高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實錄

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實錄(一)

南陽中學(xué)劉偉明

師：四邊形、五邊形、六邊形分別有多少條對角線？你是怎樣

考慮的？

[提出問題，讓學(xué)生在解答的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.]

生：四邊形、五邊形、六邊形分別有兩條對角線，五條對角線

和九條對角線，以六邊形為例，每個頂點可引3條對角線，六個頂

點可引18條對角線，但因每條對角線都計算了兩次，所以六邊形實

際有9條對角線.

師：n邊形(n24)有多少條對角線？為什么？

[由特例到一般問題的提出，符合由特殊到一般，由具體到抽象

的認(rèn)識過程.]

生：n邊形有條對角線，因為每個頂點可引n-3條對角線，所以

n個頂點可引n(n-3)條，但每條對角線都計算了兩次，故n邊形實

際有條對角線.

師：這一公式適合四邊形、五邊形、六邊形嗎？

[由一般再回到特殊，特例的正確性提高了學(xué)生探索問題的積極

性，增強了猜想的信心.]

生：適合.

師：觀察等差數(shù)列的前幾項：

al=al+Od

a2=al+ld

a3=al+2d

a4=al+3d

你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？試用al,n和d表示an.

生：an=al+(n-1)d

師：像這種由一系列特殊事例得到一般結(jié)論的推理方法，叫做

歸納法，用歸納法可以幫助我們從特殊事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但是,

由歸納法得出的一般結(jié)論并不一定可靠.例如，一個數(shù)列的通項公式

是an=(n2-5n+5)2請算出al,a2,a3,a4你能得到什么結(jié)論？

生：由al=l,a2=l,a3=l,a4=l可知an=l

師：由an=(n2-5n+5)2計算a5.

[由a5=25Wl,否定了學(xué)生的猜想，舉出反例是否定命題正確性

的簡單而基本的方法.]

師：由歸納法得到的一般結(jié)論是不一定可靠的.法國數(shù)學(xué)家費爾

馬曾由n=0,1,2,3,4得到+1均為質(zhì)數(shù)而推測：n為非負(fù)整數(shù)時,

+1都是質(zhì)數(shù)，但這一結(jié)論是錯誤的.因為數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，n=5時+1

是一個合數(shù)：+1=4294967297=641X6700417.

[數(shù)學(xué)史例使學(xué)生興趣盎然，學(xué)習(xí)積極性大為提高，至此，歸納

法作為一種發(fā)現(xiàn)規(guī)律的推理方法的數(shù)學(xué)已告結(jié)束.]

師：既然由歸納法得到的結(jié)論不一定可靠，那么，就必須想辦

法對所得到的結(jié)論進行證明，對于由歸納法得到的某些與自然數(shù)有

關(guān)的命題P(n),能否通過一一驗證的辦法來加以證明呢?

生：不能.因為這類命題中所涉及的自然數(shù)有無限多個，所以無

法一個一個加以驗證.

[新問題引導(dǎo)學(xué)生思考：既然對于P(nO)、P(nO+l)、P(n0+2)……

的正確性無法一一驗證，那么如何證明P(n)(nenO)的正確性呢？至

此，數(shù)學(xué)歸納法的引入水到渠成.]

二、新課

師：我們將采用遞推的辦法解決這個問題.同學(xué)們在電視中可能

看到過“多米諾”骨牌的游戲，由于骨牌之間特殊的排列方法，只

要推到第一塊骨牌，第二塊就會自己倒下，接著第三塊就會倒下，

第四塊也會倒下……如此傳遞下去，所有的骨牌都會倒下，這種傳

遞相推的方法，就是遞推.

從一個袋子里第一次摸出的是一個白球，接著，如果我們有這

樣的一個保證：“當(dāng)你第一次摸出的是白球，則下一次摸出的一定

也是白球”，能否斷定這個袋子里裝的全是白球？

生：能斷定.

[為數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟提供具體生動的模型，幫助學(xué)生理解

數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì).]

師：要研究關(guān)于自然數(shù)的命題P(n),我們先來看自然數(shù)有什么

性質(zhì)，自然數(shù)數(shù)列本身具有遞推性質(zhì)：第一個數(shù)是1,如果知道了一

個數(shù)，就可以知道下一個數(shù).有了這兩條，所有自然數(shù)盡管無限多，

但我們就可全部知道了.類似地，我們可采用下面的方法來證明有關(guān)

連續(xù)自然數(shù)的命題P(n),先驗證n取第一個值nO時命題正確；再證

明如果n=k(k2nO)時命題正確，則n=k+l時命題正確，只要有了這

兩條，就可斷定對從nO開始的所有自然數(shù)，命題正確，這就是數(shù)學(xué)

歸納法的基本思想.

