第1章 整式的乘除（培優(yōu)篇）

整式的乘除（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（培優(yōu)篇）一、單選題1．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．已知xa=3，xb=4，則x3a-2b的值是（

）A． B． C．11 D．193．已知a與b互為相反數(shù)且都不為零，n為正整數(shù)，則下列兩數(shù)互為相反數(shù)的是(

)A．a(chǎn)2n－1與－b2n－1 B．a(chǎn)2n－1與b2n－1 C．a(chǎn)2n與b2n D．a(chǎn)n與bn4．下列選項(xiàng)中不能運(yùn)用平方差公式的有（）A． B．C． D．5．若，則等于（

）A．2020 B．2019 C．2018 D．－20206．下列計(jì)算正確的是（

）A．2÷2﹣1=-1 B． C．(﹣2x﹣2)﹣3=6x6 D．7．若，則a+b=A．-2 B． C．2 D．48．我們規(guī)定一種運(yùn)算：，其中都是有理數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．9．設(shè)，，．若，則的值是（

）A．16 B．12 C．8 D．410．用如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，拼成一個(gè)邊長為的正方形，需要類卡片的張數(shù)為（

）A．6 B．2 C．3 D．4二、填空題11．已知5a=2b=10，那么的值為________.12．計(jì)算：____________.13．已知a=255，b=344，c=433，則a，b，c的大小關(guān)系為______．14．已知，則代數(shù)式值=_______．15．若的積不含項(xiàng)，則___________．16．若，滿足，則的值為___________．17．已知，求________．18．我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項(xiàng)和的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”．請你利用楊輝三角，計(jì)算（a+b）6的展開式中，從左起第四項(xiàng)是_____．三、解答題19．計(jì)算：（ （2）20．已知，求下列各式的值：(1)； (2).21．計(jì)算．(1)(0.25x-)(0.25x+0.25)； (2)(x-2y)(-2y-x)-(3x+4y)(-3x+4y)；(3)(2a+b-c-3d)(2a-b-c+3d)； (4)(x-2)(16+x4)(2+x)(4+x2)．22．（1）化簡：（2）閱讀下面這位同學(xué)的計(jì)算過程，并完成任務(wù)先化簡，再求值：，其中，．解：原式第一步第二步．第三步當(dāng)，時(shí)，原式．第四步任務(wù)：①第一步運(yùn)算用到了乘法公式______（寫出1種即可）；②以上步驟第______步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是______；③請寫出正確的解答過程．23．對于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到，請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式______；（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若，則_____；（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為的長方形紙片拼出一個(gè)面積為長方形圖形，則_______．（4）如圖4所示，將兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形拼在一起，三點(diǎn)在同一直線上，連接和，若兩正方形的邊長滿足，你能求出陰影部分的面積嗎？24．配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成、是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．【解決問題】已知29是“完美數(shù)”，請將它寫成（a、b是整數(shù)）的形式；若可配方成（m、n為常數(shù)），則mn＝；【探究問題】已知，則；已知x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說明理由．【拓展結(jié)論】已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的最值．

