第04講 利用幾何法解決空間角和距離19種常見(jiàn)考法歸類解析版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第04講利用幾何法解決空間角和距離19種常見(jiàn)考法歸類學(xué)會(huì)利用幾何法求空間角及空間距離．1、異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).注：兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．2、直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3、二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB．(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.4、點(diǎn)到平面的距離已知點(diǎn)是平面外的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則唯一，則是點(diǎn)到平面的距離。即：一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離）結(jié)論：連結(jié)平面外一點(diǎn)與內(nèi)一點(diǎn)所得的線段中，垂線段最短.1、求異面直線所成的角的方法和步驟(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．(2)求異面直線所成角一般步驟：一作、二證、三求①平移：經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”，通過(guò)作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，作出異面直線所成的角．②證明：證明所作的角是異面直線所成的角．③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．④取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角．2、求直線與平面所成的角的方法和步驟（1）垂線法求線面角：①先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A向平面做垂線，確定垂足O；②連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；③把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.平移法求線面角是指利用圖形平移變換的性質(zhì)，構(gòu)造滿足求解的條件，進(jìn)而得出結(jié)論的方法.在運(yùn)用平移法求解線面角問(wèn)題時(shí)，我們可以利用圖象平移的性質(zhì)：圖形移動(dòng)位置后其大小、形狀、面積等都不改變，將分散的條件關(guān)聯(lián)起來(lái)，以便將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)求解.（3）等體積法求線面角通過(guò)換底求體積求出斜線上一點(diǎn)到平面的距離，再求直線與平面所成角的正弦值，如圖,已知平面α與斜線AP,PO⊥α,則P0線面角為∠PAO,，要求線面角，關(guān)鍵是求垂線段PO的長(zhǎng)度，而垂線段PO的長(zhǎng)度可看作點(diǎn)P到平面α的距離，在平面α內(nèi)找一個(gè)三角形(點(diǎn)A是其中一個(gè)頂點(diǎn))與點(diǎn)P構(gòu)成三棱錐，在三棱錐中借助等體積法就可以求PO的長(zhǎng)度，從而達(dá)到簡(jiǎn)便求解線面角的目的.3、求二面角的平面角的方法和步驟（1）求二面角大小的步驟是：①作：找出這個(gè)平面角；②證：證明這個(gè)角是二面角的平面角；③求：將作出的角放在三角形中，解這個(gè)三角形，計(jì)算出平面角的大小．（2）確定二面角的平面角的方法①定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作垂直于棱的射線．如：“三線合一型”、“全等型”②三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）----最常用自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角③等體積法利用三棱錐等體積法求出點(diǎn)A到平面PBC的距離d，如圖，點(diǎn)A到二面角A-PB-C的棱PB的距離為h（即△PAB中PB邊上的高），則二面角A-PB-C的正弦值為.③垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）過(guò)空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。④射影面積法已知平面α內(nèi)的平面圖形Γ的面積為S，它在平面β內(nèi)的射影?！涞拿娣e為S′，設(shè)平面α與平面β所成二面角的平面角為θ，則當(dāng)θ∈0,π2時(shí)，cos?4、求解點(diǎn)面距的方法和步驟（1）定義法（直接法）：找到或者作出過(guò)這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出垂線段的長(zhǎng)度；（2）等體積法：通過(guò)點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線距離；（3）轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見(jiàn)轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點(diǎn)到面的距離．考點(diǎn)一：直接平移法求異面直線所成的角例1．（2023春·廣東廣州·高一廣州市第六十五中學(xué)校考期中）在正方體中,分別為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題易得,連接,即可得出為等邊三角形,從而得出所求角的大小為60°.【詳解】如下圖所示,連接,則異面直線與所成角為,即為等邊三角形.故選:C.變式1．（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，且為的中點(diǎn)，則直線與所成角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，可得直線與所成角即為直線與所成的，在中由余弦定理可得答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，所以，直線與所成角即為直線與所成的，所以，，，在中由余弦定理可得,因?yàn)?，所?故選：C.

變式2．（2023春·江蘇南京·高一南京市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，圓柱的底面直徑與母線相等，是弧的中點(diǎn)，則與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出輔助線，找到異面直線形成的夾角，求出各邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出夾角.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，且，故四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角為與所成角，設(shè)，則，由勾股定理得，，，由余弦定理得，故，所以與所成角為.故選：C考點(diǎn)二：中位線平移法求異面直線所成的角例2．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，平面，，底面是菱形，，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】連接、交于點(diǎn)，連接，說(shuō)明異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，計(jì)算出、，即可求得，即可得出結(jié)論.【詳解】連接、交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，則為的中點(diǎn)，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，又F，G分別是，的中點(diǎn)，所以，故所以，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，平面，平面，，，，平面，平面，平面，，因?yàn)?，，則為等邊三角形，同理可知也為等邊三角形，又，，同理可得，，所以，.因此，異面直線與所成的角的余弦值為.故選：D.變式1．（2023春·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，在三棱錐中，，且，，分別是棱，的中點(diǎn)，則和所成的角等于__________.【答案】/【分析】取BC的中點(diǎn)G，連接FG、EG，則為EF與AC所成的角．解．【詳解】如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG．，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，，，且，．為EF與AC所成的角（或其補(bǔ)角）．又，．又，，，為直角三角形，，又為銳角，，即EF與AC所成的角為．故答案為：．變式2．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）在四棱錐中，所有側(cè)棱長(zhǎng)都為，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，O是P在平面ABCD內(nèi)的射影，M是PC的中點(diǎn)，則異面直線OP與BM所成角為_(kāi)__________【答案】【分析】取的中點(diǎn)為,連接，利用中位線性質(zhì)得，則異面直線夾角轉(zhuǎn)化為求，再利用勾股定理求出相關(guān)線段長(zhǎng)，最后求出即可得到答案.【詳解】由題意可知底面是邊長(zhǎng)為的正方形,所有側(cè)棱長(zhǎng)都為則四棱錐為正四棱錐,為正方形的中心,取的中點(diǎn)為,連接，又因?yàn)镸是PC的中點(diǎn)，則，

則即為所求，因?yàn)槠矫?，所以平?則，，則，因?yàn)?，所?故答案為：.變式3．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，，正方形ADEF的邊長(zhǎng)為1，且平面平面ADEF，則異面直線BD與FC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】取AF的中點(diǎn)G，連接AC交BD于O點(diǎn)，異面直線與所成角即直線與所成角.在中，分別求得，利用余弦定理即可求得，從而求得異面直線夾角的余弦值.【詳解】取AF的中點(diǎn)G，連接AC交BD于O點(diǎn)，如圖所示，

則，且，異面直線與所成角即直線與所成角，由平面平面，，平面平面，平面知，平面，又平面，所以，由題易知，所以，則，，，則在中，由余弦定理知，，由兩直線夾角取值范圍為，則直線與所成角即異面直線與所成角的余弦值為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將異面直線平移到同一個(gè)平面內(nèi)，利用余弦定理解三角形，求得異面直線的夾角.變式4．（2023春·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是正方形，底面，是側(cè)棱的中點(diǎn).

