廣東省深圳第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

廣東省深圳第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.（5分）已知，則（）A. B. C. D.2.（5分）如圖，石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機(jī)械，通常由兩個(gè)圓石做成.磨是平面的兩層，兩層的接合處都有紋理，糧食從上方的孔進(jìn)入兩層中間，沿著紋理向外運(yùn)移，在滾動(dòng)過(guò)兩層面時(shí)被磨碎，形成粉末.如果一個(gè)石磨近似看作兩個(gè)完全相同的圓柱體拼合而成，每個(gè)圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍，若石磨的側(cè)面積為，則圓柱底面圓的半徑為（）A.4 B.2 C.8 D.63.（5分）已知水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.4.（5分）已知向量，是兩個(gè)非零向量，且，則與夾角為（）A. B. C. D.5.（5分）鈍角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，，且，則的周長(zhǎng)為（）A.9 B. C.6 D.6.（5分）如圖，是正三棱錐且側(cè)棱長(zhǎng)為，兩側(cè)棱，的夾角為30°，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則三角形的周長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C. D.7.（5分）平面向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.8.（5分）“四葉回旋鏢”可看作是由四個(gè)相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，，，.點(diǎn)在線段與線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9.（6分）已知復(fù)數(shù)（為趛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 B.C. D.（多選）10.（6分）已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且，，給出下列四個(gè)論斷：①；②；③；④.以其中三個(gè)論斷為條件，剩余論斷為結(jié)論組成四個(gè)命題，其中正確的命題是（）A.①②③?④ B.①③④?② C.①②④?③ D.②③④?①（多選）11.（6分）景德鎮(zhèn)號(hào)稱“千年瓷都”，因陶瓷而享譽(yù)全世界.景德鎮(zhèn)陶瓷以白瓷著稱，而白瓷素有“白如玉，明如鏡，薄如紙，聲如磐”的美譽(yù)，如圖，某陶瓷展覽會(huì)舉辦方計(jì)劃在長(zhǎng)方形空地上舉辦陶瓷展覽會(huì)，已知，，E為邊的中點(diǎn).G，F(xiàn)分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，，舉辦方計(jì)劃將區(qū)域作為白瓷展覽區(qū)，則白瓷展覽區(qū)的面積可能是（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.（5分）在復(fù)平面內(nèi)，是原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，與關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_________.13.（5分）如圖，在正三棱柱中，，，則三棱錐的體積為_(kāi)________.14.（5分）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的邊分別對(duì)應(yīng)a，b，c，若，則的取值范圍是_________.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（13分）若復(fù)數(shù)，當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)：（1）是實(shí)數(shù)；（2）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.16.（15分）已知向量，滿足，，且，的夾角為.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.17.（15分）在①，②中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并作答.問(wèn)題：在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知_______.（1）求B；（2）若的外接圓半徑為2，且，求.注：若選擇不同條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.18.（17分）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為上的點(diǎn)，且，為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由.19.（17分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)，的值；（3）已知，，為的相伴特征向量，，請(qǐng)問(wèn)在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得.若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案與試題解析1.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算法則即可求解.【解答】解：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，解得，所?故選：C.2.【分析】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則圓柱的高為，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.【解答】解：設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則圓柱的高為，則石磨的側(cè)面積為，解得.故選：A.3.【分析】根據(jù)題意，求出矩形的面積，由直觀圖面積與原圖面積的關(guān)系分析可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，如圖：水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖為矩形，已知，，則矩形的面積，則四邊形的面積.故選：D.4.【分析】根據(jù)條件即可得出，然后即可求出的值，從而可得出與的夾角.【解答】解：∵，∴，∴，∴，且，∴與的夾角為.故選：B.5.【分析】由題意及正弦定理可得，代入已知可得的值，由鈍角三角形，大邊對(duì)大角，可得C為銳角，可得的值，由余弦定理可得c邊的大小，進(jìn)而求出b邊的大小，再由鈍角三角形可確定b邊的值，進(jìn)而求出三角形的周長(zhǎng).