第09講 空間向量及其運算的坐標表示10種常見考法歸類解析版-新高二數學暑假自學課講義

第09講空間向量及其運算的坐標表示10種常見考法歸類理解和掌握空間向量的坐標表示及意義，會用向量的坐標表達空間向量的相關運算.會求空間向量的夾角、長度以及有關平行、垂直的證明.知識點1空間直角坐標系1．空間直角坐標系(1)空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.(2)相關概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．注意點：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.(2)畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐標系均為右手直角坐標系．在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系．2．空間一點的坐標、向量的坐標（1）空間點的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的有序實數組(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．注：空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標特點點的位置x軸上y軸上z軸上坐標的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)點的位置Oxy平面內Oyz平面內Ozx平面內坐標的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)（2）空間點的對稱問題①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解．②對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論．（3）空間向量的坐標向量的坐標：在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，可簡記作a＝(x，y，z)．知識點2空間向量的坐標運算1．空間向量的坐標運算法則設向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運算向量表示坐標表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數乘λa(λa1，λa2，λa3)數量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3注意點：(1)空間向量運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致．(2)設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量線性運算的結果仍是向量，用坐標表示；數量積的結果為數量．2．空間向量相關結論的坐標表示設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有(1)平行關系：當b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；(2)垂直關系：a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(3)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).注意點：(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0)．(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，則eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2)成立的條件是x2y2z2≠0.3．空間兩點間的距離公式在空間直角坐標系中，設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．(1)eq\o(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2＋z2).注：空間兩點間的距離公式推導過程如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，eq\o(P1P2,\s\up6(—→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，于是|eq\o(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq\r(\o(P1P2,\s\up6(—→))·\o(P1P2,\s\up6(—→)))＝所以P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(—→))|＝，因此，空間中已知兩點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝.1．建立空間直角坐標系時，要考慮如何建系才能使點的坐標簡單、便于計算，一般是要使盡量多的點落在坐標軸上．充分利用幾何圖形的對稱性．2.求某點M的坐標的方法作MM′垂直于平面Oxy，垂足為M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)．3.空間向量坐標運算的規(guī)律及注意點(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定．已知空間點的坐標、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量eq\o(AB,\s\up7(―→))的坐標等于終點坐標減起點坐標．即eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算．(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標．4.解決空間向量垂直、平行問題的有關思路(1)若有關向量已知時，通常需要設出向量的坐標．例如，設向量a＝(x，y，z)．(2)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件，在有關平行的問題中，通常需要引入參數．例如，已知a∥b，則引入參數λ，有a＝λb，再轉化為方程組求解；已知兩向量平行或垂直求參數值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉化為坐標關系，列方程(組)求解．(3)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當的空間直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明．5．利用向量數量積的坐標公式求異面直線所成角的步驟(1)根據幾何圖形的特點建立適當的空間直角坐標系；(2)利用已知條件寫出有關點的坐標，進而獲得相關向量的坐標；(3)利用向量數量積的坐標公式求得異面直線上有關向量的夾角，并將它轉化為異面直線所成的角．6．利用向量坐標求空間中線段的長度的一般步驟(1)建立適當的空間直角坐標系；(2)求出線段端點的坐標；(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長．考點一：空間中點的坐標表示例1．（2023秋·北京西城·高二北師大二附中?？计谥校┮阎c，，點滿足，則點的坐標是______．【答案】【分析】直接代入空間向量的坐標公式列方程計算即可.【詳解】設，則，由題可得，解得即點的坐標是.故答案為：.變式1．（2022·高二課時練習）若△頂點，且，，則點C坐標是___________.【答案】【分析】根據向量的坐標表示有、，即可求C坐標.【詳解】由，，可得：，又，同理可得：.故答案為：變式2．（2022·全國·高二專題練習）平行六面體中，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的坐標表示，即得.【詳解】設，∵，又，∴，解得，即.故選：B.變式3．（2023·全國·高二專題練習）已知點，，，則點的坐標為______．【答案】/【分析】先求出向量的坐標，設點，得出的坐標，根據條件得出方程組可得答案.【詳解】點，，則設點，則由，則，即x=0y=所以點的坐標為故答案為：變式4．（2023春·高二課時練習）若?，點C在線段AB上，且，則點C的坐標是___________.【答案】【分析】設點的坐標為，由題意可得，即可得到方程組，解得即可求得的坐標．【詳解】解：點?，為線段上一點，且，所以，設點的坐標為，則，則，即，解得，即；故答案為：．變式5．（2023·高三課時練習）若ABCD為平行四邊形，且已知點、、，則頂點D的坐標為______．【答案】【分析】設，然后利用求解即可.【詳解】設，因為四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以，所以，即.故答案為：.考點二：空間點的對稱問題例2．（2023春·高二課時練習）在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間直角坐標系對稱點的特征即可求解.【詳解】在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點坐標為.故選：C.變式1．（2023·全國·高二專題練習）已知點，分別與點關于軸和軸對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在空間直角坐標系中，求出點關于軸和軸對稱的坐標，再利用向量的坐標表示即可得解.【詳解】依題意，點關于軸對稱點，關于軸對稱點，所以.故選：A變式2．（2023春·江蘇常州·高二校聯考階段練習）已知點關于平面的對稱點為，而點關于軸的對稱點為，則（

