高中數(shù)學(xué)立體幾何知識點歸納總結(jié)

高中數(shù)學(xué)立體幾何知識點歸納總結(jié)

一、立體幾何知識點歸納

第一章空間幾何體

（-）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（1）多面體一一由若干個平面多邊形圍成的幾何體.

圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱

與棱的公共點叫做頂點。

旋轉(zhuǎn)體一一把一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其

中，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。

（2）柱，錐，臺，球的結(jié)構(gòu)特征

1.棱柱

1.1棱柱一一有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都

互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。5_____o,

1.2相關(guān)棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的

關(guān)系：

「斜棱柱

①棱柱".底面.是與多些_＞正棱柱

棱垂直于底吼）直棱柱.

其他棱柱.

②四棱柱底面為平行四邊設(shè)平行六面體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面為矩形

A''------------------------------------A----------------A

長方體I底面為正方形I正四棱柱I側(cè)棱與底面邊長相拿怔方體

1.3棱柱的性麗A"

①側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；

②兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；

③過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；

④直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面與對角面是矩形0

1.4長方體的性質(zhì)：

①長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的|

平方和；【如圖】AC^2=AB2+AD2+AA^2

②（了解）長方體的一條對角線AG與過頂點A的三條

AB

棱所成的角分別是a,"y,那么

cos2a+cos2P+cos2/=1,sin2a+sin2/?+sin2/=2；

③（了解）長方體的一條對角線AG與過頂點A的相鄰三個面所成的角分別是a,13,y,

貝Ijcos2a+cos2p+cos2y=2,sin2a+sin2^+sin2/=l.

1.5側(cè)面展開圖：正n棱柱的側(cè)面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側(cè)棱長為鄰

邊的矩形.

S直棱柱側(cè)—c,〃

1.6面積、體積公式：“國仕山（其中c為底面周長，h

S直棱柱全=八力+25底'V棱柱=5底-。

為棱柱的高）

2.圓柱

2.1圓柱一一以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其

余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.

2.2圓柱的性質(zhì)：上、下底及平行于底面的截面都是

等圓；過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.

2.3側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和

母線長為鄰邊的矩形.

2.4面積、體積公式：

S固柱切=l7trh；Surn全=2萬歷+2乃產(chǎn)，v?itt：=S&h=7rr2h（其中r為底面半徑，h為圓柱高）

3.棱錐

3.1棱錐一一有一個面是多邊形，其余各

面是有一個公共頂點的三角形，由這些

面所圍成的幾何體叫做棱錐。

正棱錐一一如果有一個棱錐的底面

是正多邊形，并且頂點在底面的射影是

底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

3.2棱錐的性質(zhì)：

①平行于底面的截面是與底面相似的正

多邊形，相似比等于頂點到截面的距

離與頂點到底面的距離之比；

②正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；

③正棱錐中六個元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面

邊長一半，構(gòu)成四個直角三角形。）（如上圖：SOB,.SO”,S3”,.08〃為直角三角形）

3.3側(cè)面展開圖：正n棱錐的側(cè)面展開圖是有n個全等的等腰三角形組成的。

3.4面積、體積公式：S正棱錐,S正校錐金=；c"+S底，V核儺=；S底?/?.（其中c為底面

周長，//側(cè)面斜高，h棱錐的高）

4.圓錐

4.1圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍

成的幾何體叫圓錐。

4.2圓錐的性質(zhì)：

①平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面

的距離之比；

②軸截面是等腰三角形；如右圖：_SAB

③如右圖：I2=hr+r2.

4.3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心,

以母線長為半徑的扇形。

4.4面積、體積公式：

1,

S圓錐側(cè)=乃〃，S圓饞全=4廠（廠+/）,Vmt=-7rr"h（其中

r為底面半徑，h為圓錐的高，1為母線長）

5.棱臺

5.1棱臺一一用一個平行于底面的平面去截棱

錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺.

5.2正棱臺的性質(zhì)：

①各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；

②正棱臺的兩個底面以及平行于底面的截面是

正多邊形；

③如右圖：四邊形都是直角梯

形

④棱臺經(jīng)常補成棱錐研究.如右圖：.SO'M與一SON,_S'O'B'Jg.SOB相似，注意考慮相似比.

