2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第二章2.12　函數(shù)模型的應(yīng)用(學(xué)生版+解析)

§2.12函數(shù)模型的應(yīng)用考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用．知識梳理1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與____平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與____平行隨n值的變化而各有不同2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．()(2)某商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若九折出售，則每件還能獲利．()(3)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增長速度．()(4)在選擇函數(shù)模型解決實際問題時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型．()教材改編題1．當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中增長速度最快的是()A．y＝5x B．y＝log5xC．y＝x5 D．y＝5x2．在某個物理實驗中，測量得到變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00則對x，y最適合的函數(shù)模型是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x3．某超市的某種商品的日利潤y(單位：元)與該商品的當(dāng)日售價x(單位：元)之間的關(guān)系為y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210，那么該商品的日利潤最大時，當(dāng)日售價為________元．題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程例1(1)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度．藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中，不正確的是()A．首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用B．每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產(chǎn)生藥物中毒C．每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D．首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)根據(jù)一組試驗數(shù)據(jù)畫出的散點圖如圖所示．現(xiàn)有如下5個函數(shù)模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝log2x；⑤y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1.84.請從中選擇一個函數(shù)模型，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選________．(填序號)聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象．(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案．跟蹤訓(xùn)練1如圖，點P在邊長為1的正方形ABCD的邊上運動，M是CD的中點，則當(dāng)P沿A－B－C－M運動時，點P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y的函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是下圖中的()題型二已知函數(shù)模型的實際問題例2(1)(2021·全國甲卷)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5＋lgV．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(eq\r(10,10)≈1.259)()A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·莆田質(zhì)檢)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關(guān)系為P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常數(shù)．如果2h后還剩下90%的污染物，5h后還剩下30%的污染物，那么8h后還剩下______%的污染物．聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗．跟蹤訓(xùn)練2(1)在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù)．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為R0,1個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N個人中有V個人接種過疫苗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,N)稱為接種率))，那么1個感染者傳染人數(shù)為eq\f(R0,N)(N－V)．已知某種傳染病在某地的基本傳染數(shù)R0＝4，為了使1個感染者傳染人數(shù)不超過1，則該地疫苗的接種率最小為()A．45%B．55%C．65%D．75%(2)牛頓曾經(jīng)提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t為時間，單位：分鐘，θ0為環(huán)境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度)，假設(shè)一杯開水溫度θ1＝100℃，環(huán)境溫度θ0＝20℃，常數(shù)k＝0.2，大約經(jīng)過_______分鐘水溫降為40℃(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7)()A．10B．9C．8D．7題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題例3智能輔助駕駛已開始得到初步應(yīng)用，其自動剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與障礙物之間的距離，并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時間，當(dāng)此距離等于報警距離時就開始報警，等于危險距離時就自動剎車．若將報警時間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時間t0與人的反應(yīng)時間t1，系統(tǒng)反應(yīng)時間t2，制動時間t3，相應(yīng)的距離分別為d0，d1，d2，d3，如圖所示．當(dāng)車速為v(米/秒)，且0<v≤33.3時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表給出的數(shù)據(jù)(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，且1≤k≤2)．