高中數(shù)學(xué)講義微87 離散型隨機變量分布列與數(shù)字特征

微專題87離散型隨機變量分布列與數(shù)字特征

一、基礎(chǔ)知識：

(-)離散型隨機變量分布列：

1、隨機變量：對于一項隨機試驗，會有多個可能產(chǎn)生的試驗結(jié)果，則通過確定一個對應(yīng)關(guān)

系，使得每一個試驗結(jié)果與一個確定的數(shù)相對應(yīng)，在這種對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著每次試驗結(jié)

果的變化而變化，將這種變化用一個變量進行表示，稱這個變量為隨機變量

(1)事件的量化：將試驗中的每個事件用一個數(shù)來進行表示，從而用“數(shù)”即可表示事件。

例如：在扔硬幣的試驗中，用1表示正面朝上，用o表示反面朝上，則提到1,即代表正面

向上的事件。將事件量化后，便可進行該試驗的數(shù)字分析(計算期望與方差)，同時也可以

簡潔的表示事件

(2)量化的事件之間通?；榛コ馐录?/p>

(3)隨機變量：如果將事件量化后的數(shù)構(gòu)成一個數(shù)集，則可將隨機變量理解為這個集合的

代表元素。它可以取到數(shù)集中每一個數(shù)，且每取到一個數(shù)時，就代表試驗的一個結(jié)果。例如：

在上面扔硬幣的試驗中，設(shè)向上的結(jié)果為則“4=1”代表“正面向上"，J=0”代表

“反面向上”,

(4)隨機變量的記法：隨機變量通常用x,y,a…等表示

(5)隨機變量的概率：記尸(X=xJ為X取七所代表事件發(fā)生的概率

2、離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量，離散型隨

機變量的取值集合可以是有限集，也可以是無限集

3、分布列：一般地，若離散型隨機變量X可能取得不同值為玉,馬，…，芭，…,Z，X取每

一個值七(，=1,2,…的概率尸(X=xJ=p,，以表格的形式表示如下：

稱該表格為離散型隨機變量X的分布列，分布列概率具有的性質(zhì)為:

(1)p,>0,z=1,2,???,//

(2)Pi+P2+…+P”=1，此性質(zhì)的作用如下：

①對于隨機變量分布列，概率和為1，有助于檢查所求概率是否正確

②若在隨機變量取值中有一個復(fù)雜情況，可以考慮利用概率和為1的特征，求出其他較為

簡單情況的概率，利用間接法求出該復(fù)雜情況的概率

（-）常見的分布：

1、如何分辨隨機變量分布列是否符合特殊分布：

（1）隨機變量的取值：隨機變量的取值要與特殊分布中的取值完全一致.

（2）每個特殊的分布都有一個試驗背景，在滿足（1）的前提下可通過該試驗的特征判斷是

否符合某分布

2、常見的分布

（1）兩點分布：一項試驗有兩個結(jié)果，其中事件A發(fā)生的概率為〃，令

1,事件發(fā)生

則X的分布列為:

0,事件未發(fā)生

則稱X符合兩點分布（也稱伯努利分布），其中p=P（X=l）稱為成功概率

（2）超幾何分布：在含有M個特殊元素的N個元素中，不放回的任取〃件，其中含有特

殊元素的個數(shù)記為X則有P（X=Z）=,k-0,l,2,---,m,其中〃z=

即:

則稱隨機變量X服從超幾何分布，記為X

（3）二項分布：在〃次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的概率為〃，設(shè)在〃次試驗中事件A

發(fā)生的次數(shù)為隨機變量X,則有P（X=A）=Cy（l—p）i,Z=0,l,2「.〃，即:

