高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (14)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（14）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，共70.0分）

1.已知在三棱錐P-4BC中，P41平面ABC,PA=4,AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)。為8C的中

點(diǎn)、,記三棱錐P-ABC外接球的球心為E,三棱錐P-40C外接球的球心為凡貝1|EF=

A.?B.|C.ID.；

3332

2.已知正四面體A8CD的外接球的表面積為半，點(diǎn)M是線段AO的中點(diǎn)，點(diǎn)N在直線CM上運(yùn)動(dòng)，

則（|BN|+|DN|）2的最小值為

A.2+—B.1+漁C.2+速D.1+立

3333

3.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ZBCD-4&GD1中，P為線段2$上的動(dòng)點(diǎn)，龍-----------/

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.DG1QP

B.平面541Pl■平面&4P

C.NAP/的最大值為90°

D.A2+「。1的最小值為，2+/

4.設(shè)。是正四面體P-4BC底面2MBe的中心,過(guò)。的動(dòng)平面與PC交于5,與P4PB的延長(zhǎng)線分別

交于Q,R,則高+直+高（）

A.有最大值而無(wú)最小值

B.有最小值而無(wú)最大值

C.既有最大值又有最小值，且兩者不相等

D.是一個(gè)與平面QRS無(wú)關(guān)的常數(shù)

5.已知底面半徑為1,體積為四兀的圓柱,內(nèi)接于一個(gè)高為2遮圓錐（如A

則從點(diǎn)A繞圓錐的側(cè)面到點(diǎn)BZ-X

圖），線段AB為圓錐底面的一條直徑，

的最短距離為（）

A.8

B.4V3

C.4V2

D.4

6.四面體ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，AB=BC=CD=DA=4,AC=BD=2VLE為AC

的中點(diǎn)，過(guò)E作其外接球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為（）

A.5:4B.5：V3C.5:3D.5:2

7.如圖，在三棱柱中，E,F,6分別為棱AB,AC,A'/\]?

AAr,CG的中點(diǎn)，點(diǎn)G,“分別為四邊形ABB14,BCG/對(duì)角線E\…--J

的交點(diǎn)，點(diǎn)/為AAiBiG的外心，P,Q分別在直線EF,EJi上運(yùn)d/*H/

動(dòng)，則在G,H,I,這三個(gè)點(diǎn)中，動(dòng)直線PQ（）“熊校歹了"C

A.只可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)/B

B.只可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)G,H

C.可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)G,H,I

D.不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)G,H,I

8.中國(guó)古代名詞“芻（cMl）童”原來(lái)是草堆的意思，九章算術(shù)注日，凡積芻有上下廣日童，薨謂其

屋蓋之茨也。是故薨之下廣袤與童之上廣袤等。正斬方亭兩邊，合之即芻技之形也。古代用它

作為長(zhǎng)方棱臺(tái)（上、下底面均為矩形的棱臺(tái)）的專用術(shù)語(yǔ)，今有一芻（cH）童的三視圖如下，則其

外接球的表面積為（）

9.如圖所示，已知四棱臺(tái)4BC0-4道165的上下底面均為正方形，其中AB=2或,&&=

VI,441=BBl=CG=DD1=2,則下列敘述正確的個(gè)數(shù)為（）

(1)該四棱臺(tái)的高為g，(2)A41CG，(3)該四棱臺(tái)的表面積為26,(4)該四棱臺(tái)外接球的表面

積為167r

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.在棱長(zhǎng)為2的正方體力BCD-&B1GD1中，點(diǎn)何是對(duì)角線4cl上的點(diǎn)(點(diǎn)

M與A、G不重合)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()

①存在點(diǎn)使得平面&DMJ?平面BGD；

②存在點(diǎn)M,使得DM〃平面B/D1；

③若△ADM的面積為S,則SG(竽,2百)：

④若Si、52分別是在平面AiBiQDi與平面BBiGC的正投影的面積，則存在點(diǎn)M,使得

Si=S2-

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

11.已知矩形ABC。，AB=1,AD=近,E為4。的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿BE,CE將AABE,△DCE翻

折，使點(diǎn)A,。重合，記為點(diǎn)尸，則幾何體P—BCE的外接球表面積為()

A.107TB.57rC.vD.皿史

212

12.己知A,B,C,。四點(diǎn)均在球。的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)。在平面A8C

上的射影為AABC的中心，E為線段4。的中點(diǎn)，若BDLCE,則球。的表面積為()

A.367rB.427rC.54兀D.24遍兀

13.如圖所示，正方形ABCQ的邊長(zhǎng)為2,切去陰影部分圍成一個(gè)正A

四棱錐，則當(dāng)正四棱錐的側(cè)面積取值范圍為()

A.(1,2)

B.(1,2]

C.(0,2]

D.(0.2)?C

14.已知正四棱錐P-ABC。的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，該四棱錐的五個(gè)面所在的平面截球面所

得的圓大小相同，若正四棱錐P-4BC0的高為2,則球。的表面積為（）

A.87rB.97rC.12兀D.16兀

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共2小題，共8.0分）

15.下列命題中正確的有（）

A.空間內(nèi)三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形

C.分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交，則交點(diǎn)只可能在兩個(gè)平面的交線上