階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動時間t0t1＝0.8秒t2＝0.2秒t3距離d0＝10米d1d2d3＝eq\f(v2,20k)米(1)請寫出報警距離d(米)與車速v(米/秒)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)k＝2時，當(dāng)汽車達(dá)到報警距離時，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間；(2)若要求汽車在k＝1的路面上行駛時報警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少以下(單位：米/秒)?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型；(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進行邏輯推理或數(shù)學(xué)運算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；(3)評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解．跟蹤訓(xùn)練3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示)．現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)()A．4B．5C．6D．7(2)網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時期內(nèi)成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式．根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x(單位：萬件)與投入實體店體驗安裝的費用t(單位：萬元)之間滿足函數(shù)關(guān)系式x＝3－eq\f(2,t＋1).已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件的進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司的最大月利潤是________萬元．§2.12函數(shù)模型的應(yīng)用考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用．知識梳理1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值的變化而各有不同2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(×)(2)某商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若九折出售，則每件還能獲利．(×)(3)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增長速度．(√)(4)在選擇函數(shù)模型解決實際問題時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型．(×)教材改編題1．當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中增長速度最快的是()A．y＝5x B．y＝log5xC．y＝x5 D．y＝5x答案D解析結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知，幾種函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)的增長速度最快．2．在某個物理實驗中，測量得到變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00則對x，y最適合的函數(shù)模型是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x答案D解析根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意，故選D.3．某超市的某種商品的日利潤y(單位：元)與該商品的當(dāng)日售價x(單位：元)之間的關(guān)系為y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210，那么該商品的日利潤最大時，當(dāng)日售價為________元．答案150解析因為y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210＝－eq\f(1,25)(x－150)2＋690，所以當(dāng)x＝150時，y取最大值，即該商品的利潤最大時，當(dāng)日售價為150元.題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程例1(1)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度．藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中，不正確的是()A．首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用B．每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產(chǎn)生藥物中毒C．每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D．首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒答案D解析從圖象中可以看出，首次服用該藥物1單位約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時后的血藥濃度達(dá)到最大值，由圖象可知，當(dāng)兩次服藥間隔小于2小時時，一定會產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時時，血藥濃度等于最低有效濃度，此時再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；第一次服用該藥物1單位4小時后與第2次服用該藥物1單位1小時后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會發(fā)生藥物中毒，D錯誤．(2)根據(jù)一組試驗數(shù)據(jù)畫出的散點圖如圖所示．現(xiàn)有如下5個函數(shù)模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝log2x；⑤y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1.84.請從中選擇一個函數(shù)模型，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選________．(填序號)答案④解析由圖可知上述點大體分布在函數(shù)y＝log2x的圖象上，故選擇y＝log2x可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律．思維升華判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象．(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案．跟蹤訓(xùn)練1如圖，點P在邊長為1的正方形ABCD的邊上運動，M是CD的中點，則當(dāng)P沿A－B－C－M運動時，點P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y的函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是下圖中的()答案A解析當(dāng)點P在AB上時，y＝eq\f(1,2)×x×1＝eq\f(1,2)x,0≤x≤1；當(dāng)點P在BC上時，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)，1<x≤2；當(dāng)點P在CM上時，y＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－x))×1＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,4)，2<x≤eq\f(5,2).