高等數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)-無(wú)窮級(jí)數(shù)

第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)

教學(xué)目的：

1.理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的

必要條件。

2.掌握幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

3.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。

4.掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。

5.了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。

6.了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7.理解事級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握暮級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

8.了解塞級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分）,

會(huì)求一些塞級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

9.了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。

10.掌握e*,sinx,cosx,ln（l+x）和（1+。廠的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函

數(shù)間接展開成幕級(jí)數(shù)。

11.了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理，會(huì)將定義在U，1］

上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在［0,1］上的函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出傅

里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式。

教學(xué)重點(diǎn)：

1、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別；

3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法；

4、幕級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；

5、e”,sinx,cosx,ln（l+x）和（l+a）”的麥克勞林展開式；

6、傅里葉級(jí)數(shù)。

教學(xué)難點(diǎn)：

1、比較判別法的極限形式；

2、萊布尼茨判別法；

3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂；

4、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)；

5、泰勒級(jí)數(shù)；

6、傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理。

§11.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：給定一個(gè)數(shù)列

“1，"2,?3,,?,>???,?,>

則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

〃[+“2+”3+.??+〃〃+***

00

叫做常數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)，記為Z"“，即

W=1

00

="I+"2+%+***+%+

n=l

其中第〃項(xiàng)““叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng).

級(jí)數(shù)的部分和：作級(jí)數(shù)的前〃項(xiàng)和

n=\

n

Sn=￡%=U｝+?2+的+???+/

i=l

00

稱為級(jí)數(shù)Z，。的部分和.

rt=l

00

級(jí)數(shù)斂散性定義：如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列｛4｝有極限S,即lims〃=s,

n=\5

00

則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，這時(shí)極限S叫做這級(jí)數(shù)的和，

n=\

并寫成

=+4+〃3+■,,+■,?；

71=1

00

如果6,｝沒(méi)有極限，則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散?

W=1

0000

余項(xiàng)：當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，其部分和s“是級(jí)數(shù)Z%的和S的近似值，它們之間的差值

〃=1n=\

r〃=sf=斯+1+〃〃+2+

00

叫做級(jí)數(shù)2冊(cè)的余項(xiàng).

W=1

例1討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）

00

----------------------------------…

77=0

的斂散性，其中叵0,q叫做級(jí)數(shù)的公比.

例1討論等比級(jí)數(shù)￡>/5卻）的斂散性.

〃二0

解如果中A則部分和

s=a+aq+acpT-----\-aq,1~]="~~"無(wú)=/——.

\-q\-q\-q

00

當(dāng)⑷<1吐因?yàn)?而5“=六，所以此時(shí)級(jí)數(shù)收斂，其和為

…\-q?=0l-q

當(dāng)團(tuán)>1時(shí)，因?yàn)閘ims”=00,所以此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.

…?=0

如果|加1,則當(dāng)戶1時(shí),S,產(chǎn)”28,因此級(jí)數(shù)發(fā)散;

n=0

當(dāng)q=-\吐級(jí)數(shù)成為

w=0

。一。+。一。+?一,

時(shí)團(tuán)=1時(shí)，因?yàn)镾.隨著〃為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零,

00

所以工的極限不存在，從而這時(shí)級(jí)數(shù)也發(fā)散.

n=0

0000

綜上所述，如果即＜1,則級(jí)數(shù)收斂，其和為臺(tái)；如果@121,則級(jí)數(shù)發(fā)散?

〃二01一。72=0

僅當(dāng)肝1時(shí)，幾何級(jí)數(shù)如八到收斂，其和為

w=o『q

例2證明級(jí)數(shù)

1+2+3+???+〃+???

是發(fā)散的.

證此級(jí)數(shù)的部分和為

Sn=1+2+3+,,?+〃='.....-----.

顯然，lim.v?=oo,因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的.

n->00

例3判別無(wú)窮級(jí)數(shù)

---1--1-,--1----,11,h???H,1r???

1-22-33-4---------〃(/7+1)

的收斂性.

