高中數(shù)學(xué)堅(jiān)持學(xué)習(xí)

復(fù)習(xí)要點(diǎn)

第一章函數(shù)

一、內(nèi)容提要

1、函數(shù)

(1)定義：設(shè)有兩個(gè)變量X與y。當(dāng)變量x在給定的某一變域中任意取定一值時(shí)，另一變

量y就按某一確定的法則有一個(gè)確定值與x的這個(gè)值相對(duì)應(yīng)，那末變量y稱(chēng)為變量x的函數(shù)，

記作y=f(x).

(2)定義中兩要素：定義域與對(duì)應(yīng)法則。

定義域：自變量x的取值范圍。

對(duì)應(yīng)法則：自變量x與因變量y的對(duì)應(yīng)規(guī)則。

(3)注意兩點(diǎn)：

①兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，才能說(shuō)它們是相同的函數(shù)。

②在不同區(qū)間上用不同數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)。分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是

幾個(gè)函數(shù)。

2、反函數(shù)

(1)定義：設(shè)已知y是x的函數(shù)y=f(x),如保將y當(dāng)作自變量，x當(dāng)函數(shù)，則由關(guān)系式y(tǒng)=f(x)

所確定的函數(shù)x=0(y)就叫做函數(shù)f(x)的反函數(shù)，由于通?？偘炎宰兞坑涀鱴,函數(shù)記作y,

因此習(xí)慣上稱(chēng)y=°(x)為函數(shù)f(x)的反函數(shù)，記作f-1x),而f(x)叫做直接函數(shù)。

(2)附注：反函數(shù)的定義域與直接函數(shù)的值域相同。

3隱函數(shù)

定義:凡能夠由方程F(x,y)=O確定的函數(shù)關(guān)系，稱(chēng)為隱函數(shù)。

4、函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

有界性，奇偶性，單調(diào)性與周期性。

5、復(fù)合函數(shù)

(1)定義：設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u),而u又是x的函數(shù)u=°(x),而且當(dāng)x在某一區(qū)間I

取值時(shí)相應(yīng)的u值可使y有定義，則稱(chēng)y是x的一個(gè)定義于區(qū)間I上的復(fù)合函數(shù)，記作

y=f【e(x)］。

(2)兒個(gè)注意的問(wèn)題：

①?gòu)?fù)合函數(shù)可以簡(jiǎn)單地理解為函數(shù)的函數(shù)。有了復(fù)合函數(shù)的概念，可以把?個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)

分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)。例如，函數(shù)y=sinx2可以看作由函數(shù)丫=$12和u=x2復(fù)合運(yùn)算而產(chǎn)

生的。

②要使復(fù)合函數(shù)y=f［°(x)］有意義，必須滿足函數(shù)u=q(x)的值域包含在函數(shù)y=f(u)的定義域

中。

6、基本初等函數(shù)與初等函數(shù)

(1)基本初等函數(shù)

幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù)。

(2)初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合構(gòu)成的，并能用一個(gè)解析式表示的

函數(shù)稱(chēng)為初等函數(shù)。

二、考試要求

1.理解函數(shù)的概念，理解函數(shù)的兩個(gè)要素：函數(shù)的定義域與函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則

2.理解函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，了解函數(shù)的有界性和周期性。

3.了解反函數(shù)的概念，會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)

4.理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。

5.掌握基本初等函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其圖象，了解初等函數(shù)的概念。

第二章極限與連續(xù)

一、內(nèi)容提要

1、函數(shù)的極限

(1)函數(shù)f(x)在X。處的極限

如果當(dāng)X無(wú)限地接近Xo(但不等于Xo)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限地接近于某個(gè)確定的常

數(shù)A,則稱(chēng)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于Xo時(shí)的極限。記為

limf(x)=A

(2)函數(shù)f(x)當(dāng)尤f(wàn)8時(shí)的極限

如果當(dāng)x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限地接近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱(chēng)A