由函數(shù)可知，有三段直線，又當(dāng)點P在BC上時是減函數(shù)．題型二已知函數(shù)模型的實際問題例2(1)(2021·全國甲卷)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5＋lgV．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(eq\r(10,10)≈1.259)()A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6答案C解析4.9＝5＋lgV?lgV＝－0.1?V＝＝eq\f(1,\r(10,10))≈eq\f(1,1.259)≈0.8，所以該同學(xué)視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.(2)(2022·莆田質(zhì)檢)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關(guān)系為P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常數(shù)．如果2h后還剩下90%的污染物，5h后還剩下30%的污染物，那么8h后還剩下________%的污染物．答案10解析設(shè)初始污染物數(shù)量為P′，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(P0·e－2k＝\f(9,10)P′，,P0·e－5k＝\f(3,10)P′，))兩式相除得e3k＝3.所以8h后P＝P0·e－8k＝e－3k·P0·e－5k＝eq\f(1,3)·eq\f(3,10)P′＝eq\f(1,10)P′，即還剩下eq\f(1,10)×100%＝10%的污染物．思維升華已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗．跟蹤訓(xùn)練2(1)在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù)．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為R0,1個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N個人中有V個人接種過疫苗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,N)稱為接種率))，那么1個感染者傳染人數(shù)為eq\f(R0,N)(N－V)．已知某種傳染病在某地的基本傳染數(shù)R0＝4，為了使1個感染者傳染人數(shù)不超過1，則該地疫苗的接種率最小為()A．45%B．55%C．65%D．75%答案D解析為了使1個感染者傳染人數(shù)不超過1，只需eq\f(R0,N)(N－V)≤1，即R0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(V,N)))≤1，因為R0＝4，故1－eq\f(V,N)≤eq\f(1,4)，可得eq\f(V,N)≥eq\f(3,4).(2)牛頓曾經(jīng)提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t為時間，單位：分鐘，θ0為環(huán)境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度)，假設(shè)一杯開水溫度θ1＝100℃，環(huán)境溫度θ0＝20℃，常數(shù)k＝0.2，大約經(jīng)過________分鐘水溫降為40℃(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7)()A．10B．9C．8D．7答案D解析依題意知，40＝20＋(100－20)·e－0.2t，則e－0.2t＝eq\f(1,4)，－0.2t＝ln

eq\f(1,4)＝－2ln2，所以t＝eq\f(2ln2,0.2)＝10ln2≈7(分鐘)．題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題例3智能輔助駕駛已開始得到初步應(yīng)用，其自動剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與障礙物之間的距離，并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時間，當(dāng)此距離等于報警距離時就開始報警，等于危險距離時就自動剎車．若將報警時間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時間t0與人的反應(yīng)時間t1，系統(tǒng)反應(yīng)時間t2，制動時間t3，相應(yīng)的距離分別為d0，d1，d2，d3，如圖所示．當(dāng)車速為v(米/秒)，且0<v≤33.3時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表給出的數(shù)據(jù)(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，且1≤k≤2)．階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動時間t0t1＝0.8秒t2＝0.2秒t3距離d0＝10米d1d2d3＝eq\f(v2,20k)米(1)請寫出報警距離d(米)與車速v(米/秒)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)k＝2時，當(dāng)汽車達(dá)到報警距離時，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間；(2)若要求汽車在k＝1的路面上行駛時報警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少以下(單位：米/秒)?解(1)由題意知，d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3＝10＋0.8v＋0.2v＋eq\f(v2,20k)，即d(v)＝10＋v＋eq\f(v2,20k)，當(dāng)k＝2時，d(v)＝10＋v＋eq\f(v2,40)，t(v)＝eq\f(dv,v)＝eq\f(10,v)＋eq\f(v,40)＋1≥2×eq\f(1,2)＋1＝2，當(dāng)且僅當(dāng)v＝20時等號成立，0<v≤33.3，即以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間為2秒．(2)當(dāng)k＝1時，d(v)<50，即10＋v＋eq\f(v2,20)<50，即v2＋20v－800<0，－40<v<20，又0<v≤33.3，故0<v<20，所以汽車的行駛速度應(yīng)限制在20米/秒以下．思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型；(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進行邏輯推理或數(shù)學(xué)運算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；(3)評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解．跟蹤訓(xùn)練3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示)．現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)()A．4B．5C．6D．