解由于

u=1=1__1_

"n〃+1'

因此

1,1,1,,1

%=記+而十/+…+而而

=(1-[)+(]-[)+…+(——77)-1—7?

223n〃+1〃+1

從而

]ims〃=lim(l——^)=1，

n^x)w—>oon+i

所以這級(jí)數(shù)收斂，它的和是1.

81

例3判別無(wú)窮級(jí)數(shù)Z的收斂性.

M〃(〃+D

解因?yàn)?/p>

1,1,1,,1

%=適+才k…

=(1-[)+([-《)+,,,+(――77)=1—-77?

223n71+1力+1

從而

lims“=lim(l——^-)=1,

所以這級(jí)數(shù)收斂，它的和是1.

提示：U?=-1-=-——

〃(〃+1)n〃+1

二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

0000

性質(zhì)1如果級(jí)數(shù)收斂于和s,則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)《所得的級(jí)數(shù)%也收斂，

?=1n=l

且其和為ks.

0000

性質(zhì)1如果級(jí)數(shù)收斂于和S,則級(jí)數(shù)也收斂，且其和為人.

n=\n=\

0000

性質(zhì)1如果Z""=s，貝U￡kUn=ks.

n=\n=\

0000

這是因?yàn)?，設(shè)與I?4的部分和分別為S“與5”貝IJ

n=\〃=1

+

lim(yf1=lim(切]4-AM2***也〃)=klim(%+u2+???uj=klims〃=ks.

n—>oo〃一>co〃一>oon—?oo

這表明級(jí)數(shù)Z版〃收斂，且和為k3.

n=\

000000

性質(zhì)2如果級(jí)數(shù)、Z%分別收斂于和s、5則級(jí)數(shù)士匕）也收斂，且其和為s土a

n=\n=ln=\

000000

性質(zhì)2如果=s、2丫"=b,貝UX(""±V")=s±b'

n=\n=\n=\

000000

這是因?yàn)?，如?冊(cè)、Z%、Z（""土匕）的部分和分別為S.、g、rn,則

n=lw=ln-\

limr?=limf(M]±V])+(w2±v2)+???+(w?±v?)]

77—>00n—>0O

1

=lim[(wj+W2H----土(H+為"--------Hvw)j

〃一?00

=lim(s〃±b〃)=s±b.

〃T8

性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.

]

比如，級(jí)數(shù)記+行+k+…++???是收斂的,

級(jí)數(shù)10000+*+=+±+…+就^+…也是收斂的,

級(jí)數(shù)表+表+…+新+…也是收斂的.

00

性質(zhì)4如果級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變.

M=1

應(yīng)注意的問(wèn)題：如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂，則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂.

例如，級(jí)數(shù)

1—1）+1—1）+?一收斂于零，但級(jí)數(shù)1-1+1-1+?一卻是發(fā)散的.

推論：如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散.

級(jí)數(shù)收斂的必要條件：

性質(zhì)5如果收斂，則它的一般項(xiàng)“"趨于零，即lim““=O.

性質(zhì)5如果￡冊(cè)收斂，則lim%,=0.

證設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為心,且limsn=s,則

"=12

limw?=lim（5?-5?_|）=lims-lims”_i=s-s=0.

II—>0〃一〃一>8n8

應(yīng)注意的問(wèn)題：級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件.

例4證明調(diào)和級(jí)數(shù)

>J=1+2+!T----F—H是發(fā)散的.

”=1〃23n

8.1

例4證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的.

”=1〃

證假若級(jí)數(shù)E-收斂且其和為s,s“是它的部分和.

顯然有l(wèi)imsn-s及l(fā)ims2n-s.于是lim（52?-5?）=0.

〃一>8H—>00〃一>8

但另一方面，

sS=1-1h>11■丁=不，

2n~n_nH+'\_n+r2?----V2n'O2t-i-2n-----2n2

2

故lim（52?-5?）^0,矛盾.這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)Z■必定發(fā)散?

