專題02 勾股定理與勾股定理逆定理之九大題型（解析版）-2024學年八年級數學下學期期末真題分類匯編人教版

專題02勾股定理與勾股定理逆定理之九大題型勾股數的判斷例題：（23-24八年級上·甘肅蘭州·期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國在著名的數著作《周髀算經》中，下列各組數中，是“勾股數”的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．5，10，13 D．3，4，5【答案】D【分析】此題主要考查了勾股數．欲判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】解：A、，故不是勾股數，故本選項不符合題意；B、1.5和2.5不是整數，故不是勾股數，故本選項不符合題意；C、，故不是勾股數，故本選項不符合題意；D、，故是勾股數，故本選項符合題意；故選：D．【變式訓練】1．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期末）下列各組數中，是勾股數的一組（

）A．0.3，0.4，0.5 B．1，，2 C．6，8，10 D．2，2，【答案】C【分析】本題考查勾股數，凡是可構成一個直角三角形三邊的一組正整數稱之為勾股數，根據定義即可求解．【詳解】解：A，0.3，0.4，0.5不是正整數，因此0.3，0.4，0.5不是勾股數；B，不是正整數，因此1，，2不是勾股數；C，，因此6，8，10是勾股數；D，不是正整數，因此2，2，不是勾股數；故選C．2．（22-23八年級上·云南文山·期末）下面三組數中是勾股數的一組是（

）A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．9，16，25 D．18，24，30【答案】D【分析】本題考查勾股數，判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證較小兩數的平方和是否等于最大數的平方．解題的關鍵是掌握勾股數的定義．【詳解】解：A、1.5和2.5不是正整數，是小數，故選項不符合題意；B、，故選項不符合題意；C、，故選項不符合題意；D、，故選項符合題意．故選：D．3．（23-24八年級上·江西萍鄉(xiāng)·期末）若正整數a，b，c是一組勾股數，則下列各組數一定是勾股數的為（

）A．，， B． C．，， D．【答案】C【分析】本題主要考查了勾股數的概念，注意：一組數若為勾股數，擴大或縮小相同的倍數后仍然是勾股數．根據勾股數的概念進行分析，從而得到答案．【詳解】解：正整數a，b，c是一組勾股數，根據題意，不妨設c最大，則：，A．，，，∵，∴，，不一定是勾股數，故A錯誤；B．，，，∵，∴不一定是勾股數，故B錯誤；C．，，，∵，∴，，一定是勾股數，故C正確；D．，，，∵，∴不一定是一組勾股數，故D錯誤．故選：C．以直角三角形三邊為邊長的圖形面積例題：（22-23八年級下·四川瀘州·期末）如圖，直線l上方有三個正方形a，b，c，且正方形a和c的一邊在直線1上，正方形b的一個頂點在直線l上，有兩個頂點分別與a和c的一個頂點重合．若a，b的面積分別為1和9，則c的面積為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質．證，推出，，求出，，求出b的面積為，代入求出即可．【詳解】解：根據正方形的性質得出，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵a，b的面積分別為1和9，∴，，∴c的面積為：，故選：C．【變式訓練】1．（21-22八年級上·吉林長春·期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面積依次為，則正方形的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的幾何意義，知道直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．根據勾股定理的幾何意義：，解得即可．【詳解】解：由題意：，，∴∵正方形的面積依次為，∴，∴．故選：C．2．（23-24八年級上·吉林長春·期末）如圖，陰影部分表示以的各邊為直徑向上作三個半圓所組成的兩個新月形，面積分別記作和．若，則長是（

）

A． B． C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查的是勾股定理，熟練掌握如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意得：，∵，∴，∴，∵，∴．故選：B．3．（23-24八年級上·陜西咸陽·期末）如圖、在中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側作正方形、面積分別記為，，．若．則圖中陰影部分的面積為（

