高考高中數(shù)學(xué)：必考大題題型總結(jié)

高考高中數(shù)學(xué)：必考大題題型整理總結(jié)（下載直接

打?。?/p>

一、三角函數(shù)或數(shù)列

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)

列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)

函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸

納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的

數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、

換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。

近幾年來，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個(gè)方面;（1）數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)，其中有等

差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式。（2）數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有數(shù)

列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。（3）數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長率問題

為主。試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，

只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。

二.立體幾何

高考立體幾何試題一般共有4道（選擇、填空題3道，解答題1道），共計(jì)總分27分左右，考

查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi)。選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問題，而解答題著重考查立幾中的

邏輯推理型問題，當(dāng)然，二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提。隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施，

立體幾何考題正朝著多一點(diǎn)思考，少一點(diǎn)計(jì)算的發(fā)展。從歷年的考題變化看，以簡單幾何體為

載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是常考常新的熱門話題。

三、統(tǒng)計(jì)與概率

1.掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題。

2.理解排列的意義，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題。

3.理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問

題。

4.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡單的問題。

5.了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義。

6.了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率。

7.了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率

乘法公式計(jì)算一些事件的概率。

8.會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率.

四、解析幾何（圓錐曲線）

高考解析幾何剖析：

L很多高考問題都是以平面上的點(diǎn)、直線、曲線（如圓、橢圓、拋物線、雙曲線）這三大類幾何

元素為基礎(chǔ)構(gòu)成的圖形的問題；

2、演繹規(guī)則就是代數(shù)的演繹規(guī)則，或者說就是列方程、解方程的規(guī)則。

有了以上兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)，我們可以毫不猶豫地下這么一個(gè)結(jié)論，那就是解決高考解析幾何問題無外

乎做兩項(xiàng)工作：

1、幾何問題代數(shù)化。

2、用代數(shù)規(guī)則對代數(shù)化后的問題進(jìn)行處理。

五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問題的有力工具。在高中階段對于導(dǎo)數(shù)的學(xué)

習(xí)，主要是以下幾個(gè)方面：

1.導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題:

（D刻畫函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；

（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；

（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問題

屬于較難類型。

2.關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。

3.導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方

向，應(yīng)引起注意。

三角函數(shù)

一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.角度制與弧度制的互化：360°=2兀180°=兀

lrad=iso-~57.30°=57°18'.r=-L=0.01745(rad)

x180

2.弧長及扇形面積公式

弧長公式：I=\a\.r扇形面積公式:S=；Lr

a--是圓心角且為弧度制.r一一是扇形半徑

3.任意角的三角函數(shù)

設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊上一點(diǎn)p(xsy),r=&+-

(1)正弦sina=2余弦cosa=±正切tana=』

rrx

(2)各象限的符號(hào)：

sinacosatana

4、三角函數(shù)線

正弦線：MP;余弦線：0M;正切線：AT.

5.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：

(1)平方關(guān)系：sin%+cos%=l?

(2)商數(shù)關(guān)系：-=tana(a#—+k/r,kez)

cosa2

6.誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號(hào)看象限

(l)sin(2無萬+a)=sina,co$(2*/r+a)=cosa,tan(2#/r+a)=tana(￡wZ)?

(2)sin(zr+a)=-sma?cos(%+a)=-cosa,tan(zF+a)=tana.

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa?tan(-a)=-tana.

(4)sin(^-a)=sina,cos(^-a)=-cosa,tan(^-a)=-tana.

(5)sin|^--aj=cosa,cos1卜sina.

(6)sin^y+a|=costz?cos[f+a)=-sina.

7正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二用國跋/=tnx/=co?r7=tara

;%/門

iw小，,X

圖霰

j°\,/z,4<4

(??-y.

定義城(-i+??)(―??.+8)

內(nèi)弋)

值域[-1.1](-8.斗8)

最大(小)當(dāng)r-2*x+y

當(dāng)了=%?.

值

時(shí)?(s

JUaIt無

(0型L2H+附

時(shí)，>,a*=I?