§11.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

正項(xiàng)級(jí)數(shù)：各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).

定理1正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡%收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列回｝有界.

〃二1

定理2(比較審斂法)設(shè)￡4和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un<vn(n=l,2,???).若級(jí)數(shù)收斂,

W=17?=1

000000

則級(jí)數(shù)收斂；反之，若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)￡力發(fā)散.

77=1"=1/?=1

定理2(比較審斂法)

800

設(shè)和Z匕1都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且(fc>0,V心N).

〃=1n=\

00000000

若2%收斂，則2冊(cè)收斂；若發(fā)散則發(fā)散.

n=\〃=1〃=1"=1

設(shè)X”“和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，5.un<kvn(k>0,Vn>M.若級(jí)數(shù)￡外收斂，則級(jí)數(shù)Xu”收斂；反之,

若級(jí)數(shù)X”,,發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散.

0000

證設(shè)級(jí)數(shù)Z%收斂于和d則級(jí)數(shù)Zu”的部分和

n=\z?=l

sn=ui+u2+???+”〃4力+吟+???+〃Sb(〃=l,2,???),

即部分和數(shù)列小“｝有界，由定理1知級(jí)數(shù)￡>“收斂.

/?=1

800

反之，設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)I?”必發(fā)散.因?yàn)槿艏?jí)數(shù)

n=\n=\

0000

2%收斂，由上已證明的結(jié)論，將有級(jí)數(shù)“也收斂，與假設(shè)矛盾.

77=1〃=1

證僅就??<V?(n=l,2,…)情形證明.設(shè)級(jí)數(shù)Sv?收斂，其和為d則級(jí)數(shù)EM?的部分和

s”=〃]+“2+,??+〃“4力+吟+??-+為Scr(〃=l,2,???),

即部分和數(shù)列｛s“｝有界.因此級(jí)數(shù)E““收斂.

反之，設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)5X必發(fā)散.因?yàn)槿艏?jí)數(shù)

Ev“收斂，由上已證明的結(jié)論，級(jí)數(shù)E““也收斂，與假設(shè)矛盾.

000000

推論設(shè)Z%,和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)收斂，且存在自然數(shù)N,使當(dāng)〃NN時(shí)有

n=\〃=1n=l

0000

“$&外(々>0)成立，則級(jí)數(shù)收斂；如果級(jí)數(shù)發(fā)散，且當(dāng)"NN時(shí)有“，侖Ay”(A>0)成立，則級(jí)

n=\/7=1

00

數(shù)發(fā)散.

77=1

例1討論P(yáng)-級(jí)數(shù)

V11工1上1上工1

怠M2P3P4Pn',

的收斂性，其中常數(shù)p>0.

例1討論p-級(jí)數(shù)￡工(P>0)的收斂性.

?=1川

11三1

解設(shè)廬1.這時(shí)而調(diào)和級(jí)數(shù)2工發(fā)散，由比較審斂法知，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)

n〃n=inn=ln

散.

設(shè)p>L此時(shí)有

-=["-dx<['-----------^-J(71=2,3,???)?

nPJ"T〃PMix。p—l(〃一1)。-1nP-'

對(duì)于03級(jí)1數(shù)+1]，其部分和

?=2(?-l)p1

$=u———1+[—..........!_i+...+|_1-----------!—]=i--------!——

L

nL2P-J2P-'L〃pT(“+1)PT」(n+V)P-''

w->00/?->00(幾+1)/

811001

所以級(jí)數(shù)z一一方］收斂?從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知，級(jí)數(shù)z當(dāng)P>1時(shí)

n=2。(〃—_1)〃n=\〃

收斂.

綜上所述,p-級(jí)數(shù)￡8+1當(dāng)p>l時(shí)收斂，當(dāng)p41時(shí)發(fā)散.

71=1〃

了

解當(dāng)p〈i時(shí)，11而調(diào)和級(jí)數(shù)21工發(fā)散，由比較審斂法知,

npn,,=)?

當(dāng)p。時(shí)級(jí)數(shù)Z8七1發(fā)散.