）A．6 B． C．5 D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是由勾股定理得出是解題的關鍵．由勾股定理得出，再根據可得出的值，即可求解．【詳解】解：由勾股定理得：，即，，，由圖形可知，陰影部分的面積為，陰影部分的面積為，故選：B．用勾股定理解三角形例題：（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在銳角中，點E是邊上一點，，于點D，與交于點G．(1)求證：；(2)若，，G為中點，求的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．（1）根據垂直定義可得，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得，，再利用等腰三角形的性質及等角的余角相等可得，再根據對頂角相等進行等量代換可得，最后利用等角對等邊即可解答；（2）過點E作，利用等腰三角形的三線合一性質可得，再根據線段中點的定義可得，然后利用證明，從而利用全等三角形的性質可得，最后在中，利用勾股定理求出的長，從而求出的長，即可解答．【詳解】（1）∵，，，，，，，，，；（2）解：過點E作，垂足為F，，，，，∵G為中點，，，，，，，，在中，，，，，的長為8．【變式訓練】1．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，是邊上的高．(1)若點是的中點，求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質、等邊三角形的判定與性質，勾股定理．（1）若點是的中點，則垂直平分，，可得，則是等邊三角形，即可得；（2）設，則，可得，利用勾股定理求出，在中，，即，解方程求出，即可得的長．【詳解】（1）證明：點是的中點，是邊上的高．垂直平分，，，，是等邊三角形，；（2）解：設，則，，是邊上的高，，在中，，即，解得或（舍去），．2．（23-24八年級上·湖南衡陽·期末）定義：如果一個三角形中有兩個內角滿足，那我們稱這個三角形為“近直角三角形”．(1)若是近直角三角形，，，則______．(2)在中，，，，若是的平分線．①求證：為近直角三角形．②求的長．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】本題考查三角形內角和定理，角平分線的性質定理，勾股定理等，掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．（1）根據“近直角三角形”的定義可知，由此可解；（2）①由已知條件證明即可；②利用勾股定理求出，作于點E，根據角平分線的性質定理可得，根據求出，進而即可求出的長．【詳解】（1）解：是近直角三角形，，，，，故答案為：；（2）解：①證明：中，，，是的平分線，，中，，為近直角三角形；②中，，，，，如圖，作于點E，是的平分線，，，，，，，解得，．3．（23-24八年級上·河南鄭州·期末）學習完《勾股定理》一章，李凱和張亮剪了一張直角三角形和一張長方形紙片，進行如下操作：操作一：在中，，，，如圖①，將直角邊沿直線折疊，使它落在斜邊上，點C與點E重合，請求出的長；操作二：如圖②，在長方形中，，，在邊上取一點P，將沿直線折疊，點C恰好與邊上的點E重合，求的長．【答案】操作一∶；操作二：的長為．【分析】本題考查直角三角形，矩形中的翻折問題，解題的關鍵是掌握翻折的性質，能熟練應用勾股定理列方程．(1)求出，，設，可得∶，即可解得答案∶(2)求出，設，可得，即可解得的長．【詳解】操作一：在中，，，，，由翻折可得，，，，設，則，，在中，，由勾股定理得：，解得：，∴；操作二：在長方形中，，，根據折疊的性質得，，在中，，根據勾股定理可得，，，設，則，在中，，，解得，的長為．勾股定理與網格問題例題：（23-24八年級上·河南洛陽·期末）如圖，在的網格中，每個格點小正方形的邊長均為1，的三個頂點A，B，C都在網格點的位置上，則的邊上的高為．

【答案】/【分析】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關鍵．先根據勾股定理求出的長，再由三角形的面積公式即可得出結論．【詳解】解：由圖可知，，設的邊上的高為，則．故答案為：．【變式訓練】1．（23-24七年級上·山東泰安·期末）如圖所示，的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網格的格點上，于點D，則BD的長為．

【答案】3【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．根據題意求出的面積，根據勾股定理求出，根據三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：由圖形可知，，邊上的高為3，的面積，由勾股定理得，，則，解得，，故答案為：32．（23-24七年級上·山東淄博·期末）如圖，在邊長為1的小正方形網格中，P為上任一點，則的值是．

【答案】12【分析】本題主要考查勾股定理，運用勾股定理求出，兩式相減即可得出結論．【詳解】解：在中，，在中，∴，故答案為：12．3．（22-23八年級下·天津和平·期末）【問題背景】在中，，，三邊的長分別為，，，求這個三角形的面積．小明在解答這道題時，先建一個正方形網格每個小正方形的邊長為，再在網格中畫出格點，如圖所示，這樣不需求的高，借助網格就能計算三角形的面積．（）直接寫出的面積，；【思維拓展】（）若的三邊長分別為，，，請在圖的正方形網格紙中畫出每個小正方形的邊長為，并直接寫出的面積，．【答案】【分析】（）利用分割法求三角形的面積即可；（）如圖中，利用數形結合的思想畫出，再根據分割法求三角形的面積即可．【詳解】（）如圖，