(*€Z)

當(dāng)r=2*i-:

3—1

時(shí)，二I

寄偏性奇函數(shù)偶而也需函整

fflWttr-2ir-2if-1

有界性司界有用無界

在［而一j.

在KA7”.在(h-M?

單調(diào)性2*14-y］上郃2H］上郃是喈的

事.

是用謝必*1+-內(nèi)郵

在【狄凡2

25(2*14-:.(2Ar4-l)?］±是用畫數(shù)

部息準(zhǔn)函載

%i+爭上邯

是潮族

8.三角西氤公式：

兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系

sin(a±/?)=sinacos/?icosasin/?

cos(a±p)=cosacospjsinasin夕

tana±tan

tan(a±0=

1tanatanp

倍角公式

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a

=2cos2a-l

=l-2sin2a

2tana

tanla=

1-tan2a

9,正弦定理：

sinAsinBsinC

10.余弦定理：

a2-b1-i-c2-2bccosA;

b2=c2+a2-IcacosB;

c2=a2+b2-2abcosC.

三角形面積定理,S=-a2>sinC=—besin.4=—cosinB.

222

二、三角函數(shù)?？碱}型

三角函數(shù)題是高考數(shù)學(xué)試卷的第一道解答題，試題難度一般不大，但其戰(zhàn)略意義重大，所以穩(wěn)拿

該題12分對文理科學(xué)生都至關(guān)重要。分析近年高考試卷，可以發(fā)現(xiàn)，三角解答題多數(shù)喜歡和平面向

量綜合在一起，且向量為輔，三角為主，主要有以下三類：

一、運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半等公式進(jìn)行化簡求值類。

例1已知向量0=(8§,蒼§111；93=(8§1-§也5),且^^6萬]一

(1)若a+b\>^3>求X的取值范圍；

(2)函數(shù)/(x)=aH|a+b|,若對任意"X2H;㈤，恒有1/(七)-/5)|<八求f的取值范圍.

解：(1)Qa|=|b|=La6=cos2x,:Ja-6=』2+2cos2x=-2cosx>石,

即cosx<-^.Qxe[y,^],.\^<x<^e

(2)/(x)=a3+a+^|=cos2x-2cosx=2(cosx-^)2-?

Q-lVcosx&O/JCOw=3J(x)g=-l?又Q/aL/S)區(qū)/(x)叩-/3mb=4,/.r>4

二、運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)解題，通常考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、最值、對稱軸及對稱中

心。

例3己知向量a.(sina,一；)，2?Q,2cosa),ex€(0,~)

(1)求sin2a及sma的值；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)=5sin(_2x+q+a)+2cos2x(xe區(qū),勿，求X為何值時(shí)，/(x)取得最大值，最大

2242

值是多少，并求八x)的單調(diào)增區(qū)間.

解：(1)ad-sina-cosa-^?(sma-cosa)2-l-sin2a?sin2a?,

)497.34

(sma+cosa/?l*sm2a*—?sina*cosar--cosa-y>sna?-

(2)/(x)-5cos(2x-a)+l+cos2x-5(cos2xcosa+su2xsna)+cos2x+1

-X-co82x4--sm2x)+cos2x+l-4cos2x+4sin2x*l,4>/5sin(2x+2)+l，?二—^x<—?

554242

?，?與，，當(dāng)x■W時(shí)，5)?1+26，要使y?/(x)單調(diào)遞增,

???-《.2匕”入/44+2而，-+，又xwg，］,:.)?/(x)的單調(diào)增區(qū)間為

24288242

［工-］

l24,8J

三、解三角形問題，判斷三角形形狀，正余弦定理的應(yīng)用.

例6在△EC中，角AE,C的對邊分別為a,b,c.已知向量布=(a+cA-a),"=(a-c,b),且

mLn.

(1)求角C的大??；(2)若sin4+sinB=^，求角A的值，

2

解：(1)由得(a+cXa-c)+S-a)b=O;整理得a2+/-c2-ab=O.

即又c°sC=W又因?yàn)楱D，所以CR.

(2)因?yàn)镃=g,所以4+8=斗，故3=§-.4.

