高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)與結(jié)論分類解析

本文由秋野中的秋葉貢獻(xiàn)

高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)與結(jié)論分類解析

一、集合與簡(jiǎn)易邏輯

1.集合的元素具有確定性、無(wú)序性和互異性.

2.對(duì)集合，時(shí)，必須注意到“極端”情況：或；求集合的子集時(shí)是否注意到是任何第

合的子集、是任何非空集合的真子集.

3.對(duì)于含有個(gè)元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為

4.“交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并，即”；“并的補(bǔ)等于補(bǔ)的交，即

5.判斷命題的真假關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”；注意："不'或'即'且‘，不'且‘即‘或

6.“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假，

要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)是“一真一假”.

7.四種命題中"‘逆'者'交換'也"、"'否'者'否定'也”.

原命題等價(jià)于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià).反證法分為三步：假設(shè)、推

矛、得果.

注意：命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結(jié)論’所得命題”，但否命

題是“既否定原命題的條件作為條件，又否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論的所得命題”?.

8.充要條件

二、函數(shù)

1.指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，，，

2.（1）映射是“'全部射出‘加‘一箭一雕映射中第一個(gè)集合中的元素必有像，但第二

個(gè)集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且僅有下一個(gè)，但中元素的原像可能沒有,

也可任意個(gè)）；函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”.

（2）函數(shù)圖像與軸垂線至多一個(gè)公共點(diǎn)，但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可任意個(gè).

（3）函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像.

3.單調(diào)性和奇偶性

（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同.

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

注意：（1）確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.確定函數(shù)奇偶性

的常用方法有：定義法、圖像法等等.對(duì)于偶函數(shù)而言有：.

（2）若奇函數(shù)定義域中有0,則必有?即的定義域時(shí)，是為奇函數(shù)的必要非充分條件.

（3）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法（取值、作差、鑒定）、導(dǎo)數(shù)

法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法（圖像法）、特殊值法等等.

（4）既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集）.

（7）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”.

復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化。（即復(fù)合

有意義）

4.對(duì)稱性與周期性（以下結(jié)論要消化吸收，不可強(qiáng)記）

（1）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對(duì)稱.

推廣一：如果函數(shù)對(duì)于一切，都有成立，那么的圖像關(guān)于直線（由“和的一半確定”）

對(duì)稱.

推廣二：函數(shù)，的圖像關(guān)于直線（由確定）對(duì)稱.

（2）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對(duì)稱.

(3)函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱.

推廣：曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線是；

曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線是.

(5)類比“三角函數(shù)圖像”得：若圖像有兩條對(duì)■稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為.

如果是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為，那么.

特別：若恒成立，則.若恒成立，則.若恒成立，則.

三、數(shù)列

1.數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前項(xiàng)和公式的

關(guān)系：(必要時(shí)請(qǐng)分類討論).

注意：；.

2.等差數(shù)列中：

(1)等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性.

(2)；.

(3)、也成等差數(shù)列.

(4)兩等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)和(差)組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.

(5)仍成等差數(shù)列.

(6),,,,.

(7)；；.

(8)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；

“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和；

(9)有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇

數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則''偶數(shù)項(xiàng)和”一“奇數(shù)項(xiàng)和”=總項(xiàng)數(shù)的一半與其公差的積；

若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”一“偶數(shù)項(xiàng)和”=此數(shù)列的中項(xiàng).

(10)兩數(shù)的等差中項(xiàng)惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，常考慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”

轉(zhuǎn)化求解.

(11)判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法、圖像法

(也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式).

3.等比數(shù)列中：

(1)等比數(shù)列的符號(hào)特征(全正或全負(fù)或一正一負(fù))，等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比與等比數(shù)列的

單調(diào)性.

(2)；.

(3)、、成等比數(shù)列；成等比數(shù)列成等比數(shù)列.

(4)兩等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.

(5)成等比數(shù)列.

(6).

特另小.

(7).

(8)“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前項(xiàng)積的最大值是所有大于或等于1的項(xiàng)的積；

“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前項(xiàng)積的最小值是所有小于或等于1的項(xiàng)的積；

(9)有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇

數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”=“奇數(shù)項(xiàng)和”與“公比”的積；若總項(xiàng)數(shù)為奇

數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”=“首項(xiàng)”加上“公比”與“偶數(shù)項(xiàng)和”積的和.

(10)并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng).僅當(dāng)實(shí)數(shù)同號(hào)時(shí).，實(shí)數(shù)存在等比中項(xiàng).對(duì)同號(hào)兩實(shí)數(shù)的

等比中項(xiàng)不僅存在，而且有一對(duì).也就是說，兩實(shí)數(shù)要么沒有等比中項(xiàng)(非同號(hào)時(shí))，如果

有，必有一對(duì)（同號(hào)時(shí)）.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，常優(yōu)先考慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)

化求解.

