

①若八c)=0,則c就是函數(shù)的零點.

②若/(a)4c)<0,則令b=c(此時零點c］).

③若人c)叭b)<0,則令a=c(此時零點xoC［c,b］).

(4)判斷a,b的兩端的近似值是否相等，若相等得零點的近似解；否則重復(fù)Q)?(4)步.特

別注意要運算徹底.

［活學(xué)活用］

為求函數(shù)八x)=lnx+2x-6在(2,3)內(nèi)的零點的近似值(精度為0.1),已得到數(shù)據(jù)如下表:

次數(shù)左端點左端點函數(shù)值右端點右端點函數(shù)值

第1次2-1.306931.0986

第2次-0.08370926831.0986

第3次一0.0837092680.511600912

第4次一0.0837092680.215080896

第5次-0.0837092682.56250.065983344

第6次2.53125-0.0087867481272.56250.065983344

第7次2.53125-0.0087867481272.5468750.028617117

根據(jù)以上數(shù)據(jù)確定大幻取(2,3)內(nèi)的近似零點.

解：由表中數(shù)據(jù)可知區(qū)間［2.53125,2.546875］內(nèi)的所有值.若精確到，都是，所以是函

數(shù)|x)=lnx+2x-6精度為的零點近似值.

窿'國唳圣理由課后層級訓(xùn)練，步步提升能力

層級一學(xué)業(yè)水平達標

1.下列函數(shù)不宜用二分法求零點的是(

A.八X)=9-1B./(x)=lnx+3

C.f(x)=x2+2y[2x+2D./(x)=—x2+4x—1

解析：選C因為八x)=/+2啦x+2=(x+g)220,不存在小于0的函數(shù)值，所以不

能用二分法求零點.

2.下列圖像表示的函數(shù)能用二分法求零點的是()

解析：選C對于選項A,圖像與x軸無交點，不能用二分法求零點；對于選項B,圖

像與x軸有公共點，但零點兩邊的函數(shù)值同號，不能用二分法求零點；對于選項C,函數(shù)

零點兩邊的函數(shù)值異號，可用二分法求零點；對于D,零點兩邊的函數(shù)值同號，故選C.

3.下列關(guān)于函數(shù)人x),xS[a,切的命題中，正確的是()

A.若XoG[a,6]且滿足_/Uo)=O,則xo是/(x)的一個零點

B.若X。是人幻在[a,加上的零點，則可以用二分法求孫的近似值

C.函數(shù)八x)的零點是方程式x)=0的根，但{x)=0的根不一定是函數(shù)J(x)的零點

D.用二分法求方程的根時，得到的都是近似解

解析：選A使用“二分法”必須滿足“二分法”的使用條件，B不正確；1Ax)=0的

根也一定是函數(shù)A*)的零點，C不正確；用二分法求方程的根時，得到的也可能是精確解，

D不正確，只有A正確.

4.用二分法求函數(shù)八x)=/+5的零點可以取的初始區(qū)間是()

A.[-2,1]B.[-1,0]

C.[0,1]D.[1,2]

解析：選AV/(-2)=-3<0,{1)=6>0,八一2)41)〈(),故可以取區(qū)間[-2,1]作為

計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算.故選A.

5.用二分法求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(2,4)上的唯一零點的近似值時，驗證人2)負4)<0,取

2+4

區(qū)間(2,4)的中點刈=丁=3,計算得犬2)負?)<0,則此時零點xo所在的區(qū)間是()

A.(2,4)B.(2,3)

C.(3,4)D.無法確定

解析：選B?.?八2)負4)<0,八2)叭3)<0,

二八3)哄4)>0,.\x0e(2,3).

6.已知二次函數(shù)_Ax)=x2—1一6在區(qū)間［1,4］上的圖像是一條連續(xù)的曲線，且犬1)=-6

<0,/(4)=6>0.由零點存在性定理可知函數(shù)在［1,4］內(nèi)有零點.用二分法求解時，取(1,4)的

中點。，則式")=.

解析：［1,4］的中點為2.5.

f(2.5)=2-----6=—2.25.

答案：一

7.函數(shù)八*)=爐+"+/,有零點，但不能用二分法求出，則a,b的關(guān)系是.

解析：?.,函數(shù)1*)=/+奴+〃有零點，但不能用二分法，.,.函數(shù)Ax)=x2+ar+Z>圖像

與x軸相切..,.A=a2—4b=0..*.a2=4h.