D.一條直線與三角形的兩邊都相交，則這條直線必在三角形所在的平面內(nèi)

16.已知棱長(zhǎng)為1的正方體力BCD-&B1GD1，過(guò)對(duì)角線BA作平面a交棱于點(diǎn)E,交棱CC】于點(diǎn)

F,以下結(jié)論正確的是（）

A.四邊形BFDiE不一定是平行四邊形

B.平面a分正方體所得兩部分的體積相等

C.平面支與平面OB/不可能垂直

D.四邊形面積的最大值為迎

三、填空題（本大題共10小題，共50.0分）

17.已知四棱錐P-4BCD的底面是邊長(zhǎng)為。的正方形，其外接球的表面積為56兀，APAB是等邊三

角形，平面P4B，平面A8CZ）,則。=.

18.如圖，矩形488中，BC=2AB=2,N為8c的中點(diǎn)，將團(tuán)4BN繞直線AN翻轉(zhuǎn)成團(tuán)當(dāng)力以占g

①與平面/AN垂直的直線必與直線CM垂直;

②線段CM的長(zhǎng)恒為圣

③異面直線CM與NBi所成角的正切值為日;

④當(dāng)三棱錐當(dāng)-AND的體積最大時(shí)，其外接球的體積是三.

上面說(shuō)法正確的所有序號(hào)是.

19.已知正四面體A8CD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球心為。的球面上，點(diǎn)尸為棱BC的中點(diǎn)，BC=6,過(guò)點(diǎn)

P作球0的截面，則截面周長(zhǎng)的最小值為.

20.在三棱錐P—4BC中，ABAC=.APDA=Z.PCA=90°,PB=PC=.點(diǎn)尸到底面ABC

的距離為魚，則三棱錐P的外接球的表面積為.

21.已知三棱錐力-BCD的頂點(diǎn)都在球。的球面上，O/U平面ABC,Z.BAC90,DA=2圾,

若球O的體積為36力，則三棱錐力-BCD的側(cè)面積的最大值為.

22.如圖所示,正方體ABCD-4B1GD1的棱4B=2,點(diǎn)E,F分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，記a=AE+

EF+D】F.當(dāng)a取最大值時(shí)，三棱錐劣一4EF的體積為匕，當(dāng)a取最小值時(shí)，三棱錐劣-4EF的

體積為彩，則匕=;卷=?

23.在長(zhǎng)方體488-4出。也中，AB=AD=y[2,A&=2,則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積

為.

24.如圖四邊形ABC。為梯形，AD//BC,乙4BC=90°,則圖中陰

影部分繞A8旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為,體

積為.

25.已知某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格中的每個(gè)小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體的體

積為________

26.如圖，在正方體中，ACC\BD=0,E是&C(不含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，則下列正

確結(jié)論的序號(hào)是.

①。1。_L平面4G。；

②0E〃平面4G。；

③三棱錐4-BDE體積為定值；

④二面角/一AC-B的平面角的正弦值為

四、多空題(本大題共3小題，共12.0分)

O

27.己知長(zhǎng)方體4BCD—4B1C1D1中，=AD=2,AAr=2V3，己知P是矩形A8C。內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn)，P&=4,設(shè)P點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為a,則tana=_(l)_；當(dāng)CJ的長(zhǎng)度最短時(shí)，三棱錐久一

OPC的體積為_(2)_.

28.在正三棱錐S-ABC中，M是SC的中點(diǎn)，且AMJ.SB,底面邊長(zhǎng)AB=2近，則正三棱錐S-ABC

的體積為其外接球的表面積為_(2)_.

29.若封閉的直三棱柱4BC所有的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且滿足4B1BCAB=6,BC=

8,44=3,,則該球的表面積為若該封閉的三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則丫的最

大值為_(2)_,

五、解答題(本大題共1小題，共12.0分)

30.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CZ)是平行四邊形，PA=PC=a,PB=PD=#,

/.APB=乙CPD=90°,設(shè)平面/MBn平面PCD=I.

(1)證明：

(2)若平面P4B_L平面PCD,求四棱錐P-4BCD的體積.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查三棱錐的外接球及空間立體幾何.屬于中檔題.

做輔助線得出△ABC外接圓的圓心，AaDC外接圓的圓心，通過(guò)計(jì)算可得結(jié)果.

解：設(shè)尸A的中點(diǎn)為G,易知平面EFG〃平面A8C,

過(guò)點(diǎn)E、尸分別作平面A8C的垂線，垂足分別記為E',F',所以EF=E'F'.

貝ij在△力BC中，點(diǎn)E'為△力BC外接圓的圓心，

在AADC中，點(diǎn)F'為△ADC外接圓的圓心，

可得E'C=E'A=F'C=F'A=

62

所以EF=E'F'=y/E'A2-F'A2=y.

故選A.

2.答案：B

解析：

本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，正四面體的外接球，空間距離最值以及平面展開圖，考查學(xué)生空間想象

能力與計(jì)算能力，屬于難題.