）A． B． C． D．8【答案】B【分析】由對稱性分別求出B、C，則有，即可求得【詳解】由題意，則，故，.故選：B變式3．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊市第十七中學?？茧A段練習）在空間直角坐標系Oxyz中，P是坐標平面xOy內一動點，，，當最小時P的坐標為___________.【答案】【分析】先利用對稱找出的位置，再結合三角形相似以及空間向量的運算即可求解【詳解】過點作平面xOy垂線，垂足為，延長到，使得，過點作平面xOy垂線，垂足為，則，，，因為與關于平面xOy對稱，所以，所以當最小時點P是連接與平面xOy的交點，連接，易知共面，且與相似，所以，所以，設，則，所以，解得，所以P的坐標為，故答案為：考點三：空間向量的坐標表示例3．（2023春·高二課時練習）已知點，，則向量的坐標為________．【答案】【分析】利用向量的坐標運算求解.【詳解】．故答案為：變式1．（2023春·高二課時練習）已知是空間的一個單位正交基底，向量用坐標形式可表示為________．【答案】【分析】根據給定條件，利用空間向量的坐標表示直接寫出作答.【詳解】因為是空間的一個單位正交基底，則有.所以向量用坐標形式表示為.故答案為：變式2．（2022秋·廣東廣州·高二校聯考期末）如圖，正方體的棱長為2，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據已知條件求得.【詳解】依題意，，所以，所以.故選：D變式3．（2023·全國·高二專題練習）已知空間直角坐標系中，點，，若，與同向，則向量的坐標為______.【答案】【分析】求出坐標，根據給條件表示出坐標，利用向量模的坐標表示計算作答.【詳解】因，，則，因與同向，則設，因此，，于是得，解得，則，所以向量的坐標為.故答案為：變式4．【多選】（2022秋·黑龍江大慶·高二大慶二中?？茧A段練習）已知四邊形的頂點分別是，，，，那么以下說話中正確的是（

）A． B．C．的中點坐標為 D．四邊形是一個梯形【答案】AD【分析】根據向量的坐標運算判斷A，B，C，通過判斷，的關系，判斷四邊形的形狀，由此判斷D.【詳解】設點為坐標原點，因為，，，，所以，，，，所以，A正確；所以，B錯誤；設的中點為點，則，所以點的坐標為，C錯誤；因為，，所以，所以，，所以四邊形是一個梯形，D正確；故選：AD.考點四：空間向量的坐標運算例4．（2022秋·北京豐臺·高二統考期末）已知，(2，1，1)，則________．【答案】【分析】以向量的代數運算律解之即可.【詳解】由，(2，1，1)可得故答案為：變式1．（2023·全國·高二專題練習）向量，，，中，共面的三個向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據向量共面滿足的坐標關系，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】A：若共面，則，即，即，顯然不存在滿足題意，故不共面；同理，B，C中的三個向量也不共面；D：若共面，則，即，即，故存在滿足題意，則共面.故選：D.變式2．（2023秋·湖北·高二統考期末）已知向量，，，若向量，，共面，則實數的值為________．【答案】1【分析】依題意可得存在實數，使得，從得到方程組，解得即可.【詳解】解：因為向量，，共面，所以存在實數，使得，即，所以，解得．故答案為：變式3．（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學?？计谀┰诳臻g直角坐標系中，已知三點，若點C在平面內，則點C的坐標可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據向量的運算可得，，由，不共線，結合向量基本定理可得，求得C點坐標為，代入驗算即可得解.【詳解】由，，顯然，不共線，根據向量基本定理可得，故C點坐標為，經驗算只有B選項符合條件，此時，故選：B變式4．【多選】（2023秋·遼寧葫蘆島·高二統考期末）已知在空間直角坐標系中，O為坐標原點，且，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．若，則P，A，B，C四點共面【答案】BD【分析】由條件求，根據向量的模的個數，數量積運算公式，數量積的性質，向量共面定理依次判斷各選項.【詳解】因為，所以，所以，A錯誤；，B正確；，所以不垂直，C錯誤；因為，所以，所以，所以，即，所以共面，所以P，A，B，C四點共面，D正確；故選：BD.變式5．（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┫铝袔捉M空間向量中，不能作為空間向量基底的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據空間向量共面定理依次判斷各選項即可.【詳解】對于A，設，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故A錯誤；對于B，設，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故B錯誤；對于C，設，無解，即不共面，故可以作為空間向量一個基底，故C錯誤；對于D，設，解得，所以共面，故不可以作為空間向量一個基底，故D正確.故選：D變式6．（2022·高二課時練習）在中，若，，則是（

