絕對(duì)值的概念和性質(zhì)

絕對(duì)值的概念和性質(zhì)絕對(duì)值的概念和性質(zhì)一、絕對(duì)值的概念1.絕對(duì)值的定義：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離，叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。2.絕對(duì)值的性質(zhì)：（1）任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)。（2）正數(shù)的絕對(duì)值是它本身。（3）0的絕對(duì)值是0。（4）負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。二、絕對(duì)值的性質(zhì)1.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的絕對(duì)值相等。2.絕對(duì)值不等的異號(hào)兩數(shù)，絕對(duì)值較大的數(shù)較大。3.幾個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，越遠(yuǎn)離原點(diǎn)的數(shù)越小。4.負(fù)有理數(shù)的絕對(duì)值比正有理數(shù)大。5.絕對(duì)值為0的數(shù)比一切正數(shù)小，比一切負(fù)數(shù)大。6.兩個(gè)負(fù)數(shù)中，絕對(duì)值較大的數(shù)反而較小。三、絕對(duì)值的應(yīng)用1.求兩數(shù)之差的絕對(duì)值，可以轉(zhuǎn)化為求兩數(shù)之差的正數(shù)值。2.解決實(shí)際問題時(shí)，常用絕對(duì)值表示距離、溫度差等。3.在不等式中，絕對(duì)值符號(hào)可以用來表示變量的取值范圍。四、絕對(duì)值與有理數(shù)的關(guān)系1.絕對(duì)值與有理數(shù)的運(yùn)算：（1）加減法：同號(hào)相加，取絕對(duì)值相加；異號(hào)相減，取絕對(duì)值相減。（2）乘除法：絕對(duì)值相乘或相除，結(jié)果的絕對(duì)值等于兩個(gè)絕對(duì)值相乘或相除的結(jié)果。2.絕對(duì)值與有理數(shù)的性質(zhì)：（1）絕對(duì)值不改變有理數(shù)的正負(fù)性。（2）絕對(duì)值不改變有理數(shù)的大小順序。（3）絕對(duì)值使得有理數(shù)具有非負(fù)性。五、絕對(duì)值與數(shù)軸的關(guān)系1.數(shù)軸上的點(diǎn)與絕對(duì)值：（1）數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)的絕對(duì)值，等于點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。（2）數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，表示該數(shù)的絕對(duì)值。2.數(shù)軸上的絕對(duì)值性質(zhì)：（1）數(shù)軸上的點(diǎn)按絕對(duì)值從小到大排列。（2）數(shù)軸上的正負(fù)號(hào)表示數(shù)的正負(fù)，絕對(duì)值表示距離原點(diǎn)的遠(yuǎn)近。六、絕對(duì)值與不等式的關(guān)系1.不等式中的絕對(duì)值：（1）|a|<b表示a的絕對(duì)值小于b。（2）|a|≥b表示a的絕對(duì)值大于等于b。（3）|a|>b表示a的絕對(duì)值大于b。2.不等式中的絕對(duì)值性質(zhì)：（1）不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。（2）不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變。（3）不等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變。七、絕對(duì)值與函數(shù)的關(guān)系1.絕對(duì)值函數(shù)的定義：y=|x|，表示x的絕對(duì)值。2.絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)：（1）在x≥0時(shí)，y=|x|=x。（2）在x<0時(shí)，y=|x|=-x。（3）絕對(duì)值函數(shù)的圖像是一條以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的V形線。八、絕對(duì)值的拓展1.絕對(duì)值在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用：（1）微分：絕對(duì)值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（2）積分：絕對(duì)值函數(shù)的不定積分。2.絕對(duì)值在其他學(xué)科中的應(yīng)用：（1）物理學(xué)：表示速度、加速度的絕對(duì)值。（2）計(jì)算機(jī)科學(xué)：表示數(shù)據(jù)的距離。絕對(duì)值是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，它表示數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離。絕對(duì)值具有非負(fù)性、對(duì)稱性和傳遞性等性質(zhì)，在有理數(shù)運(yùn)算、不等式求解等方面有著廣泛的應(yīng)用。掌握絕對(duì)值的概念和性質(zhì)，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決實(shí)際問題的能力。習(xí)題及方法：1.習(xí)題：求下列各數(shù)的絕對(duì)值：（4）-2.5答案：（1）5；（2）3；（3）0；（4）2.5解題思路：絕對(duì)值的定義直接應(yīng)用，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0。2.習(xí)題：判斷下列各數(shù)的大小關(guān)系：（1）-3和-5（2）2和|-2|（3）-4和4的絕對(duì)值答案：（1）-3>-5；（2）2=|-2|；（3）-4<4的絕對(duì)值解題思路：應(yīng)用絕對(duì)值的性質(zhì)，絕對(duì)值不改變大小順序，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值越大，其值越小。