冪函數(shù)完整版本

目

標

要

求熱

點

提

示學(xué)習本節(jié)內(nèi)容時，(1)應(yīng)類比指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)來學(xué)習；(2)關(guān)鍵是作出五個常用冪函數(shù)的圖象，由此概括出它們的共性；(3)重點是熟練掌握五個常用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)；(4)要辨析指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù).冪函數(shù)(1)定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．●想一想：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有什么區(qū)別與聯(lián)系？提示：函數(shù)表達式相同點不同點指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)右邊都是冪的形式指數(shù)是自變量，底數(shù)是常數(shù)冪函數(shù)y＝xα(α∈R)底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)溫馨提示：冪函數(shù)在第一象限內(nèi)指數(shù)變化規(guī)律：在第一象限內(nèi)直線x＝1的右側(cè)，圖象從上到下，相應(yīng)的指數(shù)由大變?。?4)五種常見冪函數(shù)的性質(zhì)，列表如下：定義域值域奇偶性單調(diào)性公共點y＝xRR奇在R上是增函數(shù)(1,1)y＝x2R[0，＋∞)偶在(－∞，0)上是減函數(shù)；在[0，＋∞)上是增函數(shù)y＝x3RR奇在R上是增函數(shù)y＝x[0，＋∞)[0，＋∞)非奇非偶在[0，＋∞)上是增函數(shù)y＝x－1(－∞，0)∪(0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是減函數(shù)解析：本題考查了冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的概念，自變量x為冪的底數(shù)，指數(shù)α為常數(shù)，而函數(shù)y＝2x中的自變量x為指數(shù)，所以A錯誤．答案：A答案：D類型一

冪函數(shù)的概念思路分析：根據(jù)冪函數(shù)的概念進行判斷．答案：B判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為形如y＝xα(α為常數(shù))的形式，函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.反過來，若一個函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)也具備了這一形式——這是我們解決某些問題的隱含條件．1

類型二冪函數(shù)的圖象【例2】已知函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc的圖象如下圖，則a，b，c的大小關(guān)系為(

)A．c<b<a

B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b思路分析：利用冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征進行判斷．解析：由冪函數(shù)的圖象特征可知，c<0，a>0，b>0；由冪函數(shù)的性質(zhì)知，當自變量x>1，冪指數(shù)大的冪函數(shù)的函數(shù)值就大，故c<b<a.答案：A溫馨提示：本題也可采用特殊值法，如取x＝2，結(jié)合圖象可知2a>2b>2c，又函數(shù)y＝2x是增函數(shù)，于是a>b>c.2如下圖，C1，C2分別是冪函數(shù)y＝xm，y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論正確的是(

)A．n<m<0

B．m<n<0C．n>m>0 D．m>n>0解析：由冪函數(shù)的圖象特征知m，n均小于0，又取a>1，由圖象知am>an，此時函數(shù)y＝ax為增函數(shù)，所以m>n，所以n<m<0.答案：A

類型三冪函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用【例3】

(1)比較(a＋1)3，a3的大?。?2)比較(2＋a2)－1,2－1的大?。悸贩治觯悍謩e構(gòu)造函數(shù)y＝x3和y＝x－1，利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較．解：(1)考查冪函數(shù)y＝x3，因為它在區(qū)間(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，且a＋1>a，所以(a＋1)3>a3.(2)考查冪函數(shù)y＝x－1，因為它在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上是減函數(shù)，且a2＋2≥2>0，所以(2＋a2)－1≤2－1.溫馨提示：利用冪函數(shù)y＝xα在第一象限的圖象特征，可作出冪函數(shù)的圖象，圖象的形象性、直觀性使冪函數(shù)的性質(zhì)(特別是單調(diào)性)一目了然，利用冪函數(shù)的性質(zhì)使有些問題順利地得到解決(如本例的大小比較問題)．因此，我們必須準確把握冪函數(shù)在第一象限的圖象特征，熟練掌握作圖方法，并靈活地利用圖象解題．

1．若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；2．若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)；3．若指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮插入中間數(shù)，使這個數(shù)的底數(shù)與所比較的一個底數(shù)相同，指數(shù)與另一個指數(shù)相同，那么這個數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間，進而比較出大小．3比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大?。侯愋退膬绾瘮?shù)的綜合應(yīng)用思路分析：先利用冪函數(shù)的定義、奇偶性、單調(diào)性確定m的值，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解關(guān)于a的不等式．溫馨提示：解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合問題時，一定要考慮冪函數(shù)的定義；冪函數(shù)y＝xα，由于α值不同，所以單調(diào)性和奇偶性就不同．

求解冪函數(shù)的解析式常見的思路是：利用函數(shù)的性