7答案C解析設(shè)石片第n次“打水漂”時的速率為vn，則vn＝100×0.9n－1.由100×0.9n－1<60，得0.9n－1<0.6，則(n－1)ln0.9<ln0.6，即n－1>eq\f(ln0.6,ln0.9)≈eq\f(－0.511,－0.105)≈4.87，則n>5.87，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.(2)網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時期內(nèi)成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式．根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x(單位：萬件)與投入實體店體驗安裝的費用t(單位：萬元)之間滿足函數(shù)關(guān)系式x＝3－eq\f(2,t＋1).已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件的進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司的最大月利潤是________萬元．答案37.5解析由題意，產(chǎn)品的月銷量x(單位：萬件)與投入實體店體驗安裝的費用t(單位：萬元)之間滿足x＝3－eq\f(2,t＋1)，即t＝eq\f(2,3－x)－1(1<x<3)，所以月利潤為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32×1.5＋\f(t,2x)))x－32x－3－t＝16x－eq\f(t,2)－3＝16x－eq\f(1,3－x)－eq\f(5,2)＝45.5－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(163－x＋\f(1,3－x)))≤45.5－2eq\r(16)＝37.5，當(dāng)且僅當(dāng)16(3－x)＝eq\f(1,3－x)，即x＝eq\f(11,4)時取等號，則最大月利潤為37.5萬元．課時精練1．有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是()A．y＝2x＋1－1 B．y＝x3C．y＝2log2x D．y＝x2－1答案D解析將各點(x，y)分別代入各函數(shù)可知，最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是y＝x2－1.2．某校實行憑證入校，凡是不帶出入證者一律不準(zhǔn)進校園，某學(xué)生早上上學(xué)騎自行車從家里出發(fā)，離開家不久，發(fā)現(xiàn)出入證忘在家里了，于是回家取出入證，然后乘坐出租車以更快的速度趕往學(xué)校，令x(單位：分鐘)表示離開家的時間，y(單位：千米)表示離開家的距離，其中等待紅綠燈及在家取出入證的時間忽略不計，下列圖象中與上述事件吻合最好的是()答案C解析中途回家取證件，因此中間有零點，排除A，B，第二次離開家速度更大，直線的斜率更大，故只有C滿足題意．3．農(nóng)業(yè)農(nóng)村部發(fā)布2022年農(nóng)區(qū)蝗蟲防控技術(shù)方案．為了做好蝗蟲防控工作，完善應(yīng)急預(yù)案演練，專家假設(shè)蝗蟲的日增長率為6%，最初有N0只，則能達(dá)到最初的1200倍大約經(jīng)過(參考數(shù)據(jù)：ln1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)()A．122天B．124天C．130天D．136天答案A解析由題意可知，蝗蟲最初有N0只且日增長率為6%.設(shè)經(jīng)過n天后蝗蟲數(shù)量達(dá)到原來的1200倍，則eq\f(N01＋6%n,N0)＝1200，∴1.06n＝1200，∴n＝log1.061200＝eq\f(ln1200,ln1.06)≈121.614，∵n∈N*，∴大約經(jīng)過122天能達(dá)到最初的1200倍．4．“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉．聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強m與標(biāo)準(zhǔn)聲調(diào)m0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m0約為10－12，單位：\f(W,m2)))之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作L(貝爾)，即L＝lg

eq\f(m,m0)，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝．已知某處“喊泉”的聲音響度y(分貝)與噴出的泉水高度x(米)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝2x，現(xiàn)知A同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為70米，若A同學(xué)大喝一聲的聲強大約相當(dāng)于100個B同學(xué)同時大喝一聲的聲強，則B同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為()A．0.7米B．7米C．50米D．60米答案D解析設(shè)B同學(xué)的聲強為m，噴出的泉水高度為x，則A同學(xué)的聲強為100m，噴出的泉水高度為70，10lg

eq\f(m,m0)＝2x?lgm－lgm0＝0.2x,10lg

eq\f(100m,m0)＝2×70?2＋lgm－lgm0＝14，相減得2＝14－0.2x?0.2x＝12?x＝60.5．大氣壓強p＝eq\f(壓力,受力面積)，它的單位是“帕斯卡”(Pa,1Pa＝1N/m2)，大氣壓強p(Pa)隨海拔高度h(m)的變化規(guī)律是p＝p0e－kh(k＝0.000126m－1)，p0是海平面大氣壓強．已知在某高山A1，A2兩處測得的大氣壓強分別為p1，p2，eq\f(p1,p2)＝eq\f(1,3)，那么A1，A2兩處的海拔高度的差約為(參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.099)()A．660m B．2340mC．6600m D．8722m答案D解析設(shè)A1，A2兩處的海拔高度分別為h1，h2，則eq\f(p1,p2)＝eq\f(1,3)＝，∴0.000126(h2－h(huán)1)＝lneq\f(1,3)＝－ln3≈－1.099，得h2－h(huán)1＝－eq\f(1.099,0.000126)≈－8722(m)．∴A1，A2兩處的海拔高度的差約為8722m.6．(2022·淮南模擬)我國在2020年9月22日的聯(lián)合國大會上提出，二氧化碳排放力爭于2030年前實現(xiàn)碳達(dá)峰，爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和．為了響應(yīng)黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該技術(shù)處理總成本y(單位：萬元)與處理量x(單位：噸)(x∈[120,500])之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144，,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500]，))當(dāng)每噸的平均處理成本最少時，處理量x為()A．120噸 B．200噸C．240噸 D．400噸答案D解析由題意得，二氧化碳每噸的平均處理成本為S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144，,\f(1,2)x－200＋\f(80000,x)，x∈[144，500]，))當(dāng)x∈[120,144)時，S＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040＝eq\f(1,3)(x－120)2＋240，當(dāng)x＝120時，S取得最小值240；當(dāng)x∈[144,500]時，S＝eq\f(1,2)x＋eq\f(80000,x)－200≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400時取等號，此時S取得最小值200，綜上，當(dāng)每噸的平均處理成本最少時，處理量為400噸．