參考答案1．A解：根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法，可知=.故選：A【點(diǎn)撥】此題主要考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)，直接利用同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，同底數(shù)的冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，計(jì)算即可.2．B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法和冪的乘方的逆運(yùn)算即可得出結(jié)果．解：x3a-2b=x3a÷x2b=（xa）3÷（xb）2，然后整體代入即可得原式=33÷42=．故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了同底數(shù)冪的除法和冪的乘方，解題關(guān)鍵是明確同底數(shù)冪的除法和冪的乘方的法則，然后逆用代入計(jì)算即可．同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．3．B解：已知a與b互為相反數(shù)且都不為零，可得a、b的同奇次冪互為相反數(shù)，同偶次冪相等，由此可得選項(xiàng)A、C相等，選項(xiàng)B互為相反數(shù)，選項(xiàng)D可能相等，也可能互為相反數(shù)，故選B.4．B【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到結(jié)果．解：A．∵，∴選項(xiàng)A能運(yùn)用平方差公式，不合題意；B．，不能運(yùn)用平方差公式，符合題意；C．∵，∴選項(xiàng)C能運(yùn)用平方差公式，不合題意；D．∵，∴選項(xiàng)D能運(yùn)用平方差公式，不合題意；故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了平方差公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．5．C【分析】將變形為，，代入即可求解．解：∵，∴，，∴=2018．故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)已知代數(shù)式的值求新代數(shù)式的值，將已知條件適當(dāng)變形，代入所求代數(shù)式求解是解題關(guān)鍵．6．D解：試題分析：根據(jù)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，可知2÷2﹣1=21-（-1）=22=4，故不正確；根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，可知=，故不正確；根據(jù)積的乘方，可知(﹣2x﹣2)﹣3=-x6，故不正確；根據(jù)合并同類項(xiàng)法則和負(fù)整指數(shù)冪的性質(zhì)，可知=7x-2=，故正確.故選D7．D解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；解得：，故選D.8．A【分析】依據(jù)去括號和合并同類項(xiàng)法則，按照題目規(guī)定的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算.解：====故選A【點(diǎn)撥】本題目為規(guī)定新運(yùn)算題，考查學(xué)生的閱讀理解，遷移應(yīng)用能力，讀懂規(guī)定的運(yùn)算規(guī)則是解答此題的關(guān)鍵.9．A【分析】先將a=x-2017，b=x-2019代入，得到（x-2017）2+（x-2019）2=34，再變形為（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，然后將（x-2018）作為一個(gè)整體，利用完全平方公司得到一個(gè)關(guān)于（x-2018）的一元二次方程即可解答．解：∵a=x-2017，b=x-2019，a2+b2=34，∴（x-2017）2+（x-2019）2=34，∴（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，∴（x-2018）2+2（x-2018）+1+（x-2018）2-2（x-2018）+1=34，∴2（x-2018）2=32，∴（x-2018）2=16，又∵c=x-2018，∴c2=16.故答案為A．【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式，對所給條件靈活變形以及正確應(yīng)用整體思想是解答本題的關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)大正方形的邊長，可求出大正方形的面積為，根據(jù)完全平方公式，分解為3部分，剛好就是A、B、C這3類圖形面積部分.其中，分解的ab部分的系數(shù)即為B類卡片的張數(shù)．解：大正方形的面積為：其中為A類卡片的面積，∴需要A類卡片一張；同理，需要B類卡片4張，C類卡片4張．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式在幾何圖中的應(yīng)用，遇到這類題目，需要想辦法先將題干轉(zhuǎn)化為我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識，然后再求解．11．1【分析】將題目中所給的式子進(jìn)行化簡和構(gòu)造，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法以及積的乘方證明ab=a+b即可.解：∵5a=10，2b=10∴（5a）b=10b