首先將正四面體放入正方體中，求出正四面體的棱長(zhǎng)，然后把平面8MC及平面CM。以CM為折線

展平得出：在平面。MBC中，連接B。，與MC相交于N點(diǎn)則。N+BN為最短距離，利用余弦定理

計(jì)算可得答案.

解：因?yàn)橐阎拿骟wA8C。的外接球的表面積為手，將正四面體放入正方體中，正四面體的棱長(zhǎng)

為正方體的面對(duì)角線，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為小外接球的半徑為凡所以4川2—言，即4R2=|=3a2,

所以正方體棱長(zhǎng)為立，所以正四面體ABCO的棱長(zhǎng)為1,

2

點(diǎn)〃是線段4。的中點(diǎn)，點(diǎn)N在直線CM上運(yùn)動(dòng)，把平面BCM以及平面CDM以CM為折線展平,

三角形CMD為正三角形的一半，

所以CM=漁,DM=L,CD=1,BM=—，BC=1,

222

所以在平面。MBC中，連接8。，與MC相交于N點(diǎn)，則+|DN|為最短距離BO,

2+--1i

在三角形BMC中，由余弦定理得COSNBMC=施甚=?

所以sin/BMC=越，

3

所以COSNDMB=cos(90°+4BMC)=-sin/BMC=-苧，

所以BM=BM2+DM2-2BM-DM-cos^DMB=：+：-2x?x：x(-手)=1+凈

所以8。=Jl+y>

所以(|BN|+|￡W|)2的最小值為1+乎.

故選B.

3.答案：C

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，以及線面垂直的判定與性質(zhì)，面面垂直的判定，空間位置關(guān)系的判定,

屬于難題.

利用DC】LlaBCCi，可得DC11D1P,A正確；

利用平面D14BC1平面得出平面。送止J■平面44P,8正確；

當(dāng)月/=當(dāng)時(shí)，乙4PD1為直角，當(dāng)。<4』<當(dāng)時(shí)，N4PD1為鈍角，C錯(cuò)；

將面4&B與面4BCD1沿展成平面圖形，線段AD1即為AP+PD1的最小值.

解：?；1DCi，ArB1DC1,A\D\.A\BC平面，:.DCrl.^A1BCD1,DrPu面&BCO1，

DCr1DjP,A正確；

?.?平面Di4P即為平面Di&BC,平面4通「即為平面Z/BBi，且。源11平面

二平面D14BC1平面&ABB1，.?.平面Di&P_L平面&4P,正確；

當(dāng)0<&P<?時(shí)，NAP/%為鈍角，???(:錯(cuò)；

將面與面&8CD1沿4中展成平面圖形，線段即為4P+P%的最小值,

在△544中，/.D.A.A=135°,利用余弦定理解三角形得=萬(wàn)口^，

即4P+PD1>V2+V2>■-D正確.

故選C.

4.答案：D

解析：

本題考查棱錐的體積公式和結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)考查了三角形的面積公式，屬于難題.

設(shè)正四面體P—ABC各側(cè)棱兩兩夾角為a,PC與面A4B所成角為6，由%-PQR=%-PQR+%-PRS+

，0-PQ5可得結(jié)論，

解：設(shè)正四面體P-4BC中，各側(cè)棱兩兩夾角為a,PC與面PAB所成角為/?,

則Vs-PQH=.卜=g（；|PQITP用sim）?|PS|?sin/J,

記。到各側(cè)面的距離為“，

則%-PQR=^O-PQR+^O-PRS+%-PQS，

1111

HR.S/PQR,h=-SAPQR,d+-SAPRS-d+-SAPQS-d

Jdd

Xp十X

-一-

3IPQI3IP3

：.PQPRPS\sinB=d-（\PQ\.|P/?|+\PR\-PS\+\PQ\.|PS|）,

111sin3

即兩+兩+兩=丁

故選D

5.答案：C

解析：

本題考查了旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球）及其結(jié)構(gòu)特征和旋轉(zhuǎn)體上的最短距離（折疊與展開圖），屬

于中檔題，

圓錐底面的半徑為2,底面周長(zhǎng)為4兀，母線為4,所以圓錐展開圖的圓心角為兀，將圓錐展開圖即可

得出結(jié)果.

解：,底面半徑為1,體積為757r的圓柱，

二圓柱的高為百，

又內(nèi)接于一個(gè)高為26圓錐，

根據(jù)相似原理可得5=g(r尺分別為圓柱與圓錐底面半徑，h,H分別為圓柱與圓錐的高),

Rn

rH1X273n

ARn=—=——=2,

h.yf3

即圓錐底面的半徑為2；.底面周長(zhǎng)為4兀，母線為122+(2遍『=4,

所以圓錐展開圖是圓心角為7T,半徑為4的半圓.

將圓錐展開圖如圖，從點(diǎn)A繞圓錐的側(cè)面到點(diǎn)B的最短距離為=4VL

故選C.

解析：

本題考查幾何體外接球的截面問(wèn)題，考察空間想象能力，線、面垂直關(guān)系，難度較難.