洛，得sin/+sin(g-/)?絡(luò).即sin/+*cos彳▲：sin/=

由sin/+sin3

2

所以石sin〃+cos/?V5.即sin(.4+2)=.因?yàn)?<4</乃，所以土</，2<紅，

623666

故4+^=2或4+￡=衛(wèi),.?.4==或4=4.

64641212

三角函數(shù)的小題涉及三角函數(shù)的所有知識(shí)點(diǎn),因此,熟練掌握公式和性質(zhì)是解好小題的必要條件,

在日常訓(xùn)煉中一定要改掉邊做題邊看公式的壞習(xí)慣.再者，填空題答案書寫的規(guī)范也需反復(fù)強(qiáng)調(diào).

數(shù)列

一、知識(shí)點(diǎn)

1、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

“_(數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)的和為4=.+%+L+凡).

2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

a=q+(力-1)4=力?+q-d(nwV).

n?

3、等差數(shù)列其前n項(xiàng)和公式為

成勾+4)w(w-l),d5z1公

sn=二二、——=+---d=彳+(q一5d)n.

4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

4=="qn(n€N、;

q

5、等比數(shù)列前n項(xiàng)的和公式為

，窄?或寸號(hào)E

na^q=\=l

二、高考常見題型

題型一：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法

A、定義法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式.

B,公式法：已知S"(即q+q+L+q=/("))求a”，用作差法：4=快"7.

例.已知數(shù)列｛aj的前"項(xiàng)和S.滿足求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

解：由q=S[=2zj[—lnq=1

，

當(dāng)*22時(shí)，有4=S?-'SB_i=2(fl?-0^)+2x(-1)",

?-4=肛+2?-1尸，

an-i=2a“2+2x(-1)"*2....,a：=2a,-2.

4=21%+2-'x(-l)+2Tx(-lf+L+2x(-l)i

=2-l+(T)'[(-2)T+(-2)i+A+(-2)]

=rl_(_ir4b±^]

經(jīng)驗(yàn)證q=1也滿足上式，所以a”=32”2+(-l)Z]

C、累加法：

若求4:4=(q-、)+(j-4_2)+L+@-q)+q("22)?

D、累乘法：已知也=/(“)求a“，用累乘法：a“=2.4」L.生q(”N2).

a?a.-ia?-iq

E,已知遞推關(guān)系求a*,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列).

①/(”)為常數(shù)，即遞推公式為az=pa”+g(其中p,q均為常數(shù)，Cwtp-l)*0)).

解法：轉(zhuǎn)化為：*T=p(a”T),其中r=#-,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

1-P

例.已知數(shù)列｛4｝中,q=l,anA=2a?+3,求a?.

解：設(shè)遞推公式a“嚴(yán)況+3可以轉(zhuǎn)化為=即ae=2a“-r=r=-3故遞推公式為

。標(biāo)1+3=2(a“+3).令b,=a,+3,則4=q+3=4,且今'=馬出號(hào)=2.所以機(jī),｝是以"=4為首項(xiàng)，2

鼠a,+3

為公比的等比數(shù)列，則々=4x2-1=2?所以a”=2向-3.

二.數(shù)列的前n項(xiàng)求和的求法

1.公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，

特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.

常用公式：1+2+3+L+M=1M〃+1),F+2‘+L+/=J"("+1X2"+1),

2o

2,分蛆求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用

公式法求和.

3.倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考

慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前”和公式的推導(dǎo)方法).

例3、求sin'r+sin。2°+sin'3°+…+sin?88°+sin'89°的值

解:?S=sin210+sin220+sin23°+---+sin2880+sin289°.................①

將①式右邊反序得

S=sin2890+sin288°+■--+sin230+sin220+sin21°................②（反序）

又因?yàn)閟inx=cos（90°-x）,sin:x+cos4x=1

S②得（反序相加）

2S=(sin:1°+cos*10)+(sin22°+cos22°)+---+(sin289°+cos289°)—89

AS=44.5

4.借位相，法：如果裁列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)或，那么常選

用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法).

