新人教版數(shù)學九年級寒假作業(yè)：第07練：圓及其性質(zhì)（學生版+解析版）

第07練：圓及其性質(zhì)

積累運用

考點一：圓的相關(guān)概念

1.圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的

圖形叫做圓，固定的端點0叫做圓心，線段0A叫做半徑。

2.圓的幾何表示：以點0為圓心的圓記作“。0”，讀作“圓0”

考點二：與圓有關(guān)的幾個概念的定義

1.弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的AB）

2.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（如途中的CD）。直徑等于半徑的2倍。

3.弧、優(yōu)弧、劣?。?/p>

（1）圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

（2）弧用符號表示，以A,B為端點的弧記作“病”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。

（3）大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧（多用兩個字母表示）

4.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

C----------2---------D

考點三：垂徑定理及其推論

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

2.推論：

推論1：

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

考點四：圓的對稱性

1.圓的軸對稱性。圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。

2.圓的中心對稱性。圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

考點五：弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

1.圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。

2.弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3.弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理。

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么

它們所對應的其余各組量都分別相等.

考點六：圓周角定理及其推論

1.圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2.圓周角定理：

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

考點七：圓內(nèi)接多邊形

1.定義：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形。這個圓叫做多邊形

的外接圓。

2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。

1.如圖，在中，OC_LAB,ZADC=35°,則NOBA的度數(shù)是（）

A.35B.30°C.25°D.20°

2.如圖，半徑為5的OP與y軸相交于“（0,-4）,N（0,-10）兩點，則圓心P的坐標為（）

x

A.（5,Y）B.（4,-5）C.（4,-7）D.（5-7）

3.如圖，AB是半圓的直徑，點D是弧AC的中點，ZABC=50。，則NDAB等于（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

4.下列說法正確的是（）

A.弦是直徑B.平分弦的直徑垂直弦

C.優(yōu)弧一定大于劣弧D.等弧所對的圓心角相等

5.如圖，C、D為半圓上三等分點,則下列說法：①AD=CQ=BC;②NAOD=NDOC=NBOC；③AD=

CD=OC；④△AOD沿0D翻折與△COD重合.正確的有（）

D

A.4個B.3個C.2個D.1個

6.如圖，在平面直角坐標系中，0P經(jīng)過三點A（8,0）,0（0,0）,B（0,6）,點D是OP上一動點，則點D到

C.9D.10

7.如圖,AB是。。的直徑，弦CD交AB于點E,且AE=CD=8,NBAC=yZBOD,則。。的半徑為.

8.如圖，M,N是正方形ABCD的邊BC上兩個動點，滿足BM=CN,連結(jié)AC交DN于點P,連結(jié)AM交BP

于點Q,若正方形的邊長為1,則線段CQ的最小值是.

9.如圖，用等分圓的方法，在半徑為。A的圓中，畫出了如圖所示的四葉幸運草，若0A=2,則四葉幸運

草的周長是

10.如圖所示，/MBC中，CA^CB,ZACB=90°,M,N分別在射線AB,AC上移動，且“N=10,

則點A到點M的距離的最大值為

11.如圖，某邊長為〃的正方形廣場四角鋪上了四分之一圓形的草地，若圓形的半徑為

(1)用含。、r的代數(shù)式表示圖中空地部分面積；

(2)若a=2(X)米，r=36米，求空地面積(不取3.14,結(jié)果精確到0.1平方米)

12.如圖，在。O中，AB=2AC-AD_LOC于D.求證：AB=2AD.

13.己知：如圖1,。。的半徑為2,BC是。。的弦，點A是。。上的一動點.

圖1圖2

（1）當△ABC的面積最大時，請用尺規(guī)作圖確定點A位置（尺規(guī)作圖只保留作圖痕跡，不需要寫作法）；

（2）如圖2,在滿足（1）條件下，連接A0并延長交OO于點D,連接BD并延長交AC的延長線于點E,

若NBAC=45。,求AC2+CE2的值.