首先根據(jù)題意求解大圓半徑即球的半徑；其次利用截面圓面積最大和最小時(shí)兩截面互相垂直，即可

求解.

解：取80中點(diǎn)F,則根據(jù)對(duì)稱性得球心。為EP中點(diǎn)，且EF_L4c

因?yàn)锳B=BC=CD=DA=4,所以AF1BD,CF1BD,

AF=CF=J42—(V2)2-V14

EF=y/AF2-AE2=V14-2=2V3

過(guò)E作其外接球的截面，則截面面積的最大為球的大圓，

半徑為04=JcjFF)2+AE2=VT+2=V5;

截面面積的最小為以4c為直徑的圓，半徑為魚,

從而截面面積的最大值與最小值的比為：

7T(V5)2:7r(-72)2=5:2,

故選D

7.答案：A

解析：

本題考查了空間中的兩條直線位置關(guān)系，也考查了直線過(guò)某一點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目.

根據(jù)題意，得出P。與G”是異面直線，PQ不過(guò)點(diǎn)G,且不過(guò)點(diǎn)H；當(dāng)公當(dāng)18W1時(shí)，外接圓的圓

心/為斜邊41G的中點(diǎn)，再令尸與尸重合，。是Ei&的中點(diǎn)，此時(shí)PQ過(guò)點(diǎn)/.

解：如圖所示；

三棱柱4BC-中，連接G”,則GH//E1。,

二G、H、&、Ei四點(diǎn)共面，即平面GH&Ei；

因?yàn)镼e瓦姆,

QC平面GHFi%,

又點(diǎn)PC平面GH&Ei，且QCGH,

??.PQ與G4是異面直線，即尸。不過(guò)點(diǎn)G,且不過(guò)點(diǎn)H；

又點(diǎn)/為△4/1G的外心，

當(dāng)ZiBilBiG時(shí),/為4G的中點(diǎn)，

若P與尸重合，Q是的中點(diǎn)，此時(shí)尸Q過(guò)點(diǎn)/.

故選：A.

8.答案：B

解析:

本題考查了空間幾何體的三視圖，多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）及其結(jié)構(gòu)特征和球的表面積和體積.

利用空間幾何體的三視圖得幾何體，再利用正四棱臺(tái)的性質(zhì)得外接球的半徑，最后利用球的表面積

公式計(jì)算得結(jié)論.

解：由三視圖得：該幾何體是上底邊長(zhǎng)為魚，下底邊長(zhǎng)為2VL高為2的正四棱臺(tái).

如下圖：

設(shè)上，下底面中心分別為01，02,則。1G=1,02c=2,。1。2=2.

若。為該幾何體外接球球心,則。磔+02c2=oof+01cl2,

即。磔+22=（2-。。2）2+1,解得0。2=%

因此。。2=001+02c2=—+4=—,

1616

所以該幾何體的外接球表面積為47rx整=竽.

164

故選民

9.答案：B

解析：

本題綜合考查立體幾何中線線位置關(guān)系，四棱臺(tái)的表面積、外接球的問(wèn)題，屬于較難題.

根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)，補(bǔ)全為四棱錐，根據(jù)題中所給的條件以及棱錐和棱臺(tái)的性質(zhì)，進(jìn)行判斷.

解：由棱臺(tái)性質(zhì)，畫出切割前的四棱錐，

s

由于4B=2?，A1B1=V2，可知ASaiBi與ASAB相似比為1：2；

則SA=2441=4,AO=2,則S。=2C，則。01=同該四棱臺(tái)的高為百，故(1)對(duì)；

因?yàn)?4=SC=4C=4,則44i與CG夾角為60。，不垂直，故(2)錯(cuò)；

該四棱臺(tái)的表面積為S=S/公+S卜.底+S副=8+2+4x(功;2V2)*收一停=io+6近，

故(3)錯(cuò)；

由于上下底面都是正方形，則外接球的球心在。。1上，

在平面8$。。1內(nèi)，由于00]=C，a。1=1,則0B】=2=0B,即點(diǎn)。到點(diǎn)B與點(diǎn)名的距離相

等，則r=。8=2,該四棱臺(tái)外接球的表面積為16兀，故(4)對(duì)，

故正確的個(gè)數(shù)為2,

故選8.

10.答案：C

解析：

本題主要考查了空間直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，以及三角形面積，以及投影的定義的應(yīng)

用，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，以及熟練應(yīng)用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)

鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正確；由面面平行的性質(zhì)定理，可得判定

②正確；由三角形的面積公式，可求得AAiDM的面積S的范最小值，可判定③錯(cuò)誤；由三角形的

面積公式，得到Si，52的范圍，可判定④正確.