，，，，故答案為：；（）作圖如下：

同理可得：，，，故答案為：．【點睛】此題考查了作圖，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用網格圖構造三角形，利用分割法求三角形的面積．勾股定理與折疊問題例題：（23-24八年級上·河南鄭州·期末）如圖，中，，，點D為線段上一個動點，將沿直線翻折得到，線段交直線于點F．若為直角三角形，則的長是．【答案】或【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，分和，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】解：∵，，∴；∵折疊，∴，當為直角三角形時，分兩種情況，①當時，過點作，交的延長線于點，則四邊形為長方形，∴，設，則：，∴，在中，，∴，解得：（舍去）或；∴；②當時，此時點與點重合，如圖：∴，設，則：，由勾股定理，得：，解得：；∴，綜上：或；故答案為：或．【變式訓練】1．（23-24八年級上·四川成都·期末）如圖，在長方形中，，，將此長方形沿折疊，使點與點重合，則的長度為．【答案】6【分析】本題考查勾股定理與折疊問題．折疊得到，設，利用勾股定理進行求解即可，掌握折疊的性質和勾股定理，是解題的關鍵．【詳解】解：∵折疊，∴，設，∵在長方形中，，，∴，由勾股定理得，∴，∴，∴．故答案為：6．2．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）如圖，在中，，把沿直線折疊，使與重合．(1)若，則的度數為________；(2)若，，求的長；(3)當的面積為時，求的周長．（用含的代數式表示）【答案】(1)(2)；(3)的周長為．【分析】此題主要考查了圖形的翻折變換，以及勾股定理，完全平方公式，關鍵是掌握勾股定理，以及折疊后哪些是對應角和對應線段．（1）根據折疊可得，根據三角形內角和定理可以計算出，進而得到；（2）根據折疊可得，設，則，再在中利用勾股定理可得，再解方程可得的值，進而得到的長；（3）根據三角形的面積可得，進而得到，再在中，，再把左邊配成完全平方可得的長，進而得到的周長．【詳解】（1）解：把沿直線折疊，使與重合，，，，，故答案為：；（2）解：把沿直線折疊，使與重合，，設，則，在中，，，解得：，則；（3）解：的面積為，，，在中，，，，，，．即的周長為．3．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）如圖，把一張長方形紙片沿對角線折疊，點落在點處，交于點，重合部分是，，點是對角線上一點，于點，于點．

(1)求證：是等腰三角形；(2)求的值；(3)若．求的面積．【答案】(1)證明詳見解析；(2)；(3)．【分析】（1）根據平行線的性質和折疊的性質得到，即可證明出是等腰三角形；（2）連接，根據代數求解即可；（3）設，則，，在中根據勾股定理求出，然后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：把一張長方形紙片沿對角線折疊，點落在點處，又長方形，，，是等腰三角形（2）如圖所示，連接，

，（3）設，則，在中，由勾股定理可知：，，．【點睛】此題考查了折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的判定，平行線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的判定定理．勾股定理的應用例題：（23-24八年級下·福建南平·期末）如圖，、是兩條公路，，沿公路方向離點O為160米的點A處有一所學校，當重型運輸卡車沿道路方向行駛時，在以重型運輸卡車所在的點P為圓心，長為半徑的圓形區(qū)域內都會受到卡車噪聲的影響，且點P與點A的距離越近噪聲影響越大．假設重型運輸卡車沿著道路方向行駛的速度為18千米/小時．

(1)求對學校的噪聲影響最大時，卡車與學校之間的距離；(2)求卡車沿道路方向行駛一次給學校帶來噪聲影響的時間．【答案】(1)卡車P對學校A的噪聲影響最大時，卡車P與學校A的距離為．(2)卡車沿道路方向行駛一次給學校帶來噪聲影響的時間為．【分析】本題主要考查了勾股定理得實際應用，三線合一定理，含30度角的直角三角形的性質：（1）過點作于，可知點到射線的最短距離為線段的長度；的長度為對學校的噪聲影響最大時，卡車與學校之間的距離；（2）如詳解圖形所示，當時，則卡車在段對學校有影響，根據勾股定理可求得的長度．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作于，可知點到射線的最短距離為線段的長度．∴的長度為對學校的噪聲影響最大時，卡車與學校之間的距離．

