2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第四章4.8　正弦定理、余弦定理(學(xué)生版+解析)

§4.8正弦定理、余弦定理考試要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．知識梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝________＝________＝2Ra2＝________________；b2＝________________；c2＝________________變形(1)a＝2RsinA，b＝________，c＝________；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝________，(3)a∶b∶c＝________________cosA＝____________；cosB＝____________；cosC＝____________2.三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝________________＝______________＝________________；(3)S＝________________(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．常用結(jié)論在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比．()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B.()(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素．()(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形．()教材改編題1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC等于()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)2．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為4，a＝2，B＝30°，則c等于()A．8 B．4C.eq\f(8\r(3),3) D.eq\f(4\r(3),3)3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，則C＝________.題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(12分)(2022·新高考全國Ⅰ)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sin2B,1＋cos2B).(1)若C＝eq\f(2π,3)，求B；[切入點：二倍角公式化簡](2)求eq\f(a2＋b2,c2)的最小值．[關(guān)鍵點：找到角B與角C，A的關(guān)系]思維升華解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．跟蹤訓(xùn)練1(2022·全國乙卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)證明：2a2＝b2＋c2；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若a＝5，cosA＝eq\f(25,31)，求△ABC的周長．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用命題點1三角形的形狀判斷例2(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形(2)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究將本例(2)中的條件“eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)”改為“eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，試判斷△ABC的形狀．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．命題點2三角形的面積例3(2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知4a＝eq\r(5)c，cosC＝eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)若b＝11，求△ABC的面積．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化．命題點3與平面幾何有關(guān)的問題例4(2023·西安模擬)如圖，已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b(1＋cosC)＝eq\r(3)csin∠ABC且△ABC的外接圓面積為eq\f(49π,3).(1)求邊c的長；(2)若a＝5，延長CB至M，使得cos∠AMC＝eq\f(\r(21),7)，求BM.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計等問題時，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數(shù)思想．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是______．(填序號)①若acosA＝bcosB，則△ABC一定是等腰三角形；②若bcosC＋ccosB＝b，則△ABC是等腰三角形；③若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC一定是等邊三角形；④若B＝60°，b2＝ac，則△ABC是直角三角形．(2)在①b2＋eq\r(2)ac＝a2＋c2；②cosB＝bcosA；③sinB＋cosB＝eq\r(2)這三個條件中任選一個填在下面的橫線中，并解決該問題．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，________，A＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(2)，求△ABC的面積．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(3)(2023·成都模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，在①c(sinA－sinC)＝(a－b)(sinA＋sinB)；②2bcosA＋a＝2c；③eq\f(2\r(3),3)acsinB＝a2＋c2－b2三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．(ⅰ)若________，求角B的大??；(ⅱ)求sinA＋sinC的取值范圍；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(ⅲ)如圖所示，當(dāng)sinA＋sinC取得最大值時，若在△ABC所在平面內(nèi)取一點D(D與B在AC兩側(cè))，使得線段DC＝2，DA＝1，求△BCD面積的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§4.8正弦定理、余弦定理考試要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．知識梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．常用結(jié)論在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比．(×)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B.(√)(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素．(×)(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形．(×)教材改編題1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)答案C解析在△ABC中，設(shè)AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋25－49,30)＝－eq\f(1,2)，因為∠BAC為△ABC的內(nèi)角，所以∠BAC＝eq\f(2π,3).2．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為4，a＝2，B＝30°，則c等于()A．8 B．4C.eq\f(8\r(3),3) D.eq\f(4\r(3),3)答案A解析由S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2c×eq\f(1,2)＝4，得c＝8.3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，則C＝.答案45°或135°解析由正弦定理得sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(2sin30°,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，因為c>b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°.題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(12分)(2022·新高考全國Ⅰ)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sin2B,1＋cos2B).(1)若C＝eq\f(2π,3)，求B；[切入點：二倍角公式化簡](2)求eq\f(a2＋b2,c2)的最小值．[關(guān)鍵點：找到角B與角C，A的關(guān)系]思維升華解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．跟蹤訓(xùn)練1(2022·全國乙卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)證明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝eq\f(25,31)，求△ABC的周長．