14.（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,AACB和ADCE均為等邊三角形，點4D,E在同一直線上，連接8E.

填空：①NAEB的度數(shù)為；

②線段AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系為.

（2）拓展探究

如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，NACB=NDCE=90。，點A,D,E在同一直線上，CM為4DCE

中DE邊上的高，連接BE,請判斷NAEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）解決問題

如圖3,在正方形A8C。中，CD=啦，若點P滿足PD=1,且N8PD=90。，請直接寫出點A到BP的距離.

15.已知：內(nèi)接于。O,AC=BC,于點Q,連接80.

（1）如圖，求證：NBAD=NOBC；

(2)如圖，延長A。交。。于點E,連接8E,若OHLBC,求證：BE=2OH；

(3)如圖，在(2)的條件下，若A8=C。，OH=],求線段43的長.

16.已知AA8C內(nèi)接于。。，AD±OBTD.

(1)如圖1,求證：NBAO=NACB；

(2)如圖2,若A8=4C,求證：BC^2AD-

(3)如圖3,在(2)條件下，延長AD分別交BC、。。于點E、F,過點A作AG_LBF于點G,AG與8。交

于點K,延長AG交。。于點從若GH=2,8c=4幾，求。。的長.

圖1圖2圖3

第07練：圓及其性質(zhì)

積累運用

考點一：圓的相關(guān)概念

1.圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的

圖形叫做圓，固定的端點。叫做圓心，線段0A叫做半徑。

2.圓的幾何表示：以點0為圓心的圓記作“。0"，讀作''圓0”

考點二：與圓有關(guān)的幾個概念的定義

1.弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的AB）

2.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（如途中的CD）。直徑等于半徑的2倍。

3.弧、優(yōu)弧、劣?。?/p>

（1）圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

（2）弧用符號表示，以A,B為端點的弧記作“病”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。

（3）大于半圓的弧叫做優(yōu)弧（多用三個字母表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€字母表示）

4.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

C----------°---------D

考點三：垂徑定理及其推論

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

2.推論：

推論1：

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

考點四：圓的對稱性

1.圓的軸對稱性。圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。

2.圓的中心對稱性。圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

考點五：弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

1.圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。

2.弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3.弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理。

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么

它們所對應的其余各組量都分別相等。

考點六：圓周角定理及其推論

1.圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2.圓周角定理：

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

考點七：圓內(nèi)接多邊形

1.定義：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形。這個圓叫做多邊形

的外接圓。

2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補。

基礎過關(guān)練

1.如圖，在OO中，OCJ_AB,/ADC=35。，則NOBA的度數(shù)是()

A.35B.30°C.25°D.20°

【答案】D

【解析】根據(jù)垂在定理，可得4C=BC，ZOEB=90°,根據(jù)圓周角定理，可得N3,根據(jù)直角三角形的性

質(zhì)，可得答案.

【詳解】

解：連接AO,如圖：

由OC1.AB,得

AC=BC，ZOEB=90°.

/.Z2=Z3,

VZ2=2Zl=2x35°=70°.

二Z3=700,

在RtZJDBE中，ZOEB=90°,

二ZB=90°-Z3=90°-70°=20°,

故選D.

【點評】本題考查了圓周角定理，利用垂徑定理得出AC=8C，/OEB=90。是解題關(guān)鍵，又利用了圓周角

定理.

2.如圖，半徑為5的。P與y軸相交于M(0,-4),N(0,-10)兩點，則圓心P的坐標為()

A.（5,Y）B.（4,-5）C.（4,-7）D.（5,-7）

【答案】C

【解析】由M（0,-4）,N（0,-10）,即可得MN的值，然后連接PM,過點P作PE_LMN于E,根據(jù)垂

徑定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，則可得圓心P的坐標.

