2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)南匯中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)南匯中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共3小題，每小題3分，共9分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=1+i(i是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知l是平面α的一條斜線，直線m?α，則(

)A.存在唯一的一條直線m，使得l⊥m B.存在無(wú)限多條直線m，使得l⊥m

C.存在唯一的一條直線m，使得l/?/m D.存在無(wú)限多條直線m，使得l/?/m3.折紙發(fā)源于中國(guó).19世紀(jì)，折紙傳入歐洲，與自然科學(xué)結(jié)合在一起成為建筑學(xué)院的教具，并發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支.我國(guó)傳統(tǒng)的一種手工折紙風(fēng)車(chē)(如圖1)是從正方形紙片的一個(gè)直角頂點(diǎn)開(kāi)始，沿對(duì)角線部分剪開(kāi)成兩個(gè)角，將其中一個(gè)角折疊使其頂點(diǎn)仍落在該對(duì)角線上，同樣操作其余三個(gè)直角制作而成的，其平面圖如圖2，則下列結(jié)論成立的個(gè)數(shù)為(

)

①EH//FC

②AH?BE=0A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題：本題共1小題，共3分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。4.在空間，已知直線l及不在l上兩個(gè)不重合的點(diǎn)A、B，過(guò)直線l作平面α，使得點(diǎn)A、B到平面α的距離之比為1：2，則這樣的平面α不可能有(

)A.無(wú)數(shù)個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)三、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。5.對(duì)于復(fù)數(shù)z=1+2i(i是虛數(shù)單位)，Imz=______．6.二面角的取值范圍是______.(用區(qū)間表示)7.化簡(jiǎn)：AB+BC?AD8.已知α∈(π2,π)，sinα=45，則9.已知向量?a=(3,1)，b=(t,2)，若a/?/b，則實(shí)數(shù)t=10.若?2+i(i為虛數(shù)單位)為方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一個(gè)根，則n=______．11.如圖△O′B′C′是水平放置的△OAB的直觀圖，其中O′A′=3，O′B′=2，∠A′O′B′=45°，則△OAB的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．

12.在如圖所示的正方體ABCD?A1B1C1D1的13.若平面內(nèi)不共線的四點(diǎn)O，A，B，C滿(mǎn)足OB=13OA+214.在△ABC中，已知a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且∠A=60°，若S△ABC=332，且15.點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PC=6，底面△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且BC=6，AC=8，點(diǎn)P到△ABC三邊的距離相等，且點(diǎn)P在平面ABC上的射影落在△ABC內(nèi)，則直線CP與平面ABC所成角的大小為_(kāi)_____．16.在平面內(nèi)，若有|a|=2，|b|=a?b四、解答題：本題共5小題，共52分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題8分)

已知長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是BB1和BC的中點(diǎn)．

(1)畫(huà)出直線MN與平面A1B1C1D18.(本小題8分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(?35,45)在單位圓上，∠AOB=θ(0<θ<π)．

(1)若四邊形OADB是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)A，B，P三點(diǎn)共線，且19.(本小題10分)

已知向量a?=(sinx,1)，b?=(1,sin(π3?x))，f(x)=a??b?．

(1)求函數(shù)f(x)20.(本小題12分)

《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑.在如圖所示的空間幾何體中，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)P為四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PD⊥平面ABCD，PD=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，連接DE、BD、BE．

(1)證明：DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)出結(jié)論)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若PD=CD=22，BC=2，點(diǎn)F在BD上運(yùn)動(dòng)，試求△EFC21.(本小題14分)

通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示向量.類(lèi)似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)對(duì)(z1,z2)(z1,z2∈C)看作一個(gè)向量，記a=(z1,z2)，則稱(chēng)a為復(fù)向量.類(lèi)比平面向量的相關(guān)運(yùn)算法則，對(duì)于a=(z1,z2)，b=(z3,z4)，z1、z2、z3、z4、λ∈C，我們有如下運(yùn)算法則：

①a±b=(z1±z3,z2±z4)；

②λa=(λz1,λz2)；

參考答案1.D

2.B

3.C

4.BD

5.2

6.[0,π]

7.DC

8.?49.6

10.5

11.12

12.4

13.2

14.715.arccos16.217.解：(1)圖形如下，

(2)連接B1C，

則B1C//MN，

又DC⊥平面BCC1B1，

所以DC⊥B1C

所以∠DB1C是異面直線B1D與MN所成角．

又B1B=1518.解：(1)如圖：

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b)，因?yàn)樗倪呅蜲ADB是平行四邊形，所以BD=OA，

所以(a+35,b?45)=(1,0)?a=25b=45，

所以D點(diǎn)坐標(biāo)為(25,45)；

(2)因?yàn)辄c(diǎn)A，B，P三點(diǎn)共線，且AB=2AP，

所以AB=2AP或AB=?2AP，

①當(dāng)AB=2AP時(shí)，OP19.解：(1)因?yàn)閒(x)=a?b=sinx+sin(π3?x)=12sinx+32cosx=sin(x+π3)，

所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π；

因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間為[?π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，

所以?π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，

解得?5π6+2kπ≤x≤π620.(1)證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，PD=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，

可得DE⊥PC，而B(niǎo)C?平面ABCD，

所以PD⊥BC，

又因?yàn)锽C⊥CD，PD∩CD=D，

所以BC⊥平面PCD，

所以BC⊥DE，

又因?yàn)锽C∩PC=C，

所以DE⊥平面PBC；

(2)解：因?yàn)镻D=CD=22，BC=2，點(diǎn)F在BD上運(yùn)動(dòng)，

可得CE=12PC=12PD2+CD2=2，為定值，且DE⊥CE，

當(dāng)FE⊥CE時(shí)，則EF最小，此時(shí)△EFC的面積最小，

即F與D重合時(shí)，EF⊥CE21.解：(1)因?yàn)閍=(i,1+i)，b=(2,2?i)，

所以a+b=(2+i,3)，

a?b=2i+(1+i)(2+i)=1+5i．

(2)設(shè)a=(z1,z2),b=(z3,z4),c=(z5,z6