高考高中數學：函數與導數相關知識點總結+例題解析

高考高中數學：函數與導數專題相關知識點總結+例題解析

研讀《考試說明》

■函數的概念

■分段函數

函數的定義域、值域

■函數的單調性、奇偶性、周期性

■函數的最值、零點

高考重基礎，高考復習首先要打好基礎

口礎知識基木技能J

(-)函數慨念與基本初等函數1(指數函數、對數函數、寡函數)

考城內衣

明數.映射的假宜。由效的興”方法?西數的觸調件、,倜性'最大＜小＞＜ft-指數函

數，對數的數，￥函數.函敷與方糕之間的關系?函數的御手應用.

考?要求

1.1了州的數'映射的概念數學首先是玩概念的

2.了解雨數的定義域、傲域及?:衿發(fā)本法(“析法?圖隼法和列表法卜

3.了解肺中的分段函數，會用分段詼敢解決倚單的HJBU

4.先解南敷的染調性、ffiffltt.會用斷由數的單調性、奇輯性?

$.理解弱數的做人(小,值的含義，會來筒那威鼓的墨大＜4'＞flt.

-7.(15新江語在懿/(x)滿足，對任意xeK都有()

A./(sin2x)=sinx_B./(sin2x)=r+xC./(?+l)=|x+ljD./(r+2x)=|x+l|

基本思想基本活動經驗二I

10.(06浙江廨數了:{1,2,3}f{1,2,3}滿足/(/(x))=/(x),則這樣的

函數個數共有（）

存S）=b，貝獷0）司

41個B.4個C8個

12.(0下折江)若/(x)和g(x)都是定義在實數集夫上的函數，且

方程x-/[g(x)]=0有實數解，則g[/(x)]不可能是()

,1c21-2121

Ax"4-x—BJC+X4—C.x"—DJCT—

5555

若溷方柢-/(聚功=曲解，則a=/9(a)),兔(a)=b,

貝獷0)=a=g(f(b))=g(a)=b,即方Sg(/(x))=x有粉解

從基礎到能力

-9.給定R上函數，G）,（▲）

A.存在R上函數g（.\）,使得/（g（、））=n

B.存在R上函數gG）,使得后（/。））=、

c.存在R上函數g（x）,使得/9（?））=gG）

D.存在R上函數g（、），使得了（g（、））=g（/（、））

—取函數/（、）=0,貝”A,B不合題意；

取函數/（、）=、+1,則C不合題意：

取函數￡（、）=」（、），則D符合題意。

基礎知識基木技能

了解簡單的分段函數，會用分段函數解決簡單

的問題

aa>b

12.(06浙江)對記max{ab}=<：一’函數

bza<b.

/(x)=max{|x+l|,|x-2|)(xe出知)最小值是

e|x|>1

10.(07浙江理)設f(x)=一’一'g(x)是二次函數.

x"x|<L

若/(g(x))的值域是也+X),則g(x)的值域是()

X

-4.(―xs-1]U[15+)B.(―x,-1]|J[0,+x)

C.[0.+x)D.[l;+x)

基礎知識基本技能

—

函數的單調性、奇偶性、周期性

5.（16浙江理）設函數/（x）=siMx+bsinx+c,則/（x）

的最小正周期（）

4與b有關，且與c有關及與麗關，但與c無關

C.與方無關，且與c無關D與》無關，但與c有關

7.（浙江模擬）設函婀（x）=f_+b（a>0且axl）,

-CT―1

則函數/（X）的奇偶性（）

4與a無關，且與b無關8與a有關，且與b有關

C與a有關，但與b無關D.與a無關，但與麗關

源于課本：必修1第83頁

2

1.時尸函數八力一|2二IJWR）,

（1）探索函數/G）的帙兩性，

（2）是占存在實數“使函數/（，）為奇而K?

變式：設磁〃x）=￡，則該函敷的圖象的對稱中心為

奇偶性與對稱件一

從基礎到能力

問題：已知函數/(外==----sinx在區(qū)間[-(k>0)的

2*+1

值域為[刑M，則?《+?!=.