【詳解】

解：VM（0,-4）,N（0,-10）,

，MN=6,

，OE=OM+EM=4+3=7,

在R3EM,PE=JPM=ME?=>/F^7=4,

二圓心P的坐標為（4,-7）.

故選C.

【點評】此題考查了垂徑定理，勾股定理的知識.此題難度不大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應用，注

意輔助線的作法.

3.如圖，AB是半圓的直徑，點D是弧AC的中點，/ABC=50。，則/DAB等于（）

c

D

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【解析】如圖，連接BD,

;AB是半圓的直徑，.?.NADB=90。.

???點D是AC的中點，.\ZABD=ZCBD.

■:ZABC=50°,二ZABD=25°.

NDAB=90°-25°=65°,故選C.

4.下列說法正確的是（）

A.弦是直徑B.平分弦的直徑垂直弦

C.優(yōu)弧一定大于劣弧D.等弧所對的圓心角相等

【答案】D

【解析】根據(jù)圓的有關(guān)概念進行逐項辨析即可得解.

【詳解】

A、直徑是弦，但弦不一定是直徑，選項錯誤；

B、平分弦的直徑垂直弦，被平分的弦不是直徑，故選項錯誤；

C、同圓或等圓中，優(yōu)弧一定大于劣弧，錯誤；

D、等弧所對的圓心角相等，正確.

故選D.

【點評】此題主要考查了圓的有關(guān)概念，熟練掌握相關(guān)概念是解決此題的關(guān)鍵.

5.如圖，C、D為半圓上三等分點，則下列說法：①AO=CQ=8C;②NAOD=NDOC=NBOC；③AD

=CD=OC；④AAOD沿OD翻折與ACOD重合.正確的有（）

D

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【解析】根據(jù)“在同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，等弧對的弦相等''仔細找出等量關(guān)系即可.

【詳解】

?.?c、。為半圓上三等分點,

AD=CD=BC，故①正確，

?.?在同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，等弧對的弦相,

.\AD=CD=OC,ZAOD=ZDOC=ZBOC=60°,故②③正確,

VOA=OD=OC=OB,

.?.△AOD絲△COD@△COB,且都是等邊三角形,

.-.△AOD沿OD翻折與△COD重合.故④正確,

...正確的說法有：①②③④共4個,

故選A.

【點評】本題考查了圓心角、弧和弦的關(guān)系，利用了在同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，等弧對的弦

相等和平角的概念求解.

6.如圖，在平面直角坐標系中，G）P經(jīng)過三點A（8,0）,0（0,0）,B（0,6）,點D是OP上一動點，則點D

)

C.9D.10

【答案】C

【解析】先求出圓的直徑，當點D在所在直線垂直O(jiān)B時，此時點D到弦OB的距離的最大，求出,此時的

值即可.

【詳解】

如圖，連接AB,

NAOB=90",

AB為直徑，此時AB=VOA2+OB2=10，

當直線CD垂直AB時、此時此時點D到弦OB的距離的最大為PD.

/BCP=/AOB=90,，

.-.PC//OA,

又YP是AB的中點，

/.PC是AAOB的中位線.

PC=^OA=4,此時PD=PC+PD=4+5=9.

故選C.

【點評】此題主要考查坐標與圖形的計算，圓周角定理，三角形的中位線等，關(guān)鍵考查坐標和圓的結(jié)合的

靈活應用.

7.如圖,AB是。O的直徑，弦CD交AB于點E,且AE=CD=8,NBAC=)/BOD,則。O的半徑為一.

【答案】5

【解析】先根據(jù)/BAC=g/BOD可得出弧13。=弧8口，故可得出AB1CD,由垂徑定理即可求出DE的長,

再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】

VZBAC=|ZBOD,

.?.弧BC=MBD,

AAB±CD,

VAE=CD=8,

.?.DE=gcD=4,

設OD=r,則0E=AE-r=8-r,

在RtaODE中，OD=r,DEM,OE=8-r,

VOD2=DE2+0E2,BPr2=42+(8-r)2,解得尸5.

