高中數(shù)學(xué)《指數(shù)冪及運(yùn)算》導(dǎo)學(xué)案

第2課時(shí)指數(shù)幕及運(yùn)算

卜課前自主預(yù)習(xí)

有理數(shù)指數(shù)鬲的運(yùn)算性質(zhì)

⑴①屋優(yōu)=1X1罐+%。〉0,r,s￡Q);

②(">=團(tuán)貯(。>0,r,s￡Q)；

③(ab)一囪這(a>0,h>0,reQ).

(2)無(wú)理數(shù)指數(shù)基aa(a>0,a是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理

數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)幕同樣⑷適用.

F自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)只要根式有意義，都能化成分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的形式.()

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞Q錯(cuò)誤!可以理解為錯(cuò)誤!個(gè)a相乘.()

(3)0的任何指數(shù)事都等于0.()

答案(1)V(2)X(3)X

2.做一做

(1)處不化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕為.

(2)若10。=5,10〃=9,則10“P=.

131

(3)(教材改編P54T3)若彳〉0,則(4+32)(2JC4一

3_

32)-4JT3,(J?—jr2)—.

答案(1)。錯(cuò)誤！(2)錯(cuò)誤！(3)—23

卜課堂互動(dòng)探究

『釋疑解難』

化簡(jiǎn)指數(shù)幕的一般原則和技巧

(1)在進(jìn)行森和根式的化簡(jiǎn)時(shí)，一般原則是：先將負(fù)指數(shù)森化為正

指數(shù)森，將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)森，將底數(shù)(較大的整

數(shù)分解質(zhì)因數(shù))化成指數(shù)森的形式，再利用森的運(yùn)算性質(zhì)在系數(shù)、同底

數(shù)賽間進(jìn)行運(yùn)算，達(dá)到化簡(jiǎn)和求值的目的.

(2)化簡(jiǎn)指數(shù)幕的幾個(gè)常用技巧如下：

①冏”=(加后。)；

-1n1

②Q=(Q方)'"，〃=(/)"(式子有意義)；

1[]

③1的代換，如1=「a,l=「等；

,1111

④乘法公式的常見(jiàn)變形，如(Q2+公)(。2—)=?！?/p>

1,11111211

b,(a-±b?)2o=a+2tz2b-+/>,(?-)(aT+

2

/)=a±6.

探究1利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)與求值

%例1(1)(0.064)一1一(一0.875)°+[(—2尸]一寺+

16-0-75+|-0.01|h

(2)化簡(jiǎn)：小4-1/a-7'.%/旦L3(a>0).

解

⑴原式=[(0.4尸]T—1+(—2)7+2-3+

[(0.1)2]Jo.4—1—1+上+:+0.1=臂.

16880

1a1Q-1「17

(2)原式=戶(hù)X2?戶(hù)XLG+”X(一丁)?

1、/1393.713八

tzTy=a'一百+不一不=a0=1

拓展提升

負(fù)數(shù)指數(shù)'零指數(shù)在計(jì)算中的注意事項(xiàng)

⑴負(fù)數(shù)指數(shù)化成正數(shù)指數(shù).

（2）注意計(jì)算的順序.

【跟蹤訓(xùn)練11計(jì)算或化簡(jiǎn)下列各式（其中式子中的字母均為正

⑴（/?"）一3?，6—4

（2）E（0.027卷）—L5]++「810?25—（-32）66-0.02x

解

(1)原式=(/.后)—3+[/廠4?Q—2)十心=

31Q1

T2-2TT+T2+2x

a~?b~+(6?a~)=a~?b~=a~?

60=—.

3X(-y)XyXy

-(/811T+,323T_-io2ox

100)2

化簡(jiǎn)：（1）X史"J匹_9Q,b>0）；

。例2

_6

(a了b工6?

a

(2),6—個(gè)3需+j0.0625+[(0.0643)t；,「-7co.

解

3

b?[(/C)口1芽1

原式

(1)=c1

311

a2b?a6b3

j__L1

⑵原式=(學(xué)『—管『+(625\4,

10000/

12

64^x(-2.5)x-_5_3工12\i

Toooli―2T+T+\T/-1=3.

拓展提升

指數(shù)鬲的一般運(yùn)算步驟

有括號(hào)先算括號(hào)里的；無(wú)括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算.負(fù)指數(shù)嘉化為正指

數(shù)箱的倒數(shù).底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，

底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用寨的形式表示，便

于利用指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì).

【跟蹤訓(xùn)練2】(1)化簡(jiǎn)：(,)3X(-y)°+80-25X72

+(^2XV3)6；

_2_J_

(2)化簡(jiǎn)：——-----?———(T>0,J/>0).

(一針7")(一石"戶(hù))

解

⑴原式=8(-DX1)X1+(23)+X2^+(2^)6X

131

T+T23

(3T)6=2+2+2X3=112.

_2__1_

(2)----------SI；--------=5X(-4)X

(-W1—1/彳)(一至無(wú)耳?一瓦)

(一寺)義彳(一，)一"1)一+xyT-i-(-i)=24z°?=

24y不.

探究2條件求值問(wèn)題

11

2例3已知j+「2=3,求下列各式的值：

33

y——T

(DQ+Q—I；(2)a2+a~2；(3)^~~

a2-a~2

解

111

(1)將戶(hù)+。一彳=3兩邊平方，得a+a—+2=

9,所以a+qT=7.

(2)對(duì)(1)中的式子兩邊平方，得/+〃—2+2=49,所

以/+「2=47.