H=l〃P

當(dāng)P>1時(shí)，

—=("-dx<{'-J—［--------(n=2,3,

nP〃PJfpp-］(〃—1尸nP-'

而級(jí)數(shù)一J-』］是收斂的，根據(jù)比較審斂法的推論可知,

,,=2(?-1)7〃/

級(jí)數(shù)身/當(dāng)p>l時(shí)收斂.

77=1幾

提示：

級(jí)數(shù)“①懸1k看1］的部分和為

S〃=11——2〃—T」1+，12-P-T----3，-T--」-------/-P--T----5-+-l1-）-P-T-」]=1--（-〃-+-il——）PT.

因?yàn)閘im,y?=lim[l-—■-J=1,

n—>oon—>co（〃+l）〃：r|

所以級(jí)數(shù)zJ111%1收斂?

,,=2（〃T）°n，

81

k級(jí)數(shù)的收斂性：P-級(jí)數(shù)Z當(dāng)P>1時(shí)收斂，當(dāng)P41時(shí)發(fā)散?

?=1〃/

001

例2證明級(jí)數(shù)ET=，是發(fā)散的.

”=1JM+1)

證因?yàn)?1>/1

?(〃+1)“1+1)2n+l

而級(jí)數(shù)￡出=2+…+土+…是發(fā)散的,

根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的.

定理3(比較審斂法的極限形式)

設(shè)和￡>〃都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果lim^=Z(0<Z<+oo),

?=1n=l"f8vn

0000

則級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)￡v?同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.

77=1〃=1

定理3(比較審斂法的極限形式)

0000

設(shè)和I?”都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，

n=ln=\

⑴如果lim^=/(OMkyo),且級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；

"f8V"n=\n=\

jjii88

⑵如果lim殳=/>0或lim組=+8,且級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)Z冊(cè)發(fā)散?

“TOO?n=l

vn"f8vn=1

定理3(比較審斂法的極限形式)

設(shè)出“和力”都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，

⑴如果lim(","“)=/(04k+oo),且力“收斂，則收斂；

⑵如果lim(M?/v?)=Z(0<Z<+ao),且力“發(fā)散，則Xu”發(fā)散.

證明由極限的定義可知，對(duì)￡=；/,存在自然數(shù)N,當(dāng)"〉N時(shí)，有不等式

再根據(jù)比較審斂法的推論1,即得所要證的結(jié)論.

例3判別級(jí)數(shù)fsin^的收斂性.

〃=1〃

.1

sin-oo1

解因?yàn)閘im—^-=1,而級(jí)數(shù)發(fā)散,

…1“=1〃

n

根據(jù)比較審斂法的極限形式，級(jí)數(shù)Z8sin上1發(fā)散.

〃=i〃

例4判別級(jí)數(shù)Z8lnQ+13）的收斂性.

InQ-iy)8.

解因?yàn)閘im——=1,而級(jí)數(shù)Z-4收斂,

"78?=,

層

根據(jù)比較審斂法的極限形式，級(jí)數(shù)flnQ+J）收斂.

定理4（比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法）

00

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)Z4的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于p.

n=\

lim乜旦二夕,

n->coUn

則當(dāng)作1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)Q1（或lim殳旦=8）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)夕=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

00Un

定理4（比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法）

8U

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足lim殳旦=P，則當(dāng)/K1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；

"=l"T8Un

當(dāng)Q1（或lim皿=00）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)夕=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

〃-?8UfJ

定理4（比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果

n=l

lim殳旦二夕，

〃一>ooUn

則當(dāng)作1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)Q1（或Iim4a=8）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)夕=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

>00Ufl

例證明級(jí)數(shù)工+/+.?+

51+J+?+

11-21-Z-J1-2-3???(?-1)

是收斂的.

解因?yàn)閘im-=lim-=0<l,

8UfJ81-2-3???〃〃—>8n

根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂.

例6判別級(jí)數(shù)照+嚕+…+縣+…的收斂性.