故答案為5.

【點評】此題考查垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，解題關(guān)鍵在于得出AB_LCD.

8.如圖，M,N是正方形ABCD的邊BC上兩個動點，滿足BM=CN,連結(jié)AC交DN于點P,連結(jié)AM

交BP于點Q,若正方形的邊長為1,則線段CQ的最小值是.

【解析】首先證明點Q在以AB為直徑的圓上運動，連接OC與0交于點Q，，此時CQ，最小，根據(jù)勾股定

理即可計算.

【詳解】

解：：四邊形ABCD是正方形，

，AB=BC=CD=AD,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,ZACB=ZACD=45°

在aABM和4DCN中,

AB=DC

</ABM=ZDCN,

BM=CN

AAABM^ADCN,

AZBAM=ZCDN,

在ACPB和ACPD中,

CP=CP

<NPCB=ZPCD,

CB=CD

/.△CPD^ACPB,

/.NCDP=NCBP=ZBAM,

VZCBP+ZABP=90°,

.,.ZBAM+ZABP=90°,

.\ZAQB=90o,

???點Q在以AB為直徑的圓上運動，設圓心為O,連接OC交。O于點此時CQ，最小,

.?.CQ，=OC-OQ，=^^qx/5-l

2

故答案為避二1.

【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、圓、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明點Q在以AB為直徑的圓上運

動，找到點Q的位置，題目比較難，屬于中考填空題中的壓軸題..

9.如圖，用等分圓的方法，在半徑為OA的圓中，畫出了如圖所示的四葉幸運草，若OA=2,則四葉幸運

草的周長是

【答案】4及兀.

【解析】由題意得出：四葉幸運草的周長為4個半圓的弧長=2個圓的周長，求出圓的半徑，由圓的周長公

式即可得出結(jié)果.

【詳解】

由題意得：

四葉幸運草的周長為4個半圓的弧長=2個圓的周長，

四葉幸運草的周長=20兀/2=4夜兀；

故答案為4及兀.

【點評】本題考查了正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)以及圓周長公式；由題意得出四葉幸運草的周長=2個圓

的周長是解題的關(guān)鍵.

10.如圖所示，△AfiC中，CA=CB,ZACB=90°,M,N分別在射線AB,AC上移動，且用N=10,

則點A到點M的距離的最大值為

【答案】10夜.

【解析】過A，M,N三點作。。，作直徑MD連結(jié)ND,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NA=N8=45。,

再根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出/4=/0=45。，從而確定。。的直徑即可

【詳解】

如圖所示，過A,M,N三點作。。，作直徑連結(jié)

VCA=CB,ZACfi=90°

ZA=ZB=45°,

,/Z4=NO=45°

在RtAMOV中，MN=10,/.=1()72

在。0,弦MA的最大值等于直徑MD

???A到點M的距離的最大值為100

【點評】本題考查了圓周角的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股、勾股定理等知識點，掌握直

徑是圓中最長的弦是解題的關(guān)鍵

11.如圖，某邊長為〃的正方形廣場四角鋪上了四分之一圓形的草地，若圓形的半徑為L

物隧

___遂

(1)用含。、,的代數(shù)式表示圖中空地部分面積；

(2)若a=200米，廠=36米，求空地面積(萬取3.14,結(jié)果精確到0.1平方米)

【答案】(1)儲-萬/；(2)約35930.6平方米.

【解析】用正方形的面積減去該整圓的面積就是空地的面積據(jù)此就能解答第(1)問；

對于第(2)問,將各數(shù)據(jù)代入(1)中的代數(shù)式中求解即可得到答案

【詳解】

(1)由圖形可得四個半徑為r的四分之一圓可以合為一個半徑為r的圓

?.?正方形的邊長為a

.?.正方形的面積是a?(正方形的面積等于邊長的平方)

?.?圓的半徑為r

二圓的面積為兀xj(圓的面積等于半徑平方與兀的乘積)

故空地的面枳可表示為：“23

(2)將a=200米尸36米代入合一〃/中得

20()2-兀x362=40000-1296x3.14儀35930.6平方米)

故空地的面積為35930.6平方米

【點評】此題考查圓的面積，正方形面積，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則

12.如圖，在。O中，AB=2AC，ADLOC于D.求證：AB=2AD.

