第03講 空間中平行、垂直問(wèn)題10種常見考法歸類解析版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第03講空間中平行、垂直問(wèn)題10種常見考法歸類1.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，歸納出有關(guān)平行的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明；2.能利用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．3.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關(guān)系，歸納出有關(guān)垂直的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明；4.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．1．直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β性質(zhì)兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b3.常用結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥B．(4)若α∥β，a?α，則a∥β.4．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,,l⊥b,,a∩b＝O,,a?α,,b?α))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b5.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).6．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB．(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.7．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α8．常用結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法)．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．1、線面平行的判定及其性質(zhì)解題策略(1)利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線．(2)利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造過(guò)該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形．(3)在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)清經(jīng)過(guò)已知直線的平面和已知平面相交，這時(shí)才有直線與交線平行．2、面面平行的判定及其性質(zhì)解題策略(1)判定面面平行的主要方法①利用面面平行的判定定理．②線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行)．(2)面面平行條件的應(yīng)用①兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行．②兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行．3、證明平行關(guān)系的常用方法熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法．4、證明平行關(guān)系的常用方法熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法．5、證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系．(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)．(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直線與平面垂直的性質(zhì)．6、面面垂直的判定及其性質(zhì)的解題策略(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(2)已知平面垂直時(shí)，解題一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．7、平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用(1)在證明線面、面面平行時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的，不可過(guò)于“模式化”．(2)在證明線面垂直、面面垂直時(shí)，一定要注意判定定理成立的條件，同時(shí)抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系．特別在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決．考點(diǎn)一：直線與平面平行、垂直位置關(guān)系的判斷例1．（2023春·山東濱州·高一統(tǒng)考期中）設(shè)a，b是兩條不同的直線，是平面，，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】從充分性及必要性兩個(gè)角度分析.【詳解】由線面平行性質(zhì)定理，，，方可推出，“”不是“”的充分條件；可在平面內(nèi)找到一條直線與平行，不一定有，故“”不是“”的必要條件；綜上，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.變式1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥校┤魹槠矫?，有下列命題，其中真命題的是（

）A．若直線平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則B．若直線在平面外，則平面C．若直線，直線平面，則平面D．若直線平面，則平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線【答案】D【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系可直接判斷.【詳解】A項(xiàng)還可能，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)還可能與平面相交，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)還可能，故C錯(cuò)誤；由直線與平面平行的性質(zhì)以及平行的傳遞性可知D正確.故選：D.變式2．【多選】（2023春·廣東廣州·高一廣州市第六十五中學(xué)?？计谥校┰O(shè)l，m是空間中不同的直線，，，是不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若，，，則【答案】AD【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，可判定A正確；根據(jù)兩平行平面內(nèi)的直線平行或異面，可判定B不正確；根據(jù)面面平行的判定定理，可判定C不正確；根據(jù)根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，.若，，，根據(jù)線面平行的判定定理，可得，所以A正確；對(duì)于B中，若，，，則直線與平行或異面，所以B不正確；對(duì)于C中，若，，，，只有當(dāng)與相交時(shí)，才能得到，所以C不正確；對(duì)于D中，若，，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得，所以D正確.故選：AD.變式3．【多選】（2023春·吉林·高一校聯(lián)考期中）設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】ABD【分析】根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，，，則或相交，因?yàn)槿舳寂c交線平行，此時(shí)，，但此時(shí)兩個(gè)平面相交，故A錯(cuò)誤；B.直線垂直于平面的兩條相交直線，直線與平面垂直，所以根據(jù)線面垂直的判斷定理可知，B錯(cuò)誤；C.若，，則，故C正確；D.若，，，則，或異面，故D錯(cuò)誤.故選：ABD變式4．【多選】（2023春·浙江·高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中），，是不同的直線，，是不同的平面，下面條件中能證明的是（

）A．，，，，B．，，C．，D．，【答案】AD【分析】由線面垂直定義，線面垂直判定定理，面面垂直性質(zhì)定理可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，可知直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則，故A正確；B選項(xiàng)，缺少條件，不能保證，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，此時(shí)有可能與兩平面交線不垂直，此時(shí)不能保證，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因，，則，故D正確.故選：AD例2．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谥校┮粋€(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論，其中正確的是（

）A． B．與所成的角為60°C．與是異面直線 D．平面【答案】ACD【分析】將平面圖形還原為立體圖形，，，A正確B錯(cuò)誤，觀察知C正確，根據(jù)平面平面得到D正確，得到答案.【詳解】如圖所示，將平面圖形還原為立體圖形，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：，，故，A正確B錯(cuò)誤；與是異面直線，C正確；平面平面，平面，平面，D正確.故選：ACD變式1．【多選】（2023春·浙江·高一湖州中學(xué)校聯(lián)考期中）已知在正四面體中，、、、分別是棱，，，的中點(diǎn)，則（

）A．平面 B．C．平面 D．、、、四點(diǎn)共面【答案】ABD【分析】把正四面體放到正方體里，對(duì)于A項(xiàng)根據(jù)線面平行的判定定理證明對(duì)于B項(xiàng)，從正方體的角度上看易得對(duì)于D項(xiàng)，證明四邊形是平行四邊形可驗(yàn)證對(duì)于C項(xiàng)，反證法證明，矛盾點(diǎn)是與的夾角.【詳解】把正四面體放到正方體里，畫圖為：對(duì)于A項(xiàng)，、分別為，的中點(diǎn)，又平面且平面平面，故A正確對(duì)于B項(xiàng)，從正方體的角度上看易得，故B正確.對(duì)于D項(xiàng)，、、、分別是棱，，，的中點(diǎn)且且所以所以四邊形是平行四邊形，故、、、四點(diǎn)共面，所以D正確.對(duì)于C項(xiàng)，若平面成立，即平面又因?yàn)槠矫嫠杂忠驗(yàn)?、分別為，的中點(diǎn)，所以所以而為等邊三角形，與矛盾，所以C不正確.故選：ABD變式2．【多選】（2023春·廣西柳州·高一柳州地區(qū)高中?？计谥校┤鐖D，正方體的棱長(zhǎng)為，且，分別為，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．平面B．C．直線與平面所成角為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【分析】取棱中點(diǎn)，利用線面平行的判定推理判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷B；求出EF與平面ABCD所成的線面角判斷C；使用等積法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】在正方體中，取棱中點(diǎn)，連接，