(1)證明平面.(2)求異面直線與所成的角；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得證；（2）先利用中位線定理證得，從而得到或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角，再確定為正三角形，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所以，又平面平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槭莻?cè)棱的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面.（2）連，兩直線交于點(diǎn)，連，

因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以是的中點(diǎn)，又分別是的中點(diǎn)，所以，所以或其補(bǔ)角就是異面直線與所成的角，因?yàn)闉檎叫?，且，所以，，，故，即是正三角邊，所?所以異面直線AE與PD所成的角為.變式5．（2023春·甘肅定西·高一甘肅省臨洮中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明出平面，可得出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取的中點(diǎn)，連接、，分析可知異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，計(jì)算出三邊邊長(zhǎng)，即可求得的余弦值，即為所求.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，、平面，所以，平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接、，

因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，因?yàn)?，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且平面，且平面，所以，，則，故，因?yàn)?，同理可得，取的中點(diǎn)，連接，則，故.因此，異面直線與所成角的余弦值為.考點(diǎn)三：平行四邊形平移法求異面直線所成的角例3．（2023春·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，M、N分別是、AC的中點(diǎn)，則異面直線DN和CM所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)為，將平移到即可知異面直線DN和CM所成的角的平面角即為，再利用余弦定理即可解得.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：

M是的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，所以，且；由N分別是AC的中點(diǎn)，所以，由正方體性質(zhì)可得，所以可得，即四邊形是平行四邊形，則異面直線DN和CM所成的角的平面角即為，易知，所以.故選：D變式1．（2023春·江西南昌·高一南昌十中校考階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，在棱上，且，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取棱靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，取棱的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接.證明，得是異面直線與所成的角（或補(bǔ)角）.設(shè)，用余弦定理計(jì)算出余弦值.【詳解】取棱靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，取棱的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，.由已知，又，所以是平行四邊形，，同時(shí)可得是中點(diǎn)，而是中點(diǎn)，所以.所以，則是異面直線與所成的角（或補(bǔ)角）.又平面，則平面平面，則，設(shè)，則，從而，故.在中，由余弦定理可得.所以異面直線與所成的角的余弦值為.故選:B.變式2．（2023春·浙江·高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）在直三棱柱中，，，E是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，可得為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，結(jié)合余弦定理求解即可得答案.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接

在直三棱柱中，，所以平面，有平面，所以，則因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以又可得，則四邊形為平行四邊形所以，則為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角由平面，平面，可得，所以，在中，，，由余弦定理得，所以，所以在中，由余弦定理得所以異面直線與所成的角的余弦值.故選：B.考點(diǎn)四：補(bǔ)形法求異面直線所成的角例4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作圖，構(gòu)造三角形，將與的夾角轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蝺?nèi)角，運(yùn)用余弦定理求解.【詳解】依題意作上圖，延長(zhǎng)至，使得，連接，，∴四邊形是平行四邊形，，異面直線與的夾角就是與的夾角，，，，由余弦定理得，，∴；故選：B.變式1．（2023春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)校考期中）如圖，在正三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，且.

(1)證明：；(2)求異面直線、所成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，取的中點(diǎn)，連接、，證明出平面，可得出，即可得出結(jié)論；（2）【詳解】（1）證明：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，則，在正三棱錐中，，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，，?（2）解：取的中點(diǎn)，連接、、、，如下圖所示：

因?yàn)樵谌馀_(tái)中，，且，則，又因?yàn)?，所以，、分別為、的中點(diǎn)，同理，為的中點(diǎn)，所以，，故正三棱錐的每個(gè)面都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，同理，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，，且，所以，異面直線、所成角為或其補(bǔ)角，在中，，，，由余弦定理可得，由余弦定理可得，因此，異面直線、所成角的余弦值為.變式2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在正方體中，E為的中點(diǎn)，平面與平面的交線為l，則l與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】延長(zhǎng)，交直線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則直線即為交線，從而可得即為l與所成的角，解即可得解.【詳解】解：延長(zhǎng)，交直線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則直線即為交線，又，則即為l與所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，，所以為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，又，所以，所以，則，，，所以，即l與所成角的余弦值為.故選：D.考點(diǎn)五：通過(guò)證線面垂直證異面直線所成的角為90°例5．（2023春·廣東廣州·高一廣州四十七中?？计谥校┤鐖D，在正四面體中，是的中點(diǎn)，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線和所成角的大?。?/p>

）A．一定為 B．一定為 C．一定為D．與P的位置有關(guān)【答案】A【分析】連接，可以證到，，從而證到平面，所以，即可得解．【詳解】解：連接,四面體是正四面體，是的中點(diǎn),、是等邊三角形，，．平面，平面，，平面，又平面，，直線與所成角為.故選：A．變式1．（2023秋·河南鶴壁·高一鶴壁高中校考階段練習(xí)）三棱錐中，，是斜邊的等腰直角三角形，則以下結(jié)論中：①異面直線與所成的角為90°；②直線平面；③平面平面；④點(diǎn)到平面的距離是.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由題意證明平面,可判斷①;通過(guò)結(jié)合①即可證明②;根據(jù)②可證明③;取的中點(diǎn),連接,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷④.【詳解】由題意,則由是斜邊的等腰直角三角形,可得且所以平面,即,故①正確；由①得,根據(jù),即且所以平面,故②正確因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?故③正確；取的中點(diǎn),連接可證得平面,故的長(zhǎng)度即為到平面的距離,所以④正確.綜上可知,正確的為①②③④故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直與面面垂直判定,直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則異面直線與所成角的大小為A． B． C． D．【答案】D【分析】取中點(diǎn)，連，可證，轉(zhuǎn)化為求所成的角，利用平面幾何關(guān)系，證明即可.【詳解】取中點(diǎn)，連，在正方體中，為中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角為直線所成的角，在正方形中，，，直線與所成角的大小為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明異面直線垂直，考查直觀想象、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.變式3．（2023春·重慶九龍坡·高一重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（

