高中數學數列知識點與例題

數列基礎知識點和方法歸納

知識點:

(一)數列的該概念和表示法、

(1)數列定義：按一定次序排列的一列數叫做數列；數列中的每個數都叫這個數列的項記

作。，在數列第一個位置的項叫第1項(或首項)，在第二個位置的叫第2項，……，序號

n

為〃的項叫第〃項(也叫通項)記作。；

n

數列的一般形式：a,a,a,……，a,……，簡記作｛。｝。

123nn

<2)通項公式的定義：如果數列｛4｝的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那

n

么這個公式就叫這個數列的通項公式。

說明：①｛a｝表示數列，。表示數列中的第〃項，a=/(〃)表示數列的通項公式；

nnn

②同一個數列的通項公式的形式不一定唯一。

③不是每個數列都有通項公式。例如，1,,,……

(3)數列的函數特征與圖象表示：

序號：123456

項：456789

上面每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號集合到另一個數集的映射。從函

數觀點看，數列實質上是定義域為正整數集(或它的有限子集)的函數當自變量從1開始依

次取值時對應的一系列函數值……，，…….通常用來代替，其圖象是一群孤立的點

(4)數列分類：

①按數列項數是有限還是無限分：有窮數列和無窮數列；

②按數列項與項之間的大小關系分：單調數列(遞增數列、遞減數列)、常數列和擺動

數列。

(5)遞推公式定義：如果已知數列的第1項(或前幾項)，且任一項與它的前一項。(或

n-1

前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式。

(6)數列通項。與前“項和S的關系

nn

1.S=。+。+a+A+?2.。'=1

n123ninIS-S

r=1n?-1

fs(〃=1)

題型一應用。=1。1,c\求數列通項

nIo-S(n>2)

n

【例1】已知數列L｝的前〃項和S=3,-2,求其通項公式.

nn

解析：當〃=1時,a=S=3i—2=1,

11

當〃22i^,a=S-S=(3“-2)-(3?-i-2)=2-3?-i

nnZT-1

又。=1不適合上式，故a=''

1"［2-3?-i(/i>2)

題型二、利用遞推關系求數列的通項

［例2］根據數列｛a｝的首項和遞推關系，a=1,a=?+_1_

〃12"+1〃4/22—1

求其通項公式

解析：因為a=。+,所以a—a=1

"+i"4〃2-1"+1”4Z?2-122n-12n+1

所以a-a

21213

43257

111

a-a=—(----------)

?i22〃-32/7-1

以上(〃-1)個式相加得

11

即：a=1-1=4〃-3

"4〃一24〃一2

【點撥】：在遞推關系中若。=a+/(〃)，求。用累加法，若二=/(〃),求。用

"+1nn&

nn

累乘法，若。=pa+q,求a用待定系數法或迭代法。

/j+1nn

課外練習

11A1

1、設a=一++A+,(〃eN?)，則a與。的大小關系是

”〃+1〃+22/1+1〃+1n

(C)

A.a>aB.a=a

?+1n"+1n

C.a<aD.不能確定

?+i

解：因為

"+i〃2〃+22〃+3n+1

=1-1<0

2〃+32/i+2

所以a<a,選C.

n+1n

2.已知數列｛4｝的前〃項和S=〃2—4〃+1,則4=<「

nnn2/?-5,(n>2)

3.已知數列3｝的通項”一"(〃￡N*),則數列右｝的前30項中最大項和最

〃H--J99〃

小項分別是。，a

109

解：構造函數丁=上必=1+迤誓

x—J99x—J99

由函數性質可知，函數在(-00,廊)上遞減，且y<1;函數在(屈，+oo)上遞增

且>〉1

又回e(9,10)

a>a>a>\>a>1>?>a>A

1011123012

>a

9

a最大，。最小

109

(~)數列

1.等差數列的定義與性質

定義：(為常數)，

等差中項：成等差數列

前項和

性質：是等差數列

(1)若，則

(2)數列&｝,｛a｝,｛a｝仍為等差數列，仍為等差數列，公差為〃2d；

2?i-12n2/r+1

(3)若三個成等差數列，可設為

(4)若是等差數列，且前項和分別為，則

(5)為等差數列(為常數，是關于的常數項為0的二次函數)

的最值可求二次函數的最值；或者求出中的正、負分界項，

即：當，解不等式組可得達到最大值時的值.

當，由可得達到最小值時的值.

(6)項數為偶數2〃的等差數列有

S=n(a+a)=n(a+a)=A=n(a+a)(〃,a為中間兩項)

2n12n22/?-1nn+1n/?+1

Sa

S-S=nd,奇=_?

偶奇Sa

偶

（7）項數為奇數2〃-1的等差數列有

S=(2”-1)。(a為中間項)，S-S=a，型_=___-

2"Tnn奇偶〃§〃一1

偶

1.等差數列3｝中，a+。+。+。+。=120，則〃一1。的值為(C)

11

n468101293

A.14B.15C.16D.17

)j22

解：a-_a=a-_(a+2d)=_(〃-d)=_a一212()二」

93H93939383~

2.等差數列％｝中，a>0,S=S，則前項的和最大。

n1912---------------

解：OS=S,S-S=0

912129

a+Q+Q=0,.?.3。=0,

10II)211

a=0,又。>0

iii

...L｝為遞減等差數列S=S為最大。

n1011

3.已知等差數列｛a｝的前10項和為100,前100項和為10,則前110項和為

n

W：vs,S-S,S-S,A,S-5,A成等差數列，公差為D其首項為

1020103020IIO100

S=100,前10項的和為S=10

10100

10x9

.-.100xl0+xD=10,/.D=-22

2

又S-S=S+10DAS=100+10+10,(-22)=-110

11010010IIO

>=50〃-98-「12〃+〃(〃-1)J=一2〃2+40〃-98=-2(〃-1())2+102

所以當〃=10時，y=102

max

4.設等差數列L｝的前〃項和為S,已知。=12,S>0,S<0

nn31213

①求出公差〃的范圍，

②指出S,S,A,S中哪一個值最大，并說明理由。

1212

da=f(n)naS\a｝"n>2"

nnnn

解：①S=6(。+a)=6(。+a)=6(2。+7d)>()