5.3棱臺的表面積、體積公式：S仝=S上底+S下底+$勖加令=g（S+反+S'）/z,（其中S,S'是

上，下底面面積，h為棱臺的高）

S-

6.圓臺

6.1圓臺一一用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,

底面與截面之間的部分叫做圓臺.

6.2圓臺的性質(zhì)：

①圓臺的上下底面，與底面平行的截面都是圓；

②圓臺的軸截面是等腰梯形：

③圓臺經(jīng)常補成圓錐來研究。如右圖：

SO'A與,SOB相彳以，注意相似比的應(yīng)用.

6.3圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)；

2

6.4圓臺的表面積、體積公式：S±—7rr+7rR+7r（R+r}l,

V圓臺=%+宿+5'）〃=3（7rr~+nrR+7rR2）/?>（其中r,R為上下底面半徑，h為高）

7.球

7.1球一以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.

或空間中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱

球；

7.2球的性質(zhì)：

①球心與截面圓心的連線垂直于截面:

②「=，店一解（其中，球心到截面的距離為水

球的半徑為R、截面的半徑為r）

7.3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長

方體，球與正方體等的內(nèi)接與外切.

注：球的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓的問題解決.

7.4球面積、體積公式：S球=4萬斤,%=g乃K

（其中R為球的半徑）

例：（06年福建卷）已知正方體的八個頂點都在球面上，且球的體積為三萬，則正方體的棱

3

長為_________

（-）空間幾何體的三視圖與直觀圖

1.投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。

2.三視圖一一是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；

正視圖一一光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；

側(cè)視圖一一光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；

正視圖一一光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；

注：（1）俯視圖畫在正視圖的下方，“長度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右邊，“高

度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖。（簡記為“正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長，俯、

側(cè)一樣寬”.

（2）正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。

3.直觀圖：

3.1直觀圖一一是觀察著站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平

行投影下畫出的空間圖形。

3.2斜二測法：

stepl：在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy,（即取N優(yōu)少=90°）；

step2：畫直觀圖時，把它畫成對應(yīng)的軸o'x',o'y',取Nx'o'y'=45°（。川35°）,它們確定的

平面表示水平平面；

step3：在坐標(biāo)系x'o'y'中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變，平行

于x軸（或在x軸上）的線段保持長度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線段長度減半。

結(jié)論：一般地，采用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的4倍.

4

解決兩種常見的題型時應(yīng)注意：（1）由幾何體的三視圖畫直觀圖時，一般先考慮“俯視圖”.

（2）由幾何體的直觀圖畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱畫成實線，不能看見的輪廓線和棱

畫成虛線。

第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系

（一）平面的基本性質(zhì)

1.平面--無限延展，無邊界

1.1三個定理與三個推論

公理1：如果一條直線上有兩點在一個平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi)。

用途：常用于證明直線在平面內(nèi).

圖形語言：符號語言：

公理2：不共線的三點確定一個平面.圖形語言：

推論1：直線與直線外的一點確定一個平面.圖形語言：

推論2：兩條相交直線確定一個平面.圖形語言：

推論3：兩條平行直線確定一個平面.圖形語言：

用途：用于確定平面。

公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線（兩

個平面的交線）.

用途：常用于證明線在面內(nèi)，證明點在線上.

圖形語言：符號語言：

形語言，文字語言，符號語言的轉(zhuǎn)化：

圖形承門文字謂門符號筋濟(jì)

B-點A在H線n上

A■點R6〃線*?外

?B

點A在平面“外一44soi

點B在平面。內(nèi)Bea

直線a在平面“內(nèi)〃ua

直線b在平面。外baa

H線a平面a相交于點A.4

H線小，11線1＞交手點八ar\b=A

aAp*?

共面:a(b=A,a//b

i.空間直線的位置關(guān)系：!