考慮對稱性：因為/-----sinx,令g(x)=^~--sinx,

八/2*+12X+1

則g(x)是奇函數，于是函數/(X)的圖象關于點(0,1)對稱，所以，

對于任意的xe[-k用，/(x)->-/(-x)=2.設m=/(Xe),即工幻

且/(xJ最大，由于函數)=/(-x)與函數)=/(X)的圖象關于],軸對

稱，且由/(-x)=2-/(x)知/(-X)與/(x)的單調性相反，當/(x)取

到最大值時，/(T)一定取到最小值，即有M=[/(-X)].=/(-%),

因此，m+n=/(xe)+/(-^)=2.

基礎知識、基本技能、

基本思想、基本活動經驗

構造函數，運用函數的單調性判斷大小一

令_/a)=2*+2x,x>0,則/。)在(0.田)上單調遞增.因為2'+2a=y+3b,所

以A=(2*+2a)-優(yōu)+%)=/5)-/。)>0,⑷>/0),由“X)的單調性知，

a>b,所以選項A正確，選項B錯誤.選項C,D用同樣方法拄除.

一./P—，?，?“.，??.1?、?-,.??*???????*.J'...?...??

1.1由敞的的.性.kiMl.會同斷限故的中西性、Sffltt.

5.J?“雨豹的■大：<小)值的含義.會求筋單品數的*人(小)ffl-

9.(12浙江)設a>0,b>0.

A.若2"+2a=2?+3b,WOa>bg.若2"+2a=2?+3b,K'la<b

C.若2"-24=2'-3b,Ma>bD.若2"-2a=2?-3b,K'la<b

從基礎到能力，挖掘隱藏的性質

X

7.(16浙江文)已知函甄(x)滿足:/(X)>|X|E/(X)>2:X€2?.

4句(a)W|b|,則a。<2b,^\a<b

C.^y(a)>|顯則a之》D若/(aR2：則a2b

挖掘函數的單調性:

若了(a)<2匕則2"K2〉=>aW”故選方

6.(16浙江文)已知函數/(幻=1+床,則，“<0”是

“/(/(x)演最小值與/(x)的最小值相等”的

4充分不必要條件用必要不充分條件

C.充分必要條件。.既不充分也不必要條件

基礎知識基本技能

?題》考試說明

考試內容

導數的概念與幾何意義，甚本初等話數的S數公式.導數的運算法則.利用導數求函數

的單調性、極值、量大(小)值.

考試要求

1.了解導數的概念與實際背景,展解導數的幾何意工,

2.會用基本初等函數的導數公式表和導致運算法則求函數的導數,并能求簡電的發(fā)合

函數的導數(|RU：形如/(ax+b)的,可).

3.了解i數單調性和導數的關系，世用H數求函數的單調區(qū)明

4.，解曲數橫值的微念及曲數在某讖頡瀛就會用導致求函數的極大(小)值，

會求閉區(qū)間上函數的破大(小)值,

20.（2004浙江理）設曲線〉，=e~\x>0）在點處的

切線,與x軸、,軸所圍成的三角形面積為5（f）.

（1）求切線I的方程；（2）求S⑴的最大值.

22.（2009浙江理圮知函物（x）=x3-（標一左一1〃2+5x-2,

g（x）=krx*2^kx-L其中左eA

⑴設函線（功=/（丫）-@?若成0在區(qū)間S3〉上不單調，球的取值范圍

⑵設函麴（x）=［￡?x2?是否存就對任意給定的非零實數K存在唯一

非零實數0（々*刈,使得g'（W）=g'（Xi）成立？若存在，旅的值；若不存在:

請說明理由

20。017浙江圮知函數“力=（x-倉曰）1（萬>1）.

Q）求/（x曲導函數；⑵求/（x底區(qū)間白+8）上的取值范圍.