3.習(xí)題：求下列各數(shù)的絕對(duì)值之和：（1）-2和3（2）-4和|-2|（3）2和-3的絕對(duì)值答案：（1）|-2|+|3|=2+3=5；（2）|-4|+|-2|=4+2=6；（3）|2|+|-3|=2+3=5解題思路：分別求出每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，然后相加。4.習(xí)題：求下列各數(shù)的不等式解集：（1）|x-2|<1（2）|x+3|≥2（3）|2x+1|>3答案：（1）1<x<3；（2）x≤-5或x≥-1；（3）x>1或x<-2解題思路：根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，分別求解每個(gè)不等式。5.習(xí)題：已知兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，它們的絕對(duì)值相等。判斷下列哪組數(shù)互為相反數(shù)：（1）2和-2（2）3和-3（3）4和-5答案：（1）2和-2；（2）3和-3解題思路：根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的絕對(duì)值相等。6.習(xí)題：求下列各數(shù)的最大值和最小值：（1）x的絕對(duì)值（2）-3的絕對(duì)值（3）|x+2|答案：（1）x的最大值為0，最小值為負(fù)無窮；（2）-3的最大值為3，最小值為-3；（3）|x+2|的最大值為正無窮，最小值為-2解題思路：根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，分別求解每個(gè)絕對(duì)值的最大值和最小值。7.習(xí)題：已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是5，求這個(gè)數(shù)可能是：答案：（1）5；（2）-5解題思路：根據(jù)絕對(duì)值的定義，絕對(duì)值是5的數(shù)，可能是5或-5。8.習(xí)題：解決實(shí)際問題：小明家距離學(xué)校10公里，他坐公交車去學(xué)校，公交車每小時(shí)行駛6公里。問小明到學(xué)校需要多少時(shí)間？答案：小明到學(xué)校需要1.67小時(shí)（或1小時(shí)40分鐘）。解題思路：根據(jù)速度等于路程除以時(shí)間的公式，計(jì)算小明到學(xué)校的時(shí)間。其他相關(guān)知識(shí)及習(xí)題：一、相反數(shù)的概念和性質(zhì)1.相反數(shù)的定義：一個(gè)數(shù)與其相反數(shù)相加等于0。2.相反數(shù)的性質(zhì)：（1）任何數(shù)都有相反數(shù)。（2）正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)。（3）0的相反數(shù)是0。二、有理數(shù)的乘法1.有理數(shù)乘法的定義：兩個(gè)有理數(shù)相乘，結(jié)果仍為有理數(shù)。2.有理數(shù)乘法的性質(zhì)：（1）正數(shù)乘以正數(shù)得到正數(shù)。（2）負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)得到正數(shù)。（3）正數(shù)乘以負(fù)數(shù)得到負(fù)數(shù)。（4）負(fù)數(shù)乘以正數(shù)得到負(fù)數(shù)。三、有理數(shù)的除法1.有理數(shù)除法的定義：兩個(gè)有理數(shù)相除，結(jié)果仍為有理數(shù)。2.有理數(shù)除法的性質(zhì)：（1）同號(hào)相除得到正數(shù)。（2）異號(hào)相除得到負(fù)數(shù)。（3）除以0沒有意義。四、有理數(shù)的減法1.有理數(shù)減法的定義：兩個(gè)有理數(shù)相減，結(jié)果仍為有理數(shù)。2.有理數(shù)減法的性質(zhì)：（1）減去一個(gè)正數(shù)等于加上它的相反數(shù)。（2）減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上它的相反數(shù)。（3）減法可以轉(zhuǎn)化為加法。五、絕對(duì)值的應(yīng)用1.求兩數(shù)之差的絕對(duì)值，可以轉(zhuǎn)化為求兩數(shù)之差的正數(shù)值。2.解決實(shí)際問題時(shí)，常用絕對(duì)值表示距離、溫度差等。六、相反數(shù)和絕對(duì)值的關(guān)系1.絕對(duì)值可以表示相反數(shù)的距離。2.絕對(duì)值等于相反數(shù)的絕對(duì)值。七、有理數(shù)的運(yùn)算律1.加法運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律。2.乘法運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律、分配律。3.除法運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律。八、練習(xí)題及答案1.習(xí)題：求下列各數(shù)的相反數(shù)：答案：（1）-5；（2）3；（3）0解題思路：根據(jù)相反數(shù)的定義，正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0。2.習(xí)題：判斷下列各數(shù)的大小關(guān)系：（1）3和-3（2）5和|-5|（3）-4和4的絕對(duì)值答案：（1）3>-3；（2）5=|-5|；（3）-4<4的絕對(duì)值解題思路：應(yīng)用絕對(duì)值的性質(zhì)，絕對(duì)值不改變大小順序，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值越大，其值越小。3.習(xí)題：求下列各數(shù)的乘積：（1）2和-2（2）3和5（3）-4和-5答案：（1）2×（-2）=-4；（2）3×5=15；（3）-4×（-5）=20解題思路：應(yīng)用有理數(shù)乘法的性質(zhì)，正數(shù)乘以負(fù)數(shù)得到負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)乘以正數(shù)得到負(fù)數(shù)。4.習(xí)題：求下列各數(shù)的商：（1）10除以2（2）-10除以3（3）-8除以-4答案：（1）10÷