高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)22.1.3方程組的解集

2.1.3方程組的解集

最新謠(1)全用代入消元法或加減消元法解二元一次方程組.

程標(biāo)準(zhǔn)(2)能靈活解二元二次方程組.

新知初探?自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性

知識(shí)點(diǎn)方程組的解集

方程組中，由兩個(gè)方程的解集稱為這個(gè)方程組的解集.

狀元隨筆當(dāng)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)時(shí),方程組的解集可能有無(wú)窮多個(gè)

元素，此時(shí)，如果將其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那么其他未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出

來(lái).

基礎(chǔ)自測(cè)

1.方程組［廣匕二的解集是()

(X-y—J

A.{2,—1}B.{(2,-1)}

C.{—2,1}D.{(一2,1)}

2.若x,y滿足方程組fx+V=7,則了十〉的值是()

(x+2y=8,

A.5B.-1

C.OD.1

(v=x

3.方程組1的解集是()

(x十y-乙

A.(±1,±1)B.{(±1,i1)}

C.{(-1,-1),(1,1)}D.(-1,-1),(1,1)

①

x+y—z=0,②

y+z—x=7,③

(z+x—y=9

課堂探究?素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性

題型1n元一次方程組［經(jīng)典例題］

(x_yz

=①

例1解方程組3—4—5，

(x—y+2z=18.②

狀元隨筆n元一次方程組主要指二元和三元一次方程組，主要用加減消元法和代入消

元法求解.

方法核病

消元法解三元一次方程組的兩個(gè)注意點(diǎn)

(1)在確定消去哪個(gè)未知數(shù)時(shí)，要從整體考慮，一般選擇消去后可以使計(jì)算量相對(duì)較小

的未知數(shù).

(2)消去的未知數(shù)一定是同一未知數(shù)，否則就達(dá)不到消元的目的.

3(x+y)-4(x-y)=4,①

跟蹤訓(xùn)練1用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠探M:

等+妥=1②.

題型2“二?一”型的二元二次方程組［教材P53例2］

例2求方程組=5'真的解集.

ly=x+1②

【解析】將②代入①，整理得N+x—2=0,解得x=l或X=—2.

利用②可知，尤=1時(shí)，y=2；x=—2時(shí)，j=-1.

所以原方程組的解集為{(1,2),(-2,-1)}.

激材友恩

“二.一”型的二元二次方程組的實(shí)數(shù)解有三種情況：有一解、兩解和沒(méi)有解.把二元

一次方程代入二元二次方程，消去一個(gè)未知數(shù)之后，得到一個(gè)一元二次方程.由根的判別式

可知，解的情況可能是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解或無(wú)實(shí)數(shù)解，這樣的二元

二次方程組的解也就相應(yīng)地有三種情況.簡(jiǎn)言之，有一個(gè)二元一次方程的二元二次方程組的

實(shí)數(shù)解的情況，一般可通過(guò)一元二次方程的根的判別式來(lái)判斷.

跟蹤訓(xùn)練2解方程組卜2+2xy+y2=4,@

Ix-2y=5.②

題型3“二?二”型的二元二次方程組［經(jīng)典例題］

x2-3xy-4y2=0,①

例3解方程組-

.x2+4xy+4y2=1,@

方法核附

解“二.二”型方程組的基本思想仍是“轉(zhuǎn)化”，轉(zhuǎn)化的方法是“降次”“消元”.它

的一般解法是：

(1)當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí)，可將分解得到的兩個(gè)二

元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)“二?一”型方程組.解這兩

個(gè)，，二?一”型方程組，所得的解都是原方程組的解.

(2)當(dāng)方程組中兩個(gè)二元二次方程都可分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí)，將第一個(gè)二元二次

方程分解所得到的每一個(gè)二元一次方程分別與第二個(gè)二元二次方程分解所得的每一個(gè)二元

一次方程組成方程組，可得到四個(gè)二元一次方程組，解這四個(gè)二元一次方程組，所得的解都

是原方程組的解.

x2-y2=1,

跟蹤訓(xùn)練3解方程組

(x-y)2-2(x-y)-3=0②

2.1.3方程組的解集

新知初探咱主學(xué)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)

得到的交集

［基礎(chǔ)自測(cè)］

X+y=1①

i.解析:

X-y=3②

①+②得2x=4,.'.x=2,代人①得y=-1.

答案：B

2.解析：卜*+廠7；?

Ix+2y=8.②

方法一②義2一①，得3y=9,解得y=3.

把y=3代入②，得尤=2.

所以x+y=2+3=5.

方法二由①+②，得3x+3y=15.

化簡(jiǎn)，得尤+y=5.故選A.

答案：A

3?解析:小常

把①代入②得2/=2,?,.X2=1

x=±l,y=±l.

答案：C

4.解析：①+②+③得x+y+z=16④

④一①，得z=8；

④一②，得尸4.5；

④—③，得y=3.5.

所以原方程組的解集為｛(4.5,3.5,8)｝.

答案：｛(4.5,3.5,8)｝

課堂探究?素養(yǎng)提升

例1【解析】設(shè)；=?=(=碗為常數(shù)，原0),

貝Ix=3k,y=4左，z=5k.

將它們代入②中，得決一妹+104=18,解得％=2.

所以x=6,y=8,z=10,

所以原方程組的解集為｛(6,8,10)).

跟蹤訓(xùn)練1解析：由②X6,得3(x+y)+(x—y)=6.③

③一①，得5(x—>)=2,即x—y=g.

把x—y=|代入③，得x+y=||.

2817

x+y=—,X=一,

解方程組J15々旦15

2仔11

X—y=m，v——

J15

所以原方程組的解集為｛Gl，if)｝.

跟蹤訓(xùn)練2解析：方法一由②得x=2y+5③

將③代人①，得(2y+5)2+2y(2y+5)+*=4.

整理，得3y2+10y+7=0.解得y=——

把yi=一(代入③，得xi=1,把＞2=—1代入③，得＞2=3.

1

Xi1=-%2=3

所以原方程組的解是3

所以方程組的解集為｛Q,-0,(3,T)1

方法二由①得Q+y)2=4,

即x+y=2或x+y=-2.

x+y=-2,

原方程組轉(zhuǎn)化為x+：；2或

[x-2y=5.x—2y=5.

1

'/=3久2—

解得?

%=T7

丫2=一3

,b_g，⑶一坊

例3【解析】由①得(x—4y)(尤+y)=0,

所以%—4y=0或x+y=O,

由②得(x+2y)2=l,

所以x+2y=1或x+2y=11.

原方程可化為以下四個(gè)方程組：

1z+j/=O,

1z+2、=1,T+=—1,,z+=1,jc-\-2y=-1.

22

3%23x3