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文檔簡介
第四章數(shù)列單元綜合測試卷
第I卷
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一
項是符合題目要求的。
1.數(shù)列-2,4,-6,8,K的通項公式可能為()
A.a?=(-l)"*'2nB.??=(-1)"2?
C.?!?(-1嚴2"D.a?=(-1)"2"
【答案】B
【解析】根據(jù)題意數(shù)列一2,4,—6,8,1<其中4=(-1)/1><2,%=1X2X2,a,=(-l)x3x2,
%=1x4x2,則其通項公式可以為%=(-1)"2〃
故選:B.
2.數(shù)列{%}滿足4=1,可=一%(〃22),則牝的值為()
an-l+1
A.—B.—C.—D.一
3456
【答案】C
a,1a.1a,1a,1
【解析】由題意可得。2=T=3,%=一二7=.,4=Ur=1,%=T=4.
q+124+13%+14%+15
故選:C.
3.已知{%}是等差數(shù)列,且2/=。9+3,則為=()
A.1B.3C.5D.7
【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由2%=%+3得,2(4+72)=4+8"3,
則4+6d=3=%.
故選:B.
4.若數(shù)列{%}的前〃項和S,,=2/+i,則下列結(jié)論正確的是()
A.?!?4〃+2B.〃“=4〃一2
[3,H=1f3,n=1
C-D-4=[4”2,〃>1
【答案】D
[解析]當〃=1時,q=S[=2x『+1=3,
當〃>1時,a“=S“-S“_|=2〃2+l-2(〃-1)2—1=4〃一2,
f3,H=1
經(jīng)檢驗,可得4=;。
故選:D.
5.某種細胞開始時有2個,1小時后分裂成4個并死去1個,2小時后分裂成6個并死去1
個,3小時后分裂成10個并死去1個L按照此規(guī)律,12小時后細胞存活個數(shù)()
A.2048B.2049C.4096D.4097
【答案】D
【解析】依題意,1小時后的細胞個數(shù)為3=2i+l,2小時后的細胞個數(shù)為5=22+1,
3小時后的細胞個數(shù)為9=2?+1,…,則〃(〃eN*)小時后的細胞個數(shù)為2"+1,
所以12小時后細胞存活個數(shù)是產(chǎn)+1=4097.
故選:D
6.已知〃為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證:]一:+!一:+…+-一!=2(——^—++上]
234n-1nl〃+2〃+42n)
時,若已假設(shè)〃=k(Z>2且在為偶數(shù))時等式成立,則還需要再證()
A.〃=&+1時等式成立B.〃=%+2時等式成立
C.〃=2A+2時等式成立D.〃=2伏+2)時等式成立
【答案】B
【解析】若已假設(shè)〃=4(k>2,4為偶數(shù))時命題為真,
因為〃只能取偶數(shù),
所以還需要證明”=%+2成立.
故選:B.
7.設(shè)等差數(shù)列滿足《=1,a”>0(〃eN*),其前〃項和為5”,若數(shù)列{四}也為等差數(shù)
s
列,則鏟的最大值是()
A.310B.212C.180D.121
【答案】D
【解析】???等差數(shù)列{%}滿足4=1,%>O(〃€N*),設(shè)公差為d,則a.=l+(〃一1”,
其前"項和為S=〃口+1+(〃-1)典,
”2
??.瘋平2+(”],同=1,£=標,
?.?數(shù)列{四}也為等差數(shù)列,
2j2+d=1+j3+3d,
解得d=2.
;?S“+K)=(〃+1°)2,4:=(2〃-1)2,
.』=X]*+旦丫,
a~\2n-\J124/?-2J
7、2'
由于為單調(diào)遞減數(shù)列,
\24n-2J
...呼叫="=i2i,
ana\
故選:D.
T
8.對于數(shù)列{4},若存在正整數(shù)WA22),使得4<"*,ak<ak+i,則稱/是數(shù)列{%}的
a
“谷值”,a是數(shù)列{〃“}的“谷值點”.在數(shù)列{4}中,若《,=〃+丁8,則數(shù)列{能}的“谷
值點”為()
A.2B.7C.2,7D.2,5,7
【答案】C
9
【解析】因為?!?77+——8,
n
3076129
所以4=2,^=-?,%=2,%=二,a5=—,a=-,%=一,%=一,
-245(62788
9QQ
當“27,,nH---8>0,所以〃〃=〃+——8=〃+——8,
nnn
因為函數(shù)丫=犬+?-8在[7,+?>)上單調(diào)遞增,
9
所以〃27時,數(shù)列為=〃+-―8為單調(diào)遞增數(shù)列,
n
所以〃2<4,。2<%,。7<〃6,%<6,
所以數(shù)列{4}的“谷值點”為2,7.