例4、求和：S,=l+3x+5x2+7x｝+--+(2?-l)x*-1.................................①

解：由題可知，｛(2x-l)x"T｝的通項(xiàng)是等差數(shù)列｛2n-l｝的通項(xiàng)與等比數(shù)列｛X-I｝的通項(xiàng)之積

設(shè)xS.=lx+3x'+5x'+7x'+...+(2”-l)x*.....................................②(設(shè)制錯(cuò)位)

①一②得(1-x)S,=1+2x+2x2+2x，+2x'+…+2x*-'-(2?-l)x*(錯(cuò)位相戒)

再利用等比數(shù)列的求和公式得：(l-x)S,=l+2x.t3--(2n-l)x"

1-x

._(2.-1*-(2"+l)x"+(1+x)

（1-xf

5.裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的逋項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差''的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂

項(xiàng)相消法求和

常用裂項(xiàng)形式有：

①一1—=1--L,②—1—=1(1—

n(n4-1)nM+1n(n4-k)knn+kJ

1_1111

於一(左+1)正

=[]

??(?+lXn+2)2^^D-(n+lXn+2)；⑤而萬丁而萬;

6.通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和.

例3、求1+11+111+…+壯十?1之和.

?KM

解：由于U*31=：x罌2.毛9=：(10*-1)(找通項(xiàng)及特征)

:.1+11+111+…+\1小

=^(10^—1)+~(102—1)+-(103-1)+???+-(10n-1)(分組求和)

=—(io1+102+1034—FIO")—(1+4型2%,砂D

99Ml

10(10”-1)，

-9-10:4—―9

=1(10^-10-9?)

導(dǎo)數(shù)

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)F-/(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)致的幾何意義就是曲線.V?〃x)在點(diǎn)(》J(x))處的切線的斜率，也就是

說，曲線)一“X)在點(diǎn)P(ro，/(x?處的切線的斜率是/'(X。).切線方程為J-)bi/CXx-Xo).

2.、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?

①C'=0;②(x")=nx""'；③(sinx)'=cosx;?(cosx)=-sinx;

⑤(a*)'=a*Ina；?(?*)1=ex；?(log,x)=；⑧(lnx)'=」

xinax

3、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

(1)(w±v)=u±v.(2)(uv)=?v+av.(3)(—)-—^-(v^O)

vv*

4、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)”=1p(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)“；=/(x),函數(shù))■=/(“)在點(diǎn)X處的對應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)致

yu=f'(u),則復(fù)合函數(shù)y=/@(x))在點(diǎn)X處有導(dǎo)數(shù)，且或?qū)懽鳌?穴x))=/(“)，(x).

5、極值的判別方法：(極值是在X。附近所有的點(diǎn)，都有"x)V/(x。)，則”xo)是函數(shù)aX)的極大值，

極小值同理)

當(dāng)函數(shù)/(x)在點(diǎn)X。處連續(xù)時(shí)，

①如果在X。附近的左側(cè)/(x)>0,右側(cè)/(x)<0,那么是極大值；

②如果在4附近的左側(cè)/(x)<0,右側(cè)/<x)>0,那么/(均)是極小值

極值與最值區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較.

二、?？碱}型總結(jié)

題型一，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值.

1./口)=1-3/+2在區(qū)間卜1』上的最大值是？

2.已知函數(shù)>=/(x)=Kx-c尸祗=2處有極大值，則常數(shù)C?

3.函數(shù))=l+3x-2有極小值？，極大值？

題型二?利用導(dǎo)致幾何意義求切線方程

1.曲線丫=4工_/在點(diǎn)(Tl3)處的切線方程是y=x-2

2.若曲線/(x).xJx在p點(diǎn)處的切線平行于直線3*-r0,則p點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)

4.求下列直線的方程：

(1)曲線F-2+X+1在處的切線；(2)曲線〉=x'過點(diǎn)P(3,5)的切線；

解.(1)。融(T])在曲出',/?f+1上.二,?3x2+2x」.k?yki-3-2-l

所以切線方程為)7-xN,耽-).2?0

(2)顯然點(diǎn)P(3,5)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為4均加，則比一斗’①又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為>