∵，，∴．答：卡車對學校的噪聲影響最大時，卡車與學校的距離為．（2）解：如圖所示，在上取兩點C、D，連接，當時，則卡車在段對學校有影響．∵，，∴．由（1）知，∴．∴．∴影響時間為：．答：卡車沿道路方向行駛一次給學校帶來噪聲影響的時間為．

【變式訓練】1．（23-24八年級上·遼寧遼陽·期末）消防云梯的作用主要是用于高層建筑火災等救援任務，它能讓消防員快速到達高層建筑的火災現場，如圖，已知云梯最多只能伸長到米（即米），消防車高米，救人時云梯伸長至最長，在完成從米（即米）高的處救人后，還要從米（即米）高的處救人，這時消防車從處向著火的樓房靠近的距離為多少米？【答案】這時消防車從處向著火的樓房靠近的距離為米．【分析】本題考查了勾股定理的應用．由勾股定理求出、的長，即可解決問題．【詳解】解：由題意可得，米，∵米，米，∴米，米，在中，米，在中，米，∴米，答：這時消防車從處向著火的樓房靠近的距離為米．2．（23-24八年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，為海中的兩座小島，為海岸上的信號塔．已知小島A在信號塔C的北偏西方向80海里處，小島B在信號塔C的南偏西方向60海里處．(1)求小島A與小島B之間的距離；(2)一艘輪船從小島A出發(fā)，沿直線向小島B航行．若信號塔的信號有效覆蓋半徑為50海里，問：輪船在航行過程中，能否收到信號塔C的信號？【答案】(1)小島A與小島B之間的距離為100海里(2)輪船在駛向處的過程中，能收到燈塔信號，理由見解析【分析】本題考查解直角三角形的應用-方向角問題，勾股定理的應用：（1）由方向角的定義得到：，求出，由勾股定理求出（海里），即可得到小島A與小島B之間的距離；（2）過C作于H，由三角形面積公式求出海里，即可判斷輪船在航行過程中，能收到信號塔C的信號．【詳解】（1）解：如圖,由題意得：，，．，，．小島A與小島B之間的距離為100海里．（2）解：過點作交于點．，．，．．答：輪船在駛向處的過程中，能收到燈塔信號．3．（23-24八年級上·四川巴中·期末）如圖，數學興趣小組要測量旗桿的高度，發(fā)現將繩子拉直，繩子末端落在點處，此時點到旗桿底部的距離為米，小明拉緊繩子的末端，將繩子的末端放在米高的觀賽臺上的點處，測得此時點到旗桿的水平距離為米，求旗桿的高度為多少米？小明不完整的求解過程如下：(1)設米，則（用含的代數式表示）(2)請幫小明求出的值．【答案】(1)(2)米【分析】本題考查勾股定理的應用，（1）用表示處，在中，根據勾股定理即可用含的代數式表示；（2）在中，用的代數式表示處，根據，列方程即可解出；能靈活運用勾股定理列代數式、列方程是解題的關鍵．【詳解】（1）解：根據題意得：，，，∴，在中，，∴，故答案為：；（2）解：由題知：，，，，，設，則，在中，，在中，，∴，∴，解得：，∴旗桿的高度為米．判斷能否構成直角三角形例題：（22-23八年級上·浙江臺州·期末）滿足下列條件的是直角三角形的有個（

）①；②：：：：；③；④是上的中線，且．A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了直角三角形的判定，勾股定理逆定理，三角形內角和定理，根據三角形內角和為結合角度關系即可得到是直角三角形，根據勾股定理逆定理可得是直角三角形，根據等邊對等角證出是直角三角形；【詳解】解：，，，，是直角三角形；：：：：，，是直角三角形；，，是直角三角形；是上的中線，，，，，，，，是直角三角形；故是直角三角形的有個，故選：D．【變式訓練】1．（23-24八年級上·四川成都·期末）能判斷是直角三角形的是（