【答案】證明見解析

【解析】延長AD交。O于E,可得忘二窟、AB=AE,可得出結(jié)論.

AE=2AC-AE=2AD,

'-'AB=2AC-

AE=AB)

；.AB=AE,

:.AB=2AD.

【點評】本題主要考查垂徑定理及弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，靈活做輔助線是解本題的關(guān)鍵.

13.己知：如圖1,。。的半徑為2,BC是。。的弦，點A是。O上的一動點.

（1）當^ABC的面積最大時，請用尺規(guī)作圖確定點A位置（尺規(guī)作圖只保留作圖痕跡，不需要寫作法）；

（2）如圖2,在滿足（1）條件下，連接A0并延長交。O于點D,連接BD并延長交AC的延長線于點

E,若/BAC=45。,求AC2+CE2的值.

【答案】⑴見解析；（2）16.

【解析】（1）作BC的垂直平分線交優(yōu)弧BC于A,則點A滿足條件；

（2）利用圓周角定理得到/ACD=90。，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得/CDE=/BAC=45。，通過判斷4DCE

為等腰直角三角形得到CE=CD,然后根據(jù)勾股定理得到AC2+CE2=AC2+CD2=AD2.

【詳解】

解：（1）如圖1,點A為所作：

TAD為直徑，

.,.ZACD=90°,

VZCDE=ZBAC=45°,

.?.△DCE為等腰直角三角形，

.\CE=CD,

二AC2+CE2=AC2+CD2=AD2=42=16.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖

形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把

復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了圓周角定理.

14.（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,ZVICB和△OCE均為等邊三角形，點A,D,E在同一直線上，連接

填空：①NAEB的度數(shù)為；

②線段AO,BE之間的數(shù)量關(guān)系為.

（2）拓展探究

如圖2,ZVICB和△OCE均為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,點A,D,E在同一直線上，CM為

△OCE中OE邊上的高，連接BE,請判斷/AEB的度數(shù)及線段CM,AE,8E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

（3）解決問題

如圖3,在正方形ABCZ）中，CD=?,若點尸滿足PO=1,且/BPD=90。，請直接寫出點A到BP的距

【答案】（1）①60。；②相等；（2）N4EB=90。，AE^2CM+BE,證明見解析；（3）避二1,也上1

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【解析】（1）由條件易證△AC7）絲△8CE,從而得到：AD=BE,ZADC=ZBEC.由點A,D,E在同一直線

上可求出ZADC,從而可以求出的度數(shù).

（2）仿照（1）中的解法可求出NAEB的度數(shù)，證出由△OCE為等腰直角三角形及CM為

中DE邊上的高可得CM=DM=ME,從而證到AE=2CH+BE.

（3）由可得：點P在以點。為圓心，1為半徑的圓上；由N8PD=90。可得：點P在以8。為直徑的

圓上.顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進行討論.然后，

添加適當?shù)妮o助線，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問題.

【詳解】

解：(1)①如圖1.〈△ACB和△OCE均為等邊三角形,

ACA=CBfCD=CE,NACB=NDCE=60。,

???ZACD=ZBCE.

在△ACO和中，

AC=BC

?/ZACD=ZBCE,

CD=CE

：.AACD^ABCE(SA5),

???ZADC=ZBEC.

???△QCE為等邊三角形，

???ZCDE=ZCED=60°.

???點A,D,E在同一直線上，

???ZADC=120°t

AZBEC=120°,

/.ZAEB=ZBEC-NCED=60。.

故答案為：60°.

②AACD^ABCE,

：.AD=BE.