所以過4孫加點(diǎn)的切線的斜率為*7k尸兩，又切線過小孫紳、P(3,5)點(diǎn)，所以有沏r②，由

［今?］或(沏-5

①②聯(lián)立方程組得，1并/卜廠25,即切點(diǎn)為(1，1)時(shí)，切線斜率為可=8=4；當(dāng)切點(diǎn)為(5,25)

時(shí)，切線斜率為*2=%=1。；所以所求的切線有兩條，方程分別為

y-1=2(x-1)爽-25=10(x-5).=2x-l5g=10x-25

題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值

1.已知函數(shù)/(x)=d+bx+G過曲物，=/(x)上的點(diǎn)尸(L/(l))的切線方程為y=3x+l

(I)若函數(shù)/(X)在*=-2處有極值，求/(X)的表達(dá)式；

(in在(I)的條件下，求函數(shù)y=7(x)在：一3,1］上的最大值；

<m)若函數(shù)丫=/3)在區(qū)間［-2,1］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍

解：(1)由+妝:+bx+c,求導(dǎo)數(shù)得/<'(x)=3x2+2ox+b.

過)'=/(x)上觸(L/。))的切線方程為：

v-/(I)-/'(l)(x-1),即》—(a+6+c+1).(3+2a+b)(x-1).

而過尸〃X)上叩,/(1)的切線方程為F=3x+L

［3+2a+b?3j2a+5.0?

故［a-…3!、a-…3②

?.,y■/(x)在x--有極值，數(shù)/2)-0,「.-4a+6■—12③

32

由①?③得a=2,b-4,c=5,../(X)-X+2X-4X+5.

(2)/'a)=3_+4x-4=(3x-2Xx+2).

當(dāng)-34x<-2BtJ'(x)>0;當(dāng)-24x<：時(shí)J'(x)<0;

當(dāng)沁朝又/⑴=4"(x)在一…上最大值是⑶

(3)y=f(x)在［-2,1］上單調(diào)遞增，又/'3=3/+兄+4由①知2a+b=0.

依題意/'(X)在［-2,1］上恒有f'(x)》o,gp3x2-hx+i>0.

x=然=f'a)=3-b+b>0,：.b^6

①當(dāng)6；

x=1s-2時(shí),/'(x)皿=/'(-2)=12+26+b20...be。

②當(dāng)6；

61

-2<-<~￡0,Mo<b<6.

③當(dāng)b12

綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是。內(nèi))

題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象

1.如右圖：是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，/(*)的圖象如右圖所示，則f(x)的圖象只可能是(D)

3.方程乂-6x2+7-0在(0,2)內(nèi)根的個(gè)效為(B)

A.0B、1C、2D、3

題型五，求參數(shù)取值苑國、恒成立及存在性問題

A、分離常數(shù)法

例1、已知函數(shù)/(x)=xlnx.(I)求/(x)的最小值；(11)若對所有xZl都有/(x)Zac-l,求實(shí)數(shù)

a的取值范圍.

解：(1)/0：)=1!1乂+1,4/'(X)=0,解椒」.

e

又易知/(X)在(0,4)上單調(diào)遞減，

Q

“X)在(0+8)上單調(diào)遞增，

所以/a)的最小值為“3=-1

(H)依題意，得/(x)Wov-l在口,+8)上恒成立，即不等式aSlnx+工對于xe[l,+8)恒成立(分更

x

常數(shù)).

令g(x)=lnx+1，則g，(x)=L-3=3'l-?|.當(dāng)x>l時(shí)，因?yàn)間'(x)=3'l-Il>0,

XXXX\xjxj

故g(x)是(l>+8)上的增函數(shù)，所以氟工)的最小值是E1)=1，所以a的取值范圍是(-8,1].

B、與二次函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)性、不等式等相聯(lián)系

求解策略：

1、利用“要使/(x)>a成立，只需使函數(shù)的最小值f(x)>a恒或立即可；要使/(x)<a或立,

min

只需使函數(shù)的最大值f(x)<a恒成立即可

max

2、已知函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于導(dǎo)致大于或者小于0在給定區(qū)間上恒成立的問爨

3、利用子空間的思想，即首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓題所給的區(qū)間是所求區(qū)間的子集

類型1.參數(shù)放在函數(shù)表達(dá)式上

例1.設(shè)函數(shù)/(x)=2x'-3(a+l)x2+6ax+8其中aeK.