因?yàn)镸，N分別為AC，的中點(diǎn)，則，因此四邊形為平行四邊形，則平面，平面，所以平面，A正確；因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，B正確；顯然平面，則是與平面所成的角，又，有，由于，所以直線MN與平面ABCD所成的角為，C錯(cuò)誤；等邊三角形的面積為，設(shè)到平面的距離為，由得，解得，D正確.故選：ABD考點(diǎn)二：證明線面平行例3．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D：在正方體中，M為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)N，使得平面平面，說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析【分析】（1）連接BD交AC于O，連接MO，通過(guò)證明可證明結(jié)論；（2）上的中點(diǎn)N即滿足平面平面，通過(guò)證明平面結(jié)合平面可證明結(jié)論.【詳解】（1）連接BD交AC于O，連接MO.∵為正方體，底面為正方形，∴O為BD的中點(diǎn).∵M(jìn)為的中點(diǎn)，在中，OM是的中位線，所以.又平面，平面，∴平面；（2）上的中點(diǎn)N即滿足平面平面，∵N為的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；由（1）知平面，又∵，∴平面平面.

變式1．（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┰谥比庵校阎狣為的中點(diǎn).求證：平面.

【答案】證明見解析【分析】連接交于點(diǎn)，連接，利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】證明：連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：

在三棱柱中，且，則四邊形為平行四邊形，因?yàn)椋瑒t為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?變式2．（2023春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)設(shè)直線與底面所成角的正切值為，，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位線得線線平行，再證線面平行即可；（2）根據(jù)線面夾角得定義及已知可求得AB長(zhǎng)，再根據(jù)線面垂直判定直線與平面所成角即∠CPD，解三角形即可.【詳解】（1）連接，記，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又，，∴平面；

（2）因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成線面角，則.

因?yàn)榫匦沃?，所?

因?yàn)槠矫妫矫?，所以，?jì)算可得.又，，，平面，所以，所以即為直線與平面所成線面角，解得.例4．（2023春·陜西延安·高一陜西延安中學(xué)校考期中）在四面體中，四邊形是矩形，且.(1)證明：平面；(2)證明：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）證明平面，即可證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，?由于平面,平面,故平面,又平面,平面平面,故,又平面,平面,故平面.（2）因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?，由?）知,故,又，平面,所以平面.變式1．（2023春·北京朝陽(yáng)·高一清華附中朝陽(yáng)學(xué)校?？计谥校┤鐖D所示，在四棱錐中，平面，，是的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求證：平面；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（2）取的中點(diǎn)，連接，由（1）可證明是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可得平面.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，平面，平面，且平面平面，由線面平行的性質(zhì)定理可得；（2）取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：

由是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，可得，且；由（1）知，且，所以，且；所以四邊形是平行四邊形，即，又平面，平面；所以平面.變式2．（2023春·天津和平·高一天津市第二十一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB中點(diǎn)，過(guò)A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于M.求證：

(1)平面ANC；(2)M是PC中點(diǎn).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連結(jié)BD，AC，設(shè)，連結(jié)NO，由線面平行的判定定理證明；（2）先證線面平行，再由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行，從而得證結(jié)論．【詳解】（1）連結(jié)BD，AC，設(shè)，連結(jié)NO，∵ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點(diǎn)，在中，N是PB的中點(diǎn)，∴，又平面ANC，平面ANC，∴平面ANC.（2）∵底面ABCD為平行四邊形，∴，∵平面ADMN，平面ADMN，∴平面ADMN.∵平面平面，BC在面PBC內(nèi)，∴，又N是PB的中點(diǎn)，∴M是PC的中點(diǎn).