（11）判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、和式法（也就是

說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式）.

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

（1）如果數(shù)列成等差數(shù)列，那么數(shù)列（總有意義）必成等比數(shù)列.

（2）如果數(shù)列成等比數(shù)列，那么數(shù)列必成等差數(shù)列.

（3）如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列是常數(shù)數(shù)

列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.

（4）如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新

等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

如果一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般的

方法”進(jìn)行研討，且以其等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中那些項(xiàng)是他們的公共項(xiàng)，并構(gòu)

成新的數(shù)列.

注意：（1）公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究.但也有少數(shù)問題中研究，

這時(shí)既要求項(xiàng)相同，也要求項(xiàng)數(shù)相同.（2）三（四）個(gè)數(shù)成等差（比）的中項(xiàng)轉(zhuǎn)化和通項(xiàng)轉(zhuǎn)

化法.

5.數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式（三種形式），

②等比數(shù)列求和公式（三種形式），

③，，，?

（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一

起，再運(yùn)用公式法求和.

（3）倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)

與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和

公式的推導(dǎo)方法）.

（4）錯(cuò)位相減法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成,

那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“?個(gè)新的的等比數(shù)列的和”求解（注意：?般錯(cuò)位

相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一的差”!）（這也是等比數(shù)列前和公式

的推導(dǎo)方法之）.

（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那

么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

①，

②，

特別聲明：？運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)分類討論.

（6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。

四、三角函數(shù)

1.終邊與終邊相同（的終邊在終邊所在射線上）.

終邊與終邊共線（的終邊在終邊所在直線上）.

終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱.

終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱.

終邊與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

一般地：終邊與終邊關(guān)于角的終邊對(duì)稱.

與的終邊關(guān)系由“兩等分各象限、一二三四”確定.

2.弧長(zhǎng)公式：，扇形面積公式：，1弧度（Irad）.

3.三角函數(shù)符號(hào)特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

注意：，

，（

4.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在軸上（起點(diǎn)在軸上了、余弦線“躺在軸上（起點(diǎn)

是原點(diǎn)”'、正切線"站在點(diǎn)處（起點(diǎn)是）”.務(wù)必重視“三角函數(shù)值的大小與單位圓上相應(yīng)

點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，'正弦'‘縱坐標(biāo)‘、‘余弦''橫坐標(biāo)'、‘正切''縱坐標(biāo)除以橫

坐標(biāo)之商務(wù)必記?。?jiǎn)挝粓A中角終邊的變化與值的大小變化的關(guān)系.為銳角.

5.三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運(yùn)用中，務(wù)必重視“根據(jù)己知角的范圍和三角函數(shù)的取

值，精確確定角的范圍，并進(jìn)行定號(hào)”；

6.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

7.三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)（常值）的變換，其核心是“角的變換”！

角的變換主要有：己知角與特殊角的變換、-知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩

角與其和差角的變換.

如，，，，等.

常值變換主要指“1”的變換：

等.

三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化（切割化弦）、三角函數(shù)次數(shù)的降升（降次、升次）、運(yùn)

算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化（和式與積式的互化）.解題時(shí)本著“三看”的基本原則來(lái)進(jìn)行：“看角、看函

數(shù)、看特征”，基本的技巧有:巧變角，公式變形使用，化切割為弦，用倍角公式將高次降次.

注意：和（差）角的函數(shù)結(jié)構(gòu)與符號(hào)特征；余弦倍角公式的三種形式選用；降次（升次）公

式中的符號(hào)特征.“正余弦'三兄妹一'的聯(lián)系”（常和三角換元法聯(lián)系在一起）.

輔助角公式中輔助角的確定：（其中角所在的象限由a,b的符號(hào)確定，角的值由確定）

在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用.尤其是兩者系數(shù)絕對(duì)值之比為的情形.有實(shí)數(shù)解.

8.三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：

（1）三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性

注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域；絕對(duì)值對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說來(lái)，某一周

期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的

函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變;其他不定.如的周期都是，但的周期為，y=|tanx|

的周期不變，問函數(shù)丫=（：05鼠|,,y=cos|x|是周期函數(shù)嗎？

（2）三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：

（3）三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換.

（4）三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點(diǎn)法（五點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列）和變換法.

9.三角形中的三角函數(shù)：

（1）內(nèi)角和定理：三角形三角和為，任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三

個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角

任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

（2）正弦定理：（R為三角形外接圓的半徑）.

注意：已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.

（3）余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的類型.

（4）面積公式：.

五、向量

1.向量運(yùn)算的兒何形式和坐標(biāo)形式，請(qǐng)注意：向量運(yùn)算中向量起點(diǎn)、終點(diǎn)及其坐標(biāo)的特征.