解：連接BiC,設(shè)平面4181c。與體對(duì)角線4cl交于點(diǎn)M,

由&C1BC1，DC工BC[,B]CCDC=C,

可得8G1■平面4$iCD,即BGJL平面&DM,BGu平面BG。，

存在點(diǎn)M,使得平面41。”上平面8。1。，故①對(duì)；

由BD〃BiDi，AiD〃B]C,BDnA^D=D,nBtC=

利用面面平行的判定可得，平面&BD〃平面BiDiC,

設(shè)平面4BD與4G交于點(diǎn)M,可得0M〃平面Bi。。]，故②對(duì)；

連接4劣交4。于點(diǎn)O，過(guò)。作。ML4C1，

由①可推知，&D，平面ABGDi，

:.AtD10M,

???0M為異面直線必。與力G的公垂線，根據(jù)△40M7何也，則患=骨，即。M=電器=篝=

V6

—,

3

4]DM的最小面積為SAAOM=|xArDxOM=1X2>/2X-y=.誓■,故③錯(cuò)；

在點(diǎn)尸從AG的中點(diǎn)向著點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，S]從1減少趨向于0,即Si6(0,1),52從0增大到趨向于

2,即S?e(0,2),

在這過(guò)程中，必存在某個(gè)點(diǎn)P使得工=52,故④對(duì).

故選：C.

11.答案：c

解析：

本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)接體，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

???在矩形A8C。中，EALAB.EDLDC,

即在三棱錐P-BCE中PE1PC,PE1PB,

又在矩形A8CO中，AB=DC=1,AD=&，

???在三棱錐P—BCE中，PB=PC=1,BC=V2,

???4PBe滿足勾股定理，

即PBJ.PC,

:.PB,PC,PE兩兩垂直，

.??三棱錐P-BCE的夕卜接球半徑N=%(PB2+PC2+PE2)+=3

44\2/8

則三棱錐P-BCE的外接球的表面積為S=47n'2=4X|X7T=^.

o2

故選c.

12.答案：C

解析：

本題考查三棱錐結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積，屬于中檔題.

由線面垂直得兩兩垂直，則三棱錐的外接球即正方體的外接球，求球的半徑，表面積即

可.

解：設(shè)△ABC的中心為G,延長(zhǎng)BG交4C于凡則尸為AC中點(diǎn)，連接OF.

由題知0G，平面ABC,5LACu平面ABC,

所以。OC,

又正AABC中產(chǎn)為AC中點(diǎn)，所以AC1GB,

又DGCBG=G,DG、GBu平面QGB,

AC_L平面DGB,又DBu平面DGB,

.-.AC1DB,又BD1CE,

且CEnAC=C,CE、ACu平面AC。，

BDJ_平面ACD,又D-4BC為正三棱錐，

ZM,OB,0C兩兩垂直，

故三棱錐D-ABC可看作以。4DB,DC為棱的正方體的一部分,

二者有共同的外接球，由4B=6得￡M=3或，

故正方體外接球直徑為3魚x國(guó)=3通，半徑為當(dāng),

所以球。的表面積為4兀/?2=54TT,

故選C.

13.答案：D

解析：

本題主要考查了正四棱錐的幾何性質(zhì)，正四棱錐中的棱長(zhǎng)、高、體積的計(jì)算，建立函數(shù)模型并求其

最值的方法，有一定的難度.

設(shè)四棱錐一個(gè)側(cè)面為三角形APQ,乙4PQ=x,正四棱錐的表面積可表示為湍力，化簡(jiǎn)后，利用

基本不等式求解即可.

設(shè)四棱錐一個(gè)側(cè)面為三角形APQ,^APQ=X,則力H=；PQxtanx=五二PQ，PQ==

221+tanx

\[2tanx

---------，

1+tanx

12\/2

S=4X^XPQX4H=2X'x

1+tanx2+2

214-taiur(1+皿1工『J—+fanx+2

tanx

(當(dāng)且僅當(dāng)tanx=1,即％時(shí)取等號(hào))，而tanx>0,

故S>0,S=2時(shí)，三角形AP。是等腰直角三角形，頂角PAQ=90。，陰影部分不存在，折疊后A

與。重合，構(gòu)不成棱錐，S的范圍為(0,2),

故選。.

14.答案：A

解析：

本題考查棱錐的定義，以及球的表面積公式，屬于較難題.

首先求出正四棱錐P-4BC。的底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱長(zhǎng)，再求出球。的半徑，從而得到球。的表面積.

解：設(shè)正四棱錐P-4BCD的底面邊長(zhǎng)為a,

則側(cè)棱長(zhǎng)為PA=J(苧尸+22=旦/，

四汕+空汕

所以C0SN4PB=72：2=

,2。2+1612。2+16Q2+8

22

所以sin乙4PB=11-(-^-)2=

\va2+8ya2+8

由于四棱錐的五個(gè)面所在的平面截球面所得的圓大小相同，

所以三角形PAB的外接圓半徑為立a,

2

aox[2

所以由正弦定理得康孟玄=2x5a,解得：a2=872-8.

a2+8

設(shè)球0的外接圓半徑為r,所以/=(2-r)2+4a)2,

解得r=4=見土=也,

88

所以球。的表面積為4兀"—4兀(迎)2=8兀，

故選A.

15.答案:BC

解析：

本題主要考查了平面的基本性質(zhì)及其推論的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)平面的基本性質(zhì)及其推論，以及棱柱的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析，即可判斷出結(jié)果.