例5．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谥校┤鐖D,在四棱錐中,平面,平面,底面為矩形,點(diǎn)在棱上,且與位于平面的兩側(cè).(1)證明:平面;(2)若,,,試問(wèn)在線段上是否存在點(diǎn),使得與的面積相等？若存在,求到的距離;若不存在,說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在,【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得,根據(jù)線面平行的判定定理即可得平面,根據(jù)及線面平行的判定定理即可得平面,根據(jù)及面面平行的判定定理即可得平面平面,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證明;(2)過(guò)作,垂足為,過(guò)作,垂足為,連接,過(guò)作,垂足為,連接,先根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面,可得,同理可得,根據(jù)與的面積相等,底相同,可得高也相同,即,設(shè),根據(jù)三角形相似及邊長(zhǎng)之間關(guān)系,找到各個(gè)長(zhǎng)度,根據(jù)勾股定理求出,再求出,建立等式解出即可.【詳解】（1）證明:因?yàn)槠矫?平面,所以,因?yàn)槠矫?平面,所以平面,因?yàn)榈酌鏋榫匦?所以,因?yàn)槠矫?平面,所以平面,因?yàn)?且平面,平面,所以平面平面,又因?yàn)槠矫?所以平面;（2）設(shè)線段上存在點(diǎn)使得與的面積相等,過(guò)作,垂足為,因?yàn)槠矫?所以,故,所以,故,因?yàn)?所以,過(guò)作,垂足為,連接,過(guò)作,垂足為,連接,如圖所示:因?yàn)榈酌?,所以底面,所以,又,,所以平面,因?yàn)槠矫鎰t,同理可得,因?yàn)榕c的面積相等,所以,在中,根據(jù)等面積法可得,則,設(shè),,則,因?yàn)?所以,所以,因?yàn)?所以,所以,整理得,因?yàn)?所以,故存在,且到的距離為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:此題考查立體幾何中線面關(guān)系及點(diǎn)存在問(wèn)題的綜合問(wèn)題,屬于難題,關(guān)于點(diǎn)存在問(wèn)題的解題方法有:(1)先假設(shè)其存在;(2)然后將假設(shè)作為條件與已知條件一起進(jìn)行推理論證和計(jì)算;(3)在推理論證和計(jì)算無(wú)誤的前提下,得到了合理的結(jié)論,則說(shuō)明存在;(4)如果得到不合理的結(jié)論,則說(shuō)明不存在.變式1．（2023春·浙江·高一期中）三棱柱的棱長(zhǎng)都為2，D和E分別是和的中點(diǎn)．(1)求證：直線平面；(2)若，點(diǎn)B到平面的距離為，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）法一，根據(jù)中位線可得線線平行，證明面面平行再證線面平行，法二，作出輔助線，證明，即可得證；（2）根據(jù)線面平行可得，由等體積法求解.【詳解】（1）在三棱柱中，，取中點(diǎn)F，連接DF，EF，∵D和E分別是和的中點(diǎn)，，又面，面，且面，面，∴//面，EF//面，又，面，∴面//平面，而面DEF，故直線//平面．法二，連接CE交于點(diǎn)G，連接CD交于點(diǎn)H，連接HG，如圖，在三棱柱中，，，∴，，∴，則，又面，面，∴直線平面.（2）如圖，∵直線//平面，∴，又，所以平行四邊形邊上的高，由B到面的高，則.考點(diǎn)三：證明面面平行例6．（2023春·廣東湛江·高一湛江二十一中校考期中）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用中位線定理與空間平行線的傳遞性，推得，由此得證；（2）利用線面平行的判定定理證得EF平面BCHG，A1E平面BCHG，從而利用面面平行的判定定理即可得證.【詳解】（1）∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)∴GH是的中位線，∴GHB1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．（2）∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EFBC，∵平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF平面BCHG，∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，∴A1GEB，，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1EGB，∵平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E平面BCHG，∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1平面BCHG.變式1．（2023春·山東臨沂·高一?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)是正方形所在平面外一點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若中點(diǎn)為，求證：平面平面.(3)若平面，，求直線與面所成的角.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，即可證明四邊形為平行四邊形，所以，從而得證；（2）依題意可得即可得到平面，再結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得證；（3）依題意可得平面平面，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，則即為直線與面所成的角，再根據(jù)邊長(zhǎng)的關(guān)系得解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且，又是的中點(diǎn)，是正方形，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)所以，又平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面.（3）因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，又為正方形，所以，平面，平面平面，所以平面，所以即為直線與面所成的角，又，所以為等腰直角三角形，所以，即直線與面所成的角為.變式2．（2023春·河南洛陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）如圖所示，在三棱柱中，分別是，，的中點(diǎn)，求證：(1)平面；(2)平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）先證明平面，再證明平面,根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結(jié)論.【詳解】（1）證明：∵分別是的中點(diǎn)，∴,又在三棱柱中，，所以．又平面，平面，所以平面.（2）證明：由（1）知，平面，平面，∴平面，又∵分別為中點(diǎn)，故，,又∵，∴,∴四邊形為平行四邊形，∴,又∵平面，平面，∴平面,又∵平面,∴平面平面．變式3．（2023春·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)校考期中）如圖：已知三棱柱中，D為BC邊上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，且∥平面．證明：平面平面．【答案】證明見解析【分析】連接與交于點(diǎn)，由線面平行的性質(zhì)定理可得，從而為中點(diǎn)，進(jìn)而可得四邊形為平行四邊形，，由線面平行的判定定理得平面，再利用面面平行的判定定理證得結(jié)論.【詳解】連接與交于點(diǎn)，連接，∵平面，平面，平面平面，∴，又為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴．又平面，平面，∴平面．又平面,，平面所以平面平面．變式4．（2022春·安徽蕪湖·高一校考期中）如圖，在正四面體中，，，，分別是，，的中點(diǎn)，取，的中點(diǎn)，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)(1)求證：平面平面(2)若平面，求線段的最小值，【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先由線面平行判定定理證明線面平行，再由面面平行判定定理證明面面平行即可；（2）由面面平行確定點(diǎn)在線段上，再求在邊上的高，即的最小值.【詳解】（1）∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面，又∵，平面，平面，∴平面平面.（2）由（1）知，平面平面，∴若平面內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，則在線段上，∴線段的最小值為到直線的距離，即在邊上的高，∵，分別為，的中點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，，又∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，同理，∴當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)在邊上的高，取最小值，∴線段的最小值.考點(diǎn)四：線面平行和面面平行性質(zhì)的應(yīng)用例7．（2023春·福建·高一校聯(lián)考期中）如圖，在三棱臺(tái)中，，，，為線段中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，平面．(1)求證：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；(2)求三棱臺(tái)的表面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，設(shè)，由平面，證得，結(jié)合是的中點(diǎn)，得到點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）根據(jù)題意，先求得上下底面正三角形的面積分別和，再結(jié)合側(cè)面和側(cè)面均為直角梯形，求得面積為，由側(cè)面為等腰梯形，過(guò)點(diǎn)作，求得的長(zhǎng)，得到側(cè)面的面積為，即可求解.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接、，因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面，所以，又因?yàn)樗倪呅问钦叫?，且是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的中點(diǎn).（2）三棱臺(tái)中，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以也為等邊三角形，且，上底面為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為1，可得面積為，下底面為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為2，可得面積為，又因?yàn)?，所以?cè)面和側(cè)面均為直角梯形，且，其面積均為，側(cè)面為等腰梯形，其中，且,過(guò)點(diǎn)作，垂足為，可得，所以側(cè)面的面積為，所以三棱臺(tái)的表面積為.變式1．（2023春·浙江臺(tái)州·高一臺(tái)州一中校考期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，且，，，，平面平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，平面MAC．(1)判斷M點(diǎn)在PB的位置并說(shuō)明理由；(2)記直線DM與平面PAC的交點(diǎn)為K，求的值；(3)若異面直線CM與PA所成角的余弦值為，求二面角的平面角的正切值．【答案】(1)M為PB上靠近B的三等分點(diǎn)，理由見解析(2)(3)【分析】（1）連接BD交AC于O，由平面MAC，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得答案；（2）連接OP，則，由可求得結(jié)果；（3）取AD中點(diǎn)H，過(guò)M作，可知，取AB靠近A的三等分點(diǎn)N，可知，所以或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，由條件證得平面ABCD，平面ABCD，令，計(jì)算，，，，利用余弦定理，由得，解得，過(guò)G作交CD于Q，由平面MGQ得，所以就是所求二面角的平面角，求解即可.