7．“百日沖刺”是各個學(xué)校針對高三學(xué)生進行的高考前的激情教育，它能在短時間內(nèi)最大限度地激發(fā)一個人的潛能，使成績在原來的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學(xué)生來講，其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大．現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績在中等偏下的學(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化，構(gòu)造了一個經(jīng)過時間t(30≤t≤100)(單位：天)，增加總分?jǐn)?shù)f(t)(單位：分)的函數(shù)模型：f(t)＝eq\f(kP,1＋lgt＋1)，k為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，P為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡?，且f(60)＝eq\f(1,6)P.現(xiàn)有某學(xué)生在高考前100天的最后一次?？伎偡譃?00分，依據(jù)此模型估計此學(xué)生在高考中可能取得的總分約為________．(保留到個位)(lg61≈1.79)答案462解析由題意得，f(60)＝eq\f(kP,1＋lg61)≈eq\f(kP,2.79)＝eq\f(1,6)P，∴k≈eq\f(2.79,6)＝0.465，∴f(100)＝eq\f(0.465×400,1＋lg101)＝eq\f(186,1＋lg100＋lg1.01)≈eq\f(186,3)＝62，∴該學(xué)生在高考中可能取得的總分約為400＋62＝462.8．里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍．答案610000解析M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.設(shè)9級地震的最大振幅和5級地震的最大振幅分別為A1，A2，則9＝lgA1－lgA0＝lg

eq\f(A1,A0)，則eq\f(A1,A0)＝109，5＝lgA2－lgA0＝lg

eq\f(A2,A0)，則eq\f(A2,A0)＝105，所以eq\f(A1,A2)＝104.即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10000倍．9．“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)．當(dāng)x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當(dāng)4<x≤20時，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年．(1)當(dāng)0<x≤20時，求v關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達(dá)到最大？并求出最大值．解(1)由題意得當(dāng)，0<x≤4時，v＝2；當(dāng)4<x≤20時，設(shè)v＝ax＋b(a≠0)，顯然v＝ax＋b在(4,20]內(nèi)單調(diào)遞減，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2).故函數(shù)v＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，x∈N*，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20，x∈N*.))(2)設(shè)年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，x∈N*，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20，x∈N*，))當(dāng)0<x≤4時，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；當(dāng)4<x≤20時，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以當(dāng)0<x≤20時，f(x)的最大值為12.5.即當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值為12.5千克/立方米．10．(2023·保定模擬)某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮(其覆蓋面積為k)，這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為24m2，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為36m2，鳳眼蓮的覆蓋面積y(單位：m2)與月份x(單位：月)的關(guān)系有兩個函數(shù)模型y＝kax(k>0，a>1)與y＝＋k(p>0，k>0)可供選擇．(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；(2)求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份．(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)解(1)由題設(shè)可知，兩個函數(shù)y＝kax(k>0，a>1)，y＝＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均為增函數(shù)，隨著x的增大，函數(shù)y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越來越快，而函數(shù)y＝＋k(p>0，k>0)的值增加得越來越慢，由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數(shù)模型y＝kax(k>0，a>1)滿足要求．由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ka2＝24，,ka3＝36，))解得k＝eq\f(32,3)，a＝eq\f(3,2)，故該函數(shù)模型的解析式為y＝eq\f(32,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x(x∈N)．(2)當(dāng)x＝0時，y＝eq\f(32,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0＝eq\f(32,3)，故元旦放入鳳眼蓮的面積為eq\f(32,3)m2，由eq\f(32,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>10×eq\f(32,3)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>10，故x>＝eq\f(lg10,lg

\f(3,2))＝eq\f(1,lg3－lg2)，由于eq\f(1,lg3－lg2)≈eq\f(1,0.4771－0.3010)≈5.7，又x∈N，故x≥6.因此，鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是6月份．11．生物體死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量P會按確定的比率衰減(稱為衰減率)，P與死亡年數(shù)