）A．頂角為銳角的等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．頂角為鈍角的等腰三角形【答案】A【分析】利用空間向量的坐標運算計算的坐標，由模長公式分別計算，，的值，可得，再計算可判斷為銳角，進而可得正確答案.【詳解】，，，，所以，因為，，因為，所以為銳角，所以是頂角為銳角的等腰三角形，故選：A.考點五：空間向量的平行問題例5．（2022·高二課時練習）若，且與共線，求x，y的值．【答案】【分析】先判斷，然后根據題意可得到比例式，求得答案.【詳解】，且與共線，當時，顯然不共線，故，則由題意得：，即.變式1．（2023春·高二課時練習）已知向量，，且，則實數k的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，利用空間向量線性運算的坐標表示，結合向量共線條件列式計算作答.【詳解】向量，，則，因為，則，解得，所以實數k的值為.故選：C變式2．【多選】（2023秋·湖南衡陽·高二衡陽市田家炳實驗中學?？计谥校┡c向量共線的單位向量是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據單位向量的概念，求出與向量共線的單位向量即可【詳解】因為向量，所以，所以與向量共線的單位向量為，即和，故選：AC變式3．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二實驗中學?？茧A段練習）已知空間兩點，1，，，2，，下列選項中的與共線的是（

）A．，0， B．，1， C．，， D．，2，【答案】D【分析】由題得，1，，再利用空間向量共線定理判斷得解.【詳解】解：由點，1，，，2，，所以，1，，對于A，，0，，不滿足，所以與不共線；對于B，，1，，不滿足，所以與不共線；對于C，，，，不滿足，所以與不共線；對于D，，2，，滿足，所以與共線．故選：D變式4．（2022秋·廣東江門·高二江門市第二中學?？计谥校┮阎臻g直角坐標系中，點，，若，且與反向共線，則_____．【答案】【分析】根據向量與反向共線，設，利用列方程求得，即得答案.【詳解】由，，可得，由于與反向共線，設，由可得，解得，（舍去），故，故答案為：變式5．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中學?？计谀┰诳臻g直角坐標系Oxyz中，，，，若四邊形為平行四邊形，則________.【答案】1【分析】由四邊形為平行四邊形，可得，再根據向量的坐標運算求解即可.【詳解】解：，，因為四邊形為平行四邊形，所以，所以，，則.故答案為：1.考點六：利用坐標運算解決數量積問題例6．（2022·全國·高二專題練習）若，，，則（