為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí)的極限，記為limf(x)=A

X->OO

(3)單側(cè)極限

如果當(dāng)x從右的左側(cè)無(wú)限趨于xo時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限地接近于某一個(gè)確定的常數(shù)A,

則稱(chēng)A為函數(shù)f(x)在Xo處的左極限。記為由!1")=人或limf(x)=A或f(xa-0)=A

XT垢X->Xo-O

如果當(dāng)x從Xo的右側(cè)無(wú)限地接近Xo時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限地接近于某個(gè)確定的常數(shù)A,

則稱(chēng)A為f(x)在X。處的右極限，記

為limf(x)=A或limf(x)=A

.if.4+0

(4)極限存在的條件

函數(shù)f(x)當(dāng)x->X。時(shí)極限存在的充分必要條件是f(x)在Xo處的左、右極限均存在且相

等，即

limf(x)=Aolimf(x)=limf(x)=A

X->XQ

2、極限的四則運(yùn)算法則

設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B,那么

0A—>xo

lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;

XTX。A—XTX0

lim[f(x)?g(x)]=limf(x)?limg(x)=A-B,limkf(x)=KA;

XTXoXT,%刀~>與XT與

lim=4(8/0)

fog(x)B

上述法則對(duì)Xf00也成立。

3、兩個(gè)重要極限

sinx

(1)lim-----=1

x

-1

(2)lim(1+x)J=e或lim(1+—)'=e

XTOxfoox

4、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

(1)無(wú)窮小量的定義

若limf(x)=O(或limf(x)=O),則稱(chēng)函數(shù)f(x)為x—>%(或x-?8)時(shí)的無(wú)窮小量,

XTXQXT8

簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小.

(2)無(wú)窮大量的定義

若當(dāng)x無(wú)限接近于&時(shí)(或x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí))，函數(shù)的絕對(duì)值能大于任意給定

的正數(shù)M,則稱(chēng)f(x)是當(dāng)X-X。(或X-8)時(shí)的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大，且簡(jiǎn)記為

limf(x)=oo或(limf(x)=oo)0

XT殉KTCO

(3)性質(zhì)與關(guān)系

①有限個(gè)無(wú)窮小的和仍是無(wú)窮?。?/p>

②有界量與無(wú)窮小的積仍是無(wú)窮?。?/p>

③在自變量的同一變化過(guò)程中，如果函數(shù)f(x)為無(wú)窮大，則」一為無(wú)窮??；如果f(x)

/(x)

為無(wú)窮小且f(x)/O,則」一為無(wú)窮大。

/(x)

5、函數(shù)的連續(xù)性與間斷性

(1)函數(shù)的連續(xù)性定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)％的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果limf(x)=f(x()),則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。

XT.”

處連續(xù)，點(diǎn)Xo稱(chēng)為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)。

(2)函數(shù)連續(xù)性等價(jià)定義

limf(x)=f(x())olimAy=0(其中Ay=/(/+Ax)—/(x。)).

(3)單側(cè)連續(xù)

若limf(x)=f(xo),則稱(chēng)f(x)在Xo處左連續(xù)；

若limf(x)=f(x0),則稱(chēng)f(x)在xo處右連續(xù);

函數(shù)f(x)在點(diǎn)Xo處連續(xù)的充分必要條件是f(x)在Xo處既左連續(xù)旦右連續(xù)。

(4)區(qū)間上連續(xù)

若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)。若f(x)在(a,b)

內(nèi)連續(xù)，且在區(qū)間的左端點(diǎn)a處右連續(xù)，在區(qū)間右端點(diǎn)b處左連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間

［a,b］上連續(xù)。

(5)間斷點(diǎn)

若函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。處不連續(xù)，則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)均處間斷，點(diǎn)X。稱(chēng)為函數(shù)的間斷點(diǎn)。

(6)初等函數(shù)的連續(xù)性

初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都是連續(xù)的，由此可得初等函數(shù)的定義域就是該函數(shù)的

連續(xù)區(qū)間。

6、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

(1)最大值和最小值定理

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則它在［a,b］上必能取到最大值和最小值。

(2)介值定理

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則它在［a,b］上必能取到最大值M和最小值m之間

的任何一個(gè)中間值C(m<C<M)?