故答案為：AD=BE.

(2)ZA￡B=90°,AE=BE+2cM.

理由：如圖2.???△AC8和△OCE均為等腰直角三角形,

：.CA=CBtCD=CE,NACB=NDCE=900,

：.ZACD=ZBCE.

在△ACD和△8CE中,

CA=CB

<ZACD=NBCE,

CD=CE

：.AACD^ABCE(SAS),

：.AD=BEfNADC=NBEC.

???△OCE為等腰直角三角形，

:.NCDE=/CED=45。.

,點A,D,E在同一直線上，

???ZADC=135°,

AZBEC=135°,

AZAEB=ZBEC-ZC￡D=90°.

VCD=CE,CM1DE,

；?DM=ME.

,?ZDCE=90°,

:?DM=ME=CM,

:?AE=AD+DE=BE+2cM.

(3)點A到BP的距離為避二1或迫土1.理由如下：

22

"：PD=\,

...點P在以點。為圓心，1為半徑的圓上.

VZBPD=90°,

二點P在以BD為直徑的圓上，

.?.點戶是這兩圓的交點.

①當點P在如圖3①所示位置時，連接尸。、PB、PA,作垂足為“，過點A作AELAP,交BP

于點E,如圖3①.

?.?四邊形ABC。是正方形，

二乙4。8=45。.AB=AD=DC=BC=4i,N8A/X90。,

：.BD=2.

；DP=1,

:.BP=4i.

■：ZBPD=ZBAD=90°,

：.A,P、D、8在以8。為直徑的圓上，

，ZAPB=ZADB=45°,

E是等腰直角三角形.

又?.?△BAD是等腰直角三角形，點8、E、P共線，AH1BP,

二由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD,

：.^3=2AH+\,

圖3①

②當點尸在如圖3②所示位置時，連接?！辏?、必，作垂足為，，過點A作交PB

的延長線于點E,如圖3②.

同理可得：BP=2AH-PD,

：.V3=2AH-1,

綜上所述：點4到8尸的距離為叵4或叵

22

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角

形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，考

查了運用已有的知識和經(jīng)驗解決問題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題.而通過添加適當?shù)妮o助線從

而能用(2)中的結(jié)論解決問題是解決第(3)的關(guān)鍵.

15.已知：AABC內(nèi)接于。0,AC=BC,AD_LBC于點。，連接80.

(1)如圖，求證：NBAD=NOBC；

(2)如圖，延長AD交。。于點E,連接8E,若OHLBC,求證：BE=20H；

(3)如圖，在(2)的條件下，若AB=CD,OH=\,求線段A。的長.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2百.

【解析】（1）如圖，連接0C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得ZR4c=4LBC,根據(jù)4）_LBC可得

ZBAD+ZABD=9Q°,根據(jù)圓周角定理可得NBOC=2ZBAC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NO3C=NOCB,

根據(jù)三角形內(nèi)角和可得NOBC+ABAC=90°,即可得結(jié)論；

（2）如圖，連接OC,過點。作0K_L5E于點K,根據(jù)垂徑定理可得BK=KE=gsE,根據(jù)圓周角定理可

得NE8C=㈤C,利用角的和差關(guān)系可得的C=NO8￡,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

NBOH=NCOH=、NBOC,根據(jù)圓周角定理可得NB4C=/BO”=NQ3E,利用AAS可證明

2

MOKm&OBH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得0”=3K,進而可得結(jié)論；

（3）延長CO交AD于點過點。作QNLCA/于點N,。8交AO于點G,連接BM,設

ABAD=ZOBC=a,根據(jù)圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)可得NBC4=NBE4=2a,即可得出

ZBCO=ZACO=a,利用SAS可證明ABCM^AACM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AM^BM,

ZBAM=ZABM=a,ZBMD=2a,進而可得=/劭〃）=2夕，可得=根據(jù)三角形內(nèi)

角和可得NEG8=NEBG=9（）。一c,即可得出EG=3E=助0=AM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得=ED,

設GO=〃？，W\MD=ED=2-m,AD=AM+MD=4-m,利用ASA可證明,可得DN=BD,

根據(jù)直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得NAffiW=NMCD=/G3￡>=a,利用AS4可證明△G5*AMDN,

可得8G=W=2-w,利用勾股定理列方程求出m的值即可得答案.