【詳解】（1）連接BD交AC于O，連接OM，因?yàn)槠矫鍹AC，平面PBD，平面平面，則．因?yàn)?，所以，則O為BD靠近B的三等分點(diǎn)，所以M為PB上靠近B的三等分點(diǎn)．（2）如圖，連接OP，則，因?yàn)椋瑒t．（3）取AD中點(diǎn)H，連接PH，HB，過(guò)M作，可知．取AB靠近B的三等分點(diǎn)N，連接MN，NC，可知，所以或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，如圖．因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面ABCD，，平面，所以平面ABCD，因此平面ABCD．令，，計(jì)算得：，，，，，所以，，即，解得．過(guò)G作交CD于Q，連接MQ．平面ABCD，平面ABCD,,，平面MGQ，平面MGQ，平面MGQ，，所以就是所求二面角的平面角，所以，．變式2．（2023春·福建三明·高一三明一中?？计谥校┤鐖D，已知四棱錐的底面為菱形，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面過(guò)、、三點(diǎn)且與面交于直線，交于點(diǎn).(1)求證：面面；(2)求證：；(3)求平面與平面所成夾角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）取中點(diǎn)記為，可得，，由勾股定理可證明，，從而得面，即可得證；（2）取、中點(diǎn)分別記為、，可得四邊形為菱形，記交于點(diǎn)，平分、，可知面，由且，故，進(jìn)而證得結(jié)論；（3）取中點(diǎn)記為，再取、上、兩點(diǎn)，使得，，由（1）結(jié)論可知，面，進(jìn)而可得，，故平面與平面所成夾角為，求解即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)記為，連接和，由于，，得為等邊三角形，故，，由，，得，則，，，由，得，由，，，、面，得面，又由面，得面面；（2）取、中點(diǎn)分別記為、，連接、、、、、，由中位線定理得MN∥DC，MN＝DC，同理SR∥AB，SR＝AB，又AB∥DC，AB＝DC，則MN∥SR，MN＝SR，則為平行四邊形，又NR＝CB，MN＝DC，CB＝DC，則NR＝MN，則四邊形為菱形，記交于點(diǎn)，平分、，∵面且面，又∵面且面，∴面，在面中，且，故，進(jìn)而；（3）取中點(diǎn)記為，再取、上、兩點(diǎn)，使得，，，由（1）結(jié)論可知，面，又面，故而，又，故而，且有，，連接，由，，，面，則面，面，可知，故平面與平面所成夾角為，，即平面與平面所成夾角的正切值為.例8．（2022春·黑龍江·高一哈九中?？计谥校┤鐖D，平面平面平面，異面直線分別與平面相交于點(diǎn)和點(diǎn)．已知，，，求、、的長(zhǎng)．【答案】，，【分析】連接交平面于點(diǎn)，連接，，利用面面平行的性質(zhì)定理得到，，再根據(jù)三角形相似得到對(duì)應(yīng)邊的比例，利用相似比例即可得到答案.【詳解】連接交平面于點(diǎn)，連接，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面于，平面平面于，所以，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，所以，，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面于，平面平面于，所以，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，?變式1．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市第十四中學(xué)?？计谀┤鐖D，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，，，，.(1)求點(diǎn)F到平面ABCD的距離；(2)證明：平面平面ADF，并說(shuō)明在平面EBC上，一定存在過(guò)C的直線l與直線FD平行.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面ABCD即可；（2）先證明平面平面ADF，再利用面面平行的性質(zhì)定理證明.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，又，AB?CD是相交直線，所以平面ABCD，所以點(diǎn)F到平面ABCD的距離；（2）證明：由題意得，平面ADF，平面ADF，所以平面ADF，同理平面ADF，又，所以平面平面ADF.設(shè)平面平面，則l過(guò)C點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫鍭DF，平面平面，平面平面，所以.變式2．（2021春·廣東中山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)、、分別是棱、、的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，．（1）若平面交平面于直線，求證：；（2）若直線平面，試作出平面與正方體各個(gè)面的交線，并寫出作圖步驟，保留作圖痕跡；設(shè)平面與棱交于點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）作圖步驟見解析，三棱錐的體積為【分析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得到，再結(jié)合線線平行的傳遞性即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)公理“一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)”作出平面與正方體各個(gè)面的交線即可；根據(jù)四點(diǎn)共面，且三角形與三角形面積相等，那么三棱錐的體積等于三棱錐的體積，直接利用三棱錐的體積公式求解即可．【詳解】解：（1）證明：在正方體中，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面所以，因?yàn)辄c(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，所以，所以．（2）作圖步驟如下：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，再連接，，，則圖中，，，，，即為平面與正方體各個(gè)面的交線．設(shè)，因?yàn)?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，又因?yàn)椋渣c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)?，即，解得，∵，，，∴，如上圖，設(shè)為線段的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以在正方體中，有，所以平面，所以因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋云矫?，即平面與平面重合，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，且三角形與三角形面積相等，因?yàn)橹本€平面，平面，所以，又因?yàn)椤鳎?，所以，所以，，所以三棱錐的體積為．【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面垂直以及幾何體的表面積和體積的求法，考查空間想象能力記憶計(jì)算能力，屬于難題．其中第二問(wèn)解題的關(guān)鍵字在于根據(jù)公理“一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)”作出圖形，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置求解.考點(diǎn)五：證明線線垂直例9．（2023春·吉林·高一長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．將分別沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)P．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案;（3）作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)樵谡叫沃?，折疊后即有，又平面，所以平面，而平面,故；（2）由題意知，故，故；（3）取線段的中點(diǎn)G，連接，因?yàn)?，所以有，平?平面,所以即為二面角的平面角，又由（1）得平面，平面，故,而,,故,即二面角的余弦值為.變式1．（2022春·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在直三棱柱中，，G是棱的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)證明：平面平面．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；【分析】（1）由線面垂直得到，從而求出平面，得到；（2）根據(jù)正方形得到，結(jié)合第一問(wèn)求出的，得到平面，從而證明面面垂直.【詳解】（1）∵平面，且平面，∴．又因?yàn)椋矫?，所以平面．∵平面，∴．?）∵，易知矩形為正方形，∴．由（1）知，又由于平面，∴平面．又∵平面，∴平面平面．變式2．（2023春·廣東廣州·高一廣州市第七中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐的底面是矩形，平面，E，F(xiàn)分別的中點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）通過(guò)構(gòu)造平行四邊形的方法來(lái)證得線面平行；（2）結(jié)合線面垂直的判定定理來(lái)證得平面，進(jìn)而可證明線線垂直.【詳解】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，由于是的中點(diǎn)，所以,由于是的中點(diǎn)，四邊形是矩形,所以.所以,所以四邊形是平行四邊形,所以,因?yàn)槠矫?平面,所以平面.（2）由于平面，平面，所以,因?yàn)?,平面，所以平面,因?yàn)槠矫?所以,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,因?yàn)?平面,以平面,又因?yàn)槠矫?所以.變式3．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)，商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑.陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也.”陽(yáng)馬是指底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.如圖，已知四棱錐為一個(gè)陽(yáng)馬，面，是上的一點(diǎn).(1)求證：；(2)若，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）先利用線面垂直判定定理證得面，進(jìn)而證得；（2）利用線面平行判定定理即可證得平面【詳解】（1）面，面，則，又，，面，則面，又面，則（2）取中點(diǎn)T，連接，又，則，又，則，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面.考點(diǎn)六：證明線面垂直例10．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，，，，，，，.(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）通過(guò)勾股定理，證明出可證得平面.（2）作，垂足為H，連結(jié)，證得為與平面所成的角，在中求即可.【詳解】（1）∵，，，由勾股定理得：，中，，∵，∴，又因?yàn)榈酌?，底面，所以，又因?yàn)榍移矫?，∴平面，?）作，垂足為H，連結(jié)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，所以為與平面所成的角，中，，，所以直線與平面所成角的余弦值為.變式1．（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┤鐖D，在直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)．求證：平面.

