備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)9.4拋物線(精講)(原卷版+解析)

9.4拋物線（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一拋物線定義及應(yīng)用【例1-1】（2022·廣西梧州）已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則（

）A．4 B．3 C． D．【例1-2】（江蘇省百校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．3

B．2

C．1

D．【一隅三反】1．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，P為拋物線上的任意一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．3．（2021·江西南昌·高三階段練習(xí)）若拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，則=（

）A． B． C．6 D．考點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系【例2-1】（2022·廣東）已知拋物線的方程為，若過點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例2-2】（2022·肥城市）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)，若，則直線的方程為___________.【一隅三反】1．（2022·云南）過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若，則這樣的直線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．2（2022·廣東佛山·高三階段練習(xí)）已知圓的方程為，拋物線的方程為，則兩曲線的公共切線的其中一條方程為_____________．3．（2022·廣東高三開學(xué)考試）過點(diǎn)的兩條直線與拋物線C：分別相切于A，B兩點(diǎn)，則三角形PAB的面積為（）A． B．3 C．27 D．考點(diǎn)三弦長【例3-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．8 C．12 D．【例3-2】（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，且A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【一隅三反】1．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則______．2．（2022·山西·太原市外國語學(xué)校高三開學(xué)考試）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．43（2021·福建高三月考）過拋物線：的焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______．考點(diǎn)四綜合運(yùn)用【例4】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．【一隅三反】1．（2022·廣東江門）（多選）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，若，且的面積為，則（

）A． B．是等邊三角形C．點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3 D．拋物線的方程為2．（2022·遼寧朝陽）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與交于兩點(diǎn)，分別為在上的射影，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的傾斜角為，則B．若，則直線的斜率為C．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三點(diǎn)共線D．3．（2022·海南·瓊海市嘉積第二中學(xué)）（多選）已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為，與拋物線交于兩點(diǎn)（在第一象限），以為直徑的圓分別與軸相切于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，則D．若為拋物線上的點(diǎn)，則9.4拋物線（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一拋物線定義及應(yīng)用【例1-1】（2022·廣西梧州）已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則（

）A．4 B．3 C． D．【答案】D【解析】由題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，可得，解得故選：D.【例1-2】（江蘇省百校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次考試數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．3

B．2

C．1

D．【答案】A【解析】設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，，∴，連接，則，又，所以是正三角形，∴，準(zhǔn)線的方程是，∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為3.故選：A【一隅三反】1．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，過焦點(diǎn)作直線的垂線，如下圖所示，此時(shí)最小，為點(diǎn)到直線的距離.，則．故選：B．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，P為拋物線上的任意一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【解析】因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得．記拋物線的準(zhǔn)線為l，作于，作于，則由拋物線的定義得，當(dāng)且僅當(dāng)P為BA與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號成立．故選：A.3．（2021·江西南昌·高三階段練習(xí)）若拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，則=（

）A． B． C．6 D．【答案】D【解析】由題可知拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，即，所以，∴，所以.故選：D.考點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系【例2-1】（2022·廣東）已知拋物線的方程為，若過點(diǎn)的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，消去并整理，得．當(dāng)時(shí)（當(dāng)直線斜率存在時(shí)，需要討論斜率是否為），顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，，解得或．綜上，，故選：A．【例2-2】（2022·肥城市）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)，若，則直線的方程為___________.【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€方程為，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.設(shè)，直線方程為，代入拋物線方程消去，得，所以.又過的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點(diǎn)，設(shè)，可得，因?yàn)?，所以，得到，所?因?yàn)?，所以，解之得，所以，直線方程為，即.故答案為：.【一隅三反】1．（2022·云南）過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若，則這樣的直線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.所以直線不與軸重合，易知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，則，所以，，解得.故滿足條件的直線有且只有一條．故選：B．2（2022·廣東佛山·高三階段練習(xí)）已知圓的方程為，拋物線的方程為，則兩曲線的公共切線的其中一條方程為_____________．【答案】【解析】設(shè)切線方程為：，分別聯(lián)立方程得到和，得和，得和，解得和，解得或，所以，兩曲線的公共切線的其中一條方程可為：故答案為：3．（2022·廣東高三開學(xué)考試）過點(diǎn)的兩條直線與拋物線C：分別相切于A，B兩點(diǎn)，則三角形PAB的面積為（）A． B．3 C．27 D．【答案】A【解析】拋物線，即，故，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，整理得，同理故直線的方程為，由得，故，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，故三角形的面積為故選：.考點(diǎn)三弦長【例3-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．8 C．12 D．【答案】B【解析】依題意可知拋物線焦點(diǎn)為，直線AB的方程為，代入拋物線方程得，可得，根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長為．故選：B．【例3-2】（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，且A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】設(shè)，由A，B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，可得，所以．故選：C．【一隅三反】1．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則______．【答案】【解析】如圖，分別過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)，易得，則，由拋物線的性質(zhì)可得，，所以，，解得，故．故答案為：2．（2022·山西·太原市外國語學(xué)校高三開學(xué)考試）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由題意知的方程為，代入的方程，得，設(shè)，則；因?yàn)椋?，所?2，整理得，所以，結(jié)合，解得.故選：D.3（2021·福建高三月考）過拋物線：的焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______．【答案】【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，分別過，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，則有．過的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則為直角梯形中位線，則，即，解得.所以的橫坐標(biāo)為．故答案為：．考點(diǎn)四綜合運(yùn)用【例4】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．【答案】ACD【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點(diǎn)，故B錯(cuò)誤則，．又是的中點(diǎn)，則，所以，即，所以直線的方程為．故C正確由，得．故D正確故選：ACD．【一隅三反】1．（2022·廣東江門）（多選）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，若，且的面積為，則（

）A． B．是等邊三角形C．點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3 D．拋物線的方程為【答案】BC【解析】根據(jù)題意，作出示意圖,因?yàn)橐訤為圓心，|FA|為半徑的圓交于B，D兩點(diǎn)，∠ABD＝90°，由拋物線的定義可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以是等邊三角形，故B正確；所以∠FBD＝30°.因?yàn)榈拿娣e為|BF|2＝9，所以|BF|＝6.故A錯(cuò)誤；又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin30°＝3＝p，故C正確；則該拋物線的方程為y2＝6x.故D錯(cuò)誤.故選：BC.2．（2022·遼寧朝陽）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與交于兩點(diǎn)，分別為在上的射影，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的傾斜角為，則B．若，則直線的斜率為C．若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三點(diǎn)共線D．【答案】ACD【解析】若直線的傾斜角為，則，令，由消可得，所以，故正確；設(shè)1，令，由，消可得，，所以，所以，所以或所以.即，故錯(cuò)誤；設(shè)，令，，消可得，所以，即三點(diǎn)共線，故C正確；設(shè)，令，由消可得，，所以，即，故正確.故選：ACD.3．（2022·海南·瓊海市嘉積第二中學(xué)）（多選）已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為，與拋物線交于兩點(diǎn)（在第一象限），以為直徑的圓分別與軸相切于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，則D．若為拋物線上的點(diǎn)，則【答案】ABC【解析】設(shè)直線PQ的方程為：y（x﹣2），與