■

,

20.解：(1)因為(x->/2^I)=l-)'="r

X

所以《X)=(l--^==)e--(X-

以一1

（2而/（x）=0解得：x=1或x=。由導函數的符號可知

/（X）在［L1］上遞減，在口；］上遞增，在［j+8）上遞減,

222

20.(2017浙江)B知函數/(力=(x-72x-l)e-x(x>i).

(1)求/1(x)的導函數；(2)求/(x>在區(qū)間上的取值范圍.

20.解：(2)由八x)=0解得：x=l或x=堤由導函數的符號可知

“X)在?1］上遞減，在［15上遞增，在辭+00)上遞減，

田(§=9士/Q)=oJ($=<eWxf(x)=-1)2^>0.

111

所以/(x)在區(qū)間R,+8)上的取值范圍是［0占”］.

本題主要考看函數的最大(小)值二導數的運算及

其應用，同時考查分析問題解決問題的能力。

關注證明題

20.(16浙江文)設函數/(x)=爐+_1_,xe[0,1].求證：

X+1

2

(l)/(x)>l-x+x;(2)^-</(x)<1.

42

20解⑴因為1—x+*—/=fW=F，

l-(-x)1+x

]-L]1

由于xe[0J：有-；---<----,^Pl-x+x:-x;<----

1+x1+x1+x

所以/(x)>l-x+x2.

(2)由⑴^0/(x)>1—x+x'=(x—

244

后略

關注證明題函數方法在不等式中的應用

數形結合先猜后證

22.(17浙江)已知數列｛4｝滿足:再=1,修=9+ln(l+hiX"€N*).

證明：當〃e.V時(1)0<x*+i<x*;

XX(3)擊白.

(2)2R+1-M<^;lfia+xn+J<Xn+i

(1)令/(x)=x+ln(l+x)*xN0,貝療(x)在［0,+8)上單調遞增，且

/(0)=0:&="%)構造函數，利用函數的單調性與不

動點結合“數學歸納法”證明數列

(2)要證此不等式，只需證的單調性

-4XM+1+2xn=x\+i-2%+(x*+i+2)ln(l+xw+1)>0.

令g(x)=/-2x+(x+2)ln(l+x)；x20

超越函數相關不等式

(1)ex>x+l(xeR);指致函數、對致函數、三角函數

的劃線被縮

(2)Inx<x-1(x>0);1、

(4)COSX>1一一X;

2

.萬

(3)sinx<x<tanx(0<x<—).⑸

cosx<------<1(0<x<71).

X

(浙江模擬)已知xw”(0步):且xtany=2(1-cosx)則()

0

_XXx

A,.v<—xB.—<T<—C—<v<xD.v>x

.44,2__2"”

易證：當0<x<g時:y<sinx<x.

AX1x

4sin:-4sin-4Asin—

2(l-cosx)yx

tany=-------->2-----------——=t2n—

..xx2

x2--2-sinx4sin—cos—

222

課本中的函數不等式

B組

i.利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗i

(1)sin支，工6(0,it)；

(2)x—J:2>0,XE(0,1)；

(3)er>l+k,久70；

(1)In7<CrVe，\j;>0.

2?利用信息技術工具，畫出函數”之)=E3+622+c/+Q的

圖象，并改變a,〃，c,。的值，觀察圖象的形狀：.

(1)你能歸納函數f^)=ax3+bx2-\-cx^d圖象的大致形

狀嗎？它的圖象有什么特點？你能從圖象上大致估計它

的單調區(qū)間嗎？

(2)運用導數研究它的單調性，并求出相應的單調區(qū)間.

教材是高考命題的主要依據，教材的例習題具有典型性、代表性、發(fā)散

性。

高三復習要緊扣《考試說明》，吃透教材，用好教材,發(fā)揮教材的基礎與示

范作用。

畫函數簡圖，看圖說話

畫拋物為=(*—1)2

結論：奇穿偶回，偶次零點是極值點

特例：函數圖形升=a一1|(x—2)

零點問題奇穿偶回

17.(2012浙江理)設ae&若x>0時均有-l)x-l](x?—ax—1)20,

貝la=.