【答案】證明見解析【分析】證明出平面，可得出，再證明出，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】證明：因?yàn)?，，則，所以，，在直三棱柱中，平面，因?yàn)槠矫妫?，，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，，連接，如下圖所示：

因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，同理，在?cè)面內(nèi)，則，又因?yàn)?，所以，四邊形為正方形，故，因?yàn)?，、平面，因此，平?變式2．（2023春·四川成都·高一成都實(shí)外校考期末）如圖四邊形ABCD是矩形，平面BCE，，點(diǎn)F為線段BE的中點(diǎn).

(1)求證：平面ABE；(2)求證：平面ACF.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可得答案；（2）連接交于點(diǎn)，連接，由中位線定理可得，再由線面平行的判定定理可得答案.【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍮CE，平面BCE，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面ABE；（2）

連接交于點(diǎn)，連接，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)F為線段BE的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?變式3．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考期中）已知棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱，M，N分別為棱，中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)證明：平面．【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；【分析】（1）利用線面平行判定定理即可證得平面；（2）利用線面垂直判定定理即可證得平面．【詳解】（1）設(shè)，連接又棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱中，M，N分別為棱，中點(diǎn)．則，，則，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面；（2）取中點(diǎn)S，連接，則又面面，面面，面，則面，又面，則又正方形中，，則,則，又，則，則，又，，面，則面，又面，則，又正方形中，，，平面，則平面．變式4．（2023春·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？计谥校┤鐖D，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，交于點(diǎn)，，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成的角．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用已知條件結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線面角的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）在正方形中，，因?yàn)椋?，又因?yàn)閭?cè)面是正方形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，則，而，∴，而，又平面，∴平面（2）連接，如圖所示：∵為正方形，，∴，而平面，∴平面，∴為直線與平面所成的角，∵，∴，所以直線與平面所成的角為.變式5．（2023春·廣東廣州·高一廣州四十七中?？计谥校┤鐖D，在三棱錐中，底面，點(diǎn)D、E分別在棱上，且．(1)求證平面；(2)當(dāng)D為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)及判定推理作答.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論及已知，利用線面角的定義，求出AD與平面PAC所成角的正弦值.【詳解】（1）在三棱錐中，底面，底面，則，而，有，又，平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，而，則平面，于是是與平面所成的角，令，在中，，，D為的中點(diǎn)，則有，顯然為的中位線，于是，在中，，所以與平面所成角的正弦值是.變式6．（2023春·天津和平·高一天津一中?？计谥校┤鐖D，已知平面ABC，，，，，，點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面，得到平面，即可得到平面平面，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得到平面；（2）根據(jù)，點(diǎn)為中點(diǎn)得到，即可將直線與平面所成角轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角，由（1）的結(jié)論可得為直線與平面所成角，然后利用勾股定理得到，的長(zhǎng)度，即可求直線與平面所成角.【詳解】（1）∵平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，∵，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∵平面平面，平面，∴平面.（2）取中點(diǎn)，連接，，∵，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴四邊為平行四邊形，∴，∴直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，∵平面，∴為直線與平面所成角，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，，∴，，，∴，又，所以，所以直線與平面所成角為.考點(diǎn)七：證明面面垂直例11．（2023春·吉林·高一長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面⊥底面，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面⊥平面；(3)求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮?1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)【分析】（1）利用線面平行判斷判定定理即可證得平面；（2）先利用線面垂直判定定理證得面，進(jìn)而證得平面⊥平面；（3）先求得直線與平面所成角的正弦值，進(jìn)而求得該角的大小.【詳解】（1）取中點(diǎn)S，中點(diǎn)T，連接,又E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則,又，則，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面.（2）在△中，，，由，可得，由面⊥面，面面，，面，可得面，又面，則，又，，面，則面，又面，則平面⊥平面；（3）連接，△中，，則，又面⊥面，面面，面，則面，則為點(diǎn)P到面的距離，又E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到面的距離為，又△中，，，，則，，則點(diǎn)E到面的距離為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，則則直線與平面所成角的大小為變式1．（2023春·安徽六安·高一六安一中?？计谥校┰谛比庵?，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱，頂點(diǎn)在平面的射影為邊的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明線面垂直，再根據(jù)面面垂直判定定理證明面面垂直即可；（2）應(yīng)用等體積方法求解點(diǎn)到平面距離.【詳解】（1）且為的中點(diǎn)，，又平面平面，平面.故平面，又平面，平面平面.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，根據(jù)等體積公式可得，解得-變式2．（2023春·浙江杭州·高一杭師大附中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，．(1)求證：平面平面ABC；(2)求SC與平面SAB所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，則，連接,,利用勾股定理得出，然后利用線面垂直判定定理得出平面，再利用面面垂直判定定理即可得出結(jié)論.（2）由（1）知，作，連接，由面面垂直的性質(zhì)定理知平面，故即為所求角，再由，即可得出答案.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，，，，，，，又平面，平面，且，所以平面，又平面，所以平面平面ABC.（2）由（1）知，過(guò)作于，連接，如圖，平面平面ABC，平面平面,平面，則平面，即為SC與平面SAB所成的角，在中，，，故SC與平面SAB所成的角的正弦值為.變式3．（2023春·福建南平·高一福建省政和第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的直徑，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，垂直于所在的平面

(1)證明：平面丄平面；(2)設(shè)

，求點(diǎn)A到平面PBC的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）通過(guò)證明，可證明結(jié)論；（2）過(guò)A作PC垂線，垂足為D.由（1）可得AD為點(diǎn)A到平面PBC的距離，即可得答案.【詳解】（1）因是的直徑，則.因垂直于所在的平面，平面ABC，則.因平面PAC，則平面PAC.又平面PBC，則平面丄平面；（2）如圖，過(guò)A作PC垂線，垂足為D.因平面丄平面，平面平面，平面PAC，則平面PBC，即AD為點(diǎn)A到平面PBC的距離.又，垂直于所在的平面，則.則在中，.即點(diǎn)A到平面PBC的距離為.

