電路分析基礎(chǔ) 第2版 課件 一階電路的暫態(tài)分析

3.1電容、電感的伏安特性1

電容元件電容器

在外電源作用下，正負(fù)電極上分別帶上等量異號(hào)電荷，撤去電源，電極上的電荷仍可長久地聚集下去，是一種儲(chǔ)存電能的部件。_+qq

U電導(dǎo)體由絕緣材料分開就可以產(chǎn)生電容。注意

電路符號(hào)C＋－u+q-qF(法拉),常用F，pF等表示。

單位1F=106

F1

F

=106pF3.電容的電壓

電流關(guān)系電容元件VCR的微分形式u、i

取關(guān)聯(lián)參考方向C＋－ui當(dāng)u

為常數(shù)(直流)時(shí)，i=0。電容相當(dāng)于開路，電容有隔斷直流作用；表明C＋－u+q-q某一時(shí)刻電容電流i的大小取決于電容電壓

u

的變化率,而與該時(shí)刻電壓

u

的大小無關(guān)。電容是動(dòng)態(tài)元件；實(shí)際電路中通過電容的電流

i

為有限值，則電容電壓u必定是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。tu0某一時(shí)刻的電容電壓值與-到該時(shí)刻的所有電流值有關(guān)，即電容元件有記憶電流的作用，故稱電容元件為記憶元件。表明研究某一初始時(shí)刻t0

以后的電容電壓，需要知道t0時(shí)刻開始作用的電流i

和t0時(shí)刻的電壓u（t0）。電容元件VCR的積分形式2電感元件i(t)+-u(t)電感線圈

把金屬導(dǎo)線繞在一骨架上構(gòu)成一實(shí)際電感線圈，當(dāng)電流通過線圈時(shí)，將產(chǎn)生磁通，是一種抵抗電流變化、儲(chǔ)存磁能的部件。

(t)＝N(t)

電路符號(hào)H(亨利)，常用H，mH表示。+-u(t)iL

單位電感器的自感1H=103

mH1mH

=103

H3.線性電感的電壓、電流關(guān)系u、i取關(guān)聯(lián)參考方向電感元件VCR的微分關(guān)系+-u(t)iL根據(jù)電磁感應(yīng)定律與楞次定律電感電壓u

的大小取決于i

的變化率,與i

的大小無關(guān)，電感是動(dòng)態(tài)元件；當(dāng)i為常數(shù)(直流)時(shí)，u=0。電感相當(dāng)于短路；實(shí)際電路中電感的電壓

u為有限值，則電感電流i

不能躍變，必定是時(shí)間的連續(xù)函數(shù).+-u(t)iL表明電感元件VCR的積分關(guān)系表明某一時(shí)刻的電感電流值與-到該時(shí)刻的所有電壓值有關(guān)，即電感元件有記憶電壓的作用，電感元件也是記憶元件。研究某一初始時(shí)刻t0

以后的電感電流，不需要了解t0以前的電流，只需知道t0時(shí)刻開始作用的電壓u

和t0時(shí)刻的電流i（t0）。3電容、電感元件的串聯(lián)與并聯(lián)1.電容的串聯(lián)u1uC2C1u2+++--i

等效電容iu+-C等效u1uC2C1u2+++--ii2i1u+-C1C2iiu+-C等效2.電容的并聯(lián)

等效電容3.電感的串聯(lián)u1uL2L1u2+++--iiu+-L等效

等效電感u+-L1L2i2i1iu+-L等效4.電感的并聯(lián)

等效電感3.2電路的動(dòng)態(tài)過程含有動(dòng)態(tài)元件電容和電感的電路稱動(dòng)態(tài)電路。特點(diǎn)：1.動(dòng)態(tài)電路

當(dāng)動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（換路）需要經(jīng)歷一個(gè)變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)變化過程稱為電路的過渡過程。例：實(shí)驗(yàn)+-UsRLCrrrt0穩(wěn)定狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)

過渡過程電路的狀態(tài)分析S閉合前，即t＜0：所有支路的電流均為0——零狀態(tài)（穩(wěn)定狀態(tài)）從S閉合瞬間，即t=0→t≥0→t→∞R支路：燈泡立即亮，且亮度不變，t從0→∞

L支路：燈泡不亮，然后逐漸由暗→亮→很亮→亮度不變

即（此時(shí)L相當(dāng)于短路）

C支路：燈泡立即亮，而且很亮，然后逐漸由亮→暗→熄滅

即（此時(shí)C相當(dāng)于開路）

電路從前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)→新的穩(wěn)定狀態(tài)的變化過程——過渡過程過渡過程產(chǎn)生的原因和條件電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化（1）換路支路接入或斷開電路參數(shù)變化（2）條件電路中含有儲(chǔ)能元件L或C，且換路前后，電路中能量分配情況發(fā)生變化（3）過渡過程產(chǎn)生的原因

電路內(nèi)部所含的儲(chǔ)能元件

L、C

在換路時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲(chǔ)存和釋放都需要一定的時(shí)間來完成。研究過渡過程的意義（1）電力系統(tǒng)中防止過電流、過電壓（2）在電子技術(shù)中可用以產(chǎn)生各種特殊的信號(hào)應(yīng)用KVL和電容的VCR得：若以電流為變量：+–uCus（t）RCi

