2024年中考數(shù)學(xué)【高分·突破】壓軸題培優(yōu)專題精練壓軸熱點(diǎn)考點(diǎn)06二次函數(shù)的解析式、圖像及其性質(zhì)(壓軸突破)(原卷版+解析)

壓軸熱點(diǎn)考點(diǎn)06二次函數(shù)的解析式、圖像及其性質(zhì)壓軸突破——2024年【中考·沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點(diǎn)考點(diǎn)好題精編一、單選題1．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、D的橫坐標(biāo)分別為3和，其圖像與x軸圍成封閉圖形L，圖形L內(nèi)部（不包含邊界）恰有4個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），系數(shù)a的值可以是（

）

A． B． C． D．2．如圖1，在中，，的長為a，動(dòng)點(diǎn)D在邊上從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)的長為x，矩形的面積為y，y隨x變化的關(guān)系圖象如圖2所示，其中點(diǎn)P為圖象的最高點(diǎn)，且縱坐標(biāo)為，則a的值為（）A．2 B．4 C．6 D．83．雁門關(guān)，位于我省忻州市雁門山中，是長城上的重要關(guān)隘，以“險(xiǎn)”著稱，被譽(yù)為“中華第一關(guān)”，由于地理環(huán)境特殊，行車高速路上的隧道較多，如圖①是雁門關(guān)隧道，其截面為拋物線型，如圖②為截面示意圖，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，以過點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直直角坐標(biāo)系．經(jīng)測(cè)量，拋物線的頂點(diǎn)P到的距離為，則拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（

）

A． B．C． D．4．已知二次函數(shù)（a為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，圖象與x軸交于點(diǎn)A、B(A在B的左邊)，連接，點(diǎn)P是拋物線圖象在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)Q，若取得最大值，則此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(

)

A． B． C．1 D．25．如圖，已知在拋物線上有一點(diǎn)，軸于B點(diǎn)，連接，將繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后，該三角形的A．B兩點(diǎn)中必有一個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上，這個(gè)角度是（

）

A． B． C． D．6．如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方問以向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．以所在直線為對(duì)稱軸，將折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，移動(dòng)過程中與重疊部分的面積為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則與之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

A．

B．

C．

D．

7．如圖1，某地大橋主橋墩結(jié)構(gòu)為拋物線形，橋墩的高度和寬度分別為40m和30m，若建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．8．老師設(shè)計(jì)了“誰是臥底”游戲，用合作的方式描述一個(gè)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，其中，為常數(shù)，甲說：該二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線；乙說：函數(shù)的最小值為；丙說：是方程的一個(gè)根；丁說：該二次函數(shù)的圖象與軸交于．若四個(gè)描述中，只有“臥底”的描述是假命題，則“臥底”是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題9．?dāng)S實(shí)心球是安徽省高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目．如圖是某學(xué)生投實(shí)心球，出手后實(shí)心球沿一段拋物線為常數(shù)，運(yùn)行，當(dāng)運(yùn)行到最高點(diǎn)時(shí)，運(yùn)行高度，水平距離．（1）當(dāng)出手高度為時(shí)，；（2）若實(shí)心球落地水平距離不小于，且不超過，則的取值范圍是．10．已知拋物線與直線相交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），且．（1）的值是．（2）直線與拋物線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，．若隨的增大而增大，則的取值范圍是．11．如圖①，是可移動(dòng)的灌溉裝置，以水平地面方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，如圖②所示．其水柱的高度y（單位：m）與水柱距噴水頭的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．在圖②中，若水柱在某一個(gè)高度時(shí)總對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的水平位置，則x的取值范圍是．

12．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)封閉圖形和不重合的兩點(diǎn)，給出如下定義：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)為，若點(diǎn)在圖形內(nèi)（包含邊界），則稱圖形為點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)投射的“靶區(qū)”．如圖，拋物線與軸的交點(diǎn)A，位于原點(diǎn)兩側(cè)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），且，則拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，記軸上方的拋物線與軸所圍成的封閉圖形為，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使得圖形為點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)投射的“靶區(qū)”，則的取值范圍是．

13．如圖，某活動(dòng)板房由矩形和拋物線構(gòu)成，矩形的邊長，，拋物線的最高點(diǎn)E到BC的距離為．在該拋物線與之間的區(qū)域內(nèi)裝有一扇矩形窗戶，點(diǎn)G、H在邊上，點(diǎn)F、K在該拋物線上．按如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系．若，則矩形窗戶的寬的長為m．