10ICrl（r1（J7

解因?yàn)閘im殳吐=lim婦平?鳥■=lim察=8,

i+

coUfJn—>oo1（yn!w—>oo10

根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散.

例7判別級(jí)數(shù)￡s1c的收斂性.

解lim%~=1加大⑵:二1?”=1.

〃一＞8I%〃一＞8(2〃+1)?(2〃+2)

這時(shí)片1,比值審斂法失效，必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性.

因?yàn)閏Lc而級(jí)數(shù)￡4收斂，因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂.

(2/7-1)-2/7〃2M〃2

解因?yàn)槿f(wàn)一」,--<七,而級(jí)數(shù)身4收斂，因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂.

(2/?-1)-2/?nzM/

提示：1油殳旦=1皿/12第幺2〃*比值審斂法失效.

〃->8un8(2n+1)?(2〃+2)

因?yàn)镃I、C<4,而級(jí)數(shù)f-V收斂，因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂.

(2〃一1>2〃n2M/

定理5(根值審斂法，柯西判別法)

設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果它的一般項(xiàng)??的n次根的極限等于p.

〃二1

lim啊=2，

8

則當(dāng)內(nèi)1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)Q1(或lima=+oo)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)片1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

〃一>00

定理5(根值審斂法，柯西判別法)

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足lim瘋=0,則當(dāng)作1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；

n=\…00

當(dāng)Q1(或lim啊=+8)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)片1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

W—>00

定理5(根值審斂法，柯西判別法)

設(shè)￡%為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果

W=1

lim瘋=?，

W—>00

則當(dāng)/K1時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)Q1(或lim啊'=+8)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)片1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

〃—>00

例8證明級(jí)數(shù)1+++/+…+力+…是收斂的.

并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和s“近似代替和s所產(chǎn)生的誤差.

解因?yàn)閘im板7=lim?P^-=lim—=0,

n

〃->oo〃一>8Vn8n

所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂.

以這級(jí)數(shù)的部分和S.近似代替和S所產(chǎn)生的誤差為

\r1=---J----1-----J-----1----!----1—

"(〃+1嚴(yán)(〃+2)"2(〃+3)"+3

<,----1-----,1-----1-----,1-----I-----p…+

(〃+1嚴(yán)(〃+1)"+2(〃+1)“+3

1

〃(九+1)〃

例6判定級(jí)數(shù)*2+弁的收斂性.

n=\2

解因?yàn)?/p>

lim瘋=lin402+(—l)"=],

〃一>ooZ7—>COZZ

所以，根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂.

定理6(極限審斂法)

設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，

n=\

⑴如果>0(或lim〃"“=”)，則級(jí)數(shù)為“發(fā)散；

〃―>8〃->8

00

p

⑵如果P>1,TfuUmnun=l(0</<4<o),則級(jí)數(shù)收斂.

n=\

例7判定級(jí)數(shù)E8lnQ+14)的收斂性.

n=l〃

解因?yàn)镮nQd■-y)00),故

nn

=1而〃2卜(1+4)=lim層?!=1,

/i—x?n->ooYrn-w

根據(jù)極限審斂法，知所給級(jí)數(shù)收斂.

00

例8判定級(jí)數(shù)工而i(l-cos’的收斂性.

n=\

解因?yàn)?/p>

3

limn2Vn+lCl-cos-)=limn2色土l._L(匹)2=J_乃2

"f00n-?ooHn—>oon2n2

根據(jù)極限審斂法，知所給級(jí)數(shù)收斂.

二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

交錯(cuò)級(jí)數(shù)：交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù)，它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的.

交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為,其中M?>0.

W=1

001001

例如，2(-1產(chǎn)d是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但Z(-D"T1—C°S〃口不是交錯(cuò)級(jí)數(shù).

?=1〃?=1〃

定理6(萊布尼茨定理)

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)元(-1)"九"滿足條件：

7/=1

(l)??>w?+1(n=l,2,3,???)；(2)limun=0,

n—>oo

則級(jí)數(shù)收斂，且其和其余項(xiàng)r?的絕對(duì)值|r“區(qū)即+i.