故選:C.
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合
題目要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。
9.已知等差數(shù)列{4}:11、8、5、L,則()
A.公差4=-3B.該數(shù)列的通項公式為=-3”+16
C.數(shù)列的前10項和為-25D.T9是該數(shù)列的第21項
【答案】ACD
【解析】對于A選項,等差數(shù)列何}的公差為d=8-ll=-3,A對;
對于B選項,該數(shù)列的通項公式為4=11-3(”-1)=-3〃+14,B錯;
對于C選項,數(shù)列{叫的前10項和為10X11-&笠=-25,C對;
對于D選項,由/=-3〃+14=-49,解得〃=21,D對.
故選:ACD.
10.在公比g為整數(shù)的等比數(shù)列{/}中,S,是數(shù)列{丹}的前〃項和,若。m=32,%+%=12,
則下列說法正確的是()
A.q=2B.數(shù)列{S“}是等比數(shù)列
C.$8=510D.數(shù)列{Iga,,}是公差為2的等差數(shù)列
【答案】AC
【解析】???在公比。為整數(shù)的等比數(shù)列佃)中,S“是數(shù)列{4}的前〃項和,%%=32,
%+%=12,
解得4=4,%=8,,4=2,或者%=8,%=4,不符合題意,舍去,故A正
確,
4="=^=2,則s=2(1-2)=2,用_2,
q2,,i-2
S?,,+2_2
子=內(nèi)工常數(shù),
...數(shù)列⑸}不是等比數(shù)列,故B不正確;
立二2=510,故c正確;
81-2
?."“=2",Iga“="lg2,21g2-lg2=lg2,
數(shù)列{Igq,}不是公差為2的等差數(shù)列,故D錯誤,
故選:AC
11.己知數(shù)列{q}的前"項和為S,,,則下列說法正確的是()
A.若S“=2〃2-3,則{a,,}是等差數(shù)列
B.若{4}是等差數(shù)列,且4=5,%+4。=2,則數(shù)列{%}的前〃項和5.有最大值
C.若等差數(shù)列仇}的前10項和為170,前10項中,偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為9:8,
則公差為2
D.若{%}是等差數(shù)列,則三點(10,強)、(20,*)、(30,霏)共線
【答案】BCD
【解析】A項,〃=1時,?,=5,=-1,
此2時,a“=S“-S,i=4〃-2
〃=1時,4=2~1,所以,{%}不是等差數(shù)列;
B項,由已知可得,?6=>>又%=5
所以,4=—;<。,4=]>0.所以,S,,有最大值;
C項,由已知可得,偶數(shù)項和為90,奇數(shù)項和為80,兩者作差為5d=10,所以d=2:
D項,設(shè)三點分別為A,B,C,—=qH―――?則—=q=ay+-^-d,—=q+士”.
n2102202302
uuuUlttluniuuu
則48=(10,5"),SC=(10,54),A8=BC,所以三點共線.
故選:BCD.