二、考試要求

1.了解函數(shù)極限的直觀概念。理解函數(shù)在點(diǎn)X。處的極限。理解函數(shù)在X78時(shí)的極限

2.理解函數(shù)在點(diǎn)與處左、右極限的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件

3.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法

4.掌握極限的四則運(yùn)算法則

5.理解無(wú)窮小量概念，了解無(wú)窮大量概念，掌握無(wú)窮小量性質(zhì)。了解無(wú)窮小量的階的概念。

6.理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷簡(jiǎn)單函數(shù)(含分段函數(shù))在一點(diǎn)連續(xù)的方

法

7.了解在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

8.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上性質(zhì)。并會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。

第三章導(dǎo)數(shù)與微分

一、內(nèi)容提要

1、導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果極限lim'=lim

-ArAx->oAr

存在，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)Xo處可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限值為函數(shù)丫=f(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù),記為了'%)

或@或y'。

dxI。x=x0

如果極限lim”不存在，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處不可導(dǎo)。

Ax

導(dǎo)數(shù)的另一種表達(dá)形式為/'%)=lim"6""。)。

7。j-x0

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)沏處的導(dǎo)數(shù)/％)表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜

率。

如果曲線y=f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(xo,f(x0))處的切線方程為

y—f(xo)=/'(x())(x-xo).

3、求導(dǎo)方法

(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

(c)'=0(c為常數(shù))；

(xa)'=axa1(a為任意實(shí)數(shù));

(ax)'=axlna,(ex)'=ex；

(log?x)'=-log?e=-^—>(lnx)'=-;

xxlnax

21

(sinx)*=cosx;(cosx)'=一sinx;(tanx)1=secx=---------

cosx

1

(cotx)1=—esc？x=——;(secx)'=secxtanx;

sin-x

(cscx)'=—cscxcotx;

(arcsinx)1=.(-1<X<1)；

Vl-x2

(arccosx)1=

(arctanx)1=--------;

1+x

(arccotx)'=------二

1+x

(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若u=u(x),v=v(x)均為可導(dǎo)函數(shù)，則有:

(U士v)'=u'±V'；

(uv)'=u'v+wv';

(cu)'=cu,(C為常數(shù));

(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)u=°(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y=f(u)在對(duì)應(yīng)的u點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[°(x)]在點(diǎn)x處可

導(dǎo)，且蟲(chóng)=電.也或簡(jiǎn)化為=

dxdudxx"x

(4)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)y=f(x)是由方程F(x,y)=O確定的可導(dǎo)函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)也可以由方程@F(x,y)=O

dxdx

求得,具體求法可分兩步：

第一步:將方程F(x,y)=O兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)，視y為中間變量,得到一個(gè)關(guān)于y'的一次

方程；

第二步：解方程，求出了。

(5)高階導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，如果/'(x)的導(dǎo)數(shù)存在，則稱(chēng)它為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記為

廣(x)或片或y".

如果二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，則稱(chēng)它為三階導(dǎo)數(shù)，如果y=f(x)的(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，則

稱(chēng)它為f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記為f⑻(x)或F或嚴(yán)。

dx

4、函數(shù)的微分

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)/'(x),臼變量x的增量為Ac,則稱(chēng)乘積/'(x)Ax

為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的微分，記作dy=/'(x)Ax。此時(shí)、稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)x處可微。

二、考試要求

1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其兒何意義。

2.會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程。

3.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。

4.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法。

5.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。

6.理解微分的概念。會(huì)求函數(shù)的一階微分。

第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一、內(nèi)容提要

1、羅必達(dá)法則

(1)羅必達(dá)法則一：求9型未定式的極限

O

條件:函數(shù)f(x),g(x)滿足

①limf(x)=limg(x)=O；

XTX。X->X0

②在Xo的某一鄰域內(nèi)(Xo除外，f'(x)和g'(x)都存在且g'(x)HO；

③lim/O)=4(或oo)。

1與g'(x)

結(jié)論：lim小^=1加U^=A(或8).