(1)茬/8)在x=3處得極值，求常蜘的值

(2)卻(x)在(YO,O)上為增函數(shù)，求a的取值范圍

<1)由/(3)=0解得a=3經(jīng)檢驗(yàn)知a=澗,x=3為/\x)的極值點(diǎn)

(2)方法1：/(x)=6x2-6(a+l)x+6a=6(x-a)(x-1)

當(dāng)a>時(shí),/(x)在(7cJ).(a,+x)上遞增.符合條件.

當(dāng)a=時(shí)J(x)=6(x-l)220恒或立J(x)在(To,+oo)上遞增

方法

當(dāng)a<耐J(x)在(-8,a),(l,M)上遞增，要保證f(x)在(Y,0)上遞增，則0<a<l

綜上所述.a>函J(x)在(-oo,0)上遞增.

因?yàn)?Xx)在(7,0)上遞增

所y/(x)20在xe(-x,0)上恒成立

°BPx(x-1)>a(x-1)在xe(TO,0)上恒成立

0x<0t..x-1<0

：.x

從而aNO

方法3.

保證<(x)=6x2-6(a+l)x+6a在(YD⑼上最小值大于或等于零

[a+1AS+l>n

故有[2或《2

,AMO[/'(0)20

可解得a20

解題方法總結(jié)：求/(X)后，若能因式分解則先因式分解，討論/(x)=0兩根的大小判斷函數(shù)/(X)的

單謫性，若不能因式分解可利用函數(shù)單調(diào)性的充要條件轉(zhuǎn)化為恒成立問題.

類型2.參數(shù)放在區(qū)間邊界上

例2.已知函數(shù)/(?=/+療+6+曲=0處取得極值,曲線)，=/(x)過原點(diǎn)和點(diǎn)P(-1,2),若曲線

y=f(x)在點(diǎn)P處的切線與直線y=2x的夾角為45。且切線的偵斜角為鈍角.

(1)求f(x)的表達(dá)式

(2)若/(x)在區(qū)間上遞增，求m的取值范圍.

略解(1)/(X)=X3+3X2

(2)/(x)=3x?+6x=3工(》+2)可鈍"(x)在(-oo.-2),(0,+x)上遞增，在(-2,0)上遞減

從而只要保證［2m-l,m+1］是(-?,-2)或(0,田)的一個(gè)子區(qū)間

+2—120

所以《或《

［ZM+1>2m-1［w+1>2/M-1

解得me(70,-3］Y［；,2］

總結(jié):先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再保證問題中的區(qū)間是函數(shù)單調(diào)遞增(遞減)區(qū)間的一個(gè)子區(qū)間即可.

C,已知不等式在某區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍

類型1.參數(shù)放在不等式上

例3.已知/(x)=x3+ax2+版+?:在3￡=-：與工=時(shí)都取得極值

⑴求a、b的值及函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若對xe［-L2I不等式“x)<J恒成立，求c的取值范圍.

略解：(l)a=-l,Z>=-2

(2)./(x)=3/2,由3x'_x-2=0第x=-：%=［且j)=^+c,/(D=-^+c

/(-I)=g+cJ⑵=2+c,所W(x)在［-1,2］上的最大值為〃2)=2+c

從而c'>2+c,解得c<-l或c>2

總結(jié):區(qū)間給定情況下，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值.

類型2.參數(shù)放在區(qū)間上

例4.已知三次函數(shù)/(x)=o?-5/+cr+d圖象上點(diǎn)(1,8)處的切線經(jīng)過點(diǎn)(3Q),并且/(x)在x=3處有

極值.

(1)求/(x)的解析式.