）A．，， B．C． D．，【答案】C【分析】本題考查了直角三角形的判定等知識，分別根據勾股定理逆定理，三角形內角和定理等知識逐項判斷即可求解．【詳解】解：A.∵，∴不是直角三角形，故原選項不合題意；B.∵，∴，∴不是直角三角形，故原選項不合題意；C.設，則，∵，∴是直角三角形，故原選項符合題意；D.∵，，∴，∴不是直角三角形，故原選項不合題意．故選：C2．（23-24八年級上·江蘇揚州·期末）在中，，，的對邊分別是a、b、c．下列條件中，可以判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三邊長構成勾股數或三內角中有一個是直角的情況下，才能判定三角形是直角三角形．直角三角形的判定方法，大約有以下幾種：①勾股定理的逆定理，即三角形三邊符合勾股定理；②三個內角中有一個是直角，或兩個內角的度數和等于第三個內角的度數；根據兩種情況進行判斷即可．【詳解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，能夠判斷是直角三角形，符合題意；B、由得，得出，不符合勾股定理的逆定理，不能夠判斷是直角三角形，不符合題意；C、，此時，不能夠判斷是直角三角形，不符合題意；D、，那么、、，不是直角三角形，不符合題意．故選：A3．（23-24八年級上·四川成都·期末）滿足下列條件時，不是直角三角形的是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內角和定理，根據勾股定理的逆定理，三角形內角和定理進行計算，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、∵，∴，∴，∴是直角三角形，故A不符合題意；B、∵，∴設，則，∵，，∴，∴是直角三角形，故B不符合題意；C、∵，∴，∴不是直角三角形，故C符合題意；D、∵，，∴，∴是直角三角形，故D不符合題意；故選：C．利用勾股定理的逆定理求解例題：（23-24八年級上·廣東梅州·期末）如圖所示，在四邊形中，，，，．

(1)求的長；(2)四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，關鍵是對勾股定理的掌握和運用．（1）利用勾股定理直接計算即可解題；（2）先利用勾股定理的逆定理判斷是直角三角形，然后利用計算即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴；（2）解：∵，，，∴，∴是直角三角形且，∴．【變式訓練】1．（22-23八年級下·安徽馬鞍山·期末）已知，，是的三邊，且，，．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)求的面積．【答案】(1)是直角三角形，理由見解析(2)【分析】（1）根據勾股定理的逆定理進行計算即可求解；（2）根據三角形的面積公式進行計算即可求解．【詳解】（1）解：是直角三角形．理由：∵，，，∴，∴是直角三角形，且是直角；（2）解：的面積．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．2．（23-24八年級上·上海長寧·期末）如圖，在四邊形中，，，．

(1)求證：：(2)如果平分，且，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，即可解答；（2）過點A作，垂足為E，先利用角平分線的性質可得，然后在中，利用勾股定理求出的長，再在中，利用含30度角的直角三角形的性質求出的長，從而求出的長，最后利用三角形的面積公式進行計算，即可解答．本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性質，角平分線的性質，根據題目的逐一條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴是直角三角形，∴，∴．（2）解：過點A作，垂足為E，，

∵平分，，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的面積為：，∴的面積為．3．（23-24八年級上·北京通州·期末）如圖，在中，，，，是的邊上的高，為垂足，且，.

(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)求的長.【答案】(1)是直角三角形；(2)．【分析】本題考查勾股定理，勾股定理逆定理的應用．（1）根據勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判斷即可；（2）由是的邊上的高，利用面積法計算即可．【詳解】（1）解：∵在中，，，，根據勾股定理，∵，∴是直角三角形；（2）解：∵是的邊上的高，∴，∴．勾股定理逆定理的實際應用例題：（22-23八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，某人從A地到B地共有三條路可選，第一條路是從A到B，為10米，第二條路是從A經過C到達B地，為8米，為6米，第三條路是從A經過D地到B地共行走26米，若C、B、D剛好在一條直線上．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)見詳解(2)9米【分析】本題考查了勾股定理的應用以及勾股定理的逆定理等知識，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．（1）由勾股定理的逆定理即可得出結論；（2）設米，則米，米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：∵米，米，米，∴，∴是直角三角形，；（2）解：設米，則米，∴米在中，由勾股定理得：，解得：則答：的長為9米．【變式訓練】1．（23-24八年級上·四川宜賓·期末）在一條東西走向河的一側有一村莊，河邊原有兩個取水點，，其中，由于某種原因，由到的路現在已經不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點（、、在一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．(1)問是否為從村莊到河邊的最近路？請通過計算加以說明；(2)求原來的路線的長．【答案】(1)是，理由見解析；(2)千米．【分析】（）根據勾股定理的逆定理和垂線段最短解答即可；（）根據勾股定理解答即可；本題考查了勾股定理及逆定理及垂線段最短在實際生活中的運用，根據勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由勾股定理即可求解，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理及逆定理的應用.【詳解】（1）是，理由，在中，，，∴，∴∴，根據垂線段最短，則是從村莊到河邊的最近路；（2）設，在中，由已知得，，，由勾股定理得：，∴，解得：，答：原來的路線的長為千米．2．（22-23八年級上·貴州貴陽·期末）如圖1是一個嬰兒車，圖2為其簡化結構示意圖．現測得，，其中與之間由一個固定為的零件連接（即）．