）A．-11 B．3 C．4 D．15【答案】C【分析】先求出的坐標表示，再利用向量數量積的坐標表示計算即可【詳解】由已知，，，∴.故選：C．變式1．（2022·高二單元測試）若向量，，則______．【答案】19【分析】根據空間向量的坐標運算，求得的坐標，再根據向量的數量積的坐標表示求得答案.【詳解】∵，，∴，∴,故答案為：19變式2．（2023秋·廣東深圳·高二統考期末）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據空間向量的坐標運算可得，結合空間向量數量積的坐標表示計算即可求解.【詳解】由題意知，由，得，解得.故選：B.變式3．（2022秋·江蘇徐州·高二?？茧A段練習）在中，．(1)求頂點的坐標；(2)求．【答案】(1),(2)【分析】根據向量的坐標表示求出的坐標，利用向量數量積的坐標運算可求得.【詳解】（1）設,,,.設,,,.（2），.考點七：空間向量的垂直問題例7．（2023秋·高二課時練習）已知，單位向量滿足，則_________．【答案】或【分析】設向量，其中，由，得到方程組，進而求得的值，即可求解.【詳解】設向量，其中，因為且，可得，即，將代入，可得或，所以向量的坐標為或.故答案為：或.變式1．（2023春·江蘇鹽城·高二鹽城中學?？计谥校┮阎蛄?，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題中條件，求出的坐標，再由向量垂直的坐標表示列出方程求解，即可得出結果.【詳解】因為，所以，又，所以，解得.故選：D.變式2．（2022秋·廣東陽江·高二陽江市陽東區(qū)第一中學?？计谥校┮阎蛄浚?，若與垂直，則＝_____.【答案】【分析】根據給定條件，利用向量垂直關系求出x，再結合向量的坐標運算及模的運算計算作答.【詳解】向量與垂直，則有，解得，于是，所以.故答案為：變式3．（2022秋·河南·高二校聯考階段練習）已知空間有三點，，，若直線上存在一點M，滿足，則點M的坐標為______.【答案】【分析】設，根據空間向量的坐標表示求得點的坐標，再根據，可得數量積為0，從而可求出，即可得解.【詳解】解：設，由，得，故，則，因為，所以，解得，所以.故答案為：.變式4．（2022秋·山東濟寧·高二統考期中）已知空間中三點，，，設，.(1)求向量與向量的坐標；(2)若與互相垂直，求實數的值.【答案】(1)，；(2)或.【分析】（1）根據空間向量坐標表示公式進行求解即可；（2）根據空間向量垂直的坐標表示公式進行求解即可.【詳解】（1），；（2）∵，，且與互相垂直，∴解得或.變式5．（2023·全國·高二專題練習）在空間直角坐標系中，若三點，，滿足，則實數a的值為（

）．A． B．1 C． D．【答案】C【分析】先求出的坐標，再由，得，解方程可求出實數a的值【詳解】因為，，，所以，，，所以，因為，所以，所以，解得，故選：C變式6．（2023秋·河南南陽·高二南陽中學?？茧A段練習）已知長方體中，，，，，若則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可.【詳解】解：根據題意，如圖，建立空間直角坐標系，因為，，，，，，，所以，因為，所以，解得.故選：C.考點八：利用坐標運算解決夾角問題例8．（2023·全國·高三對口高考）已知向量，若，則_________．【答案】【分析】設，依題意可得，再根據向量夾角公式即可求解.【詳解】設向量，，，設與的夾角為，，，.故答案為：.變式1．（2023春·重慶北碚·高二西南大學附中校考階段練習）已知，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據空間向量的平行、垂直關系求，再根據空間向量的坐標運算求夾角.【詳解】∵，∴，解得，即.又∵，注意到，則，使得，∴，解得，故.∴，∴，又，∴.故選：B.變式2．（2023春·江蘇·高二南師大二附中校聯考階段練習）若向量，且與夾角的余弦值為，則等于（