8.(2013浙江理)已知e為自然對數的底數，設函數

/(x)=(ex-l)(x-=1,2),WJ()

4當k=1時，/(x)在x=l處取到極小值

左當左=1時，/(x)在x=l處取到極大值

C.當k=2時，/(x)在x=l處取到極小值

D當上=2日寸，/(Y)在一丫=1處取到極大值

一只仃小題小做，小題巧做；

才仃大題川做，大題細做3

零點問題奇穿偶|5|

6.(14浙江理)已知函數/(x)=/+ax:+bx+c,

且0</(-1)=/(-2)=/(-3)W3,則()|構造岑點式

Ac<3B.3<c<6C.6<c<9D.c>9

設/(T)=f(-2)=/(-3)=左,則方程/(x)-左=0有三個根，

構造函數g(x)=/(x)-A:=(x+l)(x+2)(x+3),

則g(0)=/(0)—左=6；又/(0)=G故c=k+6

12.(16浙江文)設函數faHd+Bf+l.已知a#0,且

/(x)-/(a)=(x-Z>Xx-a)2,xwR,貝！)實

數a=，b=.

■I永恒的主題--二次函數i__________

(2017浙江省賽3)設/(x)=x2+奴+b=0在［0」中有兩個實數根,

則a?-勸的取值范圍為________.___________________________

3

已知磁,(X)=x+ax+b(a.beR)在區(qū)間(0,1)內有兩個零點，型a+b的取值范

構造零點式

/(x)=X2+ax+b3a+b=/(3)-9

設，(x)的兩個零點分別々，勺，所以/(x)=(x-演)(矛-為)，

不妨設Xje(0,11?x3€(0,1)>

因為:0=(3-勺)(3-馬),6(2,3),3-x2e(2.3),

ffH^/(3)=9+3a+be(4,9),ffH^3a+be(-5.0).

■|永恒的4題--二次函數|

(20154江文20)

(本題滿分15分)設函數/0=乂,+0<+b3》61i).

(1)當6=￡+1時，求函數f(x)在［-口］上的最<1僧g(a)的表達式；

4

(II)已知函婀(X)在［-川上存在零點,0<b-2a<l.求b的取值范圍.

(201他蘇高考)B知函數/(x)=x?+ox+b(aU面值域為@+oc),

若不等式/'(力<曲解集為(見加+6),貝ijc=—.

理解參數對俄數圖像的影響

二次函數遇到絕對值

(2015年1月浙江皙羚胞峨)設匡|數碼=|R-ax-b|,a,b€,R.

-(HD若對任意翊a,b,總存在翊Xc€(0,4膠穹不等式帕2m加Z,—

將圉m的取值碉。

設4=t,由xW[0.4].得tW[O.2].h(t〉-at'-H-b,即求在tW10,2J上的

最大值“(3?b)的最小值。

由|M?|在tW?2]上的最大值b)得.?，

"(ab)訓*0)1一6

A，3,b)MMDQ|r+l-b|,

4“a,b)>(火2)HT。+2-b|

*/3h<O>+h<2)-4h(1>=-2,

"2=|3摩0)+M2)-4MD|S3MO)I4-/K2)；+4|Ml)!^8A/(a,b),

即A/(a?b)>1,取h《t)內合條件。

424

/.A/(a.b)的最小值為!，

即m的取值范圍為m0士。

I仁1次函數遇到絕對值

_(2015浙江理18)已知附數f(x)?/-瑟拽(a,beR),

記M(a,b)是f(x)在區(qū)間卜1J上的最大值。

(1)證明：當a“時，M(a,b)22;

(2)當a,b滿足M(a,b)42時,求ai，b的最大值

(2)由.<(。,母￡2得11+4+6月/(1)|42,|1-0+6〉〃-1)<2,-

二a+bI.ab之0

_故a+b^3,\a-b\^3,由a：+；.&>=<',得！。：+仍|￡3,，

口。-