XT%g(x)fog'(x)

(2)羅必達(dá)法則二：求藝型未定式的極限

00

條件：函數(shù)f(x),g(x)滿足

①limf(x)=limg(x)=oo；

XT與XTX0

②在Xo的某一鄰域內(nèi)(Xo除外，f'(x)和g'(x)都存在，且g'(x)HO；

③lim'(X)=A(或oo)

』g'(x)

結(jié)論：lim￡^=lim(或oo).

ifg(x)XfXog'(x)

(3)兒點(diǎn)附注

①法則一與法測(cè)二中xfXo可改為xf00,此時(shí)只需要把第二個(gè)條件改為當(dāng)國(guó)充分大

時(shí),f'(x),g'(x)都存在,且g'(x)wO,那末法則仍成立。

②對(duì)于其他0-8、00-8、r等末定型，可通過(guò)適當(dāng)變換化為9型或藝型，再利用羅

000

必達(dá)法則求極限。

2、函數(shù)增減性

(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷定理

設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則

如果在(a,b)內(nèi)_f(x)>0,則f(x)在［a,b］上單調(diào)增力n；如果在(a,b)內(nèi)則f(x)在［a,b］

上單調(diào)減少；如果在(a,b)內(nèi)，1nx)三0,則f(x)在［a,b］上為常數(shù)。

(2)單調(diào)區(qū)間的確定

求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間的步驟：

求出f(x)的定義域，并求尸(X);

在定義域范圍內(nèi)求出使/'(x)=0和/'(x)不存在的點(diǎn)的全體(使/'(x)=0的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn))；

用上述各點(diǎn)作為分界點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，并在每個(gè)小區(qū)間上確定了'(x)的符

號(hào)，同時(shí)確定函數(shù)f(x)在每個(gè)小區(qū)間的增減性，由此求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

3、函數(shù)的極值

(1)函數(shù)極值的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)X,恒有不等式f(x)Wf(x0)

成立,則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)Xo處取得極大值f(Xo);如果對(duì)該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)X,恒有不等式f(x)>f(x0)

成立，則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)Xo處取得極小值f(Xo),函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值，使函

數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn)。

(2)極值存在的必要條件

若f(x)在Xo處可導(dǎo)，且在Xo處取得極值，則/'(Xo)=O.

(3)極值存在的充分條件

第一充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)沏的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且/'(Xo)=O。

若當(dāng)x<x。時(shí)/％)>0,而當(dāng)x>Xo時(shí)/(沏)<0,則f(x0)是f(x)的一個(gè)極大值，沏是極大

值點(diǎn)；

若當(dāng)x<Xo時(shí)/'(Xo)<O,而當(dāng)x>Xo時(shí)r(Xo)>O,則f(Xo)是f(x)的一個(gè)極小值，Xo是極小

值點(diǎn)；

若在Xo的兩側(cè)/'(X)的符號(hào)相同，則f(Xo)不是極值。

第二充分條件:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)Xo處具有二階導(dǎo)數(shù)，且/'(Xo)=O,/〃(沏)。0：

若廣'(Xo)<0,則f(Xo)是f(x)的一個(gè)極大值；若"(Xo)>0,則f(Xo)是f(x)是一個(gè)極小值;

若/"%)=0,不能判定為xo)是否為極值。

4、曲線的凹向與拐點(diǎn)

(1)曲線的凹向與拐點(diǎn)的概念

設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果在(a,b)內(nèi)曲線y=f(x)都位于其每一點(diǎn)切線的上(或

下)方，則稱(chēng)曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)上凹(或下凹)。曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐

點(diǎn)。

(2)曲線凹向的判別法

如果函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo),且/"(xo)>0(或/〃(x)<0),則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)上

凹(或下凹).

