高中數(shù)學(xué)必修第一冊22.1.3方程組的解集

2.1.3方程組的解集

最新謠(1)全用代入消元法或加減消元法解二元一次方程組.

程標準(2)能靈活解二元二次方程組.

新知初探?自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性

知識點方程組的解集

方程組中，由兩個方程的解集稱為這個方程組的解集.

狀元隨筆當(dāng)方程組中未知數(shù)的個數(shù)大于方程的個數(shù)時,方程組的解集可能有無窮多個

元素，此時，如果將其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那么其他未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出

來.

基礎(chǔ)自測

1.方程組［廣匕二的解集是()

(X-y—J

A.{2,—1}B.{(2,-1)}

C.{—2,1}D.{(一2,1)}

2.若x,y滿足方程組fx+V=7,則了十〉的值是()

(x+2y=8,

A.5B.-1

C.OD.1

(v=x

3.方程組1的解集是()

(x十y-乙

A.(±1,±1)B.{(±1,i1)}

C.{(-1,-1),(1,1)}D.(-1,-1),(1,1)

①

x+y—z=0,②

y+z—x=7,③

(z+x—y=9

課堂探究?素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性

題型1n元一次方程組［經(jīng)典例題］

(x_yz

=①

例1解方程組3—4—5，

(x—y+2z=18.②

狀元隨筆n元一次方程組主要指二元和三元一次方程組，主要用加減消元法和代入消

元法求解.

方法核病

消元法解三元一次方程組的兩個注意點

(1)在確定消去哪個未知數(shù)時，要從整體考慮，一般選擇消去后可以使計算量相對較小

的未知數(shù).

(2)消去的未知數(shù)一定是同一未知數(shù)，否則就達不到消元的目的.

3(x+y)-4(x-y)=4,①

跟蹤訓(xùn)練1用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠探M:

等+妥=1②.

題型2“二?一”型的二元二次方程組［教材P53例2］

例2求方程組=5'真的解集.

ly=x+1②

【解析】將②代入①，整理得N+x—2=0,解得x=l或X=—2.

利用②可知，尤=1時，y=2；x=—2時，j=-1.

所以原方程組的解集為{(1,2),(-2,-1)}.

激材友恩

“二.一”型的二元二次方程組的實數(shù)解有三種情況：有一解、兩解和沒有解.把二元

一次方程代入二元二次方程，消去一個未知數(shù)之后，得到一個一元二次方程.由根的判別式

可知，解的情況可能是有兩個不相等的實數(shù)解，兩個相等的實數(shù)解或無實數(shù)解，這樣的二元

二次方程組的解也就相應(yīng)地有三種情況.簡言之，有一個二元一次方程的二元二次方程組的

實數(shù)解的情況，一般可通過一元二次方程的根的判別式來判斷.

跟蹤訓(xùn)練2解方程組卜2+2xy+y2=4,@

Ix-2y=5.②

題型3“二?二”型的二元二次方程組［經(jīng)典例題］

x2-3xy-4y2=0,①

例3解方程組-

.x2+4xy+4y2=1,@

方法核附

解“二.二”型方程組的基本思想仍是“轉(zhuǎn)化”，轉(zhuǎn)化的方法是“降次”“消元”.它

的一般解法是：

(1)當(dāng)方程組中只有一個可分解為兩個二元一次方程的方程時，可將分解得到的兩個二

元一次方程分別與原方程組中的另一個二元二次方程組成兩個“二?一”型方程組.解這兩

個，，二?一”型方程組，所得的解都是原方程組的解.

(2)當(dāng)方程組中兩個二元二次方程都可分解為兩個二元一次方程時，將第一個二元二次

方程分解所得到的每一個二元一次方程分別與第二個二元二次方程分解所得的每一個二元

一次方程組成方程組，可得到四個二元一次方程組，解這四個二元一次方程組，所得的解都

是原方程組的解.

x2-y2=1,

跟蹤訓(xùn)練3解方程組

(x-y)2-2(x-y)-3=0②

2.1.3方程組的解集

新知初探咱主學(xué)習(xí)

知識點

得到的交集

［基礎(chǔ)自測］

X+y=1①

i.解析:

X-y=3②

①+②得2x=4,.'.x=2,代人①得y=-1.

答案：B

2.解析：卜*+廠7；?

Ix+2y=8.②

方法一②義2一①，得3y=9,解得y=3.

把y=3代入②，得尤=2.

所以x+y=2+3=5.

方法二由①+②，得3x+3y=15.

化簡，得尤+y=5.故選A.

答案：A

3?解析:小常

把①代入②得2/=2,?,.X2=1

x=±l,y=±l.

答案：C

4.解析：①+②+③得x+y+z=16④

④一①，得z=8；

④一②，得尸4.5；

④—③，得y=3.5.

所以原方程組的解集為｛(4.5,3.5,8)｝.

答案：｛(4.5,3.5,8)｝

課堂探究?素養(yǎng)提升

例1【解析】設(shè)；=?=(=碗為常數(shù)，原0),

貝Ix=3k,y=4左，z=5k.

將它們代入②中，得決一妹+104=18,解得％=2.

所以x=6,y=8,z=10,

所以原方程組的解集為｛(6,8,10)).

跟蹤訓(xùn)練1解析：由②X6,得3(x+y)+(x—y)=6.③

③一①，得5(x—>)=2,即x—y=g.

把x—y=|代入③，得x+y=||.

2817

x+y=—,X=一,

解方程組J15々旦15

2仔11

X—y=m，v——

J15

所以原方程組的解集為｛Gl，if)｝.

跟蹤訓(xùn)練2解析：方法一由②得x=2y+5③

將③代人①，得(2y+5)2+2y(2y+5)+*=4.

整理，得3y2+10y+7=0.解得y=——

把yi=一(代入③，得xi=1,把＞2=—1代入③，得＞2=3.

1

Xi1=-%2=3

所以原方程組的解是3

所以方程組的解集為｛Q,-0,(3,T)1

方法二由①得Q+y)2=4,

即x+y=2或x+y=-2.

x+y=-2,

原方程組轉(zhuǎn)化為x+：；2或

[x-2y=5.x—2y=5.

1

'/=3久2—

解得?

%=T7

丫2=一3

,b_g，⑶一坊

例3【解析】由①得(x—4y)(尤+y)=0,

所以%—4y=0或x+y=O,

由②得(x+2y)2=l,

所以x+2y=1或x+2y=11.

原方程可化為以下四個方程組：

1z+j/=O,

1z+2、=1,T+=—1,,z+=1,jc-\-2y=-1.

22

3%23x3