答案：a2=4b

8.在用二分法求方程V—2x—1=0的一個近似解時，已知一個根在區(qū)間(1⑵內(nèi)，貝U下

一步可斷定該根所在的區(qū)間為.

解析：計算函數(shù)八%)=3-2x—1在x=l,x=T,x=2處的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的零點存

在性定理進行判斷yu)vo,A2)>0,娘=第一3-1V0,局叭2)V(),故下一步可斷定該

根在區(qū)間2)內(nèi).

答案：住2)

9.求方程*2=2X+1的一個近似解(精度為0.1).

解：設(shè)人幻=爐一2丫-1,—{3)=2>0,

.?.在區(qū)間(2,3)內(nèi)，方程/-2%—1=0有一解，記為xo.

取2與3的平均數(shù)，V/(2.5)=>0,

.,.2<xo<;再取2與的平均數(shù)，

,.?42.25)=-0.4375<0,:.<x0<;

如此繼續(xù)下去，有

/(2.375)<0,1A2.5)>0=>x()e(2.375,2.5);

12.375)V0,12.4375)>O=?xoe(2.375,2.4375).

V-2.4375|=0.0625<,

二方程/=2x+l的一個精度為的近似解可取為2.4375.

10.中央電視臺有一檔娛樂節(jié)目“幸運52”，主持人會給選手在限定時間內(nèi)猜某一物品

的售價的機會，如果猜中，就把物品獎勵給選手，同時獲得一枚商標.某次猜一種品牌的

手機，手機價格在500?1000元之間.選手開始報價：1000元，主持人回答：高了；緊接

著報價90()元，高了；700元，低了；800元，低了；88()元，高了；850元，低了；851元,

恭喜你，猜中了.表面上看猜價格具有很大的碰運氣的成分，實際中，游戲報價過程體現(xiàn)

了“逼近”的數(shù)學(xué)思想，你能設(shè)計出可行的猜價方案來幫助選手猜價嗎？

解:取價格區(qū)間［500,1()()0］的中點750,如果主持人說低了，就再?。?50,10()0］的中點

875;否則取另一個區(qū)間(500,750)的中點；若遇到小數(shù)，取整數(shù).照這樣的方案，游戲過程

猜測價如下：750,875,812,843,859,851,經(jīng)過6次可以猜中價格.

層級二應(yīng)試能力達標

1.設(shè)#x)=3，+3x-8,用二分法求方程3*+3*—8=0在x￡(l,2)內(nèi)近似解的過程中得

犬1)<0,式1.5)>0,式1.25)<0,則方程的根落在區(qū)間()

A.(1,1.25)內(nèi)B.(1.25,1.5)內(nèi)

C.(1.5,2)內(nèi)D.不能確定

解析:選B由題意知人》)在(1,2)內(nèi)連續(xù)且八1.25)<0,川.5)>0,所以方程的根在(1.25,1.5)

內(nèi).

2.已知函數(shù)/U)在區(qū)間(0,°)上有唯一的零點(a>0),在用二分法尋找零點的過程中，

依次確定了零點所在的區(qū)間為(0,鄉(xiāng)，(0,麻0,f)，則下列說法中正確的是()

A.函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,自內(nèi)一定有零點

B.函數(shù)人x)在區(qū)間(0,看)或悠，D內(nèi)有零點，或零點是六

C.函數(shù)八x)在恁，a)內(nèi)無零點

D.函數(shù)人x)在區(qū)間(0,%)或恁，內(nèi)有零點

解析：選B根據(jù)二分法原理，依次“二分”區(qū)間后，零點應(yīng)存在于更小的區(qū)間，因

此，零點應(yīng)在(0,給或(看，g中或?/(看)=。?

3.已知圖像連續(xù)不斷的函數(shù)yfx)在區(qū)間(0,0.1)上有唯一零點，如果用“二分法”求

這個零點(精度為0.01)的近似值，則應(yīng)將區(qū)間(0,0.1)等分的次數(shù)至少為()

A.3B.4

C.5D.6

解析：選B由,2〃)V,得2〃>10,???〃的最小值為4.故選B.

4.已知/U)的一個零點xo6(2,3),用二分法求精確度為的xo近似值時，判斷各區(qū)間中

點的函數(shù)值的符號最多需要的次數(shù)為()

A.6B.7

C.8D.9

解析：選B函數(shù)人幻的零點所在區(qū)間的長度是1,用二分法經(jīng)過7次分割后區(qū)間的長

度變?yōu)?VO.01.

3

5.