異面:a與b異面

1.1平行線的傳遞公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表述:

allb.bllc=>allc

1.2等角定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。

1.3異面直線：(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線——異面直線；

(2)判定定理：連平面內(nèi)的一點與平面外一點的直線與這個平面內(nèi)不過此點的

直線是異面直線。

p

P電a

、A&a,pk

圖形語言:符號語百：卜nPA與a異面

A^a

1.4異面直線所成的角：（1）范圍：6e（（）°,90。］；（2）作異面直線所成的角：平移法.

如右圖，在空間任取一點0,過O作優(yōu)〃。為'〃匕，則優(yōu)”

所成的。角為異面直線a,匕所成的角。特別地，找異面直線所

成的角時，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特

殊點（如線段中點，端點等）上，形成異面直線所成的角.

lua

2.直線與平面的位置關(guān)系：Jf/a=A

Iaa<

（三）平行關(guān)系（包括線面平行，面面平行）

1.線面平行：

①定義：直線與平面無公共點.

allb

②判定定理：a^a\>=>a//a（線線平行二線面平行）【如圖】

bua

alia

③性質(zhì)定理：au"1na〃匕（線面平行二線線平行）【如圖】

a0=b

④判定或證明線面平行的依據(jù)：（i）定義法（反證）：/a=0=>l//a（用于判斷）；（ii）

a//b]、

allB

判定定理：aua\=alla“線線平行n面面平行”（用于證明）；（iii）〃夕

,aua

bLa

“面面平行=線面平行”（用于證明）；（4）bla[^a//a（用于判斷）；

。aa

2.線面斜交：Ia=A

①直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則平p

面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角?！救鐖D】于O,

則AO是PA在平面。內(nèi)的射影，則NP4O就是直線PA與平面

a所成的角。

范圍：6>G[0°,90°],注：若lua或l//a,則直線/與平面a

所成的角為0°；若/La,則直線/與平面a所成的角為90°。

3.面面平行：

①定義：a0=0=a/l（3；

②判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么兩個平面互相平行;

符號表述：a,b<^a,a\h-O,alla,blla^>all/3【如下圖①】

圖①圖②

推論：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條直線，那么這兩個平面互相

平行

符號表述：a,h(^a,a''h-O,a',b'cz/3,a//a',b//b'=>a///3【如上圖②】

判定2：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.符號表述：

aLa,aL/3all/3.[如右圖]

③判定與證明面面平行的依據(jù)：（1）定義法；（2）判定定理

及推論（常用）（3）判定2

itry、all（?3

④面面平行的性質(zhì)：（1）"P〃4（面面平行二線面平行）；（2）ay^a\=>a//b,

aua-

Jp'y=b

（面面平行二線線平行）（3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等?！救鐖D】

（四）垂直關(guān)系（包括線面垂直，面面垂直）

1.線面垂直

①定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。

符號表述：若任意aua,都有/_La,且/<za,貝”_La.

a,bua

a{b-0

②判定定理：laa>=>/±a（線線垂直二>線面垂直）

ILa

11b

③性質(zhì)：（1）I±a,a<^a=>l±a（線面垂直=線線垂直）；（2）aLa,bLanaHb；

allb

④證明或判定線面垂直的依據(jù)：（1）定義（反證）；（2）判定定理（常用）；（3）\=>bVa

aLa

a工p

allaB-b

（較常用）；（4）}na_L4：（5）>（面面垂直=線面垂直）

aLa]aua

aLb

常用；

⑤三垂線定理及逆定理：

（I）斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段與斜線段中，POVa（1）斜線相

等O射影相等；（2）斜線越長O射影越長；（3）垂線段最

短?！救鐖D】PB=PCoOB=OC；PA>PBoOA>OB

（ID三垂線定理及逆定理：已知PO_Lc,斜線PA在平面a

內(nèi)的射影為OA,ac.a,

①若則——垂直射影=>垂直斜線，此為

三垂線定理；

②若則一—垂直斜線=>垂直射影，此為

三垂線定理的逆定理；

三垂線定理及逆定理的主要應(yīng)用：（1）證明異面直線垂直；（2）

作、證二面角的平面角；（3）作點到線的垂線段；【如圖】

3.2面面斜交

①二面角：（1）定義：【如圖】

OB±l,OAri=>NAO3是二面角。一/一夕的平面角

范圍：ZAOfie[0°,180°lB.