(1)求的長度；(2)根據安全標準需滿足，通過計算說明該車是否符合安全標準？【答案】(1)(2)符合，理由見解析【分析】（1）在中，利用勾股定理即可求出；（2）根據勾股定理的逆定理得即可得答案．【詳解】（1）解：在中，，由勾股定理得，．，．（2）解：由（1）知，在中，，，由勾股定理的逆定理得，是直角三角形，，．故該車符合安全標準．【點睛】本題考查勾股定理及其逆定理，解題關鍵是正確運用逆定理．3．（23-24八年級上·福建泉州·期末）如圖是某區(qū)域倉儲配送中心的部分平面圖，A區(qū)為商品入庫區(qū)，B區(qū)，C區(qū)是配送中心區(qū)．已知B，C兩個配送中心區(qū)相距250m，A，B區(qū)相距200m，A，C區(qū)相距150m，為了方便商品從庫區(qū)分揀傳送至配送中心，現有兩種搭建傳送帶的方案．甲方案：從A區(qū)直接搭建兩條傳送帶分別到B區(qū)，C區(qū)；乙方案：在B區(qū)，C區(qū)之間搭建一條傳送帶，再從A區(qū)搭建一條垂直于BC的傳送帶，兩條傳送帶的連接處為中轉站D區(qū)（接縫忽略不計）．(1)請判斷此平面圖形的形狀（要求寫出推理過程）(2)甲，乙兩種方案中，哪一種方案所搭建的傳送帶較短？請通過計算說明．【答案】(1)是直角三角形；(2)甲方案所搭建的傳送帶較短．【分析】本題考查了勾股定理的應用、勾股定理的逆定理、三角形面積的計算；熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證出是直角三角形是解決問題的關鍵．（1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；（2）由的面積求出，得出，即可得出結果．【詳解】（1）解：是直角三角形；理由如下：∴，，∴，∴是直角三角形，；（2）解：甲方案所搭建的傳送帶較短；理由如下：∵是直角三角形，∴的面積，∴（m），∵，，∴，∴甲方案所搭建的傳送帶較短．一、單選題1．（23-24八年級上·河南鄭州·期末）下列條件不能判定為直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查勾股定理的逆定理，直角三角形的定義和三角形內角和，根據勾股定理的逆定理和三角形內角和，可以判斷各個選項中的條件，能否使得是直角三角形，本題得以解決．【詳解】解：，，，是直角三角形，故選項A不符合題意；，，最大的，不是直角三角形，故選項B符合題意；，，是直角三角形，故選項C不符合題意；，化簡，得：，是直角三角形，故選項D不符合題意；故選：B．2．（22-23八年級下·河北邢臺·期末）如圖，釣魚竿的長為m，露在水面上的魚線長為m．釣魚者想看魚鉤上的情況，把釣魚竿轉到的位置，此時露在水面上的魚線長為m，則的長為（