）A．直線與直線相交B．與共面C．與是異面直線但不垂直D．平面垂直于平面【答案】A【分析】在三棱柱中，根據(jù)線線，線面關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】在三棱柱中，，且，所以四邊形為梯形，直線與直線相交，故A正確；由幾何圖形易知與為異面直線，故B錯(cuò)誤；與是異面直線，且三角形是正三角形，，又，則，故C錯(cuò)誤；在三棱柱中未給出側(cè)面與上下底面的關(guān)系，不能判斷AE是否與平面垂直，故無(wú)法判斷平面與平面的關(guān)系，故D錯(cuò)誤；故選：A考點(diǎn)六：由異面直線所成的角求其他量例6．（2023春·湖北武漢·高一武漢市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，與和所成的角均為，則下面說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，可得與和所成的角即為與和所成的角,從而設(shè),由此可求得長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)，即可一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】在長(zhǎng)方體中，,則與和所成的角即為與和所成的角,即,連接,易得面，面，且面，面，則為直角三角形，設(shè),則,故，故A錯(cuò)誤；由為直角三角形，可得,則,故B錯(cuò)誤；由以上解答可知,故，C錯(cuò)誤；在長(zhǎng)方體中，，，故，D正確，故選：D變式1．（2023·高一單元測(cè)試）在空間四邊形中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．若，且與所成的角為，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【分析】連接，可得或，求解三角形即可求出.【詳解】如圖，連接，在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)榕c所成的角為，所以或，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，所以，當(dāng)，由余弦定理可得，即，所以的長(zhǎng)為1或.故選：C.變式2．（2023春·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）在空間四邊形中，，，分別為，的中點(diǎn)，若與所成的角為40°，則與所成角的大小為（

）A．20° B．70°C．20°或70° D．40°或140°【答案】C【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，利用幾何圖形求與所成角的大小.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，分別是的中點(diǎn)，，，同理，四邊形是平行四邊形，又，，四邊形是菱形，與所成的角為，或，與所成角是或.故選：C變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，且直線AB與DC所成角的余弦值為，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體中，根據(jù)已知條件建立關(guān)于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高的邊長(zhǎng)a，b，c的方程組，求解得，進(jìn)而可得外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，從而根據(jù)球的體積公式即可求解.【詳解】解：由題意知，，則平面ADC，所以，又，，所以平面ABC，將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體中，如圖：易知，所以為直線AB與DC所成的角，所以，解得.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為a，b，c，則，，，三式相加得，所以長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，所以該三棱錐的外接球的體積為.故選：C.考點(diǎn)七：垂線法求直線與平面所成的角例7．（2023春·海南·高一海南華僑中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，四棱錐的底面為正方形，平面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．B．平面SCDC．直線SA與平面SBD所成的角等于D．直線SA與平面SBD所成的角等于直線SC與平面SBD所成的角.【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可推出A正確；根據(jù)線面平行的判定定理可推出B正確；根據(jù)直線與平面所成角的定義，可推出C不正確；D正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)闉檎叫?，所以，又平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，平面，平面，所以平面SCD，故B正確；對(duì)于C，設(shè)交于，連，由A知，平面SBD，則是直線SA與平面SBD所成的角，設(shè)，，則，，只有當(dāng)，即，即時(shí)，才有，故C不正確；對(duì)于D，由C知，是直線SA與平面SBD所成的角，是直線與平面SBD所成的角，因?yàn)?，，，所以與全等，所以，故D正確.變式1．（2023春·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在圓柱OP中，底面圓的半徑為2，高為4，AB為底面圓O的直徑，C為上更靠近A的三等分點(diǎn)，則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，取OA的中點(diǎn)D，連接CO，PO，CD，PD，可證直線與平面所成的角為，再結(jié)合題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求線面角的正弦值.【詳解】如圖，取OA的中點(diǎn)D，連接CO，PO，CD，PD，由題意得，所以△AOC為正三角形，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，同理，而平面，所以平面，而平面，則，由平面可得直線與平面所成的角為．由等邊三角形及可得．又，得．故選：A.

變式2．（2023·高一單元測(cè)試）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個(gè)正四棱錐，已知該金字塔的塔高與底面邊長(zhǎng)的比滿足黃金比例，即比值約為，則它的側(cè)棱與底面所成角的正切值約為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫(huà)出示意圖，然后找出側(cè)棱與底面所成角，計(jì)算其正切值即可.【詳解】畫(huà)出如圖所示示意圖，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則塔高所以側(cè)棱與底面的角的正切值為故選：A變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，則直線與對(duì)角面所成角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，交于點(diǎn)O，證明直線與平面所成的角是，由得直線與平面所成的角等于，在直角三角形中求得此角大?。驹斀狻坑蒃，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)得．連接，交于點(diǎn)O，平面，平面，則，又正方形中，，平面，所以平面，所以直線與平面所成的角是，即直線與平面所成的角等于平面，，，，直角三角形中，故選：A．變式4．（2023春·江蘇宿遷·高一泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）直三棱柱中，，，則與平面所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直三棱柱補(bǔ)全為正方體，根據(jù)正方體性質(zhì)、線面垂直的判定可得面，由線面角的定義找到與平面所成角的平面角，進(jìn)而求其大小.【詳解】由題意，將直三棱柱補(bǔ)全為如下圖示的正方體，為上底面對(duì)角線交點(diǎn)，所以，而面，面，故，又，面，故面，則與平面所成角為，若，所以，，則，故.故選：A變式5．（2023春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)設(shè)直線與底面所成角的正切值為，，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位線得線線平行，再證線面平行即可；（2）根據(jù)線面夾角得定義及已知可求得AB長(zhǎng)，再根據(jù)線面垂直判定直線與平面所成角即∠CPD，解三角形即可.【詳解】（1）連接，記，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又，，∴平面；

（2）因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成線面角，則.

因?yàn)榫匦沃?，所?