②作二面角的平面角的方法：（1）定義法；（2）三垂線法（常

用）；（3）垂面法.\?.o

3.3面面垂直

（1）定義：若二面角。一/一，的平面角為90。，則a,用;

（2）判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這

兩個平面互相垂直.

“匚01.na（線面垂直=>面面垂直）

a_L,

（3）性質(zhì)：①若a,4，二面角的一個平面角為NMON,則

ZMON=好；

a10

aAB

②[=>a1/3（面面垂直二線面垂直）;

aua

AB

二、立體幾何常見題型歸納例講

1、概念辨析題：

（1）此題型一般出現(xiàn)在填空題，選擇題中，解題方法可采用排除法，篩選法等。

（2）對于判斷線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系等方面的問題，必須在熟練掌握有關(guān)的定理和

性質(zhì)的前提下，利用長方體，正方體，實物等為模型來進(jìn)行判斷。你認(rèn)為正確的命題需

要證明它，你認(rèn)為錯誤的命題必須找出反例。

（3）相關(guān)例題：課本和報紙上出現(xiàn)很多這樣的題型，舉例說明如下：

例：（04年北京卷）設(shè)m,n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個說

法：①，?^_La,〃〃a=m_L〃；②aH。,團(tuán)1；（§）mHa,n//a^>m//n

?al/,j31y=>a//j3,說法正確的序號是：

2、證明題。證明平行關(guān)系，垂直關(guān)系等方面的問題。

（1）基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò)：

平行與垂直關(guān)系可互相轉(zhuǎn)化

平行關(guān)系?------------------------------------------?垂直關(guān)系

1.a_La,h_La=a//Z71

2.al.a,a/!b=>bYa—一1一人、

平面幾何知識211AHR平面幾何知識

3.a±a,a-Lp=>a//1

4.al/a工ana10

5.a〃/7J_a=>y_L/?、?

線線平行線線垂直

判定Wu定推論判//

面由醍義

判定」_\\__

線面平行V*面面平行線面垂直<____面面垂直

請根據(jù)以上知識網(wǎng)絡(luò)圖，寫出相關(guān)定理的圖形語言與符號語言.

(2)相關(guān)例題：n.r.

在正方體ABCD-/_一一-----

例1(06廣州市高一質(zhì)量抽測)如右圖,

AIBIG功中，E、F為棱AD、A3的中點

(1)求證：E/〃平面C8Q1；

(2)求證：8。」平面。141cl

AFB

例2.如圖，已知矩形ABCD中，AB=10,BC=6,將矩形沿對

角線BD把△ABD折起，使A移到4點，且從在平面BCD上的射影O恰好在CD上.

(I)求證：BC1A,D；

(11)求證：平面ABC_L平面ABO；

(in)求三棱錐A-BC。的體積(答案：

9-BCD=48)

3、計算題。包括空間角(異面直線所成的角，線面角,二面角)和空間幾何體的表面積、體

積的計算。

（I）對于空間角和空間距離的計算，關(guān)鍵是做好“三步曲”：st叩1：找；Step2：證；Step3：

計算。

i.i求異面直線所成的角e€（O°,9O°］：

解題步驟：一找（作）：利用平移法找出異面直線所成的角；（1）可固定一條直線平移另

一條與其相交；（2）可將兩條一面直線同時平移至某一特殊位置。常用中位線平移法

二證：證明所找（作）的角就是異面直線所成的角（或其補角）。常需要證明線線平行；

三計算：通過解三角形，求出異面直線所成的角；

1.2求直線與平面所成的角8e［0。,90。］：關(guān)鍵找“兩足”：垂足與斜足

解題步驟：一找：找（作）出斜線與其在平面內(nèi)的射影的夾角（注意三垂線定理的應(yīng)用）；

二證：證明所找（作）的角就是直線與平面所成的角（或其補角）（常需證明線面垂直）；