【詳解】

（1）連接0C,

?；AC^BC,

：.ZBAC=ZABCi

;AD±BCt

：.ZADB=90°,

???Zfi4r>+ZABD=90°,

???N8AC和N80C分別是8c所對的圓周角和圓心角，

:./BOC=2/BAC,

?.?OB=OC,

：.NOBC=/OCB,

?：NQ5C+NQCB+N50c=180。，

???2NOBC+2ZBAC=180°,

，ZOBC+ZBAC=90°,

:./BAD=NOBC.

（2）連接OC,過點。作OK_L3E于點K,

■:OK1.BE,

BK=KE=LBE,

,/ZEBC和/￡4C是CE所對的圓周角，

???ZEBC=ZEAC,

■:4BAD=4OBC,

???/BAD+/EAC=/EBC+NOBC,

:.ZBAC=NOBE,

?：OB=OC,OH工BC,

:./BOH=4coH=-N8OC,

?.,NBAC=L/BOC,

2

:.ABAC=ZBOH=Z.OBK,

VOHIBCtOK1BE,

：./OHB=/OKB=90。,

NOHB=ZOKB

在△BOK和△03〃中，,NBOH=Z.OBK,

OB=OB

：.ABOK^AOBH,

：.OH=BK,

:.BE=2OH.

(3)延長CO交AO丁點M,過點。作。V，CM「點N,OB交AD于點、G,連接3M.設

乙BAD=ZOBC=a,

：.NBAC=/BOH=/OBE=90。一a,

???ZBCA=ZBEA=180°-2/BAC=2a,

9：ZOBC=ZOCB=ct,

：.ZBCO=ZACO=af

BC=AC

在△3CM和△ACM中，<ZBCO=/ACO,

CM=CM

：.SBCM^^ACM,

:?AM=BM,ZBAM=ZABM=a.4BMD=2a、

：./BED=NBMD=2a,

:.BE=BM=AM,

?；OH=\,

:.BE=BM=AM=2,

在AE8G中，/BED="ZEGB=90Q-ZOBC=90°-a,

:.NEBG=180。-NEGB-ZBED=90。一a,

：.ZEGB=ZEBG=90°-a,

?,.EG=BE=BM=AM=2,

■:BD1.ME,

；?MD=ED,

設GD=m,則MO=EE>=2-利，

^BAD=ZDCN

在MBD和kCDN中,AB=CO,

ZADB=ZCND

：.MBD^ACQN,

:.DN=BD,

丁ZGDB=ZMND=90°,

：.ZZWC+ZZXM=90°,

JZMDN+ZDMN=90°,

???ZMDN=ZMCD=ZGBD=a,

ZGDB=乙MND

在AGB。和△m0川中，<BD=DN

NGBD=/MDN

：.\GBD^\MDN,

???BG=MD=2-m,

在RlABDG中,BD2=BG2-DG2,

在mABDE中，BD2=BE2-DE2

：.（2—m）2—m2=2?-（2-/W）2,

解得：町=4+2\/5（舍去），zn,=4-2A/3,

AD=4—m=2>/3.

【點評】本題考查圓周角定理.、垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，正

確作出輔助線，構(gòu)建全等三角形并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵.

16.已知"BC內(nèi)接于。O,AOJ_O8于。.

(1)如圖1,求證：ZBAD=ZACB；

（2）如圖2,若A8=AC,求證：BC=2AD；

（3）如圖3,在（2）條件下，延長分別交8C、。。于點E、F,過點4作4GL8產(chǎn)于點G,A