(2)當(dāng)xe(o,m)時(shí)，/(x)>0恒或立.求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析:⑴/(x)=/-5/+3x+9

(2)./(x)=3x2-1Ox+3=(3x-l)(x-3)

虹(x)=。得七=；,a=3當(dāng)xe(0,1M/-'(X)>0J(x)單調(diào)遞增，所期(x)>/(O)=9

當(dāng)xe(9)時(shí)/(x)<0J(x)單調(diào)遞/所以/)>/(3)=0D、知函數(shù)圖

所以當(dāng)加>3時(shí)/(x)>0在(O,M)內(nèi)不恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)加e(0,3W(x)>0在(O,m)內(nèi)恒或立

所以物的取值范圍為(0,3]

象的交點(diǎn)情況，求參數(shù)的取值范圍.

解題思路，1畫出兩個(gè)圖像，即穿線圖和趨勢圖(先增后減再增或者先減后增再減)

2由趨勢圖結(jié)合根的個(gè)數(shù)寫不等式(主要看極值與。的關(guān)系)

3解不等式

例5.已知函數(shù)/(x)=e?+bx2-3、在^=-1/=1處取得極值

(1)求函數(shù)/(4)的解析式.

⑵若過點(diǎn)41,孫加工-2)可作曲線產(chǎn)/(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

略解⑴求得/(X)=X3-3X

(2)設(shè)切點(diǎn)為必軟,4-3x)因?yàn)閒'(x)=3d-3

所以切線方程切-3)(x-l),又切線過點(diǎn)M

所以x；-3%-加=(3x^~3)(%T)

即2x；-3xJ+?M3-0*

因?yàn)檫^點(diǎn)4可作曲線的三條切線所以關(guān)于％的方程*育三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

設(shè)g(/)-24一3方+洲+3則g'(%).6x；-6x:

由g(/)=。得=?；?=1

所以g(x0)在(70,0),(1,田)上單調(diào)遞墻在(0J)上單調(diào)遞減,故函數(shù)g(%0)的極值點(diǎn)為%=0,%=1總結(jié)從

所以關(guān)于X。的方程*有三個(gè)不同實(shí)根的充要條件是眄?解得-3<m<-2

悟⑴<0

所求的實(shí)數(shù)”的取值范圍是(-3.-2)

函數(shù)的極值符號(hào)及單調(diào)性來保證函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù).

在文科數(shù)學(xué)中,涉及到高次函數(shù)問題一般可用導(dǎo)致知識(shí)解決,只要把導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)求函

數(shù)的極值及最值，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性等這些基礎(chǔ)知識(shí)搞清弄懂，那么,利用導(dǎo)致求參數(shù)的取值范圍這

個(gè)問題即可迎刃而解

圓錐曲線

一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

(-)圓

1、定義：點(diǎn)集｛MlIOMI=r),其中定點(diǎn)。為圓心，定長r為半徑.

2、方程：(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心在c(』b),半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2

圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2

(2)一般方程：①當(dāng)D2+E2<F>0時(shí)，一元二次方程x2r2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為

(_￡_￡)JD2+E、4F

22半徑是2.配方，將方程x2+y2+Dx+EjH-F=0化為

)￡D：+E：-4F

(x+2)232)2=4

DE

②當(dāng)D2+E2-4FR時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)G2*工);

③當(dāng)D2+E2-4FC0時(shí)，方程不表示任何圖形.

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xO,yO),則IMCI<r<=>點(diǎn)M在圓C

內(nèi)，IMCI=r=點(diǎn)M在圓C上，IMCI>r。點(diǎn)M在圓C內(nèi)，其中IMCI=J(x°㈤?+(y()-a.

直線和圓的位置關(guān)系：①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交=有兩個(gè)公共

點(diǎn)；直線與圓相切=有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與圓相離=沒有公共點(diǎn).

②直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(血)利用圓心C(ab)到直線Ax+By+C=O的距離

\Aa+Bb+C\

d——/,=M—

與半徑r的大小關(guān)系來判定.

(二)橢圓、雙曲線、拋物線?

橢圓、雙曲線、拋物線性質(zhì)對比

慵圓雙曲線拋物線

1.到兩定點(diǎn)F1,F2的距1.到兩定點(diǎn)F1.F2的距離

離之和為定值之差的絕對值為定值與定點(diǎn)和直線的￡巨離相

定義

2a(2a>|FlF2|)的點(diǎn)的軌2a(0<2a〈|FlF2|)的點(diǎn)的軌跡等的點(diǎn)的軌跡.