因?yàn)槠矫?，平面，所以，?jì)算可得.又，，，平面，所以，所以即為直線與平面所成線面角，解得.變式6．（2023春·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是棱長(zhǎng)為的菱形，，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行判定可證得結(jié)論；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)，，結(jié)合線面垂直判定可證得平面，由線面角定義可知所求角為，由長(zhǎng)度關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形為菱形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2）取中點(diǎn)，連接，，，為等邊三角形，又為中點(diǎn)，；平面，平面，，，平面，平面，即為直線與平面所成角，，，又，，，即直線與平面所成角的正弦值為.變式7．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）分析可知二面角的平面角為，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，證明出平面，可得出直線與平面所成角為，計(jì)算出、的長(zhǎng)，即可求得的正弦值，即為所求.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?/p>

因?yàn)?，平面，平面，所以平面?/p>

因?yàn)?，、平面，則平面平面，因?yàn)槠矫?，所以，平?（2）解：因?yàn)?，，所以，二面角的平面角為，由題意可得，又因?yàn)?，、平面，所以，平面，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，、平面，所以平面，連接，所以直線與平面所成角為，

因?yàn)椋?，，則，因?yàn)?，則，所以.直線與平面所成角的正弦值為

考點(diǎn)八：等體積法求直線與平面所成的角例8．（2023春·北京朝陽(yáng)·高一清華附中朝陽(yáng)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面．若，則直線與平面所成的角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等積法可得到平面的距離，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以，，，又底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，所以，又平面，平面，所以平面，平面，所以，設(shè)到平面的距離為，直線與平面所成的角，則，所以，，所以，所以，又，所以.故選：A.變式1．（2023春·河南·高一校聯(lián)考期末）如圖，三棱柱中，為等邊三角形，，，．

(1)證明：平面平面；(2)求直線和平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接交于O，連接，證明可得線面垂直，再由面面垂直的判定定理得證；（2）利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，再由線面角公式求解即可.【詳解】（1）連接交于O，連接，如圖，

因?yàn)闉榈冗吶切?，所以為等邊三角形，四邊形是菱形，所以，又，，是的中點(diǎn)，所以且，所以，，在中，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）設(shè)到平面的距離為，因?yàn)橹?，，，所以，又，，所以由，可得，即，設(shè)直線和平面所成角為，則,因?yàn)槠矫嫫矫?，所以求直線和平面所成角的正弦值為．變式2．（2023春·浙江杭州·高一?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，平面ABCD，，底面ABCD是矩形，且，．(1)求證：平面PCD；(2)求直線AC與平面APD所成的角的正弦值；【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用平面證得，利用線面垂直的判定定理證得結(jié)論；（2）利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離為，從而求得結(jié)果；【詳解】（1）證明：平面，平面，故，又，平面，故平面.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由知，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則，，，可得，所以直線與平面所成的角的正弦值是.考點(diǎn)九：平移法求直線與平面所成的角例9．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)是6的等邊三角形和矩形.現(xiàn)以為軸將面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使之形成四棱錐，是等邊三角形的中心，，分別是，的中點(diǎn)，且，面，交于.(1)求證面(2)求和面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先利用線面平行的性質(zhì)定理證得，再利用線面垂直的判定定理證得面，從而得到面；（2）構(gòu)造平行四邊形，將所求角轉(zhuǎn)化為和面的所成角，再在中求得，從而利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，由此得解.【詳解】（1）因?yàn)槊?，面面，面，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是等邊三角形，所以，因?yàn)樵诰匦沃?，，分別是，的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，面，所以面，因?yàn)?，所以?（2）在線段上取點(diǎn)使得，連接，因?yàn)槭堑冗吶切蔚闹行?，，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以和面所成角等于和面所成角，由?）得面，又，所以面，即面，所以和面的所成角為，即為所求，在中，，則，因?yàn)?，所以，?lián)立，解得，所以和面所成角的正弦值為..變式1．（2023春·天津和平·高一天津一中校考期中）如圖，已知平面ABC，，，，，，點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面，得到平面，即可得到平面平面，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得到平面；（2）根據(jù)，點(diǎn)為中點(diǎn)得到，即可將直線與平面所成角轉(zhuǎn)化為直線與平面所成角，由（1）的結(jié)論可得為直線與平面所成角，然后利用勾股定理得到，的長(zhǎng)度，即可求直線與平面所成角.【詳解】（1）∵平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，∵，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∵平面平面，平面，∴平面.（2）取中點(diǎn)，連接，，∵，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴四邊為平行四邊形，∴，∴直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，∵平面，∴為直線與平面所成角，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，，∴，，，∴，又，所以，所以直線與平面所成角為.考點(diǎn)十：由線面角求其他量例10．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為線段上一點(diǎn)，平面.

(1)證明：為的中點(diǎn)；(2)若直線與平面所成的角為，且，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，設(shè)，連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得到，即可證明；（2）首先證明平面，則為直線與平面所成的角，再求出，最后根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，又底面為矩形，所以為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn).

（2）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，即，又，所以，則，由平面，平面，所以，所以在中，所以.變式1．（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，三棱臺(tái)中，底面，．(1)證明：是直角三角形；(2)若，問(wèn)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為？【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）結(jié)合棱臺(tái)的特征及條件先證得平面，由即可得結(jié)論；（2）作，先證為直線與平面所成角，設(shè)邊長(zhǎng)，結(jié)合條件解直角三角形得出含參表示的邊長(zhǎng)，作商即可解得.【詳解】（1）∵平面，平面，∴又，，平面，∴平面，∵三棱臺(tái)中，∴平面，又平面，，故是直角三角形．（2）在平面內(nèi)作，垂足為，連接．由（1）知，平面，又平面，，，平面，平面，是在平面上的射影，即為直線與平面所成角．設(shè)，則，，∵三棱臺(tái)中，，，．在中，，，在中，，解得．∴當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為．變式2．（2023春·高一單元測(cè)試）如圖，在中，O是的中點(diǎn)，.將沿折起，使B點(diǎn)移至圖中點(diǎn)位置．(1)求證：平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積取最大時(shí)，求二面角的余弦值；(3)在（2）的條件下，試問(wèn)在線段上是否存在一點(diǎn)P，使與平面所成的角的正弦值為？證明你的結(jié)論，并求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，證明見(jiàn)解析，.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可證明結(jié)論；（2）確定當(dāng)平面時(shí),三棱錐的體積取最大，作出二面角的平面角，解三角形求得答案；（3）假設(shè)存在，作出與平面所成的角，結(jié)合題意求得，判斷適合題意，即可求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵且O是的中點(diǎn)，∴，即，又∵，平面平面，∴平面．（2）在平面內(nèi)，作于點(diǎn)D，則由（1）可知，又平面，即是三棱錐的高，又，∴當(dāng)D與O重合時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)平面,過(guò)O作于點(diǎn)H，連接，如圖,由（1）知平面，又平面，∴，∵，∴平面，平面，,∴即為二面角的平面角．在中，，∴，∴，故二面角的余弦值為..（3）假設(shè)在線段上是否存在一點(diǎn)P，使與平面所成的角的正弦值為，如圖，連接，在（2）的條件下，平面,故平面，∴與平面所成的角為，∴，∴，又在中，,,則，故,而，∴，∴，∴，即故在線段上是否存在一點(diǎn)P，使與平面所成的角的正弦值為，此時(shí).變式3．（2023春·吉林延邊·高一延邊第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于的一動(dòng)點(diǎn).(1)證明：是直角三角形；(2)若，且直線與平面所成角的正切值為，①求的長(zhǎng)；②求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②【分析】（1）證明平面即可；（2）①根據(jù)線面角的定義確定直線與平面所成角，由條件求，②根據(jù)線面角定義作出直線與平面所成角，求出到平面的距離，解三角形求線面角正弦值.【詳解】（1）∵是的直徑，是圓周上不同于的一動(dòng)點(diǎn).∴，∵平面，平面∴，又，平面，∴平面，平面，∴，∴是直角三角形.（2）①∵平面，∴是直線PC與平面ABC所成的角，又②過(guò)A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，平面，∴BC⊥AH，又PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直線AB與平面PBC所成的角，在Rt中，，在Rt中，，故直線與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)十一：定義法求二面角的平面角例11．（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┤鐖D，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為棱的中點(diǎn)，，．