(1)證明方法一由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，結(jié)合正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，可得accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＋abcosC＝2bccosA(*)．由余弦定理可得accosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2)，abcosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2)，2bccosA＝b2＋c2－a2，將上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.方法二因為A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解由(1)及a2＝b2＋c2－2bccosA得，a2＝2bccosA，所以2bc＝31.因為b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周長l＝a＋b＋c＝14.題型二正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用命題點1三角形的形狀判斷例2(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形答案D解析因為c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，所以A＝eq\f(π,2)或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．(2)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案A解析由cosB＝1－2sin2eq\f(B,2)，得sin2eq\f(B,2)＝eq\f(1－cosB,2)，所以eq\f(c－a,2c)＝eq\f(1－cosB,2)，即cosB＝eq\f(a,c).方法一由余弦定理得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a,c)，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC為直角三角形，但無法判斷兩直角邊是否相等．方法二由正弦定理得cosB＝eq\f(sinA,sinC)，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C為△ABC的內(nèi)角，所以C＝eq\f(π,2)，所以△ABC為直角三角形，但無法判斷兩直角邊是否相等．延伸探究將本例(2)中的條件“eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)”改為“eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，試判斷△ABC的形狀．解因為eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，所以由正弦定理得eq\f(a,b)＝eq\f(a,c)，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).因為A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以△ABC是等邊三角形．思維升華判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．命題點2三角形的面積例3(2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知4a＝eq\r(5)c，cosC＝eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)若b＝11，求△ABC的面積．解(1)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得sinA＝eq\f(a·sinC,c).因為cosC＝eq\f(3,5)，所以sinC＝eq\f(4,5)，又eq\f(a,c)＝eq\f(\r(5),4)，所以sinA＝eq\f(\r(5)sinC,4)＝eq\f(\r(5),5).(2)由(1)知sinA＝eq\f(\r(5),5)，因為a＝eq\f(\r(5)c,4)<c，所以0<A<eq\f(π,2)，所以cosA＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(11\r(5),25).因為eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(11,\f(11\r(5),25))＝eq\f(c,\f(4,5))，所以c＝4eq\r(5)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×11×4eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝22.思維升華三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化．命題點3與平面幾何有關(guān)的問題例4(2023·西安模擬)如圖，已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b(1＋cosC)＝eq\r(3)csin∠ABC且△ABC的外接圓面積為eq\f(49π,3).(1)求邊c的長；(2)若a＝5，延長CB至M，使得cos∠AMC＝eq\f(\r(21),7)，求BM.解(1)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由題意πR2＝eq\f(49π,3)，解得R＝eq\f(7\r(3),3).由題意及正弦定理可得sin∠ABC(1＋cosC)＝eq\r(3)sinCsin∠ABC，因為sin∠ABC≠0，所以1＋cosC＝eq\r(3)sinC，即2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,6)))＝1，因為0<C<π，所以C－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，故C－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即C＝eq\f(π,3).故c＝2RsinC＝2×eq\f(7\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝7.(2)因為a＝5，c＝7，C＝eq\f(π,3)，故cosC＝eq\f(1,2)＝eq\f(25＋b2－49,2×5×b)，得b2－5b－24＝0，解得b＝8(b＝－3舍去)．在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ABC＝eq\f(52＋72－82,2×5×7)＝eq\f(1,7)，所以sin∠ABC＝eq\f(4\r(3),7).由cos∠AMC＝eq\f(\r(21),7)得sin∠AMC＝eq\f(2\r(7),7).故sin∠BAM＝sin(∠ABC－∠AMC)＝sin∠ABCcos∠AMC－cos∠ABCsin∠AMC＝eq\f(10\r(7),49)，在△ABM中，由正弦定理可得eq\f(BM,sin∠BAM)＝eq\f(AB,sin∠AMB)，則BM＝eq\f(7,\f(2\r(7),7))×eq\f(10\r(7),49)＝5.思維升華在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計等問題時，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數(shù)思想．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是．(填序號)①若acosA＝bcosB，則△ABC一定是等腰三角形；②若bcosC＋ccosB＝b，則△ABC是等腰三角形；③若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC一定是等邊三角形；④若B＝60°，b2＝ac，則△ABC是直角三角形．答案②③解析對于①，若acosA＝bcosB，則由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，則2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故①錯誤；對于②，若bcosC＋ccosB＝b，則由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA＝sinB，即A＝B，則△ABC是等腰三角形，故②正確；對于③，若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則由正弦定理得eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinC,cosC)，則tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C，即△ABC是等邊三角形，故③正確；對于④，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等邊三角形，故④錯誤．(2)在①b2＋eq\r(2)ac＝a2＋c2；②cosB＝bcosA；③sinB＋cosB＝eq\r(2)這三個條件中任選一個填在下面的橫線中，并解決該問題．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，A＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(2)，求△ABC的面積．解若選①，則由b2＋eq\r(2)ac＝a2＋c2，得eq\r(2)ac＝a2＋c2－b2.由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(2)ac,2ac)＝eq\f(\r(2),2).因為B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,4).由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(a,sin