14．某游樂園要建造一個(gè)直徑為的圓形噴水池，計(jì)劃在噴水池的周邊安裝一圈噴水頭，使噴出的水柱距池中心處達(dá)到最高，高度為．以水平方向?yàn)檩S，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖，若要在噴水池中心的正上方設(shè)計(jì)擋板（），使各方向噴出的水柱擦擋板后，匯合于噴水池中心裝飾物M處，擋板所在直線的表達(dá)式為，則拋物線l的表達(dá)式為，n的值為

15．如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，過的中點(diǎn)作軸，交拋物線于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在C的左邊），連接、，若將向上平移使得B、C兩點(diǎn)恰好落在拋物線上，則點(diǎn)O平移后的坐標(biāo)為．

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點(diǎn)，連接，．已知點(diǎn)E坐標(biāo)為，點(diǎn)D在線段上，且．則四邊形面積的大小為．

三、解答題17．已知拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．現(xiàn)將拋物線平移，使平移后的拋物線過點(diǎn)B和點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸平行線，交直線于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作x軸平行線，交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．18．湘雅公園人工湖上有一座拱橋，橫截面呈拋物線形狀，如圖所示，現(xiàn)對(duì)此展開研究：跨度為4米，橋墩露出水面的高度為米，在距點(diǎn)A水平距離為2米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為米，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中是橫截水面，是拱橋距水面的高度．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)公園欲開設(shè)游船項(xiàng)目，為安全起見，公園要在水面上的C、D兩處設(shè)置航行警戒線，并且，要求游船能從C、D兩點(diǎn)之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為多少米？19．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象如圖所示，該拋物線的頂點(diǎn)為，且與軸的交點(diǎn)為，連接過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線．(1)當(dāng)時(shí)，求的長；(2)如圖，延長交于點(diǎn)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示的面積；(3)如圖，點(diǎn)在拋物線第一象限的圖象上且位于點(diǎn)的左側(cè)，連接并延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于，垂足為點(diǎn)，連接求證：．20．綜合實(shí)踐九年級(jí)第一學(xué)期教材第2頁結(jié)合教材圖形給出新定義對(duì)于下圖中的三個(gè)四邊形，通?？梢哉f，縮小四邊形，得到四邊形；放大四邊形，得到四邊形．

圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動(dòng)．將一個(gè)圖形放大或縮小后，就得到與它形狀相同的圖形．圖中，四邊形和四邊形都與四邊形形狀相同．我們把形狀相同的兩個(gè)圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似形．如圖，對(duì)于兩個(gè)多邊形，如果它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所連線段成比例，那么這兩個(gè)多邊形就是位似多邊形，這個(gè)點(diǎn)就是位似中心．(1)填空：在上圖中位似中心是點(diǎn)________；________多邊形是特殊的________多邊形．（填“位似”或“相似”）(2)在平面直角坐標(biāo)系中（如下圖），二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是此函數(shù)圖像上一點(diǎn)（點(diǎn)A、B均不與點(diǎn)O重合），已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，以點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將縮小，得到它的位似．

①畫出，并求經(jīng)過O、、三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；②直線與二次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)M，與①中的拋物線交于點(diǎn)N，請(qǐng)判斷和是否為位似三角形，并根據(jù)新定義說明理由．壓軸熱點(diǎn)考點(diǎn)06二次函數(shù)的解析式、圖像及其性質(zhì)壓軸突破——2024年【中考·沖刺】數(shù)學(xué)高頻熱點(diǎn)考點(diǎn)好題精編一、單選題1．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、D的橫坐標(biāo)分別為3和，其圖像與x軸圍成封閉圖形L，圖形L內(nèi)部（不包含邊界）恰有4個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），系數(shù)a的值可以是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】依照題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出關(guān)于a的不等式組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、D的橫坐標(biāo)分別為3和，∴二次函數(shù)解析式為，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖所示，∵圖形L內(nèi)部（不包含邊界）恰有4個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），∴，解得，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有B選項(xiàng)符合題意，故選B．

