高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列單元綜合測試卷新人教A版選擇性必修第一冊

第四章數(shù)列單元綜合測試卷

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.數(shù)列-2,4,-6,8,K的通項公式可能為()

A.a?=(-l)"*'2nB.??=(-1)"2?

C.?！?(-1嚴(yán)2"D.a?=(-1)"2"

【答案】B

【解析】根據(jù)題意數(shù)列一2,4,—6,8,1<其中4=(-1)/1><2,%=1X2X2,a,=(-l)x3x2,

%=1x4x2,則其通項公式可以為％=(-1)"2〃

故選:B.

2.數(shù)列｛%｝滿足4=1,可=一%(〃22),則牝的值為()

an-l+1

A.—B.—C.—D.一

3456

【答案】C

a,1a.1a,1a,1

【解析】由題意可得。2=T=3,%=一二7=.，4=Ur=1，%=T=4.

q+124+13%+14%+15

故選：C.

3.已知｛%｝是等差數(shù)列，且2/=。9+3,則為=()

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由2%=%+3得,2(4+72)=4+8"3,

則4+6d=3=%.

故選：B.

4.若數(shù)列｛%｝的前〃項和S,,=2/+i,則下列結(jié)論正確的是()

A.?！?4〃+2B.〃“=4〃一2

[3,H=1f3,n=1

C-D-4=[4”2,〃>1

【答案】D

[解析]當(dāng)〃=1時，q=S[=2x『+1=3,

當(dāng)〃>1時，a“=S“-S“_|=2〃2+l-2（〃-1）2—1=4〃一2,

f3,H=1

經(jīng)檢驗，可得4=；。

故選：D.

5.某種細(xì)胞開始時有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1

個，3小時后分裂成10個并死去1個L按照此規(guī)律，12小時后細(xì)胞存活個數(shù)（）

A.2048B.2049C.4096D.4097

【答案】D

【解析】依題意，1小時后的細(xì)胞個數(shù)為3=2i+l,2小時后的細(xì)胞個數(shù)為5=22+1，

3小時后的細(xì)胞個數(shù)為9=2?+1，…，則〃（〃eN*）小時后的細(xì)胞個數(shù)為2"+1，

所以12小時后細(xì)胞存活個數(shù)是產(chǎn)+1=4097.

故選：D

6.已知〃為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證：］一：+!一:+…+-一！=2（——^—++上］

234n-1nl〃+2〃+42n）

時，若已假設(shè)〃=k（Z>2且在為偶數(shù)）時等式成立，則還需要再證（）

A.〃=&+1時等式成立B.〃=%+2時等式成立

C.〃=2A+2時等式成立D.〃=2伏+2）時等式成立

【答案】B

【解析】若已假設(shè)〃=4（k>2,4為偶數(shù)）時命題為真，

因為〃只能取偶數(shù)，

所以還需要證明”=%+2成立.

故選：B.

7.設(shè)等差數(shù)列滿足《=1,a”>0（〃eN*）,其前〃項和為5”，若數(shù)列｛四｝也為等差數(shù)

s

列，則鏟的最大值是（）

A.310B.212C.180D.121

【答案】D

【解析】???等差數(shù)列｛%｝滿足4=1,%>O（〃€N*）,設(shè)公差為d,則a.=l+（〃一1”，

其前"項和為S=〃口+1+（〃-1）典,

”2

??.瘋平2+（”］,同=1，￡=標(biāo)，

?.?數(shù)列｛四｝也為等差數(shù)列，

2j2+d=1+j3+3d,

解得d=2.

；?S“+K）=（〃+1°）2，4：=（2〃-1）2，

.』=X]*+旦丫，

a~\2n-\J124/?-2J

7、2'

由于為單調(diào)遞減數(shù)列,

\24n-2J

...呼叫="=i2i,

ana\

故選：D.

T

8.對于數(shù)列｛4｝,若存在正整數(shù)WA22）,使得4<"*，ak<ak+i,則稱/是數(shù)列｛%｝的

a

“谷值”，a是數(shù)列｛〃“｝的“谷值點(diǎn)”.在數(shù)列｛4｝中，若《,=〃+丁8,則數(shù)列｛能｝的“谷

值點(diǎn)”為（)

A.2B.7C.2,7D.2,5,7

【答案】C

9

【解析】因為。〃=77+——8,

n

3076129

所以4=2,^=-?,%=2,%=二，a5=—，a=-,%=一,%=一，

-245(62788

9QQ

當(dāng)“27,,nH---8>0,所以〃〃=〃+——8=〃+——8,

nnn

因為函數(shù)丫=犬+?-8在[7,+?>）上單調(diào)遞增，

9

所以〃27時，數(shù)列為=〃+-―8為單調(diào)遞增數(shù)列，

n

所以〃2<4，。2<%，。7<〃6，%<6，

所以數(shù)列｛4｝的“谷值點(diǎn)”為2,7.