則稱隨機變量X符合二項分布，記為X?B（n,p）

（三）數(shù)字特征——期望與方差

1、期望：已知離散性隨機變量g的分布列為：

則稱P&+P2$+…+P總的值為X的期望，記為E4

(1)期望反映了隨機變量取值的平均水平，換句話說，是做了〃次這樣的試驗，每次試驗

隨機變量會取一個值(即結(jié)果所對應(yīng)的數(shù))，將這些數(shù)進行統(tǒng)計，并計算平均數(shù)，當(dāng)〃足夠

大時，平均數(shù)無限接近一個確定的數(shù)，這個數(shù)即為該隨機變量的期望。例如：連續(xù)投籃三次,

設(shè)投進籃的次數(shù)為隨機變量X,那么將這種連續(xù)三次投籃的試驗重復(fù)做很多次(比如

次)，統(tǒng)計每次試驗中X的取值X1,X2,….Xioooo,則這10000個值的代數(shù)平均數(shù)將很接近

期望歐

(2)期望的運算法則：若兩個隨機變量存在線性對應(yīng)關(guān)系：4則有

=E（ar）+b）=aErj+b

①g=是指隨機變量取值存在對應(yīng)關(guān)系，且具備對應(yīng)關(guān)系的一組(〃4)代表事件的

概率相同：若〃的分布列為：

-------------------------------------------則彳=8的分布列為：

_②這個公式體現(xiàn)出通過隨機變量的線性

---------------------------------------關(guān)系，可得期望之間的聯(lián)系。在某些直接

求期望的題目中，若所求期望的隨機變量不符合特殊分布，但與一個特殊分布的隨機變量間

存在這樣的關(guān)系，那么在計算期望時，便可借助這個特殊分布的隨機變量計算出期望

2、方差：已知離散性隨機變量自的分布列為：

且記隨機變量自的期望為用表示。的方差，則有：

(1)方差體現(xiàn)了隨機變量取值的分散程度，與期望的理解類似，是指做了"次這樣的試驗,

每次試驗隨機變量會取一個值(即結(jié)果所對應(yīng)的數(shù))，將這些數(shù)進行統(tǒng)計。方差大說明這些

數(shù)分布的比較分散，方差小說明這些數(shù)分布的較為集中(集中在期望值周圍)

(2)在計算方差時，除了可以用定義式之外，還可以用以下等式進行計算:設(shè)隨機變量為J,

則必=￡國_(即2

(3)方差的運算法則：若兩個隨機變量乙"存在線性對應(yīng)關(guān)系：^=arj+b,則有:

3、常見分布的期望與方差:

(1)兩點分布：則EX=p,Z)X=〃(l_p)

(2)二項分布：若乂~8(〃,〃)，則￡X=〃〃,DX=">(l-〃)

(3)超幾何分布：若X?則EX=〃?——,DX=—'，/八、——L

注：通常隨機變量的期望和方差是通過分布列計算得出，如果題目中跳過求分布列直接問期

望(或方差)，則可先觀察該隨機變量是否符合特殊的分布，或是與符合特殊分布的另一隨

機變量存在線性對應(yīng)關(guān)系。從而跳過分布列中概率的計算，直接利用公式得到期望(或方差)

二、典型例題：

例1：為加強大學(xué)生實踐，創(chuàng)新能力和團隊精神的培養(yǎng)，促進高等教育教學(xué)改革，教育部門

主辦了全國大學(xué)生智能汽車競賽，競賽分為預(yù)賽和決賽兩個階段，參加決賽的隊伍按照抽簽

的方式?jīng)Q定出場順序，通過預(yù)賽，選拔出甲，乙等五支隊伍參加決賽

(1)求決賽中甲乙兩支隊伍恰好排在前兩位的概率

(2)若決賽中甲隊和乙隊之間間隔的隊伍數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望

(D思路：本題可用古典概型進行解決，設(shè)。為“五支隊伍的比賽順序”，則〃(。)=6,

事件A為“甲乙排在前兩位“，則〃(A)=A］用，從而可計算出P(A)

解：設(shè)事件A為“甲乙排在前兩位”

(2)思路：一共五支隊伍，所以甲乙之間間隔的隊伍數(shù)X能取得值為0,1,2,3,同樣適用

于古典概型?？上葘⒓祝艺忌衔恢?，然后再解決“甲乙”的順序與其他三支隊伍間的順序

問題。

解：X可取得值為0,1,2,3

.?.X的分布列為：

例2：為了提高我市的教育教學(xué)水平，市教育局打算從紅塔區(qū)某學(xué)校推薦的10名教師中任

選3人去參加支教活動。這10名教師中，語文教師3人，數(shù)學(xué)教師4人，英語教師3人.

求：(1)選出的語文教師人數(shù)多于數(shù)學(xué)教師人數(shù)的概率；

(2)選出的3人中，語文教師人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(1)思路：本題可用古典概型來解，事件。為“10名教師中抽取3人”，則〃(。)=。東，

事件A為“語文教師人數(shù)多于數(shù)學(xué)教師人數(shù)”,則分為“1語0數(shù)”，“2語1數(shù)”,“2語0數(shù)”,

“3語”四種情況，分別求出對應(yīng)的情況的種數(shù)，加在一起即為“(A),則P(A)即可求出。

為了更好的用數(shù)學(xué)符號表示事件，可使用“字母+數(shù)字角標”的形式分別設(shè)出“3人中有，名

語文教師”和“3人中有/名教學(xué)教師”。

設(shè)事件a為“3人中有i名語文教師”，號為“3人中有，名數(shù)學(xué)教師”，事件A為“語

文教師人數(shù)多于數(shù)學(xué)教師人數(shù)”

(2)思路：本題可將語文老師視為特殊元素，則問題轉(zhuǎn)化為“10個元素中不放回的抽取3

個元素，特殊元素個數(shù)的分布列”，即符合超幾何分布。隨機變量X的取值為0,1,2,3,按

超幾何分布的概率計算公式即可求出分布列及期望

語文教師人數(shù)X可取的值為0,1,2,3,依題意可得：X?"(10,3,3)