2.幾個(gè)概念：零向量、單位向量（與共線的單位向量是，特別：）、平行（共線）向量（無(wú)

傳遞性，是因?yàn)橛校?、相等向量（有傳遞性）、相反向量、向量垂直、以及一個(gè)向量在另一向

量方向上的投影（在上的投影是）.

3.兩非零向量平行（共線）的充要條件

兩個(gè)非零向量垂直的充要條件

特別：零向量和任何向量共線.是向量平行的充分不必要條件！

4.平面向量的基本定理：如果el和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的

任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=el+e2.

5.三點(diǎn)共線共線；

向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得：且.

6.向量的數(shù)量積：，，

注意：為銳角且不同向；

為直角且；

為鈍角且不反向；

是為鈍角的必要非充分條件.

向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別:一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,

這是題目中的天然條件，要注意運(yùn)用；對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘

以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不

能約去一個(gè)向量；向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，切記兩向量不能相除（相約）.

7.

注意：同向或有；

反向或有；

不共線.（這些和實(shí)數(shù)集中類似）

8.中點(diǎn)坐標(biāo)公式，為的中點(diǎn).

中，過邊中點(diǎn)；；

.為的重心；

特別為的重心.

為的垂心；

所在直線過的內(nèi)心（是的角平分線所在直線）；

的內(nèi)心.

六、不等式

1.（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；不等式解集的端點(diǎn)值往往

是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值.

（2）解分式不等式的?般解題思路是什么？（移項(xiàng)通分，分子分母分解因式，x的系數(shù)變

為正值，標(biāo)根及奇穿過偶彈回）；

（3）含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去絕對(duì)值？（一般是根據(jù)定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元

轉(zhuǎn)化）；

（4）解含參不等式常分類等價(jià)轉(zhuǎn)化，必要時(shí)需分類討論.注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取

值分別說明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.

2.利用重要不等式以及變式等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意a,b（或a,b非負(fù)），月.“等

號(hào)成立”時(shí)的條件是積ab或和a+b其中之一應(yīng)是定值（一正二定三等四同時(shí)）.

3.常用不等式有：（根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用）

a、b、cR,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）

4.比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、

分析法

5.含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：

同號(hào)或有；

異號(hào)或有.

注意：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用方程函數(shù)思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為

最值問題）.

6.不等式的恒成立,能成立，恰成立等問題

（1）.恒成立問題

若不等式在區(qū)間上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間上

若不等式在區(qū)間上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間上

（2）.能成立問題

若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立，即在區(qū)間上能成立，，則等價(jià)于在區(qū)間上

若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立，即在區(qū)間上能成立，，則等價(jià)于在區(qū)間上的.

（3）.恰成立問題

若不等式在區(qū)間上恰成立，則等價(jià)于不等式的解集為.

若不等式在區(qū)間上恰成立，則等價(jià)于不等式的解集為，

七、直線和圓

1.直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍：直線方向向量的意義（或）及其直線方程的

向量式（（為直線的方向向量））.應(yīng)用直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式設(shè)直線方程時(shí)，一般可

設(shè)直線的斜率為k,但你是否注意到直線垂直于x軸時(shí)，即斜率k不存在的情況？

2.知直線縱截距，常設(shè)其方程為或；知直線橫截距，常設(shè)其方程為（直線斜率k存在

時(shí)，為k的倒數(shù)）或?知直線過點(diǎn)，常設(shè)其方程為或.

注意：（1）直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截矩式、一般式、向量式.以

及各種形式的局限性.（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截矩式呢？）

與直線平行的直線可表示為；

與直線垂直的直線可表示為；

過點(diǎn)與直線平行的直線可表示為：

過點(diǎn)與直線垂直的直線可表示為：

（2）直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為T或直

線過原點(diǎn);直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點(diǎn);直線兩截距絕對(duì)值相等直

線的斜率為或直線過原點(diǎn).

（3）在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中

一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合.

3.相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個(gè)不同的概念：夾角特指相交兩直線所成的較小

角，范圍是，而其到角是帶有方向的角，范圍是.

注：點(diǎn)到直線的距離公式

特別:

4.線性規(guī)劃中幾個(gè)概念：約束條件、可行解、可行域、目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)解.

5.圓的方程：最簡(jiǎn)方程；標(biāo)準(zhǔn)方程；

一般式方程；

參數(shù)方程為參數(shù)）；

直徑式方程.

注意：

（1）在圓的一般式方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是.

（2）圓的參數(shù)方程為“三角換元”提供了樣板，常用三角換元有：

6.解決直線與圓的關(guān)系問題有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求

解，重要的是發(fā)揮“圓的平面幾何性質(zhì)（如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長(zhǎng)

定理、割線定理、弦切角定理等等）的作用！”

（1）過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，

過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，

過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：.