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知等差數(shù)列｛4｝：11、8、5、L,則（）

A.公差4=-3B.該數(shù)列的通項公式為=-3”+16

C.數(shù)列的前10項和為-25D.T9是該數(shù)列的第21項

【答案】ACD

【解析】對于A選項，等差數(shù)列何｝的公差為d=8-ll=-3,A對；

對于B選項，該數(shù)列的通項公式為4=11-3（”-1）=-3〃+14,B錯；

對于C選項，數(shù)列｛叫的前10項和為10X11-&笠=-25,C對；

對于D選項，由/=-3〃+14=-49,解得〃=21,D對.

故選：ACD.

10.在公比g為整數(shù)的等比數(shù)列｛/｝中，S,是數(shù)列｛丹｝的前〃項和，若。m=32,%+%=12,

則下列說法正確的是（）

A.q=2B.數(shù)列｛S“｝是等比數(shù)列

C.$8=510D.數(shù)列｛Iga,,｝是公差為2的等差數(shù)列

【答案】AC

【解析】???在公比。為整數(shù)的等比數(shù)列佃）中，S“是數(shù)列｛4｝的前〃項和，%%=32,

%+%=12,

解得4=4,%=8,，4=2,或者％=8,%=4,不符合題意，舍去，故A正

確，

4="=^=2,則s=2（1-2）=2，用_2，

q2，，i-2

S?,,+2_2

子=內(nèi)工常數(shù)，

...數(shù)列⑸｝不是等比數(shù)列，故B不正確；

立二2=510,故c正確；

81-2

?."“=2"，Iga“="lg2,21g2-lg2=lg2,

數(shù)列｛Igq,｝不是公差為2的等差數(shù)列，故D錯誤，

故選：AC

11.己知數(shù)列｛q｝的前"項和為S,,,則下列說法正確的是（）

A.若S“=2〃2-3,則｛a,,｝是等差數(shù)列

B.若｛4｝是等差數(shù)列，且4=5,%+4。=2,則數(shù)列｛%｝的前〃項和5.有最大值

C.若等差數(shù)列仇｝的前10項和為170,前10項中，偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為9：8,

則公差為2

D.若｛%｝是等差數(shù)列，則三點(diǎn)（10,強(qiáng)）、（20,*）、（30,霏）共線

【答案】BCD

【解析】A項，〃=1時，?,=5,=-1,

此2時，a“=S“-S,i=4〃-2

〃=1時，4=2~1,所以，｛%｝不是等差數(shù)列；

B項，由已知可得，?6=>>又％=5

所以，4=—；<。，4=]>0.所以，S,,有最大值；

C項，由已知可得，偶數(shù)項和為90,奇數(shù)項和為80,兩者作差為5d=10,所以d=2：

D項，設(shè)三點(diǎn)分別為A,B,C,—=qH―――?則—=q=ay+-^-d,—=q+士”.

n2102202302

uuuUlttluniuuu

則48=（10,5"）,SC=（10,54）,A8=BC，所以三點(diǎn)共線.

故選：BCD.

12.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀?/p>

列的形狀，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1,3,6,10,…稱為三

角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1,4,9,16,…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)

列｛%｝,正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛2｝,則下列說法正確的是（）

1111n

A.1--------1-------FH------=---------

4a2a3atl〃+1

B.1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)

1I1133

CF—+—++-<—

ab2b3b?20

D.總存在p,qeN*,使得成立

【答案】BCD

【解析】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛q｝：1,3,6,10,則有

=2,?,-%=3,,an-an_y=n(n>2),利用累加法,

得a?-at=———-,得到/=\；n=1成立

正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛〃｝：1,4,9,16,…，則有

白一4=3也一a=5,也一%=2”一1（心2）,利用累加法,

(2〃+2)(〃-1)

得〃-4=得到勿=/,n=l成立

2

12J1、

對于A,fE=2（丁初），；.利用裂項求和法:

1111“1、2〃

—+—+—++—=2(1--一-)=---,故A錯誤；

4a2a3ann+1n+\

2

對于B,令可二2±=1225,解得〃=49；令2="=1225,解得〃=35；故B正確；

11411、

對于C，=F<421=2(；一7一71)，則

bnn4n-12〃+1

1111,IZ11、5111111

22

仿b2b3bn43n457792〃一12〃+1

11115J1、33133

整理得，7-+7-+7_++7-<1+2(￡一丁77)=右一丁774右，故C正確；

h}b24b〃452/1+1202幾+120

對于D,取加=p=q,且機(jī)GN*,則令/=也羅+”心，則有粼=%,+m…故

V，〃eN”,，〃22,總存在p,qeN*,使得〃”=%,+%成立，故D正確；

故選：BCD

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若等差數(shù)列｛4｝滿足％+/+佝>。，%+4。<0,則當(dāng)片時，｛4｝的前〃項和

最大.

【答案】8

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得%+4+的=34>0,

a

：.?8>0,又％+m=%+a><0，，“9<0,

.?.等差數(shù)列｛4｝的前8項為正數(shù)，從第9項開始為負(fù)數(shù)，

...等差數(shù)列｛《,｝的前8項和最大，

故答案為：8.

14.若數(shù)列｛凡｝的通項公式4=（-1）"2?,前”項和為S“，則與=

【答案】-16

【解析】因為41=(一1廣2〃，所以q=-2,%=4,%=—6,4=8,L

所以耳5=4+%++65

(-2)+4+(-6)+8+(-10)++(-30)

=[(-2)+4]+[(-6)+8]+[(-10)+12]++[(-26)+28]+(-30)

=2+2+2++2+(-30)=2x7-30=-16.

故答案為：-16

-r、r、S7/?-3

15.已知兩個等差數(shù)列｛%｝和｛〃｝的前"項和分別為和T“，且的fl=np則.

【答案】6

7/7—11

【解析】由已知得，521=?。?+出自）=（2〃-1）4，篤1=丁3+匕7）=（2〃-1應(yīng)

令爐5,則品=9%，n=9方5,

所以，M=^r=6

故答案為：6.

123n2-("+2號,"eN",則數(shù)列{4+log2%}

16.已知數(shù)列｛4｝滿足:—+—+—+?+—=

a\a2a3an

的前”項和S“為

【答案】2n+'+n2+n-2

123n=2-(〃+2)：,”eN*,

【解析】因為一+—+—++—

1c八八11

所以當(dāng)〃=1時，-=2-(l+2)x-=.,故4=2；

123〃c/人1123n-\z1

當(dāng)〃之2時，一+—+—+…+—=2-(n+2)—,則一+—+—+,?+----=2-(M+1)-r

4a2a3an2a]a2a3%2

n7?+277+1-〃-2+2〃+2n

兩式相減得：一=----+友，故〃〃=2"，

42"2"

經(jīng)檢驗：4=2滿足a,,=2",

所以當(dāng)”eN*時，4=2",

2n

所以％+log2a2n=2"+log22=2"+2n,

=(2+22+23+2")+(2+4+6+2n)=2^-^=2),+l+n2+n-2.

故答案為：2向+/+〃一2.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.（10分）

若數(shù)列｛%｝滿足：4=1,點(diǎn)（〃,%+4向）在函數(shù)》=履+1的圖象上，其中％為常數(shù)，且％工0.

⑴若4成等比數(shù)列，求&的值：

⑵當(dāng)&=3時，求數(shù)列｛叫的前21項和4.

【解析】（1）根據(jù)題意可得=加+1，又4=1,故可得%=%,%=%+1？4=火，

又4，%，包成等比數(shù)列，故4%=播，即蹤=/,解得4=0（舍）或左=2,故2=2.

（2）當(dāng)2=3時,an+t+an=3n+l,貝ij+4用=3（〃+1）+1,

兩式作差可得：an+2-a?=3,故該數(shù)列的奇數(shù)項是首項為1,公差為3的等差數(shù)列，則

%=4+10x3=31,

故力=（4+%）+（%+《）++（49+%。）+%

=（3xl+l）+（3x3+l）++（3x19+1）+31

=3x（l+3+5++19）+10+31

10（1+19）

=3x—----<+41

2

=341.

故數(shù)列｛%｝的前21項和為=341.