(1)求證：平面；(2)求二面角平面角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)論成立；（2）分析出二面角的平面角為，分析出為等腰直角三角形，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，因此，平?（2）解：因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，且，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，則二面角的平面角為，因?yàn)?，，所以，為等腰直角三角形，?故二面角為.變式1．（2023春·吉林·高一校聯(lián)考期中）如圖，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

(1)求證：直線平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行的判定定理求解；（2）連接，，可證明為二面角的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，如圖，則為的中點(diǎn)，由于是的中點(diǎn)，故，∵平面，平面，所以平面；（2）連接，，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，所以，由底面是菱形，得，又平面，所以平面，又平面，所以，則為二面角的平面角，，，，由余弦定理可知，∴二面角的余弦值為.

變式2．（2023春·天津?qū)氎妗じ咭惶旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．將分別沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)P．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）先證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案;（3）作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)樵谡叫沃?，折疊后即有，又平面，所以平面，而平面,故；（2）由題意知，故，故；（3）取線段的中點(diǎn)G，連接，因?yàn)?，所以有，平?平面,所以即為二面角的平面角，又由（1）得平面，平面，故,而,,故,即二面角的余弦值為.變式3．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在多面體中，平面平面，平面平面是菱形，．

(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理即可得證；（2）利用勾股定理可得出線段的長(zhǎng)，再由此證明，得出二面角的平面角，計(jì)算得解.【詳解】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，如圖，

是菱形且，為正方形，故，平面平面，平面平面平面，平面，又平面，同理可得，，平面平面，又平面．（2）在上取，連接．因?yàn)槠矫?，由?）知，，由勾股定理可知，，在中可得，由正三角形可知，在平行四邊形中，由可知，，，，，即為二面角的平面角．由余弦定理知，二面角的平面角的余弦值為．考點(diǎn)十二：三垂線法求二面角的平面角例12．（2023春·江蘇連云港·高一江蘇省海頭高級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，在四棱錐中，底面是菱形．

(1)若點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）連接交于M，連接，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，證明平面，從而作出二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.【詳解】（1）連接交于M，連接，

因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以M為的中點(diǎn)，又點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，故為的中位線，故，而平面，平面，故平面；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，而平面，故，底面是菱形，故，作交于N，則，且N為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，故平面，則即為二面角的平面角，設(shè)，則,，則，則，由于為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，故，而平面，平面，故，所以，即二面角的正切值為2.變式1．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正三棱柱中，，D為AC邊的中點(diǎn)，

(1)求側(cè)棱長(zhǎng)；(2)求三棱錐D-的體積；(3)求二面角的大小.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，可得△，從而可求側(cè)棱的長(zhǎng)；（2）利用等體積法即可求解.（3）過(guò)做，垂足為，過(guò)做，垂足為，連接，則，故為二面角的平面角，計(jì)算，，即可求得結(jié)論．【詳解】（1）不妨考慮將三棱錐底面朝下，取中點(diǎn)，連接，，則,是正三棱柱，平面平面,且交線為,平面,所以平面，由于平面,，，平面平面，平面,，側(cè)棱長(zhǎng)為.

（2）,（3）過(guò)做，垂足為，過(guò)做，垂足為，連接，由于平面平面,且交線為,平面,所以平面，平面,所以,又，平面,所以平面,平面,則，為二面角的平面角,在直角三角形中，,所以,而,在中，由等面積可得二面角的大小為，變式2．（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是正方形，側(cè)面底面是正三角形，是底面的中心，是線段上的點(diǎn)．

(1)當(dāng)//平面時(shí)，求證：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）連接，證得，由底面是正方形，所以，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，證得平面，得到，再由，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）取的中點(diǎn)分別為，連接，證得即為所求二面角的平面角，在直角中，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)槠矫?，平面，且平面平面，所以，又因?yàn)樵谥校堑闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以是正三角形，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面．?）解：取的中點(diǎn)分別為，連接，所以是正三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，則即為所求二面角的平面角，設(shè)，則，在直角中，，所以，即所求二面角的余弦值為．

變式3．（2023春·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求PC與平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(3).【分析】（1）取的中點(diǎn)，證明，結(jié)合線面平行判定定理證明結(jié)論；（2）先證明平面，由線面角的定義證明是與平面所成角的平面角，推導(dǎo)出，，由此能求出與平面所成角的正切值；（3）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)二面角平面角定義證明是二面角的平面角，由此能求出二面角的正弦值．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）四邊形為菱形，，，為等邊三角形，，在中，是中點(diǎn)，，平面，平面，，，平面，平面，平面，斜線在平面內(nèi)的射影為，即是與平面所成角的平面角，平面，平面，，在中，，在中，，平面，平面，，在中，，與平面所成角的正切值為．（3）在平面中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，

平面，平面，，，平面，平面，又平面，是二面角的平面角，在中，，，，在中，，，，在中，，由余弦定理得，二面角的正弦值為．考點(diǎn)十三：等體積法求二面角的平面角例13．（2023春·江蘇常州·高一常州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，平面.