\f(π,3))＝eq\f(\r(2),sin

\f(π,4))，解得a＝eq\r(3).因為C＝π－A－B＝π－eq\f(π,3)－eq\f(π,4)＝eq\f(5π,12)，所以sinC＝sin

eq\f(5π,12)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝sin

eq\f(π,6)cos

eq\f(π,4)＋cos

eq\f(π,6)sin

eq\f(π,4)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(3＋\r(3),4).若選②，因為cosB＝bcosA，A＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(2)，所以cosB＝bcosA＝eq\r(2)cos

eq\f(π,3)＝eq\f(\r(2),2).因為B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,4).由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(a,sin

\f(π,3))＝eq\f(\r(2),sin

\f(π,4))，解得a＝eq\r(3).因為C＝π－A－B＝π－eq\f(π,3)－eq\f(π,4)＝eq\f(5π,12)，所以sinC＝sin

eq\f(5π,12)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝sin

eq\f(π,6)cos

eq\f(π,4)＋cos

eq\f(π,6)sin

eq\f(π,4)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(3＋\r(3),4).若選③，則由sinB＋cosB＝eq\r(2)，得eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝eq\r(2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝1.因為B∈(0，π)，所以B＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，所以B＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，所以B＝eq\f(π,4).由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(a,sin

\f(π,3))＝eq\f(\r(2),sin

\f(π,4))，解得a＝eq\r(3).因為C＝π－A－B＝π－eq\f(π,3)－eq\f(π,4)＝eq\f(5π,12)，所以sinC＝sin

eq\f(5π,12)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝sin

eq\f(π,6)cos

eq\f(π,4)＋cos

eq\f(π,6)sin

eq\f(π,4)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(3＋\r(3),4).(3)(2023·成都模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，在①c(sinA－sinC)＝(a－b)(sinA＋sinB)；②2bcosA＋a＝2c；③eq\f(2\r(3),3)acsinB＝a2＋c2－b2三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．(ⅰ)若，求角B的大??；(ⅱ)求sinA＋sinC的取值范圍；(ⅲ)如圖所示，當(dāng)sinA＋sinC取得最大值時，若在△ABC所在平面內(nèi)取一點D(D與B在AC兩側(cè))，使得線段DC＝2，DA＝1，求△BCD面積的最大值．解(ⅰ)若選①，因為c(sinA－sinC)＝(a－b)(sinA＋sinB)，由正弦定理得c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，整理得a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(ac,2ac)＝eq\f(1,2)，又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).若選②，因為2bcosA＋a＝2c，由余弦定理得2b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋a＝2c，化簡得，a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(ac,2ac)＝eq\f(1,2)，又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).若選③，因為eq\f(2\r(3),3)acsinB＝a2＋c2－b2，由余弦定理得eq\f(2\r(3),3)acsinB＝2accosB，化簡得tanB＝eq\r(3)，又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).(ⅱ)由(ⅰ)得，A＋C＝eq\f(2π,3)，則0<A<eq\f(2π,3)，sinA＋sinC＝sinA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\f(3,2)sinA＋eq\f(\r(3),2)cosA＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))，又eq\f(π,6)<A＋eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，所以eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤1，則sinA＋sinC的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\r(3))).(ⅲ)當(dāng)sinA＋sinC取得最大值時，A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，解得A＝eq\f(π,3)，又B＝eq\f(π,3)，所以△ABC為等邊三角形，令∠ACD＝θ，∠ADC＝α，AB＝AC＝BC＝a，則由正弦定理可得eq\f(a,sinα)＝eq\f(1,sinθ)，所以sinα＝asinθ.又由余弦定理得，a2＝22＋12－2×2×1×cosα，所以a2cos2θ＝a2－a2sin2θ＝cos2α－4cosα＋4，所以acosθ＝2－cosα.S△BCD＝eq\f(1,2)×a×2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ))＝eq\f(\r(3),2)acosθ＋eq\f(1,2)asinθ＝eq\f(\r(3),2)(2－cosα)＋eq\f(1,2)sinα＝eq\r(3)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))≤eq\r(3)＋1，當(dāng)且僅當(dāng)α＝∠ADC＝eq\f(5π,6)時等號成立，所以△BCD面積的最大值為eq\r(3)＋1.課時精練1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sinA＝6sinB，則c等于()A.eq\r(35)B.eq\r(31)C．6D．5答案B解析因為sinA＝6sinB，則由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因為C＝60°，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝62＋12－2×6×1×eq\f(1,2)，解得c＝eq\r(31).2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC，a＝7，則△ABC外接圓的直徑為()A．14B．7C.eq\f(7\r(3),3)D.eq\f(14\r(3),3)答案D解析已知(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，化簡得b2＋c2－a2＝－bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc,2bc)＝－eq\f(1,2)，又因為A∈(0，π)，所以A＝eq\f(2π,3)，所以sinA＝sin