A.因?yàn)槿我獠还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；

氏根據(jù)棱柱的性質(zhì)可得：正棱柱的側(cè)面是矩形，斜棱柱的側(cè)面可能是矩形和平行四邊形，棱柱的側(cè)

面一定是平行四邊形，故B正確；

C.分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交，則交點(diǎn)分別含于兩條直線，也分別含于兩個(gè)平面，

必然在交線上，故C正確：

。.若一條直線過(guò)三角形的頂點(diǎn)，則這條直線不一定在三角形所在的平面內(nèi)，故。錯(cuò)誤.

故選BC.

16.答案：BD

解析：

本題考查正方體中有關(guān)的線面的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解想象出要畫出的平面是怎樣的平面，

有哪些特殊的性質(zhì)，考慮全面就可以正確解題.

由平行平面的性質(zhì)可得A是錯(cuò)誤的；

運(yùn)用正方體的對(duì)稱性即可判斷B；

當(dāng)E、尸為棱中點(diǎn)時(shí)，通過(guò)線面垂直可得面面垂直，可得C不正確；

當(dāng)E與A重合，當(dāng)尸與G重合時(shí)，BFDiE的面積有最大值衣，可得。正確.

解：如圖,則:

對(duì)于A：因?yàn)槠矫?BB遇J/CC1D1。，平面BFOiEn平面488遇1=BE,平面BF/En平面CCi。1。=

D、F,：.BE〃D\F,同理可證：D、E〃BF,

故四邊形BFQE一定是平行四邊形，故力錯(cuò)誤；

對(duì)于8：由正方體的對(duì)稱性可知，平面a分正方體所得兩部分的體積相等，故B正確；

對(duì)于C：當(dāng)E、P為棱中點(diǎn)時(shí),EF1平面B/D,又因?yàn)镋Fu平面8尸。出,所以平面85。遂_L平面8當(dāng)0,

故C不正確；

對(duì)于D：當(dāng)E與A重合，當(dāng)尸與G重合時(shí)，BFDiE的面積有最大值，

此時(shí)S=1xVl2+I2=近，故。正確.

17.答案：2A/6

解析:

利用外接球的表面積56兀，求出四棱錐的外接球

半徑，進(jìn)而利用勾股定理求解；

考查四棱錐外接球的理解，勾股定理的應(yīng)用，

正確畫出示意圖是解決本題的關(guān)鍵；

解：根據(jù)題意，畫出示意圖如右圖所示，。為

四棱錐P-4BCD的外接球的球心，

貝也。川=\0P\=R,

設(shè)|0M|=h,

?:外接球的表面積是56兀，R=V14

d

:.h2+—=14

:+（號(hào)a-h）2=14.

聯(lián)立以上兩式解得a=2V6.

故答案為：2#）.

18.答案：①②④

解析：

本題考查翻折過(guò)程中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，相關(guān)角度，長(zhǎng)度，球的表面積的計(jì)算，考查空間想象

能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題.

①CM〃平面/AN,則可判斷；②通過(guò)線段相等CM=NE,可求出線段NE的長(zhǎng)即可；③異面直線

CM與NB］所成角為NENBi，求出其tan/ENBi即可；④找出球心，求出半徑即可.

解：取4當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)E,AO的中點(diǎn)F,連接EM,EN,FB°FN,

貝IJEM〃/10,EM=^AD,XNC//AD,NC=^AD,

則EM〃NC,EM=NC,則四邊形EMCN為平行四邊形,

故CM//EN,

又CM，平面Bi4N,ENu平面B14N,

故CM〃平面Bp4N,

則與平面垂直的直線必與直線CM垂直，故①正確；

CM=NE=jBi、2+BE=爭(zhēng)故②正確；

乙ENBi即為異面直線CM與NB]所成的角（或其補(bǔ)角），

tan"NB】=既=：,故③錯(cuò)誤；

當(dāng)平面/ANJ■平面AN￡＞時(shí)，三棱錐D-4NB1，即%-4ND的體積最大，

■:ABi=NBi，取4V中點(diǎn)。，則B1014N,

???平面BiANn平面AND=AN,BRu平面&AN,

則為0JL平面AND,FOu平面AND,

則當(dāng)01F0,計(jì)算得當(dāng)。=F0=當(dāng)，則FBi=1,

此時(shí)凡4=FD=FN=FB]=1,顯然尸為三棱錐當(dāng)一AND外接球球心，

所以三棱錐當(dāng)-4N。外接球的半徑R=R4=1,

所以三棱錐當(dāng)-AND外接球體積是半，故④正確.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②④.

故答案為①②④.

19.答案：6兀

解析：

本題給出正四面體的外接球，求截面圓的周長(zhǎng)最小值.著重考查了正方體的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體和

球的截面圓性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題根據(jù)題意，將四面體A8C。放置于如圖所示的正方體中，則正

方體的外接球就是四面體A3CQ的外接球.因此利用題中數(shù)據(jù)算出外接球半徑/?,過(guò)P點(diǎn)的截面到

球心的最大距離，再利用球的截面圓性質(zhì)可算出截面周長(zhǎng)的最小值.