考點(diǎn)八：面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用例12．（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為棱的中點(diǎn)，，．

(1)求證：平面；(2)求二面角平面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)論成立；（2）分析出二面角的平面角為，分析出為等腰直角三角形，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，因此，平?（2）解：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，且，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，則二面角的平面角為，因?yàn)椋?，所以，為等腰直角三角形，?故二面角為.變式1．（2023春·廣東深圳·高一翠園中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面五邊形ABCDE中，AB//DC，∠BCD＝90°，，，，，，，垂足為H，將△ADE沿折起（如圖），使得平面ADE⊥平面ABCD．(1)求證：⊥平面ABCD；(2)求三棱錐的體積；(3)在線段BE上是否存在點(diǎn)M，使得//平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)證明即可；（2）利用等體積法，由求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)H作平行線得出與平面CDE平行的平面，然后利用三角形一邊平行線的性質(zhì)求解.【詳解】（1）因?yàn)?，平面平面ABCE，平面平面，平面ADE，所以⊥平面ABCD；（2）在直角三角形ADE中，∵，，∴，，∴，∠BCD＝90°，，的面積，所以三棱錐C－ADE的體積為；（3）方法一：過(guò)點(diǎn)H作HN∥DE交AE于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NM∥AB交EB于點(diǎn)M，連接．又因?yàn)锳B∥DC，所以∥，又平面CDE，平面CDE，所以∥平面CDE，同理∥平面CDE，又因?yàn)?，平面，平面，所以平?/平面CDE．因?yàn)槠矫?，所?/平面CDE．在中，，，又，，，，又，所以在線段BE上是否存在點(diǎn)M，使得∥平面，且.方法二：過(guò)點(diǎn)H作//交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作//交EB于點(diǎn)M，連接．又因?yàn)椤危矫?，平面，所以∥平面，同理∥平面．又因?yàn)?，平面，平面，所以平面∥平面．因?yàn)槠矫?，所以∥平面．在中，，，又，，，，，又，，所以在線段BE上是否存在點(diǎn)M，使得∥平面，且．變式2．（2023春·安徽六安·高一六安一中校考期中）如圖，在三棱柱中，，平面平面.

(1)求證：；(2)點(diǎn)E是線段BC中點(diǎn)，在線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面，并說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析【分析】（1）利用線面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理即可求解；（2）利用三角形的中位線定理及平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合線面平行的判定定理即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?（2）存在，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，理由如下：取的中點(diǎn)G，連接FG，GC.如圖所示

在中，因?yàn)镕，G分別是，的中點(diǎn)，所以，且.在平行四邊形中，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以，且，所以，且所以平行四邊形FECG是平行四邊形，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?故存在，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，使得平面.變式3．（2022春·甘肅蘭州·高一蘭州市第二中學(xué)?？计谀┤鐖D，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）作出輔助線，得到面面平行，從而得到線面平行；（2）由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，結(jié)合勾股定理逆定理得到線面垂直.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，．