eq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理可得2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(7,\f(\r(3),2))＝eq\f(14\r(3),3)，所以△ABC外接圓的直徑為eq\f(14\r(3),3).3．(2022·咸陽模擬)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若eq\r(3)asinB＝bcosA，且b＝2eq\r(3)，c＝2，則a的值為()A．2eq\r(7)B．2C．2eq\r(3)－2D．1答案B解析由已知及正弦定理得，eq\r(3)sinAsinB＝sinBcosA且sinB≠0，可得tanA＝eq\f(\r(3),3)，又0<A<π，所以A＝eq\f(π,6)，又b＝2eq\r(3)，c＝2，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝16－12＝4，解得a＝2.4．(2023·玉樹模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)等于()A.eq\f(2\r(39),3)B.eq\f(26\r(3),3)C.eq\f(8\r(3),3)D．2eq\r(3)答案A解析由三角形的面積公式可得S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),4)c＝eq\r(3)，解得c＝4，由余弦定理可得a＝eq\r(b2＋c2－2bccosA)＝eq\r(13)，設(shè)△ABC的外接圓半徑為r，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2r，所以eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(2rsinA＋sinB＋sinC,sinA＋sinB＋sinC)＝2r＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(13),\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(39),3).5．(2023·馬鞍山模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)(sinB＋sinC)2＝sin2A＋(2－eq\r(2))sinBsinC，eq\r(2)sinA－2sinB＝0，則sinC等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(6)－\r(2),4)D.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)答案C解析在△ABC中，由(sinB＋sinC)2＝sin2A＋(2－eq\r(2))sinBsinC及正弦定理得(b＋c)2＝a2＋(2－eq\r(2))bc，即b2＋c2－a2＝－eq\r(2)bc，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(\r(2),2)，而0°<A<180°，解得A＝135°，由eq\r(2)sinA－2sinB＝0得sinB＝eq\f(\r(2),2)sinA＝eq\f(1,2)，顯然0°<B<90°，則B＝30°，C＝15°，所以sinC＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).6．(2023·衡陽模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2cosB(acosC＋ccosA)＝b，lgsinC＝eq\f(1,2)lg3－lg2，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形答案C解析∵2cosB(acosC＋ccosA)＝b，∴根據(jù)正弦定理得，2cosB(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinB，∴2cosBsin(A＋C)＝sinB，∴2cosBsin(π－B)＝sinB，即2cosBsinB＝sinB，∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴cosB＝eq\f(1,2)，∴B＝eq\f(π,3).∵lgsinC＝eq\f(1,2)lg3－lg2，∴l(xiāng)gsinC＝lg