(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)到平面的距離為，求二面角的正切值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明出平面，利用面面垂直的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）連接、，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，利用等體積法計(jì)算出的長(zhǎng)，推導(dǎo)出二面角的平面角為，求出的正切值，即為所求.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)楹投际沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，，且，同理可得，因?yàn)椋?，，則，又因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，又平面，平面，所以平?（2）解：如圖，連接、，取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，則，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，且，則等腰的面積為，所以三棱錐的體積為，因?yàn)槠矫?，、平面，則，，又因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)?，平面，平面，所以，平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離等于，因?yàn)?，則，又，即，所以，因?yàn)槠矫?，平面，則，又因?yàn)椋瑒t，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，所以二面角的平面角為，則，所以二面角的正切值為.變式1．（2023·高一單元測(cè)試）已知四邊形ABCD中，，，O是AC的中點(diǎn)，將沿AC翻折至．(1)若，證明：平面ACD；(2)若D到平面PAC的距離為，求平面PAC與平面ACD夾角的大小．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)由題目已知可得出平面PAC，從而得到，再由等腰三角形性質(zhì)可得，進(jìn)而得出結(jié)論.(2)取CD中點(diǎn)F并連接OF，PF，可得出所求二面角，再利用已知條件，構(gòu)建直角三角形，即可計(jì)算兩平面的夾角.【詳解】（1）中，，，，所以，則，又，所以平面PAC，平面PAC，所以.又因?yàn)椋琌是AC的中點(diǎn)，所以，，所以平面ACD.（2）取CD中點(diǎn)F，連接OF，PF，在中過(guò)F作FG垂直于PO，垂足為G，，則，又因?yàn)椋詾槠矫鍼AC與平面ACD夾角，所以平面POF，又平面POF，所以，又，所以平面PAC，所以FG就是點(diǎn)F到平面PAC的距離，因?yàn)辄c(diǎn)D到平面PAC的距離為，又由F為CD中點(diǎn)，所以F到平面PAC的距離為.中，，因?yàn)辄c(diǎn)可能在上，也可能在的延長(zhǎng)線上，所以或，所以平面PAC與平面ACD所成角不會(huì)是鈍角，所以大小為.考點(diǎn)十四：垂面法求二面角例14．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知，，垂足為、，若，則二面角的大小是______．【答案】/【分析】根據(jù)與二面角大小互補(bǔ)進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)二面角的大小為，因?yàn)?，，垂足為、，所以，又，所?故答案為：變式1．（2023秋·山東日照·高二?？茧A段練習(xí)）若二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的距離分別為5和8，兩垂足間的距離為7，則這個(gè)二面角的大小是______．【答案】/【分析】畫(huà)出圖象，可知二面角的平面角為，與互補(bǔ)，利用余弦定理可求，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)為二面角內(nèi)一點(diǎn)，，，，由題，則，，，設(shè)平面，，，則二面角的平面角為，由四邊形的性質(zhì)可知，與互補(bǔ)，則，所以，所以，故答案為：變式2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是二面角內(nèi)的一點(diǎn)，垂直于于垂直于于，則二面角的大小為_(kāi)_．【答案】【分析】設(shè)平面交直線于點(diǎn)，連接，，可證得即二面角的平面角，在由余弦定理求出，即可求出二面角的大?。驹斀狻拷猓涸O(shè)平面交直線于點(diǎn)，連接，，由于，，，，故，，又，平面，故平面，又，平面，故，，所以為二面角的平面角，由于，，，，故，，故在四邊形中，與互補(bǔ)，又，，在中由余弦定理，即，解得，又，所以，故，則二面角的大小為．故答案為：．變式3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平面，，且，，，，為垂足.（1）試判斷直線與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)直線與平面交于點(diǎn)，點(diǎn)，若二面角的大小為，且，求平面與平面所成的銳二面角的大小.【答案】（1）直線與是垂直關(guān)系，證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】(1)由條件可得，，則平面PCD，從而可得答案.(2)由，所以，，就是所求二面角的平面角,則根據(jù)條件可得，然后求出即可.【詳解】（1）∵，，，又平面PCD∵平面PCD，所以即直線與是垂直關(guān)系.（2）連接，，則∵，由（1）有平面PCD，則，所以二面角的平面角為四點(diǎn)共圓，所以∵，又，，∵，，∵，所以，就是所求二面角的平面角，所以即平面與平面所成的銳二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線線位置關(guān)系的判斷，考查求二面角，屬于中檔題.考點(diǎn)十五：射影面積法求二面角例15．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖與所在平面垂直，且，，則二面角的余弦值為_(kāi)______.【答案】【分析】根據(jù)題意以及面面垂直的性質(zhì)定理，可作出在平面內(nèi)的射影，再利用攝影面積法求出二面角的余弦值，再根據(jù)所求角與二面角互補(bǔ)即可求得結(jié)果.【詳解】過(guò)A作的延長(zhǎng)線于E，連結(jié)DE，∵平面平面，平面平面，∴平面∴E點(diǎn)即為點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影，∴為在平面內(nèi)的射影，