【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，解題時(shí)，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，難度較大．2．如圖1，在中，，的長為a，動(dòng)點(diǎn)D在邊上從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)的長為x，矩形的面積為y，y隨x變化的關(guān)系圖象如圖2所示，其中點(diǎn)P為圖象的最高點(diǎn)，且縱坐標(biāo)為，則a的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得到，，勾股定理，得到，求出的長，利用矩形的面積公式得到二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，的長為x，的長為a，∴在中，，在中，，∴，，∴，∴，由圖象可知：，∴（負(fù)值已舍去）．故選：B．3．雁門關(guān)，位于我省忻州市雁門山中，是長城上的重要關(guān)隘，以“險(xiǎn)”著稱，被譽(yù)為“中華第一關(guān)”，由于地理環(huán)境特殊，行車高速路上的隧道較多，如圖①是雁門關(guān)隧道，其截面為拋物線型，如圖②為截面示意圖，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，以過點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直直角坐標(biāo)系．經(jīng)測(cè)量，拋物線的頂點(diǎn)P到的距離為，則拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出，，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出拋物線表達(dá)式．【詳解】解：∵，拋物線的頂點(diǎn)P到的距離為，∴，，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，把代入得：，把代入得：，解得：，∴拋物線表達(dá)式為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求拋物線的表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)式．4．已知二次函數(shù)（a為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，圖象與x軸交于點(diǎn)A、B(A在B的左邊)，連接，點(diǎn)P是拋物線圖象在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)Q，若取得最大值，則此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(

)

A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】作于點(diǎn)H，交于D，可推證，說明的函數(shù)值一定，最大時(shí)，滿足最大；待定系數(shù)法確定直線解析式，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，表示出，運(yùn)用二次函數(shù)最值，確定點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，將a代入關(guān)系式得，，令，即，解得，，，∴，，∴，，，設(shè)解析式，得，解得∴，作于點(diǎn)H，交于D，則∴

∴，∴，∴最大時(shí)，滿足最大，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∴∴當(dāng)時(shí)，有最大值．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)，平行線的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，由三角函數(shù)確定線段間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．如圖，已知在拋物線上有一點(diǎn)，軸于B點(diǎn)，連接，將繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后，該三角形的A．B兩點(diǎn)中必有一個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上，這個(gè)角度是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C，則點(diǎn)C坐標(biāo)為，再根據(jù)可得當(dāng)點(diǎn)A與拋物線頂點(diǎn)C重合時(shí)滿足題意，再利用銳角三角函數(shù)求得，從而求得旋轉(zhuǎn)角度．【詳解】解：如圖，設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C，則點(diǎn)C坐標(biāo)為，∵，軸于B點(diǎn)，∴，，，∵，∴，∴，∴將繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，該三角形的A與拋物線的頂點(diǎn)C重合，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與y軸的交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)，根據(jù)拋物線求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定旋轉(zhuǎn)角度是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方問以向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．以所在直線為對(duì)稱軸，將折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，移動(dòng)過程中與重疊部分的面積為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則與之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，可以求出拋物線解析式，從而得到函數(shù)圖像；②當(dāng)時(shí)，，可以求出拋物線解析式，從而得到函數(shù)圖像．【詳解】解：∵，，∴當(dāng)點(diǎn)D在中點(diǎn)時(shí)，和B重合，∵，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)速度是，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，∴，∴，①當(dāng)時(shí)，由題意可得：，此時(shí)，S與之間函數(shù)關(guān)系的圖像是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上的拋物線；②當(dāng)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，∵，，∴，，∵，同理可得：，∴，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為2，此時(shí)，S與之間函數(shù)關(guān)系的圖象是開口向下的拋物線，且當(dāng)時(shí)，S有最大值，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖像，關(guān)鍵是分段求出S與之間函數(shù)解析式．7．如圖1，某地大橋主橋墩結(jié)構(gòu)為拋物線形，橋墩的高度和寬度分別為40m和30m，若建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)解析式為，把代入求出a，即可得到解析式．【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象可得，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，∴對(duì)稱軸為，∵橋墩的高度為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，把代入上式得，，∴，∴該拋物線的表達(dá)式為，即，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)圖象反映的信息求出解析式是解題的關(guān)鍵．8．老師設(shè)計(jì)了“誰是臥底”游戲，用合作的方式描述一個(gè)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，其中，為常數(shù)，甲說：該二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線；乙說：函數(shù)的最小值為；丙說：是方程的一個(gè)根；丁說：該二次函數(shù)的圖象與軸交于．若四個(gè)描述中，只有“臥底”的描述是假命題，則“臥底”是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【分析】設(shè)甲乙正確，利用頂點(diǎn)時(shí)寫出拋物線的解析式為，然后計(jì)算自變量為和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，從而判斷丙錯(cuò)誤．【詳解】解：若甲乙正確，則拋物線的解析式為，即，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)丙錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)丁正確．而其中有且僅有一個(gè)說法是錯(cuò)誤的，所以只有丙錯(cuò)誤，則“臥底”是丙．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．二、填空題9．?dāng)S實(shí)心球是安徽省高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目．如圖是某學(xué)生投實(shí)心球，出手后實(shí)心球沿一段拋物線為常數(shù)，運(yùn)行，當(dāng)運(yùn)行到最高點(diǎn)時(shí)，運(yùn)行高度，水平距離．（1）當(dāng)出手高度為時(shí)，；（2）若實(shí)心球落地水平距離不小于，且不超過，則的取值范圍是．【答案】【分析】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用；（）利用待定系數(shù)法求出解析式即可；（）設(shè)，根據(jù)當(dāng)時(shí)，，時(shí)，即可求出的取值范圍．【詳解】解：（）設(shè)，將代入可得，解得，故答案為：；（2）設(shè)，若落地水平距離不小于，則當(dāng)時(shí)，，代入得，解得；當(dāng)時(shí)，，代入得，解得，綜上所述，．10．已知拋物線與直線相交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），且．（1）的值是．（2）直線與拋物線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，．若隨的增大而增大，則的取值范圍是．【答案】2【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．（1）先求出拋物線與直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后根據(jù)即可求出的值；（2）設(shè)，，表示出的長，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得，，即；（2）當(dāng)時(shí)，拋物線為，點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為．直線與軸交于點(diǎn)．設(shè)，，則，∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，∴，解得．11．如圖①，是可移動(dòng)的灌溉裝置，以水平地面方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，如圖②所示．其水柱的高度y（單位：m）與水柱距噴水頭的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．在圖②中，若水柱在某一個(gè)高度時(shí)總對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的水平位置，則x的取值范圍是．