.?.X的分布列為

例3：某市為準備參加省中學(xué)生運動會，對本市甲，乙兩個田徑隊的所有跳高運動員進行了

測試，用莖葉圖表示出甲，乙兩隊運動員本次測試的成績(單位：cm,且均為整數(shù))，同時

對全體運動員的成績繪制了頻率分布直方圖，跳高成績在185cm以上(包括185cm)定義

為“優(yōu)秀”,由于某些原因，莖葉圖中乙隊的部分數(shù)據(jù)丟失,但已知所有運動員中成績在190cm

以上(包括190cm)的只有兩個人，且均在甲隊

(1)求甲，乙兩隊運動員的總?cè)藬?shù)a及乙隊中成績在［160,170)(單位：cm)內(nèi)的運動員

人數(shù)b

(2)在甲，乙兩隊所有成績在180cm以上的運動員中隨機選取2人，已知至少有1人成績

為“優(yōu)秀”，求兩人成績均“優(yōu)秀”的概率

(3)在甲，乙兩隊中所有的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的運動員中隨機選取2人參加省中學(xué)生運動會

甲

715557

9981612450.030

0.025

986531712457

8642118167

3219

QMS

MSIMSIMJmJ

正式比賽，求所選取運動員中來自甲隊的人數(shù)X的分布列及期望

(1)思路：本小問抓好入手點的關(guān)鍵是明確兩個統(tǒng)計圖的作用，莖葉圖所給的數(shù)據(jù)為甲，

乙兩隊的成績，但乙隊有殘缺，所以很難從莖葉圖上得到全體運動員的人數(shù)。在頻率分布直

方圖中，所呈現(xiàn)的是所有運動員成績的分布(但不區(qū)分甲，乙隊)，由此可明確要確定全體

運動員的人數(shù)，需要通過直方圖，要確定各隊的情況，則需要莖葉圖。要補齊乙隊的數(shù)據(jù)，

則兩個圖要結(jié)合著看。在第(1)問中，可以以190cm以上的人數(shù)為突破口，通過頻率直方

圖可知190cm以上所占的頻率為0.005x10=0.05,而190cm以上只有2人，從而得到全體

人數(shù)，然后再根據(jù)頻率直方圖得到［160,170)的人數(shù)，減去甲隊的人數(shù)即為力

解：由頻率直方圖可知：

成績在以190cm以上的運動員的頻率為0.005x10=0.05

2

所以全體運動館總?cè)藬?shù)。=——=40(人)

0.05

成績位于［160,170)中運動員的頻率為0.03x10=0.3,人數(shù)為40x0.3=12

由莖葉圖可知：甲隊成績在［160,170)的運動員有3名

.?.Z?=12—3=9(人)

⑵思路：通過頻率直方圖可知180cm以上運動員總數(shù)為：(0.()2()+().()()5)xl()x40=l()

(人)，結(jié)合莖葉圖可知乙在180cm以上不缺數(shù)據(jù)。題目所求的是條件概率，所以可想到公

式P⑻力=萼粵,分別求出“至少有1人成績?yōu)椤畠?yōu)秀'”和“兩人成績均'優(yōu)秀

P(4)

的概率，然后再代入計算即可

解：由頻率直方圖可得：180cm以上運動員總數(shù)為：(0.020+0.(X)5)x10x40=10

由莖葉圖可得，甲乙隊180cm以上人數(shù)恰好10人，且優(yōu)秀的人數(shù)為6人

乙在這部分數(shù)據(jù)不缺失

設(shè)事件4為“至少有1人成績優(yōu)秀”，事件3為“兩人成績均優(yōu)秀”

(3)思路：由(2)及莖葉圖可得：在優(yōu)秀的6名運動員中，甲占了4名，乙占了2名，依

題意可知X的取值為0,1,2,且X符合超幾何分布，進而可按公式進行概率的計算

解：由(2)可得：甲有4名優(yōu)秀隊員，乙有2名優(yōu)秀隊員

X可取的值為0,1,2

.?.X的分布列為：

例4：現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味

性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2

的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.