設(shè)，則，∴由余弦定理可得，∴，∴，又，∴，設(shè)二面角為，∴.而二面角與互補(bǔ)，∴二面角的余弦值為.故答案為：變式1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．(1)證明：AB⊥平面PAD；(2)求面PAD與面PDB所成的二面角的正切值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面PAD⊥底面ABCD以及AB⊥AD即可證得AB⊥平面PAD；（2）（法一）利用面積射影法，求出面PAD與面PDB所成的二面角的余弦值，即可求出面PAD與面PDB所成的二面角的正切值．(法二)取中點(diǎn)，連接.則是平面PAD與平面PDB所成的二面角的平面角，中求解即可.【詳解】（1）證明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，∴由面面垂直的性質(zhì)定理得，AB⊥平面PAD；（2）解：(法一)由題意，△PBD在面PAD上的射影為△PAD．設(shè)AD＝a，則S△PAD，△PBD中，PD＝a，BDa，PBa，∴S△PBD，∴面PAD與面PDB所成的二面角的余弦值為，∴面PAD與面PDB所成的二面角的正切值為．（法二）如圖所示：取中點(diǎn)，連接.設(shè)AD＝a，則，所以,所以是平面PAD與平面PDB所成的二面角的平面角，在中，,所以.變式2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，正方形平鋪在水平面上，先將矩形沿折起，使二面角為30°，再將正方形沿折起，使二面角為30°，則平面與平面所成的銳二面角的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)平面ADE'F'，平面AF'G''H'',與以ABCD為底面的直四棱柱(高要足夠高)的截面分別為APQD和APRS,利用二面角的面積射影定理計(jì)算求解即可.【詳解】設(shè)平面ADE'F'，平面AF'G''H'',與以ABCD為底面的直四棱柱(高要足夠高)的截面分別為APQD和APRS,在后側(cè)面CDSR中過(guò)S,R作直線DQ的垂線，垂足分別為N,M,則由于平面APQD經(jīng)過(guò)AD,AD⊥平面CDSR,∴平面APQD⊥平面CDSR,由平面垂直的性質(zhì)定理可得SN,RM都是平面APQD的垂線，∴四邊形APMN為四邊形APRS在平面APQD中的正投影，易知△SDN與△RQM全等，∴四邊形APMN的面積等于四邊形APQD的面積，設(shè)四邊形ABCD的面積為S1,四邊形APQD的面積為S2,四邊形APRS的面積為S3,平面APQD與平面ABCD所成的銳二面角為α，平面APQD與平面APRS所成的銳二面角為β，平面ABCD與平面APRS所成的銳二面角為γ，,,∴,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)鍵是平面與直四棱柱的的截面進(jìn)行規(guī)范化，以便利用面積射影定理進(jìn)行計(jì)算求解.二面角的一個(gè)面內(nèi)的圖形在另一個(gè)面內(nèi)的正投影的圖形與原圖形的面積比等于二面角的余弦值的絕對(duì)值，這是一個(gè)重要的性質(zhì)，運(yùn)用熟練，常常能方便的解決一些與二面角有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題.考點(diǎn)十六：由二面角大小求其他量例16．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，如圖2．

(1)證明：平面平面PAD；(2)當(dāng)二面角的平面角的正切值為時(shí)，求直線BD與平面PBC夾角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）要證平面平面PAD，只需證明平面PAD，再利用面面垂直的判定進(jìn)行說(shuō)明；（2）先找到二面角的平面角，再找直線BD與平面PBC所成角.【詳解】（1）中，由余弦定理：，所以,則,將沿BD折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，則，所以,又平面PAD,所以平面PAD，又平面BCD，所以平面平面PAD；（2）

如圖，取中點(diǎn)E，連接BE,DE，因?yàn)锳B=PB,AD=PD,則所以為二面角的平面角，且由（1）知，平面所以,中，中垂線，所以由勾股定理可得，所以，又,所以平面PBD,又，所以平面PBD,過(guò)D作于點(diǎn)F，因?yàn)镈F平面PBD,所以，因?yàn)?所以DF面PBC，所以直線BD與平面PBC夾角即為中，，所以直線BD與平面PBC夾角的正弦值為.變式1．（2023春·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，是上一點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，二面角的大小為.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）根據(jù)題意，分別證得和，得到面，結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證得平面平面.（2）作于，連接，證得是二面角的平面角，利用余弦定理，建立等量關(guān)系式，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）證明（1）四棱錐的底面是正方形，可得，因?yàn)榈酌妫矫?，所以，又因?yàn)榍移矫妫悦?，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：作于，連接，因?yàn)榈酌?，，可得，由底面，底面，所以，又因?yàn)椋?，所以平面，又由平面，所以，同理可證：平面，且平面，所以，所以和全等，因?yàn)?，所以，且所以是二面角的平面角，要使，只需，解得，又因?yàn)椋傻?，因?yàn)?，且，所以，可得，因?yàn)椋?，可得，又因?yàn)?，所以，所以故?dāng)時(shí)，二面角的大小為.

變式2．（2023春·河南安陽(yáng)·高一安陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折為，若F為線段的中點(diǎn)．在翻折過(guò)程中，(1)求證：平面；(2)若二面角，求與面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，通過(guò)證平面平面，可得面.（2）利用二面角的平面角的定義先找出二面角的平面角即為，再利用面面垂直的性質(zhì)定理找到平面的垂線，從而作出與面所成的角，計(jì)算可得答案.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，為線段的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又，，四邊形為平行四邊形，則平面，平面，可得平面，又，，平面，可得平面平面，平面，則面.（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，由，，為邊的中點(diǎn)，得，所以為等邊三角形，從而，，又，為的中點(diǎn)所以，又是等邊三角形，所以，所以為二面角的平面角，所以，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)作交于，連接，是等邊三角形，所以可求得，，所以，，，，，，所以，，又，，面，所以面，又，所以面，平面，所以面面，由，在中易求得，又，所以，，面面，面，所以面，所以為與平面所成的角，在中可求得，所以，與面所成角的正弦值為變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，且，分別為，的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，，為的中點(diǎn)，連接．(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，則；是的中點(diǎn)，則，又可證得為平行四邊形，則，故，即可證明平面；（2）由題意可知是二面角的平面角，于是，由題意平面，于是有平面，則，求得，由得，又，所以平面，然后由錐體體積公式求出結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，又，則．因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，，所以，，所以為平行四邊形，則，故，又因?yàn)椋矫?，所以平面．?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以是二面角的平面角，于是．因?yàn)椋?，，平面，所以平面，于是有平面．因?yàn)槠矫?，所以．在中，，，故，，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面．故．考點(diǎn)十七：直接法求點(diǎn)面距例17．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，已知，，，則點(diǎn)到上底面的距離為（