[先通俗了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，對深刻理解數(shù)學(xué)歸納法的

實質(zhì)至關(guān)重要.]

師：用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n)的步驟是:

(1)證明當(dāng)n取第一個值nO(如nO=l或n0=2等)時結(jié)論成立，即

驗證P(nO)正確；

(2)假設(shè)n=k(k￡N,且k2n0)時結(jié)論正確，證明n=k+l時結(jié)論

正確，即由P(k)正確P(k+1)正確由(1)和(2),就可斷定命題對于從

nO開始的所有自然數(shù)n都正確.

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實錄(二)

南陽中學(xué)劉偉明

一、不等式證明的常用方法和基本不等式

師：前面我們復(fù)習(xí)了不等式的性質(zhì)，現(xiàn)在開始復(fù)習(xí)不等式的證明.

下面我們先來看一個問題：

［例1］求證：(a2+b2)(c2+d2巨(ac+bd)2

如何證明這個不等式呢？我們回憶一下，不等式證明有哪些常用

的方法？

生：比較法、分析法和綜合法.

師：什么是比較法？這個不等式能不能用比較法來證明？

生：要證明a>b,只要證明a-b>0,這就是不等式證明的比較

法，這個不等式能用比較法證明.

證法一

V(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2

=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2

=(bc-ad)2>0

，(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2

師：用比較法證明不等式的基本步驟有哪些？

生：有三步：(1)作差(2)變形(3)確定符號

師：什么是分析法？這個不等式能不能用分析法來證明？

生：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證

明這個不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題；如果能夠肯定這

些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法就是不等

式證明的分析法.這個不等式能用分析法來證明.

證法二

要證明(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2

只要證明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2Na2c2+2abcd+b2d2

也就是證明b2c2+a2d2N2abcd

即(bc-ad)2>0

V(bc-ad)2>0成立

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2成立

(教師指出應(yīng)用分析法證明時要注意書寫格式)

師：什么是綜合法？這個不等式能不能用綜合法來證明？

生：利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運用不等式的性

質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法是不等式證明的綜合法，這個

不等式能用綜合法來證明.

證法三

b2c2+a2d2>2abcd

a2c2+b2d2+b2c2+a2d2Na2c2+2abcd+b2d2

即(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2

師：應(yīng)用綜合法證明的關(guān)鍵是找出作為基礎(chǔ)的已經(jīng)證明過的不等

式.這些不等式大都是基本不等式，主要有：

a2+b2>2ab（a、b￡R）

（a、b￡R+）

這里要注意：

（1）不等式成立的條件，字母的允許值范圍；

（2）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

［這里改變了高三復(fù)習(xí)課先整理知識，然后講解例題的傳統(tǒng)模式,

而是先提出問題讓學(xué)生思考，創(chuàng)設(shè)問題情境，激起學(xué)生復(fù)習(xí)的欲望和

要求，喚起學(xué)生對舊知識的回憶，引起學(xué)生的思維.這樣可以提高學(xué)

生復(fù)習(xí)的積極性.在此基礎(chǔ)上，通過教師的啟發(fā)，讓學(xué)生自己逐步回

憶過去所學(xué)的知識，應(yīng)用它們來分析問題和解決問題，最好引導(dǎo)學(xué)生

自己歸納、整理舊知識，形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).］

二、不等式證明方法的應(yīng)用

［例2］已知a、b、c是不全相等的正數(shù).

求證：

（先讓學(xué)生議論，然后由學(xué)生起來回答，教師板書.）

證明：：

a、b、c是不全相等的正數(shù)

①②③中等號不同時成立

*

??

即

（如果學(xué)生按上述步驟進行證明，教師應(yīng)提出：這樣證明有沒有

問題？讓學(xué)生通過思考后發(fā)現(xiàn)：在證明一開始必須先指出a、b、Ce

R+,否則不能確定①、②、③是否成立.)

師：在證明不等式時，應(yīng)注意以下幾點：

(1)不等式的逆向運用，要證明不等式可以先證明它的逆向不等

式.

(2)已知條件在不等式證明中的應(yīng)用.由于a、b、c是三個不全相

等的正數(shù)，從而得出①、②、③中三個等號不同時成立，于是才能證

得原不等式成立.

(3)同向不等式相加是用綜合法證明不等式的常用手段.

［例3］已知a、b、c￡R+,求證：

(師生共同進行分析)

要證明

只要證明

也就是證明

如何證明這個不等式呢？(讓學(xué)生議論后回答)

生：Va>b￡R+

師：這樣證明有沒有問題？生：(回