）A． B． C．或 D．2【答案】A【分析】利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.【詳解】因為，所以，，又與夾角的余弦值為，，所以，解得，注意到，即，所以.故選：A.例9．（2023春·高二課時練習）若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據空間向量與的夾角是銳角可得且與不同向共線，結合數量積的坐標表示計算即可求解.【詳解】因為與的夾角是銳角，所以，即，解得，若與的夾角為，則存在，使，即，所以，解得.故t的取值范圍是.故答案為：.變式1．（2023秋·福建泉州·高二福建省泉州第一中學校考期中）點，，，若，的夾角為銳角，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】根據題意可求出和，因為，的夾角為銳角，可得，且不能是同向共線，列出不等式求解即可.【詳解】根據題意有，，若，則，解得若，則，即同向∵，的夾角為銳角，則，且不能同向即，解得，且，則的取值范圍為.故答案為：.變式2．（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學?？茧A段練習）已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實數的取值范圍______.【答案】【分析】根據已知條件及向量的線性運算的坐標表示，再利用向量的數量積的坐標運算及向量平行的坐標表示即可求解.【詳解】因為，所以，，因為向量與的夾角為銳角，所以，解得，而當時，，解得，所以實數的取值范圍為.故答案為：變式3．（2023春·高二課時練習）已知空間中的三點，，.(1)求的面積；(2)當與的夾角為鈍角時，求k的范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）應用向量坐標表示有，，由向量夾角的坐標運算可得，再求其正弦值，應用三角形面積公式求面積；（2）向量坐標表示得，，它們的夾角為鈍角，即，即可求參數范圍，注意排除向量反向共線的情況.【詳解】（1）由題設，，則，所以，故在中，故的面積為.（2）由（1）知：，，且它們夾角為鈍角，所以，即，所以，可得，當它們反向共線，即且時，有，無解，綜上，.變式4．（2023秋·高二單元測試）已知，則的面積為__________．【答案】【分析】根據題意，求得，的坐標及其夾角的余弦值和正弦值，利用三角形面積公式即可求得結果.【詳解】因為，故可得，不妨設，的夾角為，故可得，因為，所以，則.故答案為：.變式5．（2023春·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)第一中學?？茧A段練習）長方體，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，可得，，設異面直線與所成角為，則.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.變式6．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學?？寄M預測）如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接與交于點，連接，以點為原點，建立空間直角坐標系，分別求得向量和的坐標，結合向量的夾角公式，即可得解.【詳解】連接與交于點，連接，由題意得，，且平面，以點為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