(t>0)2.動(dòng)態(tài)電路的方程+–uLus（t）RLi

(t>0)有源電阻電路一種動(dòng)態(tài)元件一階電路應(yīng)用KVL和電感的VCR得：若以電感電壓為變量：+–uLuS（t）RLi

(t>0)CuC＋－＋－二階電路若以電流為變量：

穩(wěn)態(tài)分析和動(dòng)態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)換路發(fā)生很長時(shí)間后狀態(tài)微分方程的特解恒定或周期性激勵(lì)換路發(fā)生后的整個(gè)過程微分方程的一般解（通解）任意激勵(lì)

研究過渡過程約定計(jì)時(shí)起點(diǎn):換路的瞬間時(shí)刻換路前的終了時(shí)刻換路后的初始時(shí)刻3.三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學(xué)模型是一階微分方程：其解答一般形式為：用0+等效電路求解用t→

的穩(wěn)態(tài)電路求解直流激勵(lì)時(shí)：（τ=ReqC；

τ=L/Req）分析一階電路問題轉(zhuǎn)為求解電路的三個(gè)要素的問題3.3換路定理及初始條件的求取

L

(0+)=

L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)1.換路定律

換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。

換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。電容電壓不能突變！電感電流不能突變！若原未充電的電容在換路瞬間相當(dāng)于短路若原未通電的電感在換路瞬間相當(dāng)于開路（1）電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。注意:（2）換路定律反映了能量不能躍變。（3）除了電容電壓、電感電流不能突變，其他非獨(dú)立初始條件

一般可以躍變，但此時(shí)必須3.初始條件的求取依據(jù)：KCL、KVL、換路定律步驟①由換路前的穩(wěn)態(tài)電路（t

=0-）求出從而iL(0＋)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)②作出0+等效電路（換路后）：C——用電壓源替代L——用電流源替代US=uC

(0+)=U0IS=iL(0＋)=I0各獨(dú)立電源用（t

=0）時(shí)的值代入注意方向③用KCL、KVL或其他各種其他方法求各非獨(dú)立初始條件(2)由換路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效電路(1)由0－電路求uC(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V(3)由0+等效電路求iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求uC(0+)

、iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k電容開路電容用電壓源替代解：t=0時(shí)開關(guān)打開iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0時(shí)閉合開關(guān)k,求iL(0+)、

uL(0+)iL+uL-L10VK1

4

+uL-10V1

4

0+電路2A先求由換路定律:電感用電流源替代10V1

4

解電感短路iL(0+)=iL(0－)=ISuC(0+)=uC(0－)=RISuL(0+)=-RISt=0時(shí)開關(guān)閉合求iC(0+),uL(0+)例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解0+電路uL+–iCRISRIS+–由0－電路得：由0＋電路得：例4圖示電路，求開關(guān)打開瞬間，電壓表兩端電壓，即解（2）給出0＋等效電路（1）確定0－值可見，該電路在換路瞬間會(huì)產(chǎn)生過電壓，從而損壞電壓表。一般電壓表不應(yīng)“接死”在電路中tU0uC0I0ti0令=RC

,稱

為一階電路的時(shí)間常數(shù)

（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；連續(xù)函數(shù)躍變

（2）響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān)；時(shí)間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長短

=RC

大→過渡過程時(shí)間長

小→過渡過程時(shí)間短電壓初值一定：R大（C一定）i=u/R放電電流小放電時(shí)間長C大（R一定）W=Cu2/2儲(chǔ)能大物理含義工程上認(rèn)為,經(jīng)過3

－5

,過渡過程結(jié)束。

：電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時(shí)間。U00.368U00.135U00.05U00.007U0U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

例

已知圖示電路中的電容原本充有24V電壓，求K閉合后，電容電壓隨時(shí)間變化的規(guī)律。解這是一個(gè)求一階RC零輸入響應(yīng)問題，有：i3K3+uC2

6

5F－i2i1+uC4

5F－i1t≥0等效電路-RI0uLttI0iL0從以上式子可以得出：連續(xù)函數(shù)躍變

（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；

（2）響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與L/R有關(guān)；令

=L/R

,稱為一階RL電路時(shí)間常數(shù)

大→過渡過程時(shí)間長

小→過渡過程時(shí)間短時(shí)間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長短

=L/R小結(jié)4.一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)

RC電路

=RC,

RL電路

=L/RR——與動(dòng)態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻（除去動(dòng)態(tài)元件看入的等效電阻）。3.同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)（換路后）。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路動(dòng)態(tài)元件初始能量為零，由t≥0電路中外加輸入激勵(lì)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=02一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)非齊次線性常微分方程解答形式為：1.

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解tuc0

（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：從以上式子可以得出：穩(wěn)態(tài)分量（強(qiáng)制分量）暫態(tài)分量（自由分量）+例t=0時(shí),開關(guān)K閉合，已知

uC（0－）=0，求電容電壓和電流。解500

10

F+-