(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；

(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；

(3)用X,Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記J=|X—丫］,求隨機變量J

的分布列與數(shù)學(xué)期望

21

(1)思路：按題意要求可知去參加甲游戲的概率為R參加乙游戲的概率為

163

42

8=一=一，4個人扔骰子相互獨立，所以屬于獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?，利用該模型求出概率?/p>

63

可。

2I42

解：依題意可得：參加甲游戲的概率為［=—=—,參加乙游戲的概率為A=—=—

6363

設(shè)事件4為“有i個人參加甲游戲”

(2)思路：若甲游戲人數(shù)大于乙游戲人數(shù)，即為事件A3UA4,又因為43，44互斥，所以

根據(jù)加法公式可得：0=尸(4)+尸(4),進而可計算出概率

解：設(shè)事件B為“甲游戲人數(shù)大于乙游戲人數(shù)”

(3)思路：表示兩個游戲人數(shù)的差，所以g可取的值為0,2,4。j=o時對應(yīng)

的情況為4,j=2時對應(yīng)的情況為4,4，J=4時對應(yīng)的情況為4,4,從而可計算出

對應(yīng)的概率，得到分布列

解：?？扇〉闹禐?,2,4

例5：某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到

紅燈的概率都是!，遇到紅燈時停留的時間都是2分鐘

3

(1)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率

(2)求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間4的分布列及期望，方差

解：(1)思路：條件中說明各路口遇到紅燈的情況相互獨立，。在第三個路口首次遇到紅燈，

即前兩次沒有遇到，第三次遇到紅燈。使用概率乘法即可計算

解：設(shè)事件4為“在第i個路口遇到紅燈”，則p(a)=g,P(4)=I—P(4)=]

設(shè)事件A為“第三個路口首次遇到紅燈”即A=4n無D4

(2)思路：在上學(xué)途中遇到一次紅燈就需要停留2分鐘，一共四個路口，所以要停留的時

間J可取的值為0,2,4,6,8,依題意可知J的取值對應(yīng)的遇到紅燈次數(shù)T]為0,1,2,3,4,且該

模型屬于獨立重復(fù)試臉模型，所以可用形如二項分布的公式計算遇到紅燈次數(shù)的概率，即為

對應(yīng)J取值的概率，從而列出分布列，在計算期望與方差時，如果借用分布列計算，雖然可

得到答案，但過程比較復(fù)雜(尤其是方差)，考慮到〃符合二項分布，其期望與方差可通過

公式迅速得到，且自與〃之間存在聯(lián)系：彳=277。所以先利用二項分布求出租的期望與方

差，再利用運算公式得到J的期望方差即可

解：J可取的值為0,2,4,6,8,設(shè)遇到紅燈的次數(shù)為〃，則〃對應(yīng)的值為Q1,2,3,4

??芯的分布列為：

小煉有話說：本題的亮點在于求J的期望方差時，并不是生硬套用公式計算，而是尋找一個

有特殊分布的隨機變量〃，通過兩隨機變量的聯(lián)系(線性關(guān)系)和〃的期望方差來得到所求。

例6：甲，乙去某公司應(yīng)聘面試，該公司的面試方案為:應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機

抽取3道題，按照答對題目的個數(shù)為標準進行篩選.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能

2

正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是一，且每題正確完成與否互

3

不影響

(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列，并計算其數(shù)學(xué)期望；

(2)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性大？

(1)思路：依題意可知對于甲而言，只要在抽題的過程中，抽中甲會答的題目，則甲一定

能夠答對，所以甲完成面試題數(shù)的關(guān)鍵在于抽題，即從6道題目中抽取3道，抽到甲會的4

道題的數(shù)量X,可知X符合超幾何分布；對于乙而言，抽的題目是無差別的，答對的概率

相同，所以乙正確完成面試題數(shù)y符合二項分布。從而利用超幾何分布與二項分布的概率公

式即可得到分布列和方差

解：（1）設(shè)x為甲正確完成面試題的數(shù)量，y為乙正確完成面試題的數(shù)量，依題意可得：

X?“（6,3,4）,X可取的值為1,2,3

.?.X的分布列為：

.?.y的分布列為:

（2）思路：由（1）可知上X=EF,說明甲，乙兩個人的平均水平相同，所以考慮甲，乙

發(fā)揮的穩(wěn)定性，即再計算。x,z）y,比較它們的大小即可

解：OX=gx（l—2）2+（2—2）2x|+（3—2『xg=|

.?.甲發(fā)揮的穩(wěn)定性更強，則甲勝出的概率較大

小煉有話說：（1）第（2）問在決策時，用到了期望和方差的意義，即期望表明隨機變量取

值的平均情況，而方差體現(xiàn)了隨機變量取值是相對分散（不穩(wěn)定）還是集中（穩(wěn)定），了解

它們的含義有助于解決此類問題

（2）當(dāng)隨機變量符合特殊分布時，其方差也有公式以方便運算：

①二項分布：若X?則QX=叩（1一p）

_x、nM（N—MN-n）

②超幾何分布：若X?,則DX=-'八、——L

例7：某個海邊旅游景點，有小型游艇出租供游客出海游玩，收費標準如下：租用時間不超

過2小時收費100,超過2小時的部分按每小時100收?。ú蛔阋恍r按一小時計算）.現(xiàn)

甲、乙兩人獨立來該景點租用小型游艇，各租一次.設(shè)甲、乙租用不超過兩小時的概率分別

為L」，租用2小時以上且不超過3小時的概率分別為［,4，兩人租用的時間都不超過4

3232

小時.