定理6(萊布尼茨定理)

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足:(1)??>M,)+I；⑵Ji*“=0,

n=\

則級(jí)數(shù)收斂，且其和Io,其余項(xiàng)g的絕對(duì)值|八區(qū)“,我

簡(jiǎn)要證明：設(shè)前〃項(xiàng)部分和為s“.

由$2〃=(〃1一”2)+(〃3-〃4)+?一+(〃2般I-"2”)，及

52〃="1一(〃2一"3)+(〃4-〃5)+?一+(“2〃-2—1，2〃-1)-〃2”

看出數(shù)列｛S2,J單調(diào)增加且有界⑸所以收斂.

設(shè)S2〃fS(〃f8),則也有$2〃+i=S2〃+〃2〃+lfS(〃一>8),所以S〃->S(〃f8).從而級(jí)數(shù)是收斂的，且

%〈〃1?

因?yàn)樨皢⑺?L斯+2十??也是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，所以吃回〃+1.

例9證明級(jí)數(shù)收斂，并估計(jì)和及余項(xiàng).

“=|〃

證這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù).因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足

(l)w/7=->-^—=wn+1(n=l,2,--?),(2)Iimwn=lim-=O,

n〃+1n—>a>n—>oo71

由萊布尼茨定理，級(jí)數(shù)是收斂的，且其和S<3=1,余項(xiàng)IG區(qū)%+]=—1.

三、絕對(duì)收斂與條件收斂：

絕對(duì)收斂與條件收斂：

000000

若級(jí)數(shù)Zl〃“l(fā)收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若級(jí)數(shù)2>〃

72=177=1n=\

00oo

收斂，而級(jí)數(shù)￡區(qū)/發(fā)散，則稱級(jí)￡與條件收斂.

n=ln=\

001X1

例10級(jí)數(shù)Z(T)"T」r是絕對(duì)收斂的，而級(jí)數(shù)」是條件收斂的.

n=l〃n=\〃

定理7如果級(jí)數(shù)￡與絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)上〃〃必定收斂.

〃=1〃=1

值得注意的問(wèn)題：

0000

如果級(jí)數(shù)發(fā)散，我們不能斷定級(jí)數(shù)也發(fā)散.

n=\〃=1

00

但是，如果我們用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)發(fā)散,

則我們可以斷定級(jí)數(shù)必定發(fā)散.

這是因?yàn)?，此時(shí)不趨向于零，從而““也不趨向于零，因此級(jí)數(shù)也是發(fā)散的?

例U判別級(jí)數(shù)￡電嚶的收斂性.

”=1?-

解因?yàn)?螞絲區(qū)」，而級(jí)數(shù)￡工是收斂的,

00CO

所以級(jí)數(shù)嗎胃也收斂，從而級(jí)數(shù)￡毀蜉絕對(duì)收斂.

"=1n"=1〃

例12判別級(jí)數(shù)￡(-1)"/(1+1)層的收斂性.

n=\2n

解：由|“,卜=(1+&/,有l(wèi)im廊=41im(l+3"=[e>l,

27?〃->ooZn->oonz

00[]

可知lim“產(chǎn)0,因此級(jí)數(shù)Z(-l)"=(l+與/發(fā)散

§11.3幕級(jí)數(shù)

一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：給定一個(gè)定義在區(qū)間I上的函數(shù)列{““(x)},由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

Wi(x)+U2(x)+H3(x)+…+u?(x)+???

稱為定義在區(qū)間/上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)，記為￡>“(x).

7?=1

收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)：

對(duì)于區(qū)間/內(nèi)的一定點(diǎn)X0,若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱

n=l

點(diǎn)Xo是級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn).若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡〃”(曲)發(fā)散，則稱

w=ln=\

點(diǎn)Xo是級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).

〃二1

收斂域與發(fā)散域：

00

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Z"〃(x)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域，所

71=1

有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域.