121123103

24

/.24+7d>0z.d>-_

T

13（。+〃）1313

又S=113=—（〃+。）=_（2a+8d）<0

132231123

24+8d<0/.d<-3

24

從而一--<d<-3

7

②。S=6(a+a)>0S=13a<0a<0,a>0■.S最大。

1267137766

5.已知數列是等差數列，，其前10項的和，則其公差等于(D）

1

A二B二

23

6.已知等差數列｛4｝中，a+a=16,a=1,貝必等于（A）

?79412

A.15B.30C.31D.64

解：。Q+a=a+a

79412

a=15

12

7.設S為等差數列｛a｝的前〃項和，S=14,S-S=30,則S=54

nn4107

8.等差數列M｝的前〃項和記為S，已知a=30,a=50

nn1020

①求通項。；②若S=242,求〃

解：a=a+

n1

a=30,a=50

20

解方程組］a+9d=30

1

Ia+19d=50

121

Jv/.a=2〃+10

[d=2

由S=w+&二止，s=242

n

n12

.-.12z7+n（n-1）-2=242

2

解得〃=11或〃=-22（舍去）

9.已知數列%｝中，a=3前〃和S=1(?+1)(?+1)-1

“1〃2〃

①求證：數列｛。｝是等差數列

n

②求數列｛。｝的通項公式

③設數列1的前幾項和為T，是否存在實數M,使得T對一切正

\aaJ〃〃

l〃n+1J

整數〃都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，試說明理由。

解：①：S=_(〃+1)(a+1)-1

n2〃

?.a=S-S

n+1n+1n

=—[(n+2)(67+1)—(〃+1)(。+1)]

2n+1n

整理得，na|=仇+1)。-1

M+1n

??.("+1),2=(〃+2)%一1

5+1)。-na=(〃+2)a

n+2n+1〃+1n

.??2(〃+1%=(〃+D(%+。“)

2a=a+a

n+1n+2n

數列M｝為等差數列。

n

②a=3,na=(n+1)a-1

1n+1n

a=2a-1=5

21

a.a=2

即凄差成列ZM公差為2

n

/.a=q+-1)d=3+(〃-1).2

=2〃+1

(§)0---=-------------------

a。(2〃+1)(2〃+3)

nn+1

=「_[

212〃+12〃+3>

11

：.T=1(1_1+1_1+A+-)

“235572/7+12〃+3

232/7+3

1

又當〃eN*時，T<_

"6

要使得T4M對一切正整數〃恒成立，只要M2_,所以存在實數加使得

，，6

對一切正整數〃

Tn

都成立，M的最小值為o

6

2.等比數列的定義與性質

定義：（為常數，），

等比中項：成等比數列，或.

前項和：（要注意?。?/p>

性質：是等比數列

（1）若，則

（2）仍為等比數列，公比為”.

注意：由求時應注意什么？

時，；

時，.

例：⑴在等比數列｛〃｝中，a+a=33,cici=32,a>4

n1634nn+1

①求a,

n

②若T=Iga+lga+A+lga，求T

n12nn

⑵在等比數列｛a｝中，若a=0,則有等式

n15

a+a+A+Q=a+a+A+a（〃<29,〃EN*）成立，類比上述性質，相應

12n1229Tl

的在等比數列"｝中，若b=1則有等式成立。

n19

解：⑴①由等比數列的性質可知：

a32

l

又4>

解

=1

即1

所

以a

6-1454=

---

a,2

1

32d

所以a-321

2-)I-

巾-

②由等比數列的性質可知，｛1g。｝是等差數列，因為

Iga=lg2e-n=(6-n)lg2,Iga=51g2

所以T=,

"22

⑵由題設可知，如果。0在等差數列中有

m

ci+a+A+。=a+a+A+a

12〃122/W-1-W

（H<2m-1,〃EN*）成立，我們知道，如果若〃2+"=p+q,則a+a=a+a，

tnnpq

而對于等比數列"｝，則有若〃z+〃=p+q,則a-a=a.a所以可以得出結

nmnP

論，若

h=1,則有Z?/?Ab=bbNb［n<2m-1,〃wN*）成立，在本題中

ni12n122w-1-n

則有（〃<37,

12n1237f

3.求數列通項公式的常用方法

（1）求差（商）法

例

1：數列，，求

解：時，，二①

時

①,②

一②得,

［練習］數列滿足，求

解：注意到，代入得又，...是等比數列，

時，’

（2）疊乘法

例2：數列中，，求

解：，，又，，

（3）等差型遞推公式

例3：由，求（用迭加法）

解：時，兩邊相加得

［練習］數列中，，求（）

（4）等比型遞推公式

例4：（為常數，）

解：可轉化為等比數列，設

令，.?.是首項為為公比的等比數列

???，???

（5）倒數法

例5：,求

解：由已知得：，工

...為等差數列，，公差為，,，

a=，4（"=1）

（附：公式法、利用nS-S（*2）、累加法、累乘法.構造等差或等比

n1

a=pa+q或a=pa+/（"）、待定系數法、對數變換法、迭代法、數學歸

w+1n”+1n

納法、換元法）

4.求數列前n項和的常用方法

（1）裂項法

把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項.

例6：是公差為的等差數列，求

解：由

［練習］求和：

（2）錯位相減法

若為等差數列，為等比數列，求