(1)求甲、乙兩人所付費用相同的概率;

(2)設(shè)甲、乙兩人所付的費用之和為隨機變量求4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

解：(1)設(shè)事件A為“甲，乙租用時間均不超過2小時”.-.P(A)=1-1=1

事件8為“甲，乙租用時間均在2小時至3小時之間”=l

236

事件C為“甲，乙租用時間均在3小時至4小時之間”

故所求事件的概率尸=P(A)+P(8)+P(C)=—

36

(2)J的取值可以為200,300,400,500,600

則pe=2oo)='U

236

故。的分布列為：

例8：將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器上方的入口處，小球自由下落，在下落的

過程中，將遇到黑色障礙物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障礙物時，

12

向左，右兩邊下落的概率分別是一,一

33

(1)分別求出小球落入A袋和B袋中的概率

(2)在容器入口處依次放入4個小球，記J為落入6袋中的小球個數(shù)

求自的分布列和數(shù)學(xué)期望

(1)思路：本題的關(guān)鍵要抓住小球下落的特點，通過觀察圖形可得：小球要經(jīng)歷三層障礙

物，且在經(jīng)歷每層障礙物時，只有一直向左邊或者一直向右邊下落，才有可能落到A袋中，

其余的情況均落入B袋，所以以A袋為突破口即可求出概率

解：設(shè)事件A為“小球落入4袋”，事件B為“小球落入B袋"，可知B=入

依題意可得:

(2)思路：每個小球下落的過程是彼此獨立的，所以屬于獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ停?1)可得:

在每次試驗中，落入袋發(fā)生的概率為：，所以自服從二項分布，即2

8J?,運用

二項分布概率計算公式即可得到答案

解：4可取的值為0,1,2,3,4,可知

J的分布列為：

例9“已知正方形ABCD的邊長為2,E、F、G、H分別是邊AABC、CD、的中

點.

(1)在正方形ABC。內(nèi)部隨機取一點P,求滿足|丹/|<正的概率；

(2)從A、B、C、D、E、F、G、〃這八個點中，隨機選取兩個點，記這兩個點之間的

距離為。，求隨機變量J的分布列與數(shù)學(xué)期望

(1)思路：首先明確本題應(yīng)該利用幾何概型求解(基本事件位等可能事件，且基本事件個

數(shù)為無限多個)。。為“正方形內(nèi)部的點”，所以

S(O)=22=4,設(shè)事件A為“|尸〃|〈及''，則P點位于以

“為圓心，J5為半徑的圓內(nèi)，所以5(A)為正方形與圓的公/AHD

共部分面積，計算可得：〈!

S(A)=SAHE+SDHG+S!mG=1+-,從而算出P(A)MJX

解：設(shè)事件A為“|P"|<0"P

BFC

(2)思路：八個點中任取兩點，由正方形性質(zhì)可知兩點距離J

可取的值為后,2夜，概率的計算可用古典概型完成。。為“八個點中任取兩點”,

則〃(。)=《=28,當(dāng)4=1時，兩點為邊上相鄰兩點，共8組；當(dāng)g=時，該兩點與

中點相關(guān)有4組；當(dāng)4=2時，除了正方形四條邊，還有EG,“產(chǎn)，所以由6組；當(dāng)自=#)

時，該兩點為頂點與對邊中點，共8組；當(dāng)4=2夜時，只能是正方形對角線AC,30,

有2組，根據(jù)每種情況的個數(shù)即可計算出概率，完成分布列

解：4可取的值為1,后,2,有,2后

.?.J的分布列為:

例io：一種電腦屏幕保護畫面，只有符號"O"和"X"隨機地反復(fù)出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，

每次變化只出現(xiàn)"O"和"X"之一，其中出現(xiàn)"O"的概率為P，出現(xiàn)"X"的概率為q,若第

2次出現(xiàn)"O",則記%=1；出現(xiàn)"X",則記%=-1,令S“=4+4+…+4.

31

(1)當(dāng)〃=一國=一時，求S3的分布列及數(shù)學(xué)期望.

I?

(2)當(dāng)〃=§應(yīng)=§時，求$8=2且S舊0(7=1,2,3,4)的概率.