）A．4 B．2 C． D．3【答案】D【分析】利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得答案.【詳解】∵平面，∴的長(zhǎng)度為點(diǎn)到平面的距離，故點(diǎn)到上底面的距離為3.故選：D.變式1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校校考期末）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形，，，，，，則點(diǎn)P到平面ABCD的距離為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意由勾股定理可得，可證平面PAB，即平面平面ABCD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)作平面ABCD，結(jié)合圖形運(yùn)算求解．【詳解】在中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得．因?yàn)镻C＝2，BC＝1，，所以，即．因?yàn)椤螦BC＝90°，所以，又，所以平面PAB．因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面平面ABCD．在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖所示，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD＝AB，，所以平面ABCD．因?yàn)樵谥校琍A＝1，∠PAE＝60°，所以，所以點(diǎn)P到平面ABCD的距離為．故選：B．變式2．（2023春·山西晉中·高一?？茧A段練習(xí)）已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球的球面上，若球的體積為，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意作出如下示意圖，設(shè)為外接圓的圓心，所以為外接圓的半徑，為球體的半徑，根據(jù)球的性質(zhì)得平面，所以即為到平面的距離，所以，再分別求出所需數(shù)據(jù)即可.【詳解】根據(jù)題意作出如下示意圖，設(shè)為外接圓的圓心，所以為外接圓的半徑，為球體的半徑，根據(jù)球的性質(zhì)得平面，所以即為到平面的距離，所以，因?yàn)槭敲娣e為的等邊三角形，所以底邊的高為：，所以面積為：，所以，所以底邊高為：，所以，因?yàn)榍虻捏w積，解得，即，所以到平面的距離為：.故選：A.考點(diǎn)十八：轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)面距例18．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在三棱柱中，是棱長(zhǎng)為的正四面體，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，證明出平面，利用余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，進(jìn)而可求得的長(zhǎng)，再結(jié)合平面可求得結(jié)果.【詳解】分別取、的中點(diǎn)、，連接、、、，如下圖所示：由題意可知，因?yàn)樗拿骟w是棱長(zhǎng)為的正四面體，則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則，故，同理可得，，因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，則且，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，又因?yàn)榍?，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，且、、、四點(diǎn)共面，因?yàn)椋?，，、平面，所以，平面，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以，，又因?yàn)椋?，、平面，則平面，在中，，，，由余弦定理可得，所以，，因此，點(diǎn)到平面的距離為.因?yàn)椋矫?，平面，所以，平面，所以，點(diǎn)到平面的距離等于.故選：C.變式1．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎睦忮F的底面是正方形，，是棱上任一點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）由勾股定理證得，，得到平面，證得，從而證得平面，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理，即可證得平面平面；（2）根據(jù)題意點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，過(guò)點(diǎn)作證得平面，轉(zhuǎn)化為邊的高，在中，利用面積相等，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槭钦叫?，且，可得，且，又因?yàn)?，可得，因?yàn)榍移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：因?yàn)榕c平面交點(diǎn)為，且，可得點(diǎn)到平面的距離等于到平面的距離，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）知平面，且平面，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，即到平面的距離為邊的高，設(shè)為，過(guò)作于，則，所以，所以，即點(diǎn)到平面的距離等于．

考點(diǎn)十九：等體積法求點(diǎn)面距例19．（2023春·貴州貴陽(yáng)·高一貴陽(yáng)市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖在棱長(zhǎng)為的正方體中，是上一點(diǎn)，且平面.

(1)求證：為的中點(diǎn)；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的性質(zhì)可得出，推導(dǎo)出為的中點(diǎn)，結(jié)合中位線的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算出三棱錐的體積以及的面積，利用等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，，則為的中點(diǎn)，因此，為的中點(diǎn).（2）解：因?yàn)槠矫?，，又因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，，同理可得，，所以，，易知為的中點(diǎn)，則，則，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由可得，即，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.變式1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第四中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，，，，點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，繞OB所在的邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周.設(shè)OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OD時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為，.

(1)求旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V和表面積S；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)O到平面ABD的距離.【答案】(1)，(2)【分析】（1）旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為大圓錐挖去小圓錐，利用圓錐的體積公式和側(cè)面積公式可求旋轉(zhuǎn)體的體積V和表面積S；（2）利用等積法可求O到平面ABD的距離.【詳解】（1）設(shè)底面半徑為，圓錐BO底面面積為，底面周長(zhǎng)，母線.圓錐BO的體積，側(cè)面積.圓錐CO的體積，，側(cè)面積.旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體表面積.（2）

連接AD，在等腰三角形AOD中，，，，，而，設(shè)點(diǎn)O到平面ABD的距離為h，，故，，變式2．（2023春·廣東江門·高一江門市第一中學(xué)校考期中）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若，求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)．【分析】（1）先證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明平面平面；（2）利用幾何關(guān)系和等體積法求解即可．（3）由（2）可知點(diǎn)到平面的距離為，計(jì)算的長(zhǎng)度，根據(jù)直線與平面所成的角的定義求解．【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面．又平面，所以平面平面．?）由（1）知，為點(diǎn)到平面的距離．所以，連接．因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以．在中，，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，所以．所以點(diǎn)到平面的距離為．（3）若，由（2）可知，點(diǎn)到平面的距離為，又，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以.即直線與平面所成角的余弦值為．變式3．（2023春·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①，在梯形中，，，，將沿邊翻折至，使得，如圖②，過(guò)點(diǎn)作一平面與垂直，分別交于點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用勾股定理得到，然后利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到，最后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）方法一：通過(guò)作垂線的方法得到垂線段的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到平面的距離，然后求距離即可；方法二：利用等體積的方法求點(diǎn)到面的距離即可.【詳解】（1）證明：如圖①，，，，，，，

如圖②，∵，，，，，，且，平面，平面，又平面，，平面，且平面，，又，且平面，平面．（2）

方法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由（1）知平面，而平面，，且，平面，平面，則垂線段的長(zhǎng)度即為點(diǎn)到平面的距離．在中，，，，，，由已知得，則，由（1）知，，，即點(diǎn)到平面的距離為．方法二：求點(diǎn)到平面的距離，即求點(diǎn)到平面的距離，由（1）知平面，平面，，在直角三角形中，，，，由等面積得，，即，，平面，且平面，，由（1）知，∽，，則在直角三角形中，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，在三棱錐中，由等體積得，，即，，即點(diǎn)到平面的距離為．1．【多選】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

2．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長(zhǎng)相加即可得解.【詳解】如圖，過(guò)做平面，垂足為，過(guò)分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因?yàn)?，所有棱長(zhǎng)之和為.故選：C3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面，再由勾股定理求出為中點(diǎn)，即可得證；（2）利用直角三角形求出的長(zhǎng)及點(diǎn)到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.【詳解】（1）如圖，

底面，面，，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，過(guò)作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距離為1，，在中，，設(shè)，則，為直角三角形，且，，，，，解得，，（2），，過(guò)B作，交于D，則為中點(diǎn)，由直線與距離為2，所以，，，在，，延長(zhǎng)，使，連接，由知四邊形為平行四邊形，，平面，又平面，則在中，，，在中，，，,又到平面距離也為1，所以與平面所成角的正弦值為.5．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進(jìn)行求解；（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長(zhǎng)，方法二無(wú)需找垂線段長(zhǎng)，直接利用等體積法求解【詳解】（1）

連接.由分別是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺(tái)性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是

（3）[方法一：幾何法]

過(guò)作，垂足為，作，垂足為，連接，過(guò)作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點(diǎn)到平面的距離是.[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.，.由，即.6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.（3）由（2）的信息作出并證明二面角的平面角