，分別是和的中點(diǎn)，，．又四邊形為正方形，，從而．平面，平面，平面，同理平面，又，平面平面，∵平面，則平面；（2）為正方形，．又平面平面，且平面平面，面，平面，平面，則，，，，則，得．又，平面，平面；考點(diǎn)九：線面平行與垂直關(guān)系的探索性問(wèn)題例13．（2023春·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖所示，三棱柱，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱底面，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，．(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，平面?(2)若平面，求與所成的角的余弦值．【答案】(1)點(diǎn)為的中點(diǎn)(2)【分析】（1）分別取的中點(diǎn)為，連接．可推得四邊形為平行四邊形，．進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理，得出線面平行；（2）由（1）知，與所成的角（或其補(bǔ)角），即等于與所成的角.然后構(gòu)造直角三角形，可推得，，，進(jìn)而得出，在中，即可得出答案.【詳解】（1）如圖1所示，分別取的中點(diǎn)為，連接．因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且.又因?yàn)?，所以，所?又，所以.所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平?所以，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，有平面.（2）由（1）知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且與異面.因?yàn)?，所以與所成的角（或其補(bǔ)角），即等于與所成的角.由已知可得，，，所以.如圖2，取中點(diǎn)為，連接，易知，則，，所以，，所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，，所以，在中，有，所以與所成的角的余弦值為．變式1．（2021春·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，已知底面是菱形，且對(duì)角線與相交于點(diǎn).(1)若，求證：平面平面；(2)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析【分析】（1）先證明平面，再證明平面平面即可；（2）存在棱的中點(diǎn)使得平面，可使用線面平行判定定理證明.【詳解】（1）由已知，為中點(diǎn)，連接，若，則，又∵底面是菱形，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（2）棱上存在點(diǎn)，使得平面，為中點(diǎn)，證明如下：取的中點(diǎn)，連接，，∵是的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面.故存在棱的中點(diǎn)使得平面.變式2．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┤鐖D，四棱錐的底面為平行四邊形，分別為的中點(diǎn).(1)證明：AF平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并給出必要的證明.【答案】(1)證明見解析(2)存在，證明見解析【分析】（1）取中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形即可；（2）設(shè)，取中點(diǎn)，先證明平面，即可證明點(diǎn)在線段靠近端的三等分點(diǎn)時(shí)符合題意.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，在中，為的中點(diǎn)，.為的中點(diǎn)，，即四邊形為平行四邊形，.平面平面平面.（2）設(shè)，取中點(diǎn)，連接，則在中，分別是的中點(diǎn)，平面平面，平面.與相似，且相似比為，為的三等分點(diǎn).在點(diǎn)位置時(shí)滿足平面.即點(diǎn)在線段靠近端的三等分點(diǎn)時(shí)符合題意.例14．（2022春·山西大同·高一大同市第二中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，理由見解析．【分析】（1）利用三角形中位線證明線線平行，結(jié)合線面平行判定定理，從而得線面平行；（2）結(jié)合面面平行判定定理來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)位置，并證明面面平行.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于，連接.因?yàn)闉檎襟w，底面為正方形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以在中，是的中位線，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：當(dāng)上的點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，即滿足平面平面，理由如下：連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?由（１）知平面，又因?yàn)?，，平面，所以平面平?變式1．（2023春·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面.(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，證明見解析【分析】（1）利用構(gòu)造平行四邊形的方法證明線線平行，結(jié)合線面平行判定定理，從而得線面平行；（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，再利用面面平行判定定理證明，即可證明平面平面．【詳解】（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，．又，，所以，．因此四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，因此平面．（2）解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，所以又，所以．又，所以四邊形為平行四邊形，因此．又平面，所以平面．由（1）可知平面．因?yàn)?，故平面平面．變?．（2023春·河南洛陽(yáng)·高一?？计谥校┤鐖D，在三棱柱中，，分別為線段，的中點(diǎn)．(1)求證：平面．(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)可得A，再根據(jù)線面平行的判定可得B即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)中位線的性質(zhì)判定即可【詳解】（1）證明：因?yàn)?，分別為線段的中點(diǎn)所以A.因?yàn)?，所以B.又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得，平面，又因?yàn)?，，平面，所以平面平面故在線段上存在一點(diǎn)，使平面平面．例15．（2020秋·安徽亳州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐A－BCDE中，四邊形BCDE為菱形，，，AE＝AC，點(diǎn)G是棱AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)．(1)證明：∥平面CEG．(2)點(diǎn)H為線段BD上一點(diǎn)，設(shè)，若AH⊥平面CEG，試確定t的值．【答案】(1)證明見解析；(2)0.【分析】（1）取AG的中點(diǎn)Ⅰ，記，連接FⅠ，DⅠ，GO，由三角形中位線定理可得∥，∥，然后先證得線面平行，再可證得面面平行；（2）由已知可得△ABC≌△ABE，則GC＝GE，得OC⊥OG，結(jié)合已知可得OC⊥平面ABD，則OC⊥AG，利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得BG⊥OG，由線面垂直的判定可得AG⊥平面CEG，從而可得H與B重合，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：如圖，取AG的中點(diǎn)Ⅰ，記，連接FⅠ，DⅠ，GO．在△ACG中，F(xiàn)，Ⅰ分別為AC，AG的中點(diǎn)，所以∥，同理，在△BDⅠ中，有∥，因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面，∥平面，因?yàn)?，平面，所以平面∥平面，又平面ⅠFD，所以∥平面CEG．（2）解：因?yàn)榈酌鍮CDE是菱形，所以O(shè)C⊥OD．因?yàn)锳E＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE，則GC＝GE，又因?yàn)辄c(diǎn)O是EC的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥OG．因?yàn)?，平面ABD，所以O(shè)C⊥平面ABD，因?yàn)槠矫鍭BD，所以O(shè)C⊥AG．因?yàn)?，，所以，則，則，所以BG⊥OG．又因?yàn)椋矫鍯EG，所以AG⊥平面CEG．若AH⊥平面CEG，則H與B重合．故．變式1．（2022春·河南開封·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，【分析】（1）取中點(diǎn)，由證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，即可證得平面；（2）存在點(diǎn)，，先求出，再由余弦定理求得，結(jié)合勾股定理證得，又，即可證得平面.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則，又，則，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面；（2）存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)，證明如下：連接，易得，又底面，底面，則，則，，則，，又，，由余弦定理得，，則，，又，，平面，則平面，故存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí).變式2．（2022春·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）如圖，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PAD；(2)試確定當(dāng)△PAD中PA與AD滿足什么關(guān)系時(shí)，MN⊥平面PCD？并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見詳解(2)當(dāng)時(shí)，MN⊥平面PCD【分析】（1）根據(jù)題意可證∥且，則為平行四邊形，即∥，結(jié)合線面平行的判定定理說(shuō)明；（2）根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)均可得MN⊥平面PCD⊥PD．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接∵分別為的中點(diǎn)，則∥且又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)且四邊形ABCD為矩形，則∥且則∥且，即為平行四邊形，則∥平面PAD，平面PAD∴平面PAD（2）若MN⊥平面PCD，∥，則⊥平面PCD∴⊥PD，且為的中點(diǎn)∴若且為的中點(diǎn)，則⊥PD∵PA⊥平面ABCD，則PA⊥CD四邊形ABCD為矩形，則AD⊥CD，則CD⊥平面PAD平面PAD，則⊥CD，則⊥平面PCD∥，則MN⊥平面PCD綜上所述：當(dāng)時(shí)，MN⊥平面PCD例16．（2021春·北京·高一北京市八一中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，在正四棱柱中，是線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）連接，，根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)可得平面，平面，即可得到平面平面，即可得證；（2）首先證明面，即可得到平面平面，依題意平面與面重合時(shí)滿足平面平面，即可確定的位置，從而得解；【詳解】解：（1）連接，，在正四棱柱中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又，面，所以平面平面，又平面，所以平面?）因?yàn)樵谡睦庵?，，面，面，所以，，面，所以面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槊婷妫蛊矫嫫矫?，則平面與面重合，即在的中點(diǎn)時(shí)滿足題意，所以變式1．（2022春·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，已知，且平面，，．(1)在線段FG上確定一點(diǎn)M使得平面平面PFG，并說(shuō)明理由；(2)若二面角的余弦值為，求PG與平面PEM所成角的正切值．【答案】(1)為中點(diǎn)，理由見解析(2)【分析】（1）為中點(diǎn)，連接，，過(guò)作于，由線面垂直的判定定理證明平面，再由面面垂直的判定定理證明即可；（2）由線面角與二面角的定義求解即可【詳解】（1）為中點(diǎn)，證明如下：連接，，過(guò)作于，于是在中，，，故；在中，，，故所以，為等腰三角形又平面，所以，為等腰三角形故在等腰三角形和等腰三角形中有，又，且，平面平面，又平面，平面平面．（2）由（1）的結(jié)果可知，為二面角的平面角，在中，，，，，所以，由（1）中證明可知平面故與平面所成角為在中，，又與平面所成角的正切值為變式2．（2021·浙江·高一期末）如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面，若G為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)F，使平面平面，若存在，確定點(diǎn)F的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明見解析.【解析】（1）連接，可證明四邊形是平行四邊形，得出，利用線面平行的判斷定理即可證明；（2）猜想點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，再利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，，可得平面，利用面面垂直的判定定理即可證明.【詳解】（1）連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，?）點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，證明如下：因?yàn)閭?cè)面為正三角形，G為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一個(gè)平面的一條垂線，再證明這條垂線在另外一個(gè)平面內(nèi)或與另外一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行即可；（2）利用性質(zhì)：（客觀題常用）；（3）面面垂直的定義（不常用）；（4）向量方法：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，即法向量數(shù)量積等于.考點(diǎn)十：平行與垂直的綜合應(yīng)用例17．（2023春·浙江·高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，，，M，N分別為PB，DC的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求證：面面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取PA中點(diǎn)E，連接DE，ME，由題意可證得，再由線面平行的判定定理即可證明；（2）取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，由題意可證得，再由線面垂直的判定定理可證得PO⊥面ABCD，再由面面垂直的判定定理即可證明.【詳解】（1）取PA中點(diǎn)E，連接DE，ME