跡2.與定點(diǎn)和直線的距離之

2.與定點(diǎn)和直線的距離比為定值e的點(diǎn)的軌跡.

之比為定值e的點(diǎn)的軌(e>l)

跡.((Xe<l)

點(diǎn)集：({M11MF1+1點(diǎn)集：{Ml1MFI1-1

軌跡條點(diǎn)集｛Ml1MF1=點(diǎn)

MF21=2aJF1F21<MF2I.

件M到直線1的距離｝.

2a}=±2a,1F2F21>2a}.

一

*JJ

圖形1--

標(biāo)準(zhǔn)X2y2.4-^=i

方-y+-y=1K=2px

方程a-b1(以>b>o)a*b2(a>0,bX))

程

參數(shù)fx=acos0Jx=asecJ[x=2pt2

Ij=bsin8\y=btan6卜=2口”為參數(shù))

方程(參數(shù)所離心角)(參數(shù)所離心角)

范圍-a<x<af—b<y^bx|Aa,yeRx>0

中心原點(diǎn)0(0,0)原點(diǎn)O(0,0)

(a,0),(-a,0).(0,b).

頂點(diǎn)(a,0),(—a,0)(0,0)

(05-b)

x軸，y軸；x軸，y軸；

對稱軸x軸

長軸長2a,短軸長2b實(shí)軸長2at虛軸長2b.

畤0)

焦點(diǎn)Fl(c?0).F2(-c.0)Fl(c,0)tF2(—cr0)

QQp

L7

x=±Cx=±CX一*-

準(zhǔn)線

準(zhǔn)線垂亶于長軸，且在準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸,且在兩頂準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩

橢圓外.點(diǎn)的內(nèi)側(cè).ffl.且到頂點(diǎn)的距離相等.

Ja^b1)

焦距2c(c=2c(c='

c.?、

離心率e=￡(0<e<l)<?=-(?>1)e=l

aa

【備注1】雙曲線：

⑶等軸雙曲線：雙曲線x'/=±『稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為>=",離心率”右.

⑷共筑雙曲線：以己知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共能雙曲

^-￡-24-4-0

線.屋護(hù)與不4:互為共趣雙曲線，它們具有共同的漸近線：a一二

W■-占r=4(4*0)—±—*0

⑸共漸近線的雙曲線系方程：/&2的漸近線方程為“*如果雙曲線的漸近線為

—±—-0-=

。b時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為a，b-

【備注2】拋物線:

、R￡

(1)拋物線V=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),準(zhǔn)線方程X—2,開口向右；拋物線y=-2px(p>0)

ppp_

的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-5,0)，準(zhǔn)線方程x=3,開口向左；拋物線f=2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,5),準(zhǔn)線方

P

程12,開口向上；

PP_

拋物線x'=-2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-2),準(zhǔn)線方程y=2,開口向下.

2=XQ+~2

(2)拋物線N=2px(p>0)上的點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離2.拋物線J'=2px(p>0)上的點(diǎn)

|阿=。-/

M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離2

,P_

(3)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為P=2px(p>0),則拋物線的焦點(diǎn)到其頂點(diǎn)的距離為彳，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距

￡

離2,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p.

(4)已知過拋物線J=2px(pX)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則線段AB稱為焦點(diǎn)弦，設(shè)

A(xi,yl),B(x2,y2),則弦長〔明=外+與+p或"回一啟￡(a為直線AB的做斜角)，)仍=-/，

叱號(hào)團(tuán)網(wǎng)叫做焦半徑).

二、常考題型

常用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、中點(diǎn)坐標(biāo)公式;：X=3；*‘y=其中X」是點(diǎn)幺（巧,、1>3（々,為）的中點(diǎn)坐標(biāo).

2、弦長公式：若點(diǎn)4（再Ji）,56,%）在直線￥=h+H左工。）上，

則兇=際+5%=生+6,這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，

⑷=J（甬-々）2+5