【解答】解：因?yàn)?，，由正弦定理可得，又因?yàn)椋傻?，因?yàn)椋?，可得為銳角，所以，由余弦定理可得，解得或，可得或3，因?yàn)樵撊切螢殁g角三角形，所以，所以，，，即三角形的周長(zhǎng)為4+3+2=9，故選：A.6.【分析】把正三棱錐沿剪開(kāi)，并展開(kāi)，形成三個(gè)全等的等腰三角形：、、，連接，交于，交于，則線段就是的最小周長(zhǎng)，易判斷為等腰直角三角形，由勾股定理可求BB′.【解答】解：把正三棱錐沿剪開(kāi)，并展開(kāi)，形成三個(gè)全等的等腰三角形：、、，則，連接，交于，交于，則線段就是的最小周長(zhǎng)，又，根據(jù)勾股定理，，所以，故選：A.7.【分析】根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式求出的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，，，，即，則，則在方向上的投影向量為.故選：C.8.【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出A，F(xiàn)，E，H四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出向量，的坐標(biāo)，即可表示出，進(jìn)而可求得其范圍.【解答】解：如圖，以C為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，易知，，，，，，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，其中，所以，，則，因?yàn)?，所以，?dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，，且，則，故，，則，因?yàn)?，所以，綜上，的取值范圍為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.【分析】通過(guò)復(fù)數(shù)中，對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可判斷A；通過(guò)共軛復(fù)數(shù)的定義得到，可判斷B；通過(guò)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則判斷CD.【解答】解：∵，∴，∴，，對(duì)于A，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.【解答】解：，.對(duì)于A，由，，得，又，∴，故A正確；對(duì)于B，由，，，可得或m與n相交或m與n異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，得，又，則，故C正確；對(duì)于D，由，，，可得或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.【分析】設(shè)，則，由，，得到，再得到，，由求解.【解答】解：設(shè)，則，由，，得，易得，，則，由，得，得，則.因?yàn)?，，所以白瓷展覽區(qū)的面積可能是，.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.【分析】由對(duì)稱性結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義得出點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【解答】解：設(shè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，，對(duì)應(yīng)復(fù)平面的坐標(biāo)為，因?yàn)橄蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以對(duì)應(yīng)復(fù)平面的坐標(biāo)為（5，3），因?yàn)榕c關(guān)于軸對(duì)稱，所以，.即向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，因?yàn)辄c(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.故答案為：.13.【分析】根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換法求解即可.【解答】解：因?yàn)檎庵?，所以，則.故答案為：.14.【分析】先對(duì)邊角互換化簡(jiǎn)，得到，再在銳角中，找到，再化簡(jiǎn)即可求解.【解答】解：因?yàn)?，由正弦定理得，，，化?jiǎn)得，在中，則，則，所以銳角中，，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的分類，即可求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可列不等式求解.【解答】解：（1）因?yàn)?，是?shí)數(shù)，則，解得或；（2）若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則，解得，即m的取值范圍為（-3，-1）.16.【分析】（1）由平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可；（2）由得，再由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算即可.【解答】解：（1）因?yàn)?，，且，的夾角為，所以；（2）因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，，所以，解?17.【分析】（1）若選①，由題意及正弦定理可得的值，再由角B的范圍，可得角B的大??；若選②，由正弦定理及兩角和的正弦公式，可得的值，再由角B的范圍，可得角B的大小；（2）由正弦定理可得a，c的表達(dá)式，進(jìn)而可得的值，再由余弦定理可得的值.【解答】解：（1）若選①，由正弦定理可得，在中，，所以，因?yàn)?，可得，而，可得；若選②，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，可得，即，在中，，且，可得，而，可得；?）因?yàn)榈耐饨訄A半徑為2，由正弦定理可得，，可得，，，所以，，而，所以，可得，所以，由余弦定理可得：，即，可得.18.【分析】（1）連接交于O，由題意可得，再由線面平行的判斷定理可證得結(jié)論；（2）因?yàn)椋诶馍洗嬖邳c(diǎn)G，且，由對(duì)應(yīng)邊成比例可得，由題意可證得平面平面，可得滿足題中的條件.【解答】（1）證明：連交于O，因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，所以O(shè)為的中點(diǎn)，而E為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面；所以平面；（2）解：在棱上存在點(diǎn)G，且，使得平面，證明：上取點(diǎn)，且，因?yàn)镕為上的點(diǎn)，且，所以在中，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又在中，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以?/p>