18.（12分）

已知數(shù)列｛%｝的前"項和公式為S,,=/-10n.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

q

⑵若數(shù)列4求數(shù)列也“｝的前〃項和7；的最小值.

n

【解析】（1）當(dāng)〃=1時，q=S［=-9；

當(dāng)“22時，a?=S?-S,,,,=（n2-10n）-［（/7-1）2-10（n-1）］=2/7-11,

q=-9滿足氏=2〃-ll,故對任意的〃cN,，an=2n-\l.

s

（2）4=」=〃一10，令〃=〃一1。40,解得九410,

n

且％—2=5-9）—5—10）=1,所以，數(shù)列低｝為等差數(shù)列,

所以，刀,的最小值為7；=工（，尸+；））x1（）75.

19.（12分）

一個計算裝置有一個入口A和一輸出運(yùn)算結(jié)果的出口8,將自然數(shù)列｛〃｝（〃21）中的各數(shù)依

次輸入A口，從B口得到輸出的數(shù)列｛q｝,結(jié)果表明：①從A口輸入〃=1時，從B口得q=g;

②當(dāng)〃22時，從4口輸入"，從8口得到的結(jié)果冊是將前一結(jié)果先乘以自然數(shù)歹U｛〃｝中的

第"-1個奇數(shù)，再除以自然數(shù)列｛科中的第〃+1個奇數(shù).試問：

(1)從A口輸入2和3時，從B口分別得到什么數(shù)？

(2)從A口輸入100時，從B口得到什么數(shù)？并說明理由.

二1

【解析】(1)當(dāng)〃=1時，

當(dāng)n=2時，a-,=6f.x1x-=—；

~515

當(dāng)〃=3時，/X3X—=--：

-735

111111

(2)31x3,153x5,3355x7…，

故猜想an~~~7：；

(2〃一1)(2〃+1)

理由：顯然〃二1時，猜想成立，

假設(shè)〃斗時，猜想成立，,

(2攵一1)(2k+1)

_2k-1_[___________1_________

則”="1時，磯-2&+34-(2&+1)(2?+3)-[2(%+1)-1][2(，+1)+1]

當(dāng)〃=攵+1時，猜想成立，

1

?.CI=,

”(2/2-1)(277+1)

故從A口輸入100時，從B口得的數(shù)為―-=-^—.

20.(12分)

記S“為數(shù)歹lj｛%｝的前〃項和，已矢口S“=2a,-2.

(1)求｛%｝的通項公式;

⑵若以=(T)"xlog2%,M,求數(shù)列出｝的前〃項和刀,.

【解析】(1)當(dāng)”=1時，4=2；

當(dāng)〃22時，a?=S?-S?_,=2an-2-(2an_,-2),則“―的；

又?.?qWO,則｛《,｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列,

?????=2".

(2)因為4=(-1廣噫生l=(-1戶(2〃+1)

當(dāng)〃為偶數(shù)時，(=3+a)+(4+2)++(〃T+2)

=(-3+5)+(-7+9)+L+[-(27?-l)+(2n+l)]

n

=2+2+2++2=2*=〃；

2

當(dāng)〃為奇數(shù)時，1=4+(4+4)+(d+4)++(2.1+b]

=-3+(-2)+(-2)++(-2)=-3+(-2＞平=-〃-2

—n—2,〃為奇數(shù)

綜上所述：數(shù)列出｝的前〃項和為［=，

〃，〃為偶數(shù)

21.(12分)

/、33?！?/p>

已知數(shù)列｛4｝的首項4=：,且滿足。用=匯*廣

(1)求證：數(shù)列L-1為等比數(shù)"J;

上-3,〃為偶數(shù)時,

⑵設(shè)數(shù)列｛4｝滿足"=廠"

求最小的實數(shù)力,使得4+4++b＜m

〃+2n2k

---------1---〃---為---奇數(shù)時，

n〃+2

對一切正整數(shù)左均成立.

I21

【解析】(1)由已知得，=-+--,

??+i33a?

所以「一一l=^f--1.

?！?1314,)

12

因為---1=鼻。M°,

q3

所以數(shù)列,，-1］是首項為。，公比為《的等比數(shù)列.

U33

12

(2)證明：(2)由(1),當(dāng)〃為偶數(shù)時，—3=—-2,

a”°

當(dāng)〃為奇數(shù)時，〃=巴〃+上2+二n=2+24--2J