eq\f(\r(3),2)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)，∵B＝eq\f(π,3)，∴C≠eq\f(2π,3)，∴C＝eq\f(π,3)，∴A＝B＝C＝eq\f(π,3)，即△ABC為等邊三角形．7．(2023·宜春模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為．答案eq\f(2\r(3),3)解析∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，sinBsinC>0，結(jié)合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，∴sinA＝eq\f(1,2)，∵b2＋c2－a2＝8，結(jié)合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得2bccosA＝8，∴A為銳角，且cosA＝eq\f(\r(3),2)，從而求得bc＝eq\f(8\r(3),3)，∴△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).8．(2022·全國甲卷)已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.當(dāng)eq\f(AC,AB)取得最小值時，BD＝.答案eq\r(3)－1解析設(shè)BD＝k(k>0)，則CD＝2k.根據(jù)題意作出大致圖形，如圖．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·eq\f(1,2)＝4k2－4k＋4，則eq\f(AC2,AB2)＝eq\f(4k2－4k＋4,k2＋2k＋4)＝eq\f(4k2＋2k＋4－12k－12,k2＋2k＋4)＝4－eq\f(12k＋1,k2＋2k＋4)＝4－eq\f(12k＋1,k＋12＋3)＝4－eq\f(12,k＋1＋\f(3,k＋1)).∵k＋1＋eq\f(3,k＋1)≥2eq\r(3)(當(dāng)且僅當(dāng)k＋1＝eq\f(3,k＋1)，即k＝eq\r(3)－1時等號成立)，∴eq\f(AC2,AB2)≥4－eq\f(12,2\r(3))＝4－2eq\r(3)＝(eq\r(3)－1)2，∴當(dāng)eq\f(AC,AB)取得最小值eq\r(3)－1時，BD＝k＝eq\r(3)－1.9．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且eq\r(3)acosC－csinA＝eq\r(3)b.(1)求A；(2)若c＝2，且BC邊上的中線長為eq\r(3)，求b.解(1)因為eq\r(3)acosC－csinA＝eq\r(3)b，所以由正弦定理可得eq\r(3)sinAcosC－sinCsinA＝eq\r(3)sinB，因為B＝π－A－C，C，因為sinC≠0，所以sinA＝－eq\r(3)cosA，可得tanA＝－eq\r(3)，又因為A∈(0，π)，可得A＝eq\f(2π,3).(2)由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4＋2b，①又在△ABC中，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4－b2,4a)，設(shè)BC的中點為D，在△ABD中，cosB＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋c2－AD2,2×\f(a,2)×c)＝eq\f(\f(a2,4)＋1,2a)，可得eq\f(a2＋4－b2,4a)＝eq\f(\f(a2,4)＋1,2a)，可得a2＋4－2b2＝0，②由①②可得b2－2b－8＝0，解得b＝4(負(fù)值舍去)．10．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(5π,6)))＝－eq\f(1,4).(1)求角A的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，a＝1，求△ABC周長的取值范圍．解(1)因為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(5π,6)))＝－eq\f(1,4)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinA－\f(1,2)cosA))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)sinA＋\f(1,2)cosA))＝－eq\f(1,4)，即eq\f(\r(3),2)sinAcosA－eq\f(3,4)sin2A－eq\f(1,4)cos2A＝－eq\f(1,4)，所以eq\f(\r(3),4)sin2A－eq\f(3,8)(1－cos2A)－eq\f(1,8)(1＋cos2A)＝－eq\f(1,4)，整理可得eq\f(\r(3),4)sin2A＋eq\f(1,4)cos2A＝eq\f(1,4)，所以可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，因為A∈(0，π)，可得2A＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(13π,6)))，所以2A＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，可得A＝eq\f(π,3).(2)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，且a＝1，A＝eq\f(π,3)，得b＝eq\f(2\r(3),3)sinB，c＝eq\f(2\r(3),3)sinC，所以a＋b＋c＝1＋eq\f(2\r(3),3)(sinB＋sinC)＝1＋eq\f(2\r(3),3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinB＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))))＝1＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6))).因為△ABC為銳角三角形，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<B<\f(π,2)，,0<\f(2π,3)－B<\f(π,2)，))解得eq\f(π,6)<B<eq\f(π,2).所以1＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))∈(1＋eq\r(3)，3]，即△ABC周長的取值范圍是(1＋eq\r(3)，3]．11．對于△ABC，有如下判斷，其中錯誤的是()A．若cosA＝cosB，則△ABC為等腰三角形B．若A>B，則sinA>sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個D．若sin2A＋sin2B<sin2C，則△ABC是鈍角三角形答案C解析對于A，若cosA＝cosB，則A＝B，所以△ABC為等腰三角形，故A正確；對于B，若A>B，則a>b，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB成立，故B正確；對于C，由余弦定理可得b＝eq\r(82＋102－2×8×10×\f(1,2))＝eq\r(84)，只有一解，故C錯誤；對于D，若sin2A＋sin2B<sin2C，則根據(jù)正弦定理得a2＋b2<c2，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以C為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形，故D正確．12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sinAsinBsinC＝eq\f(1,8)，△ABC的面積為2，則下列選項錯誤的是()A．a(chǎn)bc＝16eq\r(2)B．若a＝eq\r(2)，則A＝eq\f(π,3)C．△ABC外接圓的半徑R＝2eq\r(2)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a