3311-11

22_(022)?2?~~2)

a—「一(Q+Q+。a

(3)V-_±X_i_

a~一a2a2—a2

=a+/1+1=8.

拓展提升

解決條件求值問(wèn)題的一般方法——整體代入法

對(duì)于條件求值問(wèn)題，一般先化簡(jiǎn)代數(shù)式，再將字母取值代入求

值.但有時(shí)字母的取值不知道或不易求出，這時(shí)可將所求代數(shù)式恰當(dāng)

地變形，構(gòu)造出與已知條件相同或相似的結(jié)構(gòu)，從而通過(guò)“整體代入

法”巧妙地求出代數(shù)式的值.

利用“整體代入法”求值常用的變形公式如下(。＞。,?！?)：

_L±,_Lo

(1)Q士2Q2〃2+〃=(Q2士〃2)-；

1111

(2)a—b={a2+62)(a2—b2)；

331111

(3)?2+〃=(a2+〃2)(Q-a?[)2+〃)；

331111

(4)ti2—b2—(a2—b2)(a+a2b2+6).

【跟蹤訓(xùn)練3](1)已知i+了=12,盯/=9,且求

才;一。;的值;

2

3C+/2

11_|_i

(2)已知不2+1-2=5,求匚^的值.

X

±±±±9

/_,、..]2—?2_(12一,2)一

(])?-±Z±ZTT-

22+/2(衛(wèi)2+)2)(12-y2)

X

2

JCJ—2(iy)

=_(+/),

jc-y

又*'JC+12,xy=9,

：.(7一丁)2=(7+?)2—473/=122—4X9=108.

=

VJC—y1③

±±工L

將②③式代入①式，得耳二4="二軍]=一§.

產(chǎn)+"-6733

111

(2)由/2+1—2=5,兩邊同時(shí)平方得1+2+1—=25,

72I1

整理，得JT+JT-1=23,則有一^=1+憶—1=23.

I澳堂提濟(jì)I

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕運(yùn)算應(yīng)注意的問(wèn)題

(1)指數(shù)幕的一般運(yùn)算步驟一定要遵循有括號(hào)，負(fù)數(shù)指數(shù)幕，底

數(shù)是負(fù)數(shù)、小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化方法.

(2)根式一般先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，然后再利用有理數(shù)指數(shù)幕的

運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，在將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的過(guò)程中，一般采用

由內(nèi)到外逐層變換為指數(shù)的方法，然后運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)準(zhǔn)確求解.

(3)對(duì)于含有字母的化簡(jiǎn)求值結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的形式表

1.赤.爐工等于()

A.一"\J—aB.—y[aC.\j—aD.\[a

答案A

解析

=—(~a)~=-，一a.

2.(射?的值是

vO17

答案B

3.計(jì)算（2。-36一■!）?（一3。-16）+（4〃-46一年）（。70"力0）,

得（）

A.B.-1-62C.^-b3D.-1-63

乙J乙乙

答案A

解析

原式=[2X（_3）+4]Xa—3—1+4.6_y2+1+了5=

4.化簡(jiǎn)（小+/產(chǎn)8.（表一也）239=.

答案小一也

解析（小+啦產(chǎn)18.（小一啦）2。19=［（小+啦）（小—啦）］2。18.（.

一啦）=12。電（妻一娘尸小一也.

5.計(jì)算或化簡(jiǎn)下列各式：

（1）（冠X遮）6-4（!|）T-72X80-25+

（-2018）0；

2_X_工±

?I））??a-?I/

\LiJe?

?If

解

⑴原式=(2亍1X3彳1”八+(2彳1

2/X⑵/+1=22X33+2-7-2+1=102.

_x￡_xx

ZJ3?A-?zi-?/)3

(2)原式=9--------\\———

a6,66

1111,15

a--3--2~T.+T=_

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一'選擇題

1.若。＞0"〉0,相，〃都是有理數(shù)，則下列各式不成立的是()

答案c

解析由分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)，可知C不成立.

3

2.若(1—2外一了有意義，則7的取值范圍是()

A.(—OO,H-OO)

B.(-OOl)u(y,+oo)

C.(；,+8)

答案D

311

解析后三方2

3.設(shè)。＞0,將7=2=表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)塞，其結(jié)果是

4?斤

(

1573

A.aJB.afiC.a6D.a-

答案C

解析

a2a2a八2a,2a2

4.設(shè)2"=5"=根，且:+(=2,則相等于()

A，ViOB.10C.20D.100

答案A

解析

,ii

：2"=m,5"=，2=5=相方,???2義5=

xxx.Xo,--

加丁,mT=加了十石,，nr=10,m—vlO.故選A.

2]i

5.設(shè)0/一。一次=〃2,則人土=()

a

A.—2B.2—j?rC.ITT+2D.m1

答案C

解析

J2LX.1I.±oo

將a—a~-=m平方得(a?一。一？)2=根2,即a

—2+a-1=〃i'2，所以Q+Q-I=/M+2,即——rn2+

滔+1

2=-----=12+2.

a

二、填空題

6.若丁=(3z—2)，+(2—3JC)~+*有意義，則實(shí)數(shù)7,)

分別為，.

宏安2逅

口木32

解析

?=(3z-2)++(2-3z)++曰=，3--2+

壬+夠，要使式子有意義必須有12：0'解得

乙12—37/0,

2_展

7.若10工=3一+,10》=儂,則1。2"一，=.

答案3

解析