和函數(shù)：

在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是X的函數(shù)s(x),

n=l

s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并寫成s(x)=￡>”(%).

n=ln=l

E〃“(x)是200%(幻的簡(jiǎn)便記法，以下不再重述.

71=1

在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)E“"(x)的和是x的函數(shù)s(x),

s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)E"“(x)的和函數(shù)，并寫成s(x)=E??(x).

這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域，

部分和：

00

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡>“(%)的前n項(xiàng)的部分和記作s“(x),

71=1

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡即(幻的前〃項(xiàng)的部分和記作S〃(x),即

S“(x)=〃1(X)+〃2(X)+〃3(X)+…+〃”(x)?

在收斂域上有l(wèi)ims〃(x)=s(x)或%(x)f8).

/?—>00

余項(xiàng)：

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)次與㈤的和函數(shù)s(x)與部分和s.(x)的差

77=1

r〃(x)=s(尤)一%(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng).

w=l

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)￡〃〃(x)的余項(xiàng)記為rn(x),它是和函數(shù)S(幻與部分和s〃(x)的差％(x)=s(x)r"(X).

在收斂域上有l(wèi)im/;(x)=O.

w-＞oo

二、幕級(jí)數(shù)及其收斂性

募級(jí)數(shù)：

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中簡(jiǎn)單而常見(jiàn)的一類級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都幕函數(shù)的函數(shù)

項(xiàng)級(jí)數(shù)，這種形式的級(jí)數(shù)稱為幕級(jí)數(shù)，它的形式是

u()+u?x+u2X^4-,,?+a〃x”+?,,,

其中常數(shù)丑?1,?，斯，???叫做塞級(jí)數(shù)的系數(shù).

嘉級(jí)數(shù)的例子：

1+X+X-4-X^+,,,+X〃+,,,,

F且X〃d-----

2!---〃！

注：幕級(jí)數(shù)的一般形式是

〃0+〃1(工一方))+。2(工一孫廣+,,,+%(X-Xo)”+...,

經(jīng)變換t^x—x()就得的)+。1什。2/+.

幕級(jí)數(shù)

1+x+x^+x^+,?,+x”+?,?

可以看成是公比為X的幾何級(jí)數(shù).當(dāng)Ixlvl時(shí)它是收斂的；當(dāng)Mil時(shí)，它是發(fā)散的.因此它的收斂

域?yàn)?-1,1),在收斂域內(nèi)有

-^―=1+尤+尤2+^3+―?+工〃+????

l-x

8

定理1(阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)2a國(guó),當(dāng)x=x°(x?M)時(shí)收斂，則適合不等式

〃=0

00

IxKMI的一切X使這事級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.反之，如果級(jí)數(shù)爐當(dāng)

〃=0

4X0時(shí)發(fā)散，則適合不等式陽(yáng)＞島|的一切X使這幕級(jí)數(shù)發(fā)散.

定理1(阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)當(dāng)x=x°(XoXO)時(shí)收斂，則適合不等式

閉＜臉|的一切X使這嘉級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.反之，如果級(jí)數(shù)當(dāng)

E0時(shí)發(fā)散，則適合不等式團(tuán)＞品|的一切X使這塞級(jí)數(shù)發(fā)散.

提示：Ea?x"是￡>”那的簡(jiǎn)記形式.

〃二0

證先設(shè)x。是幕級(jí)數(shù)200樂(lè)爐的收斂點(diǎn)，即級(jí)數(shù)￡8/尤"收斂.根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件,

〃=07?=0

有l(wèi)im%M=°，于是存在一個(gè)常數(shù)M,使

〃一>8

I%Xo"|<M(〃=0,1,2,???).

這樣級(jí)數(shù)￡的的一般項(xiàng)的絕對(duì)值

〃二0

⑸爐水片與Ha,芯M令”狂中".

曲同而

8.0000

因?yàn)楫?dāng)M<|Xo|時(shí)，等比級(jí)數(shù)V二I"收斂，所以級(jí)數(shù)/I收斂，也就是級(jí)數(shù)絕對(duì)

n=0%)n=0n=0

收斂.