【答案】且【分析】根據(jù)題意可先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的值，即可得出水柱的水平距離的取值范圍，然后求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，再求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，根據(jù)當(dāng)水柱在某一個(gè)高度時(shí)，總對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的水平位置，即可得出的取值范圍．【詳解】解：由題意可得：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，即，解得：，，水柱的水平距離的取值范圍為：，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為，當(dāng)水柱在某一個(gè)高度時(shí)，總對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的水平位置，的取值范圍為：且；故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查的主要是二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)以及頂點(diǎn)坐標(biāo)．12．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)封閉圖形和不重合的兩點(diǎn)，給出如下定義：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)為，若點(diǎn)在圖形內(nèi)（包含邊界），則稱圖形為點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)投射的“靶區(qū)”．如圖，拋物線與軸的交點(diǎn)A，位于原點(diǎn)兩側(cè)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），且，則拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，記軸上方的拋物線與軸所圍成的封閉圖形為，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使得圖形為點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)投射的“靶區(qū)”，則的取值范圍是．

【答案】；且．【分析】由，以及拋物線的對(duì)稱軸，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)表達(dá)式；求出直線關(guān)于軸的對(duì)稱直線，再由對(duì)稱直線與封閉圖象的交點(diǎn)，可求出的取值范圍．【詳解】解：由題知，拋物線的對(duì)稱軸為，令，又，兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以，則．所以，．又，所以，得．故．將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得，，則．所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．直線關(guān)于軸的對(duì)稱直線為，

記直線與封閉區(qū)域的交點(diǎn)為，，則，解得或．故．所以的取值范圍是且．故答案為：，且．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用直線關(guān)于軸的對(duì)稱直線是解題的關(guān)鍵．13．如圖，某活動(dòng)板房由矩形和拋物線構(gòu)成，矩形的邊長，，拋物線的最高點(diǎn)E到BC的距離為．在該拋物線與之間的區(qū)域內(nèi)裝有一扇矩形窗戶，點(diǎn)G、H在邊上，點(diǎn)F、K在該拋物線上．按如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系．若，則矩形窗戶的寬的長為m．

【答案】/【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，設(shè)，求出，即可得到矩形窗戶的寬的長．【詳解】解：由題意可知，、、，設(shè)拋物線解析式為，，解得：拋物線解析式為，點(diǎn)G、H在邊上，且，、，四邊形是矩形，設(shè)，點(diǎn)在拋物線上，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，求出二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．某游樂園要建造一個(gè)直徑為的圓形噴水池，計(jì)劃在噴水池的周邊安裝一圈噴水頭，使噴出的水柱距池中心處達(dá)到最高，高度為．以水平方向?yàn)檩S，噴水池中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖，若要在噴水池中心的正上方設(shè)計(jì)擋板（），使各方向噴出的水柱擦擋板后，匯合于噴水池中心裝飾物M處，擋板所在直線的表達(dá)式為，則拋物線l的表達(dá)式為，n的值為