設四棱錐各棱長均為2，則，，可得，則，設異面直線與所成角為，則．故選：A．考點九：利用坐標運算解決距離問題例10．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽實驗高級中學?？茧A段練習）在空間直角坐標系中，點，則______【答案】【分析】寫出對應的向量，利用向量模求解.【詳解】由題意，可得，故.故答案為：.變式1．（2022·全國·高二專題練習）若，，則（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【分析】先求出,再利用向量的模長計算公式即可【詳解】因為所以故選:A變式2．（2022秋·上海徐匯·高二上海中學?？计谥校┰O正四面體ABCD的棱長為1，點M、N滿足，，則______.【答案】【分析】利用空間向量的坐標運算求兩點間的距離.【詳解】如圖,將正四面體ABCD放在正方體中,則正方體的邊長為,因為，,所以,所以,所以.故答案為：.變式3．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學?？茧A段練習）在空間直角坐標系中，，，則的最小值是________.【答案】【分析】根據空間向量的坐標表示，以及向量模的計算公式，結合二次函數的性質，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，所以，所以當時，取得最小值.故答案為：.變式4．（2022·高二單元測試）若A，B，當取最小值時，x的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的坐標公式求得的坐標，再利用向量模的坐標公式求解.【詳解】因為A，B，所以，則，，當時，取最小值，故選：C變式5．（2022·全國·高三專題練習）在空間直角坐標系中，已知，，點分別在軸，軸上，且，那么的最小值是______.【答案】【解析】設，0，，，，，則，，由，知．所以，由此能求出其最小值．【詳解】設，0，，，，，，0，，，1，-，，，，，即．，．（當時取最小值）故答案為：【點睛】方法點睛：求最值常用的方法有：（1）函數法；（2）數形結合法；（3）導數法；（4）基本不等式法.要根據已知條件靈活選擇方法求解.變式6．（2023春·上海寶山·高二統考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是______.【答案】4【分析】利用坐標法，根據空間向量數量積的坐標運算，向量線性運算，不等式思想即可求解．【詳解】是空間相互垂直的單位向量，設，，設，又，，又，，，其中，，，當且僅當時取得等號，的最小值是4．故答案為：4．考點十：利用坐標運算求投影或投影向量例11．（2023春·高二課時練習）已知空間向量，則向量在坐標平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據投影向量的定義即可得出正確的答案.【詳解】根據空間中點的坐標確定方法知，空間中點在坐標平面上的投影坐標，橫坐標為0，縱坐標與豎坐標不變．所以空間向量在坐標平面上的投影向量是：故選：B.變式1．（2023春·湖北孝感·高二校聯考階段練習）已知向量，則向量在向量上的投影向量（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用投影向量的定義求解作答.【詳解】向量，，，所以向量在向量上的投影向量.故選：B變式2．（2023春·江蘇宿遷·高二統考期中）已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據投影向量的計算公式求解即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選:C.變式3．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學?？茧A段練習）已知點，則在上的投影向量的長度為________.【答案】【分析】計算，，根據投影公式得到答案.【詳解】由已知得，∴，又，所以在上的投影向量的長度為.故答案為：.1．已知向量，則下列向量中與成的是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：對于A選項中的向量，，則；對于B選項中的向量，，則；對于C選項中的向量，，則；對于D選項中的向量，此時，兩向量的夾角為.故選B.【考點定位】本題考查空間向量數量積與空間向量的坐標運算，屬于中等題.2．已知向量，且，則____________．【答案】3【分析】利用向量的坐標運算求得求出，根據空間向量模的公式列方程求解即可.【詳解】因為，所以，可得，因為，解得，故答案為3.3．若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)滿足條件，則x＝________．【答案】【分析】利用空間向量的坐標運算和數量積表示求解.【詳解】解：，解得故答案為：4．記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記．當為鈍角時，求的取值范圍．【答案】【詳解】建構如圖所示空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則相關點的坐標分別為：???，則.由，得，而；又.由，化簡得，解得.5．如圖，在正四棱柱中，，點是的中點，點在上，設二面角的大小為．（1）當時，求的長；（2）當時，求的長．【答案】（1）（2）【分析】以D為原點，DA為x軸正半軸，DC為y軸正半軸，DD1為z軸正半軸，建立空間直角坐標系，設點，計算出平面的法向量．（1）計算出平面的法向量，將二面角為直二面角轉化為，求出的值，再利用空間中兩點間的距離公式求出；（2）由已知條件得出，計算的值，則利用空間兩點見的距離公式可得出的值．【詳解】以D為原點，DA為x軸正半軸，DC為y軸正半軸，DD1為z軸正半軸，建立空間直角坐標系，則A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0))，設M(0，1,z),面MDN的法向量，設面A1DN的法向量為，則，即，取，則，，則．（1）由題意：，則，取，；（2）由題意：，即，取，則，，，.【點睛】本題考查平面與平面垂直、空間中兩點間的距離以及二面角的求法，對于二面角的求解，關鍵是要找到合適的位置建立空間直角坐標系，并求出相應的法向量，考查空間想象能力與運算能力，屬于中等題．一、單選題1．（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習）已知點，，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據空間向量坐標運算法則進行計算.【詳解】.故選：A2．（2023·江蘇·高二專題練習）三個頂點的坐標分別為，則的形狀為（

）A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．正三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】利用空間向量模長的坐標表示求出的邊長即可求解.【詳解】由題得，則，，，因為，所以為直角三角形，故選：D3．（2023·全國·高二專題練習）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，設，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B4．（2023·全國·高二專題練習）已知，，，若，則點B的坐標為（

）．A．（－1，3，－3） B．（9，1，1）C．（1，－3，3） D．（－9，－1，－1）【答案】B【分析】由，設結合空間向量的坐標，得(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，即可求B的坐標.【詳解】設，由得：(5,－1,2)＝(x－4,y－2,z＋1)，∴,可得，所以點B的坐標為（9，1，1）.故選：B5．（2023春·福建寧德·高二校聯考期中）已知的三個頂點分別為，，，則BC邊上的高等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量運算以及向量的夾角公式進行求解.【詳解】由題意，，，可得，，，即角B為銳角，所以，所以邊上的高.故選：B6．（2023春·福建寧德·高二校聯考期中）已知，，，若，，三向量共面，則實數等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根據題意，設，列出方程組即可得到結果.【詳解】因為，，，且，，三向量共面，設，則，即，解得.故選：D7．（2023春·江蘇常州·高二常州高級中學?？茧A段練習）下列各組空間向量不能構成空間的一組基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據空間向量共面定理依次判斷各選項即可.【詳解】對于A，設，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故A錯誤；對于B，設，所以三個向量共面，故不可以作為空間向量一個基底，故B正確.對于C，設，無解，即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故C錯誤；對于D，設，無解,即向量不共面，故可以作為空間向量一個基底，故D錯誤.故選：B.8．（2023春·安徽合肥·高二合肥市第五中學?？计谀┮阎?，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據向量坐標運算即可.【詳解】.故選：B.9．（2023·全國·高二專題練習）已知向量，，則（