解：將四面體ABC。放置于正方體中，如圖所示

A

可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，

???正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為6,

???正方體的棱長(zhǎng)為3vL可得外接球半徑R滿足2R=3乃，

P為棱BC的中點(diǎn)，過(guò)尸作其外接球的截面，當(dāng)截面到球心。的距離最大時(shí)，

截面周長(zhǎng)的取得最小值，此時(shí)球心。到截面的距離等于正方體棱長(zhǎng)的一半，

可得截面圓的半徑為r=JRZ_（叫J=3,得到截面周長(zhǎng)最小值為S=2a=6n,

故答案為67r.

20.答案：67r

解析：

本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題，考查空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

借助正方體即可求解.

解：如圖：

如圖，設(shè)0是三棱錐P—ABC外接球球心，例為8c的中點(diǎn)，

作pp'J.平面.ABC.OO'IPP'.則0,為4P，的中點(diǎn)，

00'=-PP'=—,

22

由^PDA=APCA=SM),PB=PC=y/3,PA=P.4,可得

AB=AC,又N3.4C6().得三角形ABC為等邊三角形，設(shè)其邊長(zhǎng)為2a,則有，

PM1BC.AM=V3a.O'A=O'P'=^-a,P'M=等，

在Rt△PBM與Rt△PP'M中,有

PB2=BM2+PM2=BM2+PP'2+P'M2=a2+2+(ya)2=3

解得a=逅，設(shè)外接球半徑為R,則在

2

Rt△00'A中，有R=0A=yj00'2+O'A2=-+1=—

則外接球的表面積為SITTR'ITTX(-^)'()7T>

故答案為67r.

21.答案：18

解析：

本題考查三棱錐與球的組合體中的計(jì)算問(wèn)題，屬于較難題.

由題意可得三棱錐4-BCD的外接球與分別以AB,AC,AZ）為長(zhǎng)，寬，高的長(zhǎng)方體的外接球?yàn)橥?/p>

球，得出外接球的半徑，再根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得4Ba。2=24,設(shè)

A132vz6sin0.AC'2,0<8V則三棱錐4—BCD的側(cè)面積可得，最后利用二次函數(shù)

的性質(zhì)，即可得解.

解：由題意知，三棱錐A-BCD的外接球與分別以A3,AC,AZ）為長(zhǎng)，寬，高的長(zhǎng)方體的外接球?yàn)?/p>

同一球，

I標(biāo)/TTR367T,解得R=3,

根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得48?+41+A。？=4R?=36,AB2+AC=24,

設(shè).AB：2{siu仇.AC'2VM<8。，。<。<］，AD=273.

三棱錐4—BCD的側(cè)面積5=

SAABD+SAACD^SAABC=1ABXAD+^ADXAC+1

ABxAC

=\/3(AB+AC)+-；ABxAC=6V5(sin°+cM)+Vlshtlk^,

設(shè)sin。+cot%=fW(1..2sin0cus0=f2-L

所以S=6at+6t2-6=6(t2+V2t)-6=6(t+引2-9，

由二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)1=魚時(shí)，Smax=12+12-6=18,

故答案為18.

22.答案：|;3

解析：

本題考查了三棱錐的體積和組合體的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

第一空根據(jù)V-I任方體-八%-，1*?的出答案；第二空：根據(jù)等體積法求出彩，然后可以求出隊(duì)

解：（1）顯然，當(dāng)E與名重合，F(xiàn)與C重合時(shí)，a取最大值，此時(shí)M=心方體-MQTBT

?/

如圖，當(dāng)E,F為三等分點(diǎn)時(shí)，。取最小值，取棱DD］的三等分點(diǎn)G,

易得GF〃AE,GFC面ZME,4Eu面。/，

所以GF〃面D/E,

所以彩二^F-D1AE=^G-DAAE=^E-D^AG

=lx(ix2xi)x2=f,

所以*=3.

V2

故答案為I；3

23.答案：8兀

解析：

本題考查外接球的表面積，屬于一般題.

由題求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，則外接球的半徑為體對(duì)角線的一半，進(jìn)而求得答案.

解：由題意可得，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為)2+2+4=2及,

則該長(zhǎng)方體的外接球的半徑為r=V2,

因此，該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為4兀產(chǎn)=87r.

故答案為87r.

24.答案：68乃；三生

解析：

本題考查幾何體的表面積和體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓臺(tái)、半球的表面積和體積的求

法和應(yīng)用，屬于一般題.

由題意，知所成幾何體的表面積=圓臺(tái)下底面積+圓臺(tái)的側(cè)面積+半球面面積，該幾何體的體積為

明臺(tái)一人牙由此能求出結(jié)果.

解：由題意，可知所成幾何體的表面積等于圓臺(tái)下底面積+圓臺(tái)的側(cè)面積+一半球面面積，

又1S球=|x4TTx22=8兀，

S圓臺(tái)側(cè)=兀(2+5)7(5-2)2+42=35兀，

S圓臺(tái)下底二口x5?=25兀，

即所形成的幾何體的表面積為8兀4-357r4-257r=68兀；

又明冷=5x(22+2x5+52)x4=52兀，

..147r—a167r

^=2XTX2=-

所以該幾何體的體積為曦冷-V半球=52兀一等=等.