(1)思路：依題意可知邑表示試驗進行了三次，可能的情況為3"X",1"<9"2"X",

2"O"1"X",且符合獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?。根?jù)題目要求可知對應(yīng)S3的取值為

-3,-1,1,3,分別計算出概率即可列出分布列

解：S3的取值為-3,-1,1,3

.??S3的分布列為：

(2)思路：由$8=2可知在8次試驗中出現(xiàn)5次"O",3次"X"。而SjN0(i=l,2,3,4)可

知在前四次中，出現(xiàn)"O"的次數(shù)要大于出現(xiàn)"X"的次數(shù)，可根據(jù)前四次出現(xiàn)"X"的個數(shù)進

行分類討論，并根據(jù)S?0(i=1,2,3,4)安排"O"和"X"出現(xiàn)的順序

解：設(shè)A,為“前四次試驗中出現(xiàn)，個X,且Sg=2,520(1=1,2,3,4)

三、歷年好題精選

1、已知A箱裝有編號為1,2,3,4,5的五個小球(小球除編號不同之外，其他完全相同)，B

箱裝有編號為2,4的兩個小球(小球除編號不同之外，其他完全相同)，甲從A箱中任取一

個小球，乙從B箱中任取一個小球，用x,y分別表示甲，乙兩人取得的小球上的數(shù)字.

(1)求概率p(x>y)；

XX>Y

⑵設(shè)隨機變量g=y,x?'求刖分布列及數(shù)學(xué)期望.

2、春節(jié)期間，某商場決定從3種服裝，2種家電，3種日用品中，選出3種商品進行促銷活

動

(1)試求出選出的3種商品中至少有一種是家電的概率

(2)商場對選出的某商品采用抽獎方式進行促銷，即在該商品現(xiàn)價的基礎(chǔ)上將價格提高100

元，規(guī)定購買該商品的顧客有3次抽獎機會：若中一次獎，則獲得數(shù)額為m元的獎金；若

中兩次獎，則共獲得數(shù)額為3加元的獎金，若中3次獎，則共獲得數(shù)額為6M元的獎金，假

設(shè)顧客每次抽獎中獎的概率都是1，請問：商場將獎金數(shù)額加最高定為多少元，才能使促

3

銷方案對商場有利

3、為了搞好某次大型會議的接待工作，組委會在某校招募了12名男志愿者和18名女志愿

者，將這30名志愿者的身高編成如圖所示的莖葉圖(單位：cm)若身高在175cm以上(包

括175cm)定義為“高個子”，身高在175cm以下(不包括175cm)定義為“非高個子”,

切只有“女高個子”才擔(dān)任“禮儀小姐”里

(1)求12名男志愿者的中位數(shù)1577899

9816124589

(2)如果用分層抽樣的方法從所有“高個子”，“非高個86501723456

74211801

子”中共抽取5人，再從這5個人中選2人，那么至少有119

一個是“高個子”的概率是多少？

(3)若從所有“高個子”中選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的

人數(shù)，試寫出X的分布列并求出期望

4、如圖所示：機器人海寶按照以下程序運行：

①從A出發(fā)到達點B或C或D,到達點B,C,D之一就停止

②每次只向右或向下按路線運行

③在每個路口向下的概率為1

3

④到達P時只向下，到達Q點只向右

(1)求海寶從點A經(jīng)過M到點B的概率和從A經(jīng)過N到點C的概率

(2)記海寶到B,C,D的事件分別記為X=1,X=2,X=3,求隨?M

機變量X的分布列及期望

5、如圖，一個小球從M處投入，通過管道自上而下落至A或3或

R

C,已知小球從每個岔口落入左右兩個管道的可能性是相等的，某商家按上述投球方式進

行促銷活動，若投入到小球落到ARC,則分別設(shè)為一、二、三等獎

(1)己知獲得一、二、三、等獎的折扣率分別為50%,70%,90%,記隨機變量J為獲得上

等獎的折扣率，求隨機變量J的分布列及期望

(2)若由3人參加促銷活動，記隨機變量〃為獲得一等獎或二等獎的人數(shù)，求P(/7=2)

(1)若該廠任其自然不作防雨處理，寫出每天損失自的概率分布，并求其平均值

(2)若該廠完全按氣象預(yù)報作防雨處理，以77表示每天的損失，寫出7/的概率分布，計算〃

的平均值，并說明按氣象預(yù)報作防雨處理是否是正確的選擇

7、正四棱柱的底面邊長為1,側(cè)棱長為G，從正四棱柱的12條棱中任取兩條，設(shè)〃為隨

機變量，當(dāng)兩條棱相交時，記〃=0；當(dāng)兩條棱平行時，〃的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩

條棱異面時，記〃=3

(1)求概率P(〃=0)

(2)求〃的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望

8、投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審，若能通過兩位初審專家的評審，則予

以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再

由第三位專家進行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用。設(shè)稿件能

通過各初審專家評審的概率均為0.5,復(fù)審的稿件能通過評審的概率為0.3

(1)求投到該雜志的一篇稿件被錄用的概率

(2)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列及期望

9、(2016,湖南師大附中月考?)師大附中高一研究性學(xué)習(xí)小組，在某一高速公路服務(wù)區(qū)，從

小型汽車中按進服務(wù)區(qū)的先后，以每間隔10輛就抽取一輛的抽樣方法抽取20名駕駛員進行

詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速(切2/〃)分成六段：

[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]統(tǒng)計后得至收口下圖的頻率分布直方

圖.