【答案】【分析】運(yùn)用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，再與直線聯(lián)立方程，令可求出的值．【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為，根據(jù)題意得，在拋物線上，∴，解得，，∴拋物線的解析式為，與直線聯(lián)立方程，得：，整理得：,∵直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)，∴解得，；幫答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象與性質(zhì)，正確求出拋物線的解析式是解答本題的關(guān)鍵．15．如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，過的中點(diǎn)作軸，交拋物線于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在C的左邊），連接、，若將向上平移使得B、C兩點(diǎn)恰好落在拋物線上，則點(diǎn)O平移后的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】先求出，從而可得點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入函數(shù)解析式可得的縱坐標(biāo)，從而可得的中點(diǎn)向上平移的距離，由此即可得．【詳解】解：拋物線與軸交于點(diǎn)，，過的中點(diǎn)作軸，點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為，當(dāng)時(shí)，則，解得，，如圖，設(shè)點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，

則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，則的中點(diǎn)向上平移了個(gè)單位長度，所以點(diǎn)也向上平移了個(gè)單位長度，所以點(diǎn)平移后的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點(diǎn)，連接，．已知點(diǎn)E坐標(biāo)為，點(diǎn)D在線段上，且．則四邊形面積的大小為．

【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再求出所在直線的解析式，設(shè)，根據(jù)，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再利用割補(bǔ)法即可求出四邊形的面積．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點(diǎn)；，，；容易求出所在直線的解析式為；設(shè)，，；；；，；；故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，涉及到了求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及利用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積，熟練掌握二次函數(shù)的綜合知識(shí)是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．已知拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．現(xiàn)將拋物線平移，使平移后的拋物線過點(diǎn)B和點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸平行線，交直線于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作x軸平行線，交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式；（2）先求出中，的長，，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分兩種情況分別列出方程，并求解m的值，即可得到答案．【詳解】（1）令，則，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得，所以拋物線的表達(dá)式為；（2）令，則，解得，，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，在中，，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，設(shè)直線的解析式為，則，解得，所以直線的解析式為，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相似三角形問題，二次函數(shù)的平移，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，分兩種情況求點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．18．湘雅公園人工湖上有一座拱橋，橫截面呈拋物線形狀，如圖所示，現(xiàn)對(duì)此展開研究：跨度為4米，橋墩露出水面的高度為米，在距點(diǎn)A水平距離為2米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為米，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中是橫截水面，是拱橋距水面的高度．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)公園欲開設(shè)游船項(xiàng)目，為安全起見，公園要在水面上的C、D兩處設(shè)置航行警戒線，并且，要求游船能從C、D兩點(diǎn)之間安全通過，則C處距橋墩的距離CE至少為多少米？【答案】(1)；(2)C處距橋墩的距離至少為米．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，審清題意、掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）先確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后用代入消元法即可解答；（2）令可得，然后解二元一次方程即可解答．【詳解】（1）解：∵為4米，在距點(diǎn)A水平距離為2米的地點(diǎn)，拱橋距離水面的高度為2.88米，∴拋物線頂點(diǎn)為，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入得：，解得．∴拋物線的表達(dá)式為．（2）解：在中，令可得：，解得：（舍去）或，∴C處距橋墩的距離至少為米．19．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象如圖所示，該拋物線的頂點(diǎn)為，且與軸的交點(diǎn)為，連接過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線．(1)當(dāng)時(shí)，求的長；(2)如圖，延長交于點(diǎn)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示的面積；(3)如圖，點(diǎn)在拋物線第一象限的圖象上且位于點(diǎn)的左側(cè)，連接并延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于，垂足為點(diǎn)，連接求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，熟練掌握兩條直線的值相等，則兩直線平行是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)頂點(diǎn)式解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，令，求出值可得點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出的長即可；（2）分別用表示出、、的坐標(biāo)，可表示出的長，再用待定系數(shù)法求直線的解析式，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的長，即可求的面積；（3）設(shè)，用待定系數(shù)法先求直線的解析式，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而判斷直線與是平行的即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∵該拋物線的頂點(diǎn)為，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，．（2）∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵軸，∴，∴，設(shè)直