因?yàn)镸E是中位線，所以，且；又ABCD是菱形，則且，所以，即MNDE是平行四邊形.所以，面，面，所以面．（2）取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，因?yàn)椤?，所以△ADB是正角形，，且；又因?yàn)椤鱌AD是等腰三角形，，可知因?yàn)?，由勾股定理?/p>

又因?yàn)?，BO，AD?面ABCD，所以PO⊥面ABCD，PO?面PAD，所以面PAD⊥面ABCD.變式1．（2021秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).求證：(1)直線平面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）連接，根據(jù)得到證明.（2）根據(jù)，得到平面，面，得到證明.【詳解】（1）連接，在中，P，O分別是，的中點(diǎn)，則.又平面，平面，故平面.（2）在長(zhǎng)方體中，平面，平面，故.在長(zhǎng)方體中，，故四邊形為正方形.故.又，，平面，故平面.又面，故平面平面.變式2．（2023春·天津西青·高一天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校校考期中）如圖，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，E是BC的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：直線平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)【分析】（1）連接D1C交DC1于點(diǎn)H，先證明HE//D1B，再由線面平行判定定理可證明；（2）由題意可證明DE⊥BC，CC1⊥DE，即可證明DE⊥平面B1BCC1;（3）平面,則是直線與平面所成角，代入，即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)椋哼B接D1C交DC1于點(diǎn)H，則H為D1C中點(diǎn),點(diǎn)E為CD中點(diǎn)∴HE//D1B.∵HE在平面C1DE內(nèi)，D1B?平面C1DE.直線BD1//平面C1DE.（2）∵，E是BC的中點(diǎn).∴DE⊥BC,∵CC1⊥平面ABCD且DE在平面ABCD內(nèi),∴CC1⊥DE,∵CC1在平面B1BCC1內(nèi)，CB在平面B1BCC1中且CC1∩BC＝C∴DE⊥平面B1BCC1,（3）是等邊三角形，取中點(diǎn),則,平面,平面平面是直線與平面所成角，在中，.變式3．（2022春·福建·高一福建省泉州第一中學(xué)?？计谥校┤忮F（如圖1），O、E、F分別是線段、、的中點(diǎn)，G是中點(diǎn)（如圖2）．(1)若，，求證：(2)求證：//平面．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，利用線面垂直的判定及性質(zhì)推理作答.（2）連接，連，證明，再利用線面平行的判定推理作答.【詳解】（1）在三棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)?，，則有，而平面，因此平面，又平面，所以.（2）連接，連，因?yàn)镋、F分別是線段、的中點(diǎn)，則點(diǎn)是的重心，于是，又O是線段的中點(diǎn)，G是的中點(diǎn)，則，即，因此，而平面，平面，所以平面.1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿足，線段上的點(diǎn)滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別過(guò)作,垂足分別為.過(guò)作平面，垂足為，連接,過(guò)作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過(guò)作,垂足分別為.過(guò)作平面，垂足為，連接,過(guò)作,垂足為.

因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平?又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面，所以平面，?在中，因?yàn)?，所以，所以，在中，因?yàn)?，所以，所?故選：B2．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進(jìn)行求解；（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長(zhǎng)，方法二無(wú)需找垂線段長(zhǎng)，直接利用等體積法求解【詳解】（1）

連接.由分別是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺(tái)性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是

（3）[方法一：幾何法]

過(guò)作，垂足為，作，垂足為，連接，過(guò)作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點(diǎn)到平面的距離是.[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.，.由，即.3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過(guò)作垂直的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，在中，，所以，因?yàn)椋?，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因?yàn)?，所以，所以，又，所?4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.（3）由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.

（2）由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，由，得，且，又由（2）知，，則為二面角的平面角，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，因此為的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，則，從而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值為.

一、單選題1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）①平面PBC②平面PCD

③平面PDA④平面PBAA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】證明，即可證明②③正確；平面，故①錯(cuò)誤，平面，故④錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)于①，平面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由于為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，平面，平面，則平面，故②正確；對(duì)于③，由于，平面，平面，則平面，故③正確；對(duì)于④，由于平面，故④錯(cuò)誤．故選：B2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知兩個(gè)平面，，兩條直線l，m，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若l，m是異面直線，，，，，則【答案】D【分析】根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系一一判斷求解.【詳解】對(duì)于A，若，，則或或與相交，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則與可以相交或平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，，，則與可以相交或平行，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以存在直線，因?yàn)閘，m是異面直線，所以l與相交，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，D正確，故選:D.3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在正四棱錐中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持平面．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與組成的相關(guān)圖形最有可能是圖中的（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分別取、的中點(diǎn)、，再證明面面，可知當(dāng)在上移動(dòng)時(shí)，面，能夠保持平面，進(jìn)而得到選項(xiàng)A符合題意．【詳解】分別取、的中點(diǎn)、，連接，，，又∵是的中點(diǎn)，∴，，又∵面，面，∴面，面，又∵，平面，∴面面，∴當(dāng)在上移動(dòng)時(shí)，面，此時(shí)能夠保持平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與組成的相關(guān)圖形是選項(xiàng)A故選：A．4．（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┤鐖D一，矩形中，，交對(duì)角線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則下列判斷一定成立的是（

）

A． B．平面C．平面 D．平面平面【答案】D【分析】利用反證法可判斷A；由二面角的變化可判斷B；利用反證法結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷C；利用面面垂直的判定定理可判斷D．【詳解】對(duì)于D選項(xiàng)，翻折前，，，翻折后，，，因?yàn)?，、平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，平面平面，故D正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，則二面角的平面角為，在翻折的過(guò)程中，的大小會(huì)發(fā)生變化，故與不一定垂直，所以，與平面不一定垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，在圖一中，，又因?yàn)?，所以，，，因?yàn)椋?，，所以，，則，在圖二中，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，交于點(diǎn)，連接，則，故，則，因?yàn)?，所以，不是的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，則，若