(1)此研究性學(xué)習(xí)小組在采集中，用到的是什么抽樣方::

0.8

法？并求這20輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值；ow

0.02

001

707sM)R59095((JO

（2）若從車速在［80,90）的車輛中做任意抽取3輛，求車速在［80,85）和［85,90）內(nèi)都有車

輛的概率；

（3）若從車速在［90,1（X））的車輛中任意抽取3輛，求車速在［90,95）的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

10、已知暗箱中開始有3個紅球，2個白球（所有的球除顏色外其它均相同），現(xiàn)每次從暗

箱中取出一個球后，再將此球以及與它同色的5個球（共6個球）一起放回箱中

（1）求第二次取出紅球的概率

（2）求第三次取出白球的概率

（3）設(shè)取出白球得5分，取出紅球得8分，求連續(xù)取球3次得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望

11、某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿200元的顧客，將獲得一次摸獎機

會，規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅色球，1個黃色球，1個藍色球和1

個黑色球，顧客不放回的每次摸出1個球，直至摸到黑色球停止摸獎，規(guī)定摸到紅色球獎勵

10元，摸到黃色球或藍色球獎勵5元，摸到黑色球無獎勵

（1）求一名顧客摸球3次停止摸獎的概率

（2）記X為一名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望

①兩輪測試均通過的定為一級工程師

②僅通過第一輪測試，而第二輪測試沒通過的定為二級工程師

③第一輪測試沒通過的不予定級

172

已知甲，乙，丙三位工程師通過第一輪測試的概率分別為一,一,一；通過第二輪測試的概率

333

均為‘

2

（1）求經(jīng)過本次考核，甲被定為一級工程師，乙被定為二級工程師的概率

（2）求經(jīng)過本次考核，甲，乙，丙三位工程師中恰有兩位被定為一級工程師的概率

（3）設(shè)甲，乙，丙三位工程師中被定為一級工程師的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列

和數(shù)學(xué)期望

13、（2015,廣東）已知隨機變量X服從二項分布3（〃,2），若欣=30,m=20,則

P=一

14、（2015,安徽）已知2件次品和3件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨

機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)果.

（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率

（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件

正品時所需要的檢測費用（單位：元），求X的分布列和均值

15、（2015,福建）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡

將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正

確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正

確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.

（1）求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；

（2）設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16、（2015,天津）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參

加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選

手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.

（1）設(shè)A為事件”選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”

求事件A發(fā)生的概率；

（2）設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

17、（2015,山東）若〃是一個三位正整數(shù)，且〃的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于

百位數(shù)字，則稱〃為“三位遞增數(shù)”（如137,359,567等）.在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參

加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取一個數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽

取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能

被10整除，得T分；若能被10整除，得1分.

（1）寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；

（2）若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX

18、（2014,四川）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出

現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次

音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得一200分）.設(shè)

每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為,，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.

2

（1）設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為X,求X的分布列.

（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？

（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比，分數(shù)沒有增加反

而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分數(shù)減少的原因.

19、（2016,唐山一中）設(shè)不等式f+y244確定的平面區(qū)域為u,|x|+|y|?l確定的平

面區(qū)域為V.

（1）定義橫、縱坐標為整數(shù)的點為“整點”，在區(qū)域U內(nèi)任取3個整點，求這些整點中恰

有2個整點在區(qū)域V內(nèi)的概率；

（2）在區(qū)域U內(nèi)任取3個點，記這3個點在區(qū)域V內(nèi)的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望.

20、（2016）天一大聯(lián)考）某猜數(shù)字游戲規(guī)則如下：主持人給出8個數(shù)字，其中有一個是幸

運數(shù)字，甲，乙，丙三人依次來猜這個幸運數(shù)字，有人猜中或者三人都未猜中游戲結(jié)束。甲

先猜一個數(shù)，如果甲猜中，則甲獲得10元獎金，如果甲沒有猜中，則主持人去掉四個非幸

運數(shù)字（包括甲猜的）；乙從剩下的四個數(shù)中猜一個，如果乙猜中，則甲，乙均獲得5元獎

金，如果乙沒有猜中，則主持人再去掉兩個非幸運數(shù)字（包括乙猜的）；丙從剩下的兩個數(shù)

中猜一個，如果丙猜中，則甲，乙，丙均獲得2元獎金。如果丙沒有猜中，則三個人均沒有

獎金

（1）求甲至少獲得5元獎金的概率

（2）記乙獲得的獎金為X元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望

21、（2016,廣東省四校第二次聯(lián)考）為普及高中生安全逃生知識與安全防護能力，某學(xué)校

高一年級舉辦了高中生安全知識與安全逃生能力競賽.該競賽分為預(yù)賽和決賽兩個階段，預(yù)

賽為筆試，決賽為技能比賽.先將所有參賽選手參加筆試的成績（得分均為整數(shù)，滿分為

100分）進行統(tǒng)計，制成如下頻率分布表.