5、函數(shù)的最值

求函數(shù)f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步驟為：

在(a,b)內(nèi)求出所有的駐點(diǎn)和使導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

計(jì)算上述各點(diǎn)及兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值；

比較上述所有函數(shù)值，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。

注：如果函數(shù)在其定義域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，且該點(diǎn)又是極值點(diǎn)，那末該點(diǎn)一定是最值點(diǎn)。

二、考試要求

1.熟練掌握用洛必達(dá)法則求“-"、“-"、"(boo\*-00-00"、“d”型未定式的極限方

000

法

2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的增減性

證明簡(jiǎn)單的不等式。

3.理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值、最大值與最小值的方法。且會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)

題。

4.會(huì)判定曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。

第五章不定積分

、內(nèi)容提要

1、不定積分的概念

(1)定義：設(shè)函數(shù)f(x)是定義在某區(qū)間上的已知函數(shù)，如果存在一個(gè)函數(shù)F(x),對(duì)于

該區(qū)間上的每一點(diǎn)x都滿足F'(x)=f(x),則稱(chēng)函數(shù)F(x)是已知函數(shù)f(x)在該區(qū)間的一個(gè)

原函數(shù)。函數(shù)可x)的全體原函數(shù)稱(chēng)為f(x)的不定積分，記作］7(x)dx.

(2)性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)如果有原函數(shù)存在，那末它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，且若F(x)是f(x)

的一個(gè)原函數(shù)，則］7(x)dx=F(x)+C(C為任意常數(shù))。

(jf(x)dx)'=f(x),^kf(x)dx=k

f（x）+c,J[/(x)±g(x)kx=J7(x)dx±Jg(x)dx

（3）基本積分表

^odx=C;\xadx=--—+c(aw-1);

Ja+1

f—dr=lnx+c;\axdx=———Fc;

JXJIn。

xx

^edx=e+c\jsinxdx=-cosx+c;

JcosxtZr=sinx+c;|tanxdx=-ln|cosx\+c;

jcotxdx=ln|sinx\+c;jsecxdx=ln|secx+tanx|+c;

jcscxdx=ln|cscx-cotx\+c;jsec2xdx=tanx+c;

r1,1x

=-cotx+c;-------z-dx=—arctan—+c;

Ja+xaa

1.I1a+xrdx1x-a

-z------yax=—In-------+c;-In+c；

a—x~2aa—xx2-a-2ax-\-a

2、換元積分法

換元積分法就是把積分變量作適當(dāng)代換，使代換后的不定積分成為積分表中所列形式。

（1）第一類(lèi)換元法

通過(guò)湊微分，把所給不定積分化為可積形式，常見(jiàn)的湊微分形式有：

1p1/-

dx=-d(ax+b);xdx=—d)c;—^=dx=2d7x;

a2y[x

-±dx=dl；

—dx=dlnx;cosxdx=dsinx;

xxx

sinxdx=-dcosx;sec2xdx=dtanx;csc2xdx=-dcotx;

/1.dx=darcsinx;—r-dx=darctanx等。

exdx=dex;

i+r

（2）第二類(lèi)換元法

通過(guò)作變量代換x=°<t）化為可積形式。第二類(lèi)換元法常作變量代換消去根式。

3、分部積分法

公式：\udv=UV-\vdii。利用分部積分公式可將原不易積分的形式\udv化為

可積分形式卜d”o

二、考試要求

1.理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。

2.熟練掌握不定積分的基本公式。

3.熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(僅限簡(jiǎn)單根式代換)。

4.掌握常見(jiàn)類(lèi)型的不定積分分部積分法。

5.會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。

第六章定積分及其應(yīng)用

一、內(nèi)容提要

1.定積分的概念

(1)定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上有定義，如果和式極限lim￡/(^)Ar,.存

/=1

在(其中d=maxAx,)，則稱(chēng)這個(gè)極限值為函數(shù)/(x)從a到b的定積分，記作(f(x)dx,

\<i<nL

即

[f\x)dx=Hm

/=l

(2)幾何意義：當(dāng)/(x)20時(shí)，f/(x)dx表示由x軸、直線x=a、x=b及曲線y=f(x)