）A．m B．m C．m D．m【答案】A【分析】本題考查勾股定理的實際應用，解題的關鍵是利用數形結合的思想并掌握勾股定理．根據勾股定理進行計算即可得．【詳解】解∶在中，m，m，根據勾股定理得，m在中，m，m，根據勾股定理得，m，∴m，故選∶A．3．（22-23八年級下·四川廣安·期末）如圖，現有一長方體的實心木塊，有一螞蟻從A處出發(fā)沿長方體表面爬行到處，若長方體的長，寬，高，則螞蟻爬行的最短路徑是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理的應用．分三種情況結合勾股定理，即可求解．【詳解】解：展開成平面后，連接，則的長就是繩子最短時的長度，分為三種情況：如圖1，在中，由勾股定理得：；如圖2，，在中，由勾股定理得：，如圖3，，在中，由勾股定理得：，即螞蟻爬行的最短路徑是．故選：C4．（23-24七年級上·山東威?！て谀┤鐖D，的頂點A，B，C都在邊長為1的小正方形網格的格點上，于點D，與網格線交于點F，取格點E，連接．對于四個說法：①，②，③，④點F在的平分線上，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①用等積法求出即可判斷；②用勾股定理求出即可；③根據平行線的判定方法進行判斷即可；④連接并延長交與點G，根據等腰三角形的性質即可判定．【詳解】解：①，，∴，故此項正確；②，，故此項正確；③∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故此項正確；④連接并延長交與點G，如圖所示：∵，，∴，即，∴，∵，∴垂直平分，∵為等腰三角形，為底，∴平分，故此項正確，綜上分析可知，正確的有4個，故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，勾股定理，垂直平分線的判定，三角形面積的計算，等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握相關的判定和性質．5．（22-23八年級下·云南迪慶·期末）如圖，為等腰直角三角形，，以斜邊為直角邊作等腰直角三角形，再以為直角邊作等腰直角三角形，，按此規(guī)律作下去，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查等腰直角三角形性質、勾股定理、以及根據圖形找規(guī)律，利用等腰直角三角形性質和勾股定理得出、、，根據其體現出來的規(guī)律，表示出，即可解題．【詳解】解：為等腰直角三角形，，，，為等腰直角三角形，，為等腰直角三角形，，為等腰直角三角形，，的長度為，故選：B．二、填空題6．（23-24七年級上·山東泰安·期末）如圖所示，正方形和正方形的面積分別是100和36，，則以為直徑的半圓的面積是．【答案】【分析】本題主要考查勾股定理，根據勾股定理正確求出的長是解題關鍵．根據正方形的面積公式可求出，，結合勾股定理可求出，最后根據圓的面積公式求解即可．【詳解】解：∵正方形和正方形的面積分別是100和36，∴，，∵，∴，∴以為直徑的半圓的面積是．故答案為：．7．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，網格內每個小正方形的邊長都是個單位長度，都是格點，與相交于點，則．【答案】/135度【詳解】本題考查了勾股定理、勾股定理是逆定理、三角形內角和定理、等腰直角三角形的性質，過點作，連接，根據勾股定理分別求出，根據勾股定理的逆定理得到，根據平行線的性質、三角形內角和定理計算即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．【解答】解：如圖，過點作，連接，由勾股定理得：，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．8．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，有一直角三角形紙片，，，，于點．，分別是線段，上的點，，Ⅰ分別是線段，上的點，沿，折疊，使點，恰好都落在線段上的點處．當時，的長是．【答案】【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），含直角三角形的性質，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關鍵．根據直角三角形的性質得到，由勾股定理得到，求得，由折疊的性質得到，，設，根據勾股定理列方程即可得到結論．【詳解】解：，，，，，，，，，由折疊的性質得，，，，，設，，，，，，解得：，．故答案為：．9．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）清代數學家李銳在其著作《勾股算術細草》中利用三個正方形出入相補的方法證明了勾股定理．如圖，在中，，和為邊，按如圖所示的方式作正方形，和，與交于點J，與交于點E，與交于點J，與交于點E．若四邊形和的面積和為5，四邊形和的面積和為12，則的值為．【答案】【分析】本題考查勾股定理的證明，整體思想的巧妙運用是解題的關鍵．可證明與全等，進而得出的面積，再將所給的面積全部相加，得出正方形和梯形的面積之和，用和的長將其表示出來即可解決問題．