分數(shù)（分數(shù)段）頻數(shù)（人數(shù)）頻率

[60,70)9

[70,80)

[80,90)16

190,100)

合計1

（1）求出上表中的x,y,z,s,〃的值：

（2）按規(guī)定，預(yù)賽成績不低于90分的選手參加決賽，參加決賽的選手按照抽簽方式?jīng)Q定出

場順序.已知高一二班有甲、乙兩名同學(xué)取得決賽資格.

①求決賽出場的順序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；

②記高一?二班在決賽中進入前三名的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22、（2016,唐山一模）某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇

一種，

方案一：每滿200元減50元：

方案二：每滿200元可抽獎一次.具體規(guī)則是依次從裝有3個紅球、1個白球的甲箱，裝有

2個紅球、2個白球的乙箱，以及裝有1個紅球、3個白球的丙箱中各隨機摸出1個球，所

得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）

（1）若兩個顧客都選擇方案二，各抽獎一次，求至少一個人獲得半價優(yōu)惠的概率；

（2）若某顧客購物金額為320元，用所學(xué)概率知識比較哪一種方案更劃算？

習(xí)題答案：

1、解析：（1）設(shè)事件A,.為“取出i號球”,設(shè)事件B.為“取出/號球”，則P（A,%）=d='

（2）J的取值為2,3,4,5

的分布列為:

2、解析：（1）設(shè)選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A,從3種服裝、2種家電、3

種日用品中，選出3種商品，一共有C；種不同的選法，選出的3種商品中，沒有家電的選

法有C；種.

「3Q

所以，選出的3種商品中至少有一種是家電的概率為P（A）=1—胃=—

G14

（2）設(shè)顧客三次抽獎所獲得的獎金總額為隨機變量X,其所有可能的取值為0,根,3〃z,6〃?

3、解析：（1）由莖葉圖可得：男志愿者身高數(shù)據(jù)為：

所以中位數(shù)為：176+178=177cffl

2

（2）由莖葉圖可得：“高個子”12人，“非高個子”18人

所以這5個人中，有2個高個子，3個“非高個子”

設(shè)事件A為：”至少有一個是‘高個子

（3）由莖葉圖可得高個子中能擔(dān)任禮儀小姐的有4人

則X可取的值為0,1,2,3

X的分布列為：

12

4、解析：（1）依題意可得每個路口向下的概率為-，向右的概率為一

33

設(shè)事件4為“點A經(jīng)過M到點B”

設(shè)事件B為“從A經(jīng)過N到點C”

⑵尸(x=i)*[+需J一2?一1=9=一1

33819

X的分布列為:

5、解析：（1）自可取的值為50%,70%,90%

.?.J的分布列為:

（2）由（1）可知：獲得一等獎或二等獎的概率為2+2=2,且〃?臺［，？］

16816116J

6、解析：（1）自可取的值為0,3000,依題意可得:

(2)〃可取的值為0,500,3000

的分布列為:

E”E&,所以按天氣預(yù)報作防雨處理是正確的選擇

解：(1)p(〃=o)=次合4

7、

01211

（2）〃可取的值為0,1,J5,6,2,3

二〃的分布列為：

8、解：（1）設(shè)事件A為“一篇稿件被錄用”

（2）X可取的值為0,1,2,3,4,可知X?814,|

X的分布列為:

9、

（2）車速在［80,90）的車輛有（0.2+03）x20=10輛,其中速度在［80,85）和［85,90）內(nèi)

的車輛分別有4輛和6輛

設(shè)事件A,為“［80,85）內(nèi)有i輛車”，事件Bj為“［85,90）內(nèi)有/輛車”，事件A為“車速在

［80,85）和［85,90）內(nèi)都有車輛”

（3）車速在［90,1（X））的車輛共有7輛，車速在［90,95）和［95,100）的車輛分別有5輛和2

輛，若從車速在［90,10（））的車輛中任意抽取3輛，設(shè)車速在［90,95）的車輛數(shù)為X,則X

的可能取值為1、2、3.

C'C21C2cl4C2C02

P（x=l）=*=L,尸（x=2）=*='P（x=3）=-^=-

C7C7C；7

故分布列為

「142

車速在［90,95）的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望為頤*）=1*/2又尹3、］.

10、解析：（1）設(shè)事件A為“第二次取出紅球”

2333+53

可得P（A）=—X----1X-----

55+555+55

（2）設(shè)事件3為“第三次取出白球“，則包含白白白，白紅白，紅白白，紅紅白