故答案為68TT；

25.答案：45-y

解析：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖還原幾何體，再求體積，其中根據(jù)已知分析出幾何體的形狀是解答的

關(guān)鍵.

由三視圖可知，這樣的幾何體為長(zhǎng)方體挖一個(gè)半徑為3的1球，根據(jù)體積公式得出答案.

解：由三視圖可知，這樣的幾何體為長(zhǎng)方體挖掉一個(gè)半徑為3的上求，如圖所示，

所以幾何體的體積為

|/=3X3X5--X-X7TX33=45--.

832

故答案為45—手.

26.答案：②③

解析：

本題考查了簡(jiǎn)單多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）及其結(jié)構(gòu)特征，線面平行的判定，空間中的距離，二面

角，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積，面面平行的判定和面面平行的性質(zhì)，考查學(xué)生的

空間想象能力，屬于較難題.

利用正方體的結(jié)構(gòu)特征得QB，平面&Ci。，從而對(duì)①進(jìn)行判斷，利用面面平行的判定得平面

為弓?！ㄆ矫媪Bi，再利用面面平行的性質(zhì)對(duì)②進(jìn)行判斷，利用線面平行的判定得&C〃平面

再利用空間中的距離得點(diǎn)E到平面&DB的距離是定值，再利用三棱錐的體積等量對(duì)③進(jìn)行判斷，

利用求二面角a-4C-8的正弦值對(duì)④進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：對(duì)于①、因?yàn)樵谡襟w4BCD-4B1GD1中，QB1平面&GD,

而過(guò)一點(diǎn)2只能作平面的一條垂線，因此①不正確；

對(duì)于②、因?yàn)樵谡襟w48co-必8停1。1中，AC〃A\C\,A^D/fByC,

而&Ciu平面u平面4傳1。，

4CU平面AiGD,&C仁平面A1GD,

所以AC〃平面&G。，8傳〃平面&GD.

又因?yàn)?Cn8iC=C,4Cu平面4cB0&Cu平面4cB「

所以平面4的?！ㄆ矫媪Bi，

而OEu平面ZCBi，因此OE〃平面4GD,所以②正確；

對(duì)于③、因?yàn)?D〃BiC,AiDu平面4]08,B]C0平面40B,

所以&C〃平面40B.

又因?yàn)镋是BiC（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，

所以點(diǎn)E到平面4DB的距離等于BiC到平面&DB的距離，是定值，

而2L41OB也是一個(gè)定值，

因此%-41°B為定值，所以匕1-80E=%-公￡>8為定值,因此③正確；

對(duì)于④、若正方體48<7。-4/1的。1的棱長(zhǎng)為小

連接當(dāng)0,

因?yàn)锳C_L平面DDiBiB,B]O,OBu平面DD/iB,

所以4c_LBi。，AC1OB,

因此NBiOB是二面角氏-4C-B的平面角，

所以siPBi°B=^=看='，因此④不正確.

~2a

故答案為②③.

27.答案：-3V7

V3

T

解析：

本題考查空間中點(diǎn)的軌跡問(wèn)題及三棱錐的體積，屬于難題.

由于4P=2,則點(diǎn)P在矩形A8C。內(nèi)的軌跡為以A點(diǎn)為圓心的圓上的一段弧，即命，即可求解;要

使C1P的長(zhǎng)度最短，則只需CP長(zhǎng)最短.即連接AC交拆于點(diǎn)尸，即可求解.

解：AAr=2b，P&=4,

則力P=JpA^-AAi2=^42-（2V3）2=2>

點(diǎn)P在矩形A3C。內(nèi)的軌跡為以A點(diǎn)為圓心的圓上的一段弧，即命（不包括端點(diǎn)）,

如圖所示：

設(shè)ZJL4E=9,則乙4EB=Z.DAE=0,

AB73夕

得一百L'

而a=26

則tana=tan20=言焉2碧=-3V7,

在直角三角形GUP中，CiC=2V3.

要使GP的長(zhǎng)度最短，則只需CP長(zhǎng)最短,即連接力C交介于點(diǎn)P,

則CP=AC-AP=I22+（|）2-2=|-2=?

作PH1CD交CD于■H點(diǎn)、,則小CHP-ACDA

1

嘴，，晦吟，得PH/

2

則％-DPC=X。。1=!X：X|X|X2g=

故答案為一3b；f.

28.答案"

127r

解析:

本題考查了正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐與外接球的關(guān)系，棱錐體積與球的表面積求解，難度較高.

設(shè)棱錐的高為SO,可得AC1OB,ACISO,于是4c，平面SBO,得SB1AC,結(jié)合SB1AM可證SB1

平面S4C,同理得出SA,SB,SC兩兩垂直，從而求得側(cè)棱長(zhǎng)，計(jì)算出體積，外接球的球心N在直

線S。上，設(shè)外接球半徑為r,則ON