簡(jiǎn)要證明設(shè)2ax在點(diǎn)X。收斂，則有明城5)(〃->00),于是數(shù)列｛a,由"清界，即存在一個(gè)

n

常數(shù)M,使|a?xo|^W(n=0,1,2,-??).

n

因?yàn)閨anx"\=\anx^-4\=M\-\^\<M-\^,

x0X0X。

而當(dāng)IxKIM時(shí)，等比級(jí)數(shù)，收斂，所以級(jí)數(shù)￡|a"x"|收斂，也就是級(jí)數(shù)ZaX絕對(duì)收斂.

w=0而

定理的第二部分可用反證法證明.倘若第級(jí)數(shù)當(dāng)AT0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)Xi適合處|>島|使級(jí)數(shù)

收斂，則根據(jù)本定理的第一部分，級(jí)數(shù)當(dāng)AX0時(shí)應(yīng)收斂，這與所設(shè)矛盾.定理得證.

n

推論如果級(jí)數(shù)Yanx不是僅在點(diǎn)X=0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一

〃二0

個(gè)完全確定的正數(shù)K存在，使得

當(dāng)|x|<R時(shí)，幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；

當(dāng)lr|>R時(shí)，幕級(jí)數(shù)發(fā)散；

當(dāng)x=R與x=-R時(shí)，幕級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

收斂半徑與收斂區(qū)間：正數(shù)R通常叫做幕級(jí)數(shù)￡%爐的收斂半徑.開區(qū)間(-R,R)叫做基級(jí)

〃二0

0000

數(shù)的收斂區(qū)間.再由幕級(jí)數(shù)在x=±/?處的收斂性就可以決定它的收斂域.幕級(jí)數(shù)2%爐

?=0〃=0

的收斂域是(-RK)(或［-K,K)、(-K,町、［-K,町之一.

規(guī)定：若嘉級(jí)數(shù)爐只在收斂，則規(guī)定收斂半徑K=0,若幕級(jí)數(shù)￡%爐對(duì)一切x都

?=0?=0

收斂，則規(guī)定收斂半徑/?=+<?,這時(shí)收斂域?yàn)?-00,+?).

定理2

如果lim|況=夕，其中斯、是募級(jí)數(shù)￡的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)，則這幕級(jí)數(shù)的收斂

…an“=o

半徑

+002=0

R=<—

P

0夕=+00

定理2

8(1

如果嘉級(jí)數(shù)系數(shù)滿足則這幕級(jí)數(shù)的收斂半徑

〃=o28an

+002=0

R=<—

P

0夕=+00

定理2

ZJ00

如果則基級(jí)數(shù)E>〃x〃的收斂半徑R為:

〃T8an〃=o

當(dāng)尸:0時(shí)R=」~,當(dāng)"=0時(shí)Z?=4-oo,當(dāng)°=+oo時(shí)K=0.

P

簡(jiǎn)要證明：lim|許+M向=lim|也|?|%1二夕田?

tl

〃一0°a?x〃廿at1

(1)如果0</K+<?,則只當(dāng)小|<1時(shí)幕級(jí)數(shù)收斂，故R=L

P

(2)如果p=0,則幕級(jí)數(shù)總是收斂的，故K=E.

(3)如果與E,則只當(dāng)x=0時(shí)塞級(jí)數(shù)收斂，故R=0.

例1求塞級(jí)數(shù)

oo.Y〃丫23?

Z(-1)"TV…+(-1)""4—+???

〃=]n23n

的收斂半徑與收斂域.

8丫〃

例1求塞級(jí)數(shù)工的收斂半徑與收斂域.

"=1?

1

解因?yàn)橄?li心旦=li喏工=1,

/1-XX00

n

所以收斂半徑為/?=工=1.

P

當(dāng)x=l時(shí)，塞級(jí)數(shù)成為￡(—l)eL,是收斂的；

?