，（2b）a=10a；即5ab=10b

，2ab=10a∴5ab×2ab=10ab=10b×10a=10a+b即a+b=ab∴=1故答案為1.【點(diǎn)撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，有理數(shù)的乘方，積的乘方.12．2019.【分析】原式利用數(shù)的變形化為平方差公式，計(jì)算即可求出值．解：∵∴=故答案是：2019.【點(diǎn)撥】此題考查了用平方差公式進(jìn)行簡便計(jì)算，熟悉公式特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．13．b＞c＞a【分析】根據(jù)冪運(yùn)算的性質(zhì)，及它們的指數(shù)相同，只需比較它們的底數(shù)的大小，底數(shù)大的就大．解：a=255=（25）11=3211，b=344=（34）11=8111，c=433=（43）11=6411，則b＞c＞a．【點(diǎn)撥】此題要熟練運(yùn)用冪運(yùn)算的性質(zhì)把它們變成相同的指數(shù)，然后根據(jù)底數(shù)的大小比較兩個(gè)數(shù)的大?。?4．14．【分析】根據(jù)方程求出的值，再運(yùn)用完全平方公式可求的值．解：∵，且，∴，即，，，，故答案為：14．【點(diǎn)撥】本題考查了完全平方公式和等式變形，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)膶Φ仁阶冃?，熟練運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算．15．【分析】先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，展開合并后得到，根據(jù)題意得，即可求解a．解：==∵的積不含項(xiàng)，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．16．【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．解：已知等式變形得：，即，∵，，∴，，解得：，，則．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．17．【分析】設(shè)，則；根據(jù)題意，得；再將代入到代數(shù)式中計(jì)算，即可得到答案．解：∵∴設(shè)，則∴，即∴故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了整式運(yùn)算和代數(shù)式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式乘法、完全平方公式的性質(zhì)，從而完成求解．18．20a3b3【分析】通過觀察可知“楊輝三角”的規(guī)律：①每個(gè)數(shù)等于上方兩數(shù)之和．②每行數(shù)字左右對稱，由1開始逐漸變大．③a的指數(shù)從左向右逐漸變小，b的指數(shù)由左向右逐漸變大．依據(jù)此規(guī)律，可得出最后答案．解：由題意可知：每個(gè)數(shù)等于上方兩數(shù)之和，∴（a+b）5的展開式中系數(shù)從左向右分別是1，5，10，10，5，1，∴（a+b）6的展開式中系數(shù)從左向右分別是1，6，15，20，15，6，1，又∵a的指數(shù)從左向右逐漸變小，b的指數(shù)由左向右逐漸變大，∴（a+b）6展開式左起第四項(xiàng)是20a3b3，故答案為：20a3b3．【點(diǎn)撥】本題屬于規(guī)律探索型問題，考查觀察以及歸納總結(jié)能力，找到蘊(yùn)含的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．19．5；7.試題分析：根據(jù)冪的計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.解：（1）原式=1-+9-4=5（2）原式=9－－=7.考點(diǎn)：冪的計(jì)算20．(1)7(2)5【分析】（1）將兩邊平方后，利用完全平方公式將等式左邊計(jì)算后即可得出所求代數(shù)式的值；（2）給（1）中的式子減去2，利用完全平方公式即可得出所求代數(shù)式的值．(1)解：∵，∴，即，∴．(2)解：∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查通過對完全平方公式的變形求值．熟練掌握完全平方公式并能靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．21．(1)x2-(2)8x2-l2y2(3)(2a-c)2-(b-3d)2(4)x8-256試題分析：（1）把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，提公因式后用平方差公式計(jì)算；（2）先用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再去括號，合并同類項(xiàng)；（3）先分組[(2a-c)+(b-3d)][(2a-c)-(c-3d)]，再用平方差公式運(yùn)算；（4）將原式化為(x-2)(x+2)(x2+4)(x4+16)，再用平方差公式運(yùn)算.解：（1）原式===；（2）原式=(-2y+x)(-2y-x)-(4y+3x)(4y-3x)==；（3）原式=[(2a-c)+(b-3d)][(2a-c)-(b-3d)]=；（4）原式=(x-2)(x+2)(x2+4)(x4+16)=x8-256.22．（1）；（2）①平方差公式或完全平方公式或或（寫出1種即可）；②一，丟了括號或去括號時(shí)符號出錯(cuò)（合理即可）；③-16【分析】（1）利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）①平方差公式或完全平方公式；②根據(jù)去括號法則可知第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；③根據(jù)整式的混合運(yùn)算順序解答即可．解：（1）原式（2）①第一步運(yùn)算用到了乘法公式或；故答案為：或．②以上步驟第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是去括號時(shí)符號錯(cuò)誤；故答案為：一；去括號時(shí)符號錯(cuò)誤．③當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運(yùn)算法則．23．（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）30；（3）9；（4）20【分析】（1）由大正方形等于9個(gè)長方形面積的和；（2）將所求式子轉(zhuǎn)化為，代入已知條件即可；（3）將式子化簡為，即可確定、、的值；（4）陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形面積減去兩個(gè)直角三角形面積．解：（1）由圖可知大正方形面積為，大正方形由9個(gè)長方形組成，則有；故答案為；（2）由（1）可得，，，；故答案為155；（3），，，，；故答案為9；（4）由已知，陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形面積減去兩個(gè)直角三角形面積，即，，，．【點(diǎn)撥】本題考查因式分解的應(yīng)用；熟練掌握因式分解的方法，能夠利用正方形與三角形面積靈活處理不規(guī)則圖形面積是解題的關(guān)鍵．24．(1)；(2)﹣12；(3)﹣1；(4)S是一個(gè)“完美數(shù)”，理由見分析；(5)﹣．【分析】（1）把29分為兩個(gè)整數(shù)的平方即可；（2）原式利用完全平方公式配