【詳解】解：由題知，令，∵四邊形和四邊形是正方形，∴，∴，即．在和中，，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．又∵四邊形和的面積和為5，∴，即，∴，則．又∵四邊形和的面積和為5，四邊形和的面積和為12，將四部分的面積相加得，，∴，則．∴，則（舍負），即的值為．故答案為：．10．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）定義：若一個三角形一邊上的中線、高線與這條邊有兩個交點，這兩個交點之間的距離稱為這條邊上的“中高距”．如圖，中，為邊上的中線，為邊上的高線，則的長稱為邊上的“中高距”．（1）若邊上的“中高距”為0，則的形狀是三角形；（2）若，則邊上的“中高距”為．【答案】等腰/【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定：（1）根據線段垂直平分線的性質，可得，即可求解；（2）在中，根據直角三角形的性質可得，從而得到，在中，可得，從而得到的長，即可求解．【詳解】解：∵邊上的“中高距”為0，∴邊上的高線垂直平分，∴，∴是等腰三角形．故答案為：等腰（2）在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∵點D為的中點，∴，∴．故答案為：三、解答題11．（23-24八年級上·四川成都·期末）如圖，在中，，，，．(1)請判斷的形狀，并證明；(2)過點B作于點E，交于點F，求和的長．【答案】(1)等腰三角形，證明過程見詳解；(2)．【分析】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質和判定及全等三角形的判定，熟知相關定理是正確解決本題的關鍵．（1）用勾股定理先求出的長，再用勾股定理求出的長即可證明結論；（2）用等積法求出，作于H，先證明設，得，設，則，用勾股定理即可求出．【詳解】（1）是等腰三角形．證明：中，，，，，，，，在中，，，是等腰三角形；（2）解：，即，，作于H，是等腰三角形，且，平分，，，，，，設，則，在中，，即，解得，即．12．（23-24八年級上·河南周口·期末）為推進鄉(xiāng)村振興，把家鄉(xiāng)建設成為生態(tài)宜居、交通便利的美麗家園，某地大力修建嶄新的公路．如圖，現從A地分別向，，三地修了三條筆直的公路，，，地、地、地在同一筆直公路上，公路和公路互相垂直，又從地修了一條筆直的公路與公路在處連接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．(1)求公路，的長度．(2)若修公路每千米的費用是萬元，請求出修建公路的費用．【答案】(1)7千米，千米(2)修建公路的費用為萬元【分析】本題考查了勾股定理，三角形的面積，掌握勾股定理是解題的關鍵．（1）利用勾股定理即可求解；（2）利用三角形的等面積方法即可求解．【詳解】（1）解：∵，千米，千米，∴（千米）．∵千米，∴千米，∴（千米）．（2）∵，∴，解得千米，∴修建公路DH的費用為（萬元）13．（22-23八年級上·四川成都·期末）我國漢代數學家趙爽在證明勾股定理時，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，，，．(1)請你利用這個圖形，推導勾股定理：；(2)若直角三角形ABE的面積為54，，求小正方形EFGH的邊長．【答案】(1)(2)小正方形EFGH的邊長為3【分析】本題考查勾股定理的證明，完全平方公式，整體思想，面積法，掌握面積法以及整體思想是解題的關鍵．（1）將正方形的面積用四個全等的直角三角形的面積加正方形的面積表示，再整理即可；（2）根據直角三角形的面積為54，列出等式，再求出即可．【詳解】（1）解：正方形由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成，，，，，整理，得；（2）直角三角形的面積為54，，，，，小正方形的面積，小正方形的邊長為3．14．（22-23八年級上·河南南陽·期末）學校有一塊四邊形的空地，之間有一條垂直于的小路，如圖．學校計劃在這塊空地上種植花卉．已知：米，米，米，米．

(1)這塊空地的面積是多少平方米？（小路的面積忽略不計）(2)頂點到小路的距離是多少米？【答案】(1)36平方米(2)2.4米【分析】(1)先由勾股定理求出米，再用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后用空地的面積計算即可；(2)過點D作于E，利用等積法求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴由勾股定理，得(米)，∵米，米∴∵∴∴，即是直角三角形，∴空地的面積（平方米），答：空地的面積為36平方米．（2）解：如圖，過點D作于E，

由（1）知是直角三角形，∴，∴(米)，答：頂點到小路的距離是2.4米【點睛】本題考查勾股定理及其逆定理，三角形的面積，點到直線的距離，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．15．（23-24八年級上·四川巴中·期末）我們新定義一種三角形：一個三角形中，若兩邊