）A． B．40 C．6 D．36【答案】C【分析】利用向量線性關系的坐標運算求，再利用向量模長的坐標公式求模長.【詳解】由題意，∵，，∴，∴.故選：C.10．（2023春·寧夏固原·高二?？茧A段練習）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據空間向量數量積的坐標表示計算可得.【詳解】因為，，所以.故選：B11．（2023春·江蘇常州·高二校聯考階段練習）若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令與共線，求出的值，依題意且與不反向共線，根據數量積的坐標表示得到不等式組求解即可.【詳解】因為，，令與共線，則，即，即，解得，此時，，即，與反向，又與的夾角為鈍角，所以且與不反向共線，即且，解得且，故選：C12．（2023春·寧夏中衛(wèi)·高二中衛(wèi)中學?？茧A段練習）已知向量，，，若，則的值為（

）A． B．2 C． D．6【答案】A【分析】根據題中條件，求出的坐標，再由向量垂直的坐標表示列出方程求解，即可得出結果.【詳解】因為，，，所以，又，所以，解得.故選：A.二、多選題13．（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習）已知向量，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．記與的夾角為，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據空間向量線性坐標運算、數量積的坐標運算以及垂直的坐標表示即可求解.【詳解】因為，，，所以，選項A：，正確；選項B：，正確；選項C：，錯誤；選項D：因為，，所以，由得，所以，所以，正確；故選：ABD14．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中學校考階段練習）已知空間向量，則（

）A． B．是共面向量C． D．【答案】ABC【分析】根據向量的坐標進行運算，求向量的模長，判斷關系.【詳解】，A項正確；設，即，解得，，即，所以，，共面，B項正確；，所以，C項正確；，D項錯誤.故選：ABC.15．（2023春·安徽合肥·高二統考開學考試）已知向量，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據空間向量的模長、數量積的坐標運算，以及平行、垂直的坐標表示即可求解.【詳解】對于A,，，故A錯誤；對于B，，則，故B錯誤；對于C,，則，則，故C正確；對于D，，故D正確.故選:CD.16．（2023春·江蘇淮安·高二校聯考期中）已知，，則（

）A． B．C． D．∥【答案】AD【分析】根據向量的坐標模長公式、線性運算、數量積的坐標表示、共線向量定理逐項判斷即可.【詳解】對A，因為，所以，故A正確；對B，，故B不正確；對C，，所以不垂直，故C不正確；對D，，所以∥，故D正確.故選：AD.17．（2023春·福建龍巖·高二校聯考期中）已知向量，，則下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為2 D．的最大值為4【答案】ABC【分析】根據空間向量共線定理即可判斷A；根據空間向量垂直的坐標表示即可判斷B；根據向量的模的坐標表示結合二次函數的性質即可判斷CD.【詳解】對于A，若，且，，則存在唯一實數使得，即，則，解得，故A正確；對于B，若，則，即，解得，故B正確；，故當時，取得最小值，無最大值，故C正確，D錯誤.故選：ABC.18．（2023春·廣東東莞·高二校聯考階段練習）已知空間向量，，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量的長度為【答案】BD【分析】根據向量坐標運算，驗證向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的長度即可解決.【詳解】對于A，由題得，而，故A不正確；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因為，故C不正確；對于D，因為在上的投影向量的長度為，故D正確；故選：BD.三、填空題19．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考階段練習），若，則_____________．【答案】-4【分析】由空間向量共線定理求解.【詳解】解：因為，且，所以，解得，故答案為：-420．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學?？茧A段練習）設空間向量，，若，則＝______．【答案】3【分析】根據空間向量共線得，再利用空間向量的坐標運算和向量模的定義即可得到答案.【詳解】，則顯然，，解得，則，，故答案為：3.21．（2023春·河南周口·高二校聯考階段練習）在空間直角坐標系中，，，O為坐標原點，直線AB上有一點M，且，則點M的坐標為______．【答案】【分析】運用空間向量求解.【詳解】設，，，，則，，又，即，解得，故M點的坐標為；故答案為：.22．（2023春·四川雅安·高二雅安中學校考期中）已知向量，且與互