如果點(diǎn)在圓外，那么上一述直線方程表示過點(diǎn)兩切線上兩切點(diǎn)的“切點(diǎn)弦”方程.

如果點(diǎn)在圓內(nèi)，那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于（為圓心）的直線方程，（為

圓心到直線的距離）.

7.曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)方程組的解；

過兩圓、交點(diǎn)的圓（公共弦）系為，當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)平方項(xiàng)時(shí)，為兩圓公共弦所在直線方程.

八、圓錐曲線

1.圓錐曲線的兩個(gè)定義，及其“括號(hào)”內(nèi)的限制條件，在圓錐曲線問題中，如果涉及到其兩

焦點(diǎn)（兩相異定點(diǎn)），那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線（一定點(diǎn)

和不過該點(diǎn)的一定直線）或離心率，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；涉及到焦點(diǎn)三角形

的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

（1）注意：①圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運(yùn)用；

②圓錐曲線第二定義是：“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，橢圓點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是小于

1的正數(shù)，雙曲線點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是大于1的正數(shù)，拋物線點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是等

于L③圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：

2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對(duì)稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點(diǎn)線、圓錐

曲線的變化趨勢(shì).其中，橢圓中、雙曲線中.

重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值及其‘頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等相互之間

與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的幾何性質(zhì)’”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點(diǎn)弦最值的特點(diǎn).

注意：等軸雙曲線的意義和性質(zhì).

3.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，

等價(jià)轉(zhuǎn)化求解.特別是：

①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時(shí)，

務(wù)必“判別式NO”，尤其是在應(yīng)用韋達(dá)定理解決問題時(shí)，必須先有“判別式20”.

②直線與拋物線（相交不一定交于兩點(diǎn)）、雙曲線位置關(guān)系（相交的四種情況）的特殊性，應(yīng)

謹(jǐn)慎處理.

③在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，常與“弦”相關(guān)，“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、

“中點(diǎn)弦”問題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點(diǎn)差法”、“長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)）”問

題關(guān)鍵是長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)）公式

（,,）或“小小直角三角形”.

④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化.

4.要重視常見的尋求曲線方程的方法（待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點(diǎn)法、參數(shù)法、交

軌法、向量法等），以及如何利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)（定義法、幾何法、代數(shù)

法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等），這是解析幾何的兩類

基本問題，也是解析幾何的基本出發(fā)點(diǎn).

注意：①如果問題中涉及到平面向量知識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的

幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”

轉(zhuǎn)化.

②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時(shí)應(yīng)注意軌跡

上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響.

③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合（如角平分線的雙重

身份）、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、

“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.

九、直線、平面、簡(jiǎn)單多面體

1.計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（補(bǔ)形）轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角計(jì)算

2.計(jì)算直線與平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線找射影，或向量法（直線上向量與平面法向量

夾角的余角），三余弦公式（最小角定理，），或先運(yùn)用等積法求點(diǎn)到直線的距離，后虛擬直

角三角形求解.注：一斜線與平面上以斜足為頂點(diǎn)的角的兩邊所成角相等斜線在平面上射影

為角的平分線.

3.空間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、定理和空間向量進(jìn)行，請(qǐng)重視線面

平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系（三垂線定理及其逆定理）的橋梁作用.注意：書寫證明過程需規(guī)

范.

特別聲明：

①證明計(jì)算過程中，若有“中點(diǎn)”等特殊點(diǎn)線，則常借助于“中位線、重心”等知識(shí)轉(zhuǎn)化.

②在證明計(jì)算過程中常將運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將具體問題轉(zhuǎn)化（構(gòu)造）為特殊幾何體（如三棱

錐、正方體、長(zhǎng)方體、三棱柱、四棱柱等）中問題，并獲得去解決.

③如果根據(jù)已知條件，在兒何體中有“三條直線兩兩垂直”，那么往往以此為基礎(chǔ)，建立空間

直角坐標(biāo)系，并運(yùn)用空間向量解決問題.

4.直棱柱、正棱柱、平行六面體、長(zhǎng)方體、正方體、正四面體、棱錐、正棱錐關(guān)于側(cè)棱、側(cè)

面、對(duì)角面、平行于底的截面的幾何體性質(zhì).

如長(zhǎng)方體中：對(duì)角線長(zhǎng)，棱長(zhǎng)總和為，全（表）面積為，（結(jié)合可得關(guān)于他們的等量關(guān)系，

結(jié)合基本不等式還可建立關(guān)于他們的不等關(guān)系式），;

如三棱錐中：側(cè)棱長(zhǎng)相等（側(cè)棱與底面所成角相等）頂點(diǎn)在底上射影為底面外