所圍成的曲邊梯形的面積(如圖)

2.定積分的基本性質(zhì)

(1)f"(x)±8(x)]dx=f/(x)dx±fg(x)dx；

(2)kf(x)dx^k^f(x)dx(k為常數(shù))；

(3)jf(x)dx-[f{x}dx+Jf(x)dx；

⑷f(wàn)/(x)dx=-，/(x)dx；

3.積分上限函數(shù)及其性質(zhì)

(1)定義

設(shè)函數(shù)/(x)在3。]上可積，則稱(chēng)函數(shù)①(x)=1/⑺小為函數(shù)/(x)在[。向上的積

分上限函數(shù)(其中

(2)性質(zhì)

①如果/(X)在口,加上可積，則積分上限函數(shù)①(x)=f力在［a,加上連續(xù)；

②如果/(x)在［a,加上連續(xù)，則積分上限函數(shù)①(x)=［/?)力可導(dǎo)，且

①口)=￡1/⑺力=/(x)。

4.牛頓——萊布尼茲公式

設(shè)/(x)在［a,切上連續(xù)，/(x)是/(x)的一個(gè)原函數(shù)，則

jf(x)dx=F(x)fa=F{h)-F(a)0

5.定積分的換元法

設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，x=夕⑺在［a,⑶上單值且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，

(p(a)=a,夕(夕)=b,則

f/(x)dx=1/即⑺］*'⑺小

6.定積分的分部積分法

設(shè)〃(X),L>(X)在區(qū)間［。,加上都有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則

judu=

7.定積分的應(yīng)用

平面圖形的面積

S=1"(x)-g(x)］dx

S=J”(y)-以y)Mx

二、考試要求

1.理解定積分的概念與兒何意義

2.掌握定積分的基本性質(zhì)

3.理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。

4.掌握牛頓-萊布尼茨公式。

5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法

6.掌握直角坐標(biāo)系卜用定積分計(jì)算平面圖形的面積

第七章多元函數(shù)微積分

一、內(nèi)容提要

1.二元函數(shù)

定義：設(shè)有變量x,y,z，當(dāng)變量在一定范圍內(nèi)任取一組數(shù)值時(shí)，變量z按照一定的規(guī)

律總有確定的數(shù)值和它們對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)變量z為變量的二元函數(shù)，記作：

z=f(x,y)或z=z(x,y)

其中x,y稱(chēng)為自變量,z稱(chēng)為因變量，的取值范圍D稱(chēng)為函數(shù)的定義域，二元函數(shù)

的定義域D是wy平面上的某一個(gè)區(qū)域。

2.偏導(dǎo)數(shù)

(1)偏導(dǎo)數(shù)的定義

定義：設(shè)二元函數(shù)z=在點(diǎn)(%,如)的某一鄰域內(nèi)有定義。如果極限：

A—。Ax

存在，則稱(chēng)此極限值為函數(shù)7=/(%,>)在點(diǎn)(%,%;)處對(duì)》的偏導(dǎo)數(shù)，記作：

,Qz

f.(x0,y0)或—

次(A-OO-O)

f(x0,y0+^y)-f(x0,y0)

如果極限呵------------7-------一一存在，則稱(chēng)此極限值為函數(shù)z=f(x,y)

4x->oAy

在點(diǎn)(Xo，〉o)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，記作：

f'(x0,y0)或—

辦國(guó)為)

(2)偏導(dǎo)數(shù)的求法

設(shè)二元函數(shù)為z=/(x,y)

當(dāng)求/(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只要將二元函數(shù)中的y看作常數(shù)，而對(duì)x求導(dǎo)數(shù)就行了，

同理，求/(x,y)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，要將x看作常數(shù)，而對(duì)y求導(dǎo)數(shù)。

3.偏導(dǎo)數(shù)、全微分的計(jì)算公式