12.古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù),他們根據(jù)沙?;蛐∈铀?/p>
列的形狀,把數(shù)分成許多類,如圖中第一行圖形中黑色小點個數(shù):1,3,6,10,…稱為三
角形數(shù),第二行圖形中黑色小點個數(shù):1,4,9,16,…稱為正方形數(shù),記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)
列{%},正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列{2},則下列說法正確的是()
1111n
A.1--------1-------FH------=---------
4a2a3atl〃+1
B.1225既是三角形數(shù),又是正方形數(shù)
1I1133
CF—+—++-<—
ab2b3b?20
D.總存在p,qeN*,使得成立
【答案】BCD
【解析】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列{q}:1,3,6,10,則有
=2,?,-%=3,,an-an_y=n(n>2),利用累加法,
得a?-at=———-,得到/=\;n=1成立
正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列{〃}:1,4,9,16,…,則有
白一4=3也一a=5,也一%=2”一1(心2),利用累加法,
(2〃+2)(〃-1)
得〃-4=得到勿=/,n=l成立
2
12J1、
對于A,fE=2(丁初),;.利用裂項求和法:
1111“1、2〃
—+—+—++—=2(1--一-)=---,故A錯誤;
4a2a3ann+1n+\
2
對于B,令可二2±=1225,解得〃=49;令2="=1225,解得〃=35;故B正確;
11411、
對于C,=F<421=2(;一7一71),則
bnn4n-12〃+1
1111,IZ11、5111111
22
仿b2b3bn43n457792〃一12〃+1
11115J1、33133
整理得,7-+7-+7_++7-<1+2(£一丁77)=右一丁774右,故C正確;
h}b24b〃452/1+1202幾+120
對于D,取加=p=q,且機GN*,則令/=也羅+”心,則有粼=%,+m…故
V,〃eN”,,〃22,總存在p,qeN*,使得〃”=%,+%成立,故D正確;
故選:BCD
第n卷
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.若等差數(shù)列{4}滿足%+/+佝>。,%+4。<0,則當片時,{4}的前〃項和
最大.
【答案】8
【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得%+4+的=34>0,
a
:.?8>0,又%+m=%+a><0,,“9<0,
.?.等差數(shù)列{4}的前8項為正數(shù),從第9項開始為負數(shù),
...等差數(shù)列{《,}的前8項和最大,
故答案為:8.
14.若數(shù)列{凡}的通項公式4=(-1)"2?,前”項和為S“,則與=
【答案】-16
【解析】因為41=(一1廣2〃,所以q=-2,%=4,%=—6,4=8,L
所以耳5=4+%++65
(-2)+4+(-6)+8+(-10)++(-30)
=[(-2)+4]+[(-6)+8]+[(-10)+12]++[(-26)+28]+(-30)
=2+2+2++2+(-30)=2x7-30=-16.
故答案為:-16
-r、r、S7/?-3
15.已知兩個等差數(shù)列{%}和{〃}的前"項和分別為和T“,且的fl=np則.
【答案】6
7/7—11
【解析】由已知得,521=?。?+出自)=(2〃-1)4,篤1=丁3+匕7)=(2〃-1應(yīng)
令爐5,則品=9%,n=9方5,
所以,M=^r=6
故答案為:6.
123n2-("+2號,"eN",則數(shù)列{4+log2%}
16.已知數(shù)列{4}滿足:—+—+—+?+—=
a\a2a3an
的前”項和S“為
【答案】2n+'+n2+n-2
123n=2-(〃+2):,”eN*,
【解析】因為一+—+—++—
1c八八11
所以當〃=1時,-=2-(l+2)x-=.,故4=2;
123〃c/人1123n-\z1
當〃之2時,一+—+—+…+—=2-(n+2)—,則一+—+—+,?+----=2-(M+1)-r
4a2a3an2a]a2a3%2
n7?+277+1-〃-2+2〃+2n
兩式相減得:一=----+友,故〃〃=2",
42"2"
經(jīng)檢驗:4=2滿足a,,=2",
所以當”eN*時,4=2",
2n
所以%+log2a2n=2"+log22=2"+2n,
=(2+22+23+2")+(2+4+6+2n)=2^-^=2),+l+n2+n-2.
故答案為:2向+/+〃一2.
四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。
17.(10分)
若數(shù)列{%}滿足:4=1,點(〃,%+4向)在函數(shù)》=履+1的圖象上,其中%為常數(shù),且%工0.
⑴若4成等比數(shù)列,求&的值:
⑵當&=3時,求數(shù)列{叫的前21項和4.
【解析】(1)根據(jù)題意可得=加+1,又4=1,故可得%=%,%=%+1?4=火,
又4,%,包成等比數(shù)列,故4%=播,即蹤=/,解得4=0(舍)或左=2,故2=2.
(2)當2=3時,an+t+an=3n+l,貝ij+4用=3(〃+1)+1,
兩式作差可得:an+2-a?=3,故該數(shù)列的奇數(shù)項是首項為1,公差為3的等差數(shù)列,則
%=4+10x3=31,
故力=(4+%)+(%+《)++(49+%。)+%
=(3xl+l)+(3x3+l)++(3x19+1)+31
=3x(l+3+5++19)+10+31
10(1+19)
=3x—----<+41
2
=341.
故數(shù)列{%}的前21項和為=341.
18.(12分)
已知數(shù)列{%}的前"項和公式為S,,=/-10n.
(1)求數(shù)列{q}的通項公式;
q
⑵若數(shù)列4求數(shù)列也“}的前〃項和7;的最小值.
n
【解析】(1)當〃=1時,q=S[=-9;
當“22時,a?=S?-S,,,,=(n2-10n)-[(/7-1)2-10(n-1)]=2/7-11,
q=-9滿足氏=2〃-ll,故對任意的〃cN,,an=2n-\l.
s
(2)4=」=〃一10,令〃=〃一1。40,解得九410,
n
且%—2=5-9)—5—10)=1,所以,數(shù)列低}為等差數(shù)列,
所以,刀,的最小值為7;=工(,尸+;))x1()75.
19.(12分)
一個計算裝置有一個入口A和一輸出運算結(jié)果的出口8,將自然數(shù)列{〃}(〃21)中的各數(shù)依
次輸入A口,從B口得到輸出的數(shù)列{q},結(jié)果表明:①從A口輸入〃=1時,從B口得q=g;
②當〃22時,從4口輸入",從8口得到的結(jié)果冊是將前一結(jié)果先乘以自然數(shù)歹U{〃}中的
第"-1個奇數(shù),再除以自然數(shù)列{科中的第〃+1個奇數(shù).試問:
(1)從A口輸入2和3時,從B口分別得到什么數(shù)?
(2)從A口輸入100時,從B口得到什么數(shù)?并說明理由.
二1
【解析】(1)當〃=1時,
當n=2時,a-,=6f.x1x-=—;
~515
當〃=3時,/X3X—=--:
-735
111111
(2)31x3,153x5,3355x7…,
故猜想an~~~7:;
(2〃一1)(2〃+1)
理由:顯然〃二1時,猜想成立,
假設(shè)〃斗時,猜想成立,,
(2攵一1)(2k+1)
_2k-1_[___________1_________
則”="1時,磯-2&+34-(2&+1)(2?+3)-[2(%+1)-1][2(,+1)+1]
當〃=攵+1時,猜想成立,
1
?.CI=,
”(2/2-1)(277+1)
故從A口輸入100時,從B口得的數(shù)為―-=-^—.
20.(12分)
記S“為數(shù)歹lj{%}的前〃項和,已矢口S“=2a,-2.
(1)求{%}的通項公式;
⑵若以=(T)"xlog2%,M,求數(shù)列出}的前〃項和刀,.
【解析】(1)當”=1時,4=2;
當〃22時,a?=S?-S?_,=2an-2-(2an_,-2),則“―的;
又?.?qWO,則{《,}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,
?????=2".
(2)因為4=(-1廣噫生l=(-1戶(2〃+1)
當〃為偶數(shù)時,(=3+a)+(4+2)++(〃T+2)
=(-3+5)+(-7+9)+L+[-(27?-l)+(2n+l)]
n
=2+2+2++2=2*=〃;
2
當〃為奇數(shù)時,1=4+(4+4)+(d+4)++(2.1+b]
=-3+(-2)+(-2)++(-2)=-3+(-2>平=-〃-2
—n—2,〃為奇數(shù)
綜上所述:數(shù)列出}的前〃項和為[=,
〃,〃為偶數(shù)
21.(12分)
/、33?!?/p>
已知數(shù)列{4}的首項4=:,且滿足。用=匯*廣
(1)求證:數(shù)列L-1為等比數(shù)"J;
上-3,〃為偶數(shù)時,
⑵設(shè)數(shù)列{4}滿足"=廠"
求最小的實數(shù)力,使得4+4++b<m
〃+2n2k
---------1---〃---為---奇數(shù)時,
n〃+2
對一切正整數(shù)左均成立.
I21
【解析】(1)由已知得,=-+--,
??+i33a?
所以「一一l=^f--1.
?!?1314,)
12
因為---1=鼻。M°,
q3
所以數(shù)列,,-1]是首項為。,公比為《的等比數(shù)列.
U33
12
(2)證明:(2)由(1),當〃為偶數(shù)時,—3=—-2,
a”°
當〃